Groupes finis et théorèmes de Sylow

GROUPES FINIS ET THEOREMES DE SYLOW
Exercice 1. Montrer qu’un groupe d’ordre 40 a un sous-groupe distingué d’ordre 5 .
Exercice 2. Soit G un groupe d’ordre 36 .
Montrer que G contient un sous-groupe H d’ordre 9 . Montrer que |G| ne divise pas
(G : H)! . En déduire que G a un un sous-groupe distingué d’ordre 3 ou 9 .
Exercice 3. On veut montrer qu’un groupe d’ordre 56 n’est pas simple. Raisonnons par
l’absurde en supposant que G est un groupe simple d’ordre 56 .
a) Montrer que G contient 48 éléments d’ordre 7 .
b) Montrer que G a un unique 2-Sylow. Conclure.
Exercice 4. Soit G un groupe d’ordre 30 . Montrer que si G n’a pas un unique 5-Sylow
alors G a un unique 3-Sylow. En déduire que G n’est pas simple.
Exercice 5. On veut montrer qu’un groupe d’ordre 132 n’est pas simple. Raisonnons
par l’absurde en supposant que G est un groupe simple d’ordre 132 .
a) Montrer que G contient 120 éléments d’ordre 11 .
b) Montrer que G contient 8 éléments d’ordre 3 .
c) Montrer que G a un unique 2-Sylow. Conclure.
Exercice 6. On veut montrer qu’un groupe d’ordre 300 n’est pas simple. Raisonnons
par l’absurde en supposant que G est un groupe simple d’ordre 300 .
Soit H un 5-Sylow de G . On fait opérer G par conjugaison sur l’ensemble X des conjugués
de H .
a) Quel est le cardinal de X ?
b) Soit N le normalisateur de H dans G . Montrer que N est d’indice 6 dans G .
c) Montrer que |G| ne divise pas (G : N )! . Conclure.
Exercice 7. Soit D2n le groupe diédral d’ordre 2n . Montrre que D2n est le produit
semi-direct d’un groupe cyclique d’ordre n et d’un groupe à 2 éléments.
Exercice 8. Soient p et q des nombres premiers tels que p > q et soit G un groupe
d’ordre pq .
1) Montrer qu’il y a un seul p-Sylow de G . On le notera H .
2) Soit K un q-Sylow de G . Montrer que G est isomorphe au produit semi-direct H× K
.
3) Supposons qu’il existe un seul q-Sylow de G . Notons le K .
a) Montrer que G est isomorphe au produit H × K .
b) En déduire que G est cyclique.
4) On suppose que p 6≡ 1 mod q . Montrer que G est cyclique.
1
Exercice 9. Soient p et q des nombres premiers tels que p ≡ 1 mod q .
a) Montrer qu’il existe un homomorphisme de groupes non trivial Z/qZ → Aut (Z/pZ) .
b) Montrer qu’il existe deux groupes d’ordre pq non isomorphes.
Exercice 10. Soit p un nombre premier impair. Montrer qu’il y a deux classes
d’isomorphisme de groupes d’ordre 2p .
Exercice 11.
a) Soit n un entier ≤ 7 . Montrer que Sn ne contient pas de sous-groupe d’ordre 15 .
b) En déduire qu’un opération de S5 sur un ensemble à 8 éléments n’est pas transitive.
Exercice 12. Soit G un groupe d’ordre 12 .
1) Montrer que si G est abélien alors G est isomorphe à Z/2Z × Z/6Z ou bien à
Z/4Z × Z/3Z .
On suppose maintenant que G n’est pas abélien.
2) Montrer qu’il y a un ou quatre 3-Sylow et un ou trois 2-Sylow.
3) Supposons que G a quatre 3-Sylow.
a) Combien y a-t-il d’éléments d’ordre 3 ? Montrer que G a un unique 2-Sylow, que nous
noterons P .
b) Montrer que G est isomorphe à un produit semi-direct P × K où K est cyclique d’ordre
3 . Montrer que P est isomorphe à Z/2Z × Z/2Z .
(le groupe A4 est de ce type)
4) Supposons que G a un seul 3-Sylow que nous noterons H .
a) Montrer qu’il y a trois 2-Sylow et que si K est un 2-Sylow alors G est isomorphe à un
produit semidirect Z/3Z× Z/4Z ou Z/3Z× (Z/2Z × Z/2Z) .
b) Supposons que G est isomorphe à Z/3Z× Z/4Z . Montrer que G est engendré par
deux éléments x et y tels que x3 = y 4 = 1 et yxy −1 = x−1 .
Exercice 13. Soit G un groupe fini et soit p un nombre premier tel que p divise |G| .
Soit S un p-Sylow de G et soit H un sous-groupe de G tel que p divise |H| .
On fait opérer H par translations à gauche sur G/S .
a) Soit a ∈ G . Montrer que le stabilisateur de aS est H ∩ aSa−1 .
b) Montrer que (G : S) est premier à p .
c) En déduire qu’il existe g ∈ G tel que H : H ∩ gSg −1 est premier à p .
d) Montrer que H ∩ gSg −1 est un p-sous-groupe de H . En déduire que H ∩ gSg −1 est
un p-Sylow de H .
Exercice 14. Soit pun nombrepremier impair et soit G le sous-groupe de GL (3, Z/pZ)
1 x z
3
formé des matrices  0 1 y  où (x, y, z) ∈ (Z/pZ) .
0 0 1
1) Quel est le cardinal de GL (3, Z/pZ) ? Quel est le cardinal de G ?
2) Montrer que G est un p-Sylow de GL (3, Z/pZ) .
2

1 nx nz + n(n−1)
xy
2
.
3) Soit M ∈ G . Montrer que pour tout entier n ∈ Z on a M n =  0 1
ny
0 0
1
En déduire que tout élément de G \ {1} est d’ordre p .


1 0 z
4) Montrer que le centre de G est l’ensemble Z des matrices  0 1 0  où z ∈ Z/pZ .
0 0 1
Quel est le cardinal de Z ?
5) Soit A ∈ G tel que A 6∈ Z et soit C(A) le centralisateur de A . Montrer que C(A)
contient Z et est différent de G . En déduire que C(A) possède p2 éléments et est distingué
dans G .
6) Soit B ∈ G tel que B 6∈ C(A) et soit β le sous-groupe engendré par B . Montrer que
C(A) ∩ β = {I} et que G est un produit semi-direct C(A)× β .

Exercice 15.
Partie I. Soit n un entier au moins égal à 5 .
1) Soit H un sous-groupe de Sn tel que H ∩ An = {1} . Montrer que H est d’ordre 1
ou 2 .
2) Soit H un sous-groupe distingué de Sn . Montrer que H = {1}, An ou Sn .
Partie II. Soit P un 5-Sylow de S5 et soit N le normalisateur de P .
1) Montrer que N est d’ordre 20 .
2) On fait opérer S5 sur S5 /N par translations à gauche. Soit ϕ : S5 → Σ (S5 /N ) le
morphisme correspondant. Montrer que ϕ est injectif.
3) Montrer qu’il existe un sous-groupe H de S6 , isomorphe à S5 , et qui opère
transitivement sur {1, 2, · · · , 6} .
Exercice 16. Soit p un nombre premier et soit G un groupe d’ordre p3 . On suppose que
G n’est pas abélien.
a) Montrer que le centre Z de G est cyclique d’ordre p . Montrer que le groupe G/Z est
isomorphe à Z × Z .
b) SoitH un sous-groupe de G d’ordre p2 . Montrer que H contient Z et est distingué
dans G .
c) On suppose que tout élément x ∈ G vérifie xp = 1 . Montrer que G contient un
sous-groupe d’ordre p2 .
3