Chapitre 1 - Matrices 1

Lycée Jules Verne 2016-2017
Spé TES
I.
Matrices 1
Notion de matrice
Définition(s).
Dans une matrice A, on note aij le coefficient placé à la ième ligne et la
jème colonne.
On dit que deux matrices A et B de même dimension sont égales si
aij = bij pour tous i et j.
Définition(s).
Soient n et p deux entiers naturels non nuls.
On appelle matrice réelle à n lignes et p colonnes la donnée d’un
tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes composée de nombres
réels appelés coefficients, éléments ou termes.
Une matrice à n lignes et p colonnes est dite d’ordre (n, p) ou de
dimension n × p.
L’ensemble des matrices de dimension n × p est noté Mnp (R).
√ 2 0
2
est une matrice de M2×3 (R).
Exemple La matrice A =
−1 13 −5
A. Heliard
☞ ex 12 à 27 p 280
II.
1.
Opérations sur les matrices
Addition et multiplication par un réel
Définition(s).
Définition(s).
Soient A et B deux matrices de même dimension. Soit k un réel.
• Une matrice ligne est une matrice ne contenant qu’une seule ligne.
• La matrice A + B est la matrice obtenue en ajoutant chaque terme
de B au terme correspondant de A.
• Une matrice colonne est une matrice ne contenant qu’une seule
colonne.
• La matrice A − B est la matrice obtenue en retranchant chaque
terme de B au terme correspondant de A.
• Une matrice carrée est une matrice ayant autant de lignes que de
colonnes.
• L’opposée de la matrice A est obtenue en prenant l’opposé de chaque
terme de la matrice A, elle est notée −A.
• Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients
hors diagonale sont nuls.
• Une matrice unité est une matrice diagonale telle que les coefficients de la diagonale valent tous 1.
• Une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont
nuls.
• La transposée d’une matrice A, notée t A, est la matrice obtenue
en échangeant les lignes et les colonnes de A.
• Une matrice symétrique est une matrice carrée telle que t A = A.
• La matrice kA est la matrice obtenue en multipliant chaque coefficient de A par k.
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Spé TES
Matrices 1
Proposition.
Proposition.
Soient A, B etC trois matrice de même dimension. Soient k et k′ deux
réels.
Soient A, B ∈ Mnp (R), C, D ∈ Mpq (R), soit k ∈ R.
• A+B = B+A
• (A + B)C = AC + BC
• (A + B) + C = A + (B + C)
• A(C + D) = AC + AD
• k(A + B) = kA + kB
• (k +
k′ )A
= kA +
• (kA)C = k(AC)
k′ A
• k(k′ A) = (kk′ )A
☞ ex 46, 47, 48, 50 p 282, 52 p 282, 56, 58 p 282
☞ Mise en pratique p 267
☞ ex 28, 30, 33, 36, 37, 38 p281 , ex 39, 41, 42 à 45 p 282
2.
Produit d’une matrice par une matrice colonne
Pour effectuer le produit d’une matrice A par une matrice colonne V , il faut
que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de V :

3.
• AC 6= CA en général

2
0
−1
1 3 4
2 × 1 + 0 × 3 + (−1) × 4
−2
=
=
4 2 1
2 × 4 + 0 × 2 + (−1) × 1
7
Produit de deux matrices
Pour effectuer le produit d’une matrice A par une matrice B, il faut que le
nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.
On effectue alors le produit colonne par colonne de B.
A. Heliard