Viscosit du lait - Site de Daniel Huilier

UFR : Licence LPAI – L3-S5 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier)
Epreuve finale / 2008-2009
UFR : Licence LPAI – L3-S5 Option : Mécanique des Fluides I
(Daniel Huilier)
Examen final - Vendredi 16 janvier 2009 - 14h00-16h00
Tous documents de cours/TD, calculatrices autorisés
I) Première partie Cours & Culture générale (4 points) :
a) Définissez le nombre de Mach et classez dans un ordre croissant du nombre de Mach
les écoulements suivants: Transsonique, subsonique, hypersonique, supersonique
Nombre de Mach : rapport de la vitesse locale du fluide et de la vitesse locale du son
Réponse : Subsonique, Transsonique, Supersonique, Hypersonique
b) Situez dans le temps du plus ancien vers le plus récent les travaux de : Magnus,
Torricelli, Navier, Bernouilli :
(R1) Torricelli, Magnus, Navier, Bernouilli
(R2) Torriccelli, Bernouilli, Navier, Magnus
(R3) Bernouilli, Navier, Torricelli, Magnus
(R4) Bernouilli, Torricelli, Magnus, Navier
c) Dans quel cas les équations de Navier-Stokes peuvent-ils se réduire aux équations de
Stokes ?
Dans le cas des écoulements à faible nombre de Reynolds (rampants) ou les forces
d’inertie non-linéaires sont négligeables par rapport aux forces visqueuses
II) Deuxième partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique lisse
(Barême : 9 points)
De l’huile de densité 0,85 s’écoule dans une conduite cylindrique lisse horizontale de
rayon R = 60 mm, Le nombre de Reynolds de l’écoulement est de 250. La viscosité
dynamique est de 0,02 Ns/m2.
a) calculer la perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite), l’exprimer
aussi en équivalent de hauteur de colonne d’eau (mCE)
b) Déterminez la vitesse de débit um. Donnez aussi la vitesse sur l’axe.
c) A partir du profil de vitesse, déterminez la distance par rapport à l’axe de la conduite
où la vitesse locale est égale à cette vitesse de débit.
d) Calculez la contrainte visqueuse à la paroi.
e) Déterminez enfin la puissance dissipée si la conduite fait 100 mètres de long.
f) On multiplie le débit par 40. Calculer alors la nouvelle perte de charge linéaire Δp (par
mètre de longueur de conduite).
g) Que devient cette perte de charge linéaire si la conduite présente une rugosité relative
ε/D = 0.02
h) Déterminez enfin la puissance dissipée (à fournir) pour transporter le fluide à débit
initial (Reynolds = 250), sur une longueur de 100 mètres, sachant que la conduite est
inclinée de 45° vers le haut.
1
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Réponses :
L’écoulement est laminaire, λ =
64
= 64 / 250 = 0.256
Re
La vitesse de débit est donnée par :
U = 250ν / D = 250μ / ρD = 250 x 0.02 Ns.m −2 /(850kg / m 3 x.0.12m) = 0.049m / s
Vitesse maximale sur l’axe : en laminaire 2 fois la vitesse de débit = 0.098 m/s
Le profil est parabolique et on a :
⎛
r2 ⎞
u (r ) = 2U .⎜⎜1 − ( 2 ) ⎟⎟ , soit u(r) = U en r = R / 2 = 0.06 / 2 = 0.0425 m
R ⎠
⎝
La perte de charge linéaire est donnée par :
ρLU 2
850kg / m 3 x 1m x (0.049) 2 m 2 / s 2
Δp = ρgΔh = λ.
= 0.256 x
= 2.177 Pa
2.D
0.24m
ΔhCem = 2.177 Pa /(1000kg / m 3 x9.81m / s 2 ) = 0.222mmCe
Contrainte à la paroi : τ p =
Δp.R
= 2.177 Pa x 0.06m / 2m = 0.0653Pa
2L
Autre calcul :
τ p = μ.
∂U
( r = R ) = −2 μU AXE / R = −0.02 x 2 x 0.098 / 0.06 = 0.0653 Pa
∂r
Puissance dissipée :
Δp.L.U .π .R 2 = 2.177 Pa x 100m x 0.049m / s x 3.1416 x (0.06m / s ) 2 = 0.12064Watt
Autre calcul : τ p .2πRLU = 0.0653 Pa x 2 x 3.1416 x 0.06m x 100 m x 0.049m / s = 0.12064 Watt
Pour un nombre de Reynolds de 10000, en conduite lisse, on a le régime de Blasius :
λ =0.3164.Re-1/4
Soit λ = 0.03164
La vitesse de débit est aussi multipliée par 40, soit : 1.96 m/s
La perte de charge linéaire est donnée par :
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Δp = ρgΔh = λ.
ρLU 2
2.D
= 0.03164 x
850kg / m 3 x 1m x (1.96) 2 m 2 / s 2
= 430.5Pa
0.24m
En conduite horizontale, la puissance sur 100 mètres est donnée par :
Puissance dissipée :
Δp.L.U .π .R 2 = 430.5 Pa x 100m x1.96m / s x 3.1416 x (0.06m) 2 = 954Watt
En conduite rugueuse, d’après les courbes de Nikuradsé : λ = 0.0525
Δp =
0.0525
430.5 Pa = 714 Pa
0.03164
En conduite inclinée de 45° vers le haut, la différence de pression supplémentaire à vaincre
est de :
Δp = ρ huile .g .L. sin(45°) = 850 x 9.81 x 100 x 0.707 = 590kPa sur 100 mètres
Globalement la puissance vaut :
Δp.U .π .R 2 = 590000 Pa x 0.049m / s x 3.1416 x (0.06m) 2 = 327 Watt
Diagramme de Nikuradse
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Partie III ) Viscosité du lait
On veut mesurer la viscosité du lait. Des recherches sur le web donnent une viscosité
dynamique du lait double de celle de l’eau. On utilise pour cela un viscosimètre, à chute de
bille qui comporte un long tube de verre vertical, rempli de lait, et dans lequel on laisse tomber
une bille sphérique. On mesure le temps nécessaire relatif au déplacement de la bille entre
deux repères fixes A et B.
1. Faire le bilan des forces appliquées à la sphère (poids, poussée d'Archimède, force de
frottement supposée Stokienne/à faible nombre de Reynolds) et les représenter sur un schéma.
Donner l'expression littérale de chacune de ces forces en fonction
-de l'accélération de la pesanteur g;
-du coefficient de viscosité μ et de la masse volumique ρL du lait;
-du rayon R de la sphère, de sa masse volumique ρB et de sa vitesse U.
2. Sachant que le mouvement vertical descendant de la sphère devient rapidement uniforme
avant l'arrivée au repère A, établir la relation entre la durée t du parcours AB de longueur L et
les grandeurs précédentes.
3. Le temps de chute de la bille entre A et B distants de L = 11 cm est t = 10 s. Calculer le
coefficient de viscosité dynamique μ du lait.
4. Calculez enfin le nombre de Reynolds et reconsidérez l’hypothèse de Stokes, et proposez
une démarche pour calculer la viscosité effective du lait en supposant que la vitesse de chute
est atteinte dès le point A.
Indications : On écrit l’équilibre des forçes avec une traînée non Stokienne, on isole (calcule)
le coefficient de traînée CD, et la courbe C D = f (Re) permet de cibler une valeur
approximative du nombre de Reynolds, donc de la viscosité effective du lait. On utilise alors la
loi de Schiller-Nauman pour affiner le nombre de Reynolds et la viscosité du lait.
Données:
- masse volumique du lait ρL = 1032 kg·m–3
- masse volumique de la bille ρB = 1050 kg·m–3
- rayon de la bille R = 1,0 mm
Rappels de cours :
B
B
Expression générale de la traînée d’une sphère :
FD =
1
ρU 2 AC D , CD = f(Re) où Re = UD/ν est le nombre de Reynolds et A = πR2
2
A très faible nombre de Reynolds, en traînée dite de Stokes (1845, 1851), on montre que
les forces de pression (à hauteur d’une contribution de 1/3) et de viscosité (2/3) induisent une
traînée totale égale à :
FD = 6πμRU , où μ est la viscosité dynamique du fluide, ce qui donne un coefficient de
traînée de
CD =
24
Re
Il existe ensuite des formules empiriques approchées qui donnent d'assez bons résultats,
dont celle de Schiller-Naumann (1933) (attention, valable pour Re < 800)
CD =
24
(1 + 0.15 Re 0.687 )
Re
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Evolution du coefficient de traînée d’une sphère ou d’un cylindre à surface lisse par unité
de longueur en fonction du nombre de Reynolds (échelles logarithmiques) (Munson,
Young & Okiishi, page 582, 4th edition)
Solution :
Préliminaire :
En supposant que la viscosité dynamique du lait est le double de celui de l’eau, soit
μ = 2.10 −3 Pa.s , le logiciel termvel basé sur la loi de Schiller-Nauman donne :
Une vitesse limite de 0.01094 m/s proche de la vitesse expérimentale et un nombre de Reynolds
de 11.3
L = U.t, soit U = 0.11/10 = 0.011 m/s
1
2
ρ BVg = ρ LVg + C D ρ L AU 2 , avec V =
Si la traînée est Stokienne, C D =
π
6
D 3 et A =
π
4
D 2 , D = 2R
64 64.μ
=
, soit :
Re DUρ
ρ BVg = ρ LVg + 6πμUR = ρ LVg + 3πμUD
μ=
ρ BVg − ρ LVg g ( ρ B − ρ L ).4πR 3 g ( ρ B − ρ L ).2 R 2 2(9.81)(1050 − 1032)(10 −3 ) 2
=
=
=
6πUR
18πUR
9U
9 x 0.011
μ = 35.68.10 −4 Pa.s , soit une viscosité dynamique 3.57 fois de celle de l’eau.
Re =
2URρ L
μ
(2)(0.011)(10 −3 )(1032)
=
= 6.36 , nous ne sommes plus en régime de Stokes.
35.6810 −4
6
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Plus généralement, avec la forme classique de la traînée, nous avons dans des conditions
d’équilibre :
π
π
1
ρ BVg = ρ LVg + C D ρ L AU 2 , avec V = D 3 et A = D 2
2
6
4
Soit en isolant le coefficient de traînée :
⎞ (4)(9.81)(2 10 −3) ⎛ 1050 ⎞
2( ρ BVg − ρ LVg ) 4 gD ⎛ ρ B
⎜
CD =
− 1⎟ = 3.77
=
− 1⎟⎟ =
⎜
3U 2 ⎜⎝ ρ L
(3)(0.011) 2 ⎝ 1032 ⎠
ρ L AU 2
⎠
La courbe classique donne un nombre de Reynolds de l’ordre de 10 à 12. On peut affiner avec la loi de
Schiller-Nauman :
Re
Cd
10.5
4.01
11.5
3.763
11.25
3.82
Soit encore en prenant une valeur de l’ordre de Re = 11.5 :
μ=
UDρ L (0.011)(2 10 −3 )1032
=
= 19.74 10 − 4 Pa.s ,
Re
11.5
Soit le double de la viscosité dynamique de l’eau. En accord avec les préliminaires.
7
11.3
3.81