Chapitre 1 - Matrices 1

Lycée Jules Verne 2016-2017
Spé TES
Matrices 1 A. Heliard
I. Notion de matrice
Soient net pdeux entiers naturels non nuls.
On appelle matrice réelle à nlignes et pcolonnes la donnée d’un
tableau rectangulaire à nlignes et pcolonnes composée de nombres
réels appelés coefficients, éléments ou termes.
Une matrice à nlignes et pcolonnes est dite d’ordre (n, p)ou de
dimension n×p.
L’ensemble des matrices de dimension n×pest noté Mnp(R).
Exemple La matrice A=2 0 √2
−11
3−5est une matrice de M2×3(R).
Définition(s).
•Une matrice ligne est une matrice ne contenant qu’une seule ligne.
•Une matrice colonne est une matrice ne contenant qu’une seule
colonne.
•Une matrice carrée est une matrice ayant autant de lignes que de
colonnes.
•Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients
hors diagonale sont nuls.
•Une matrice unité est une matrice diagonale telle que les coeffi-
cients de la diagonale valent tous 1.
•Une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont
nuls.
•La transposée d’une matrice A, notée tA, est la matrice obtenue
en échangeant les lignes et les colonnes de A.
•Une matrice symétrique est une matrice carrée telle que tA=A.
Définition(s).
Dans une matrice A, on note aij le coefficient placé à la ième ligne et la
jème colonne.
On dit que deux matrices Aet Bde même dimension sont égales si
aij =bij pour tous iet j.
Définition(s).
☞ex 12 à 27 p 280
II. Opérations sur les matrices
1. Addition et multiplication par un réel
Soient Aet Bdeux matrices de même dimension. Soit kun réel.
•La matrice A+Best la matrice obtenue en ajoutant chaque terme
de Bau terme correspondant de A.
•La matrice A−Best la matrice obtenue en retranchant chaque
terme de Bau terme correspondant de A.
•L’opposée de la matrice Aest obtenue en prenant l’opposé de chaque
terme de la matrice A, elle est notée −A.
•La matrice kA est la matrice obtenue en multipliant chaque coeffi-
cient de Apar k.
Définition(s).
1

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Matrices 1 A. Heliard
Soient A,BetCtrois matrice de même dimension. Soient ket k′deux
réels.
•A+B=B+A
•(A+B) + C=A+ (B+C)
•k(A+B) = kA +kB
•(k+k′)A=kA +k′A
•k(k′A) = (kk′)A
Proposition.
☞Mise en pratique p 267
☞ex 28, 30, 33, 36, 37, 38 p281 , ex 39, 41, 42 à 45 p 282
2. Produit d’une matrice par une matrice colonne
Pour effectuer le produit d’une matrice Apar une matrice colonne V, il faut
que le nombre de colonnes de Asoit égal au nombre de lignes de V:
2
0
−1
1 3 4
4 2 1=2×1 + 0 ×3 + (−1) ×4
2×4 + 0 ×2 + (−1) ×1=−2
7
3. Produit de deux matrices
Pour effectuer le produit d’une matrice Apar une matrice B, il faut que le
nombre de colonnes de Asoit égal au nombre de lignes de B.
On effectue alors le produit colonne par colonne de B.
Soient A, B ∈Mnp(R), C, D ∈Mpq(R), soit k∈R.
•AC 6=CA en général
•(A+B)C=AC +BC
•A(C+D) = AC +AD
•(kA)C=k(AC)
Proposition.
☞ex 46, 47, 48, 50 p 282, 52 p 282, 56, 58 p 282
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