Mathématiques et Statistique de la Finance

Sébastien ROLAND
Mathématiques et
Statistique de la Finance
Calcul Stochastique
Statistique des Processus
Première Edition (Sept. 2005).
Sébastien ROLAND c °2005

ii

Préface
L’essor important de la théorie financière moderne, telle qu’elle fut dévelopée
à partir des résultats novateurs de Samuelson (1961-1965), Merton (1969-1971-
1973-1976), Black et Scholes (1973) s’est pour une large part réalisé grâce au
développement important de la théorie des processus stochastiques. Et sur
ces trois dernières décennies, leur emploi s’est considérablement accru pour
décrire l’évolution des fluctuations des marchés financiers, tant d’un point de
vue de l’évaluation des actifs optionels que de la gestion des risques. Dans le
même temps, les progrès importants de l’informatique ont permis d’une part
de rendre opérationnelles des méthodes numériques et statistiques parfois ex-
igeantes en termes de ressources et d’autre part de constituer de volumineuses
bases de données d’historiques des actifs financiers et des marchés optionels.
Finalement, la combinaison de ces deux effets place au centre des considéra-
tions actuelles et futures des risk managers les questions de la compréhension
et de l’exploitation de ces informations.
L’objectif de ces notes est alors de deux ordres. Il vise à fournir une présen-
tation autonome de la théorie des processus stochastiques et des méthodes sta-
tistiques connexes et de montrer comment ces notions et outils intéragissent
dans des problématiques d’évaluation et de gestion des risques, auxquels les
praticiens de la finance sont constamment confrontés.
Le but de ces notes est alors:
•d’expliquer les motivations pour l’emploi des processus stochastiques
pour la modélisation des grandeurs économiques et financières.
•de motiver la nécessité de l’équipement mathématique introduit pour la
manipulation des processus stochastiques.
•de fournir les résultats mathématiques principaux des théories abordées
sans entrer dans des détails techniques fastidieux.
•de présenter des exemples concrets d’emploi des processus stochastiques
en évaluation et gestion des risques.
Sébastien ROLAND
Paris (France), Septembre 2005.
Mail: [email protected].
0Version: May 3, 2006.

iv Préface

Sommaire
Préface iii
I Calcul Stochastique ix
1 Notions Générales de Probabilités 1
1.1 ElémentsdeThéoriedelaMesure ................ 1
1.1.1 σ−algèbresetMesures................... 1
1.1.2 AbsolueContinuitéetDensité............... 3
1.2 VariablesAléatoires ........................ 4
1.2.1 EspacedeProbabilité ................... 4
1.2.2 Quelle Caractérisation pour (Ω,F,P)?.......... 6
1.2.3 FonctionCaractéristique.................. 7
1.3 ProcessusStochastiques ...................... 8
1.3.1 FonctionsAléatoires .................... 9
1.3.2 FiltrationsetHistoires................... 10
1.3.3 EspéranceConditionnelle ................. 13
1.3.4 TempsAléatoire ...................... 13
1.3.5 MartingalesetPropriétédeMarkov ........... 14
2 Processus de Wiener, Poisson et Lévy 17
2.1 ProcessusdeWiener ........................ 17
2.1.1 LoiGaussienne....................... 17
2.1.2 MouvementBrownien ................... 19
2.1.3 VersionMultidimensionnelle................ 28
2.2 ProcessusdePoisson........................ 30
2.2.1 LoiExponentielle...................... 30
2.2.2 LoidePoisson ....................... 31
2.2.3 ProcessusdePoisson.................... 32
2.2.4 ProcessusdePoissonComposé .............. 34
2.3 ProcessusdeLévy ......................... 35
2.3.1 MesuresAléatoires..................... 36
2.3.2 MarchesAléatoires..................... 38
2.3.3 PropriétédeMarkov.................... 41
A Propriétés Empiriques des Séries Financières 43
A.1 DuTempsContinuauTempsDiscret............... 43
A.2 FaitsStylisésdesSériesdeRendements ............. 44