Viscosit du lait - Site de Daniel Huilier

UFR : Licence LPAI – L3-S5 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier)
Epreuve finale / 2008-2009
UFR : Licence LPAI – L3-S5 Option : Mécanique des Fluides I
(Daniel Huilier)
Examen final - Vendredi 16 janvier 2009 - 14h00-16h00
Tous documents de cours/TD, calculatrices autorisés
I) Première partie Cours & Culture générale (4 points) :
a) Définissez le nombre de Mach et classez dans un ordre croissant du nombre de Mach
les écoulements suivants: Transsonique, subsonique, hypersonique, supersonique
Nombre de Mach : rapport de la vitesse locale du fluide et de la vitesse locale du son
Réponse : Subsonique, Transsonique, Supersonique, Hypersonique
b) Situez dans le temps du plus ancien vers le plus récent les travaux de : Magnus,
Torricelli, Navier, Bernouilli :
(R1) Torricelli, Magnus, Navier, Bernouilli
(R2) Torriccelli, Bernouilli, Navier, Magnus
(R3) Bernouilli, Navier, Torricelli, Magnus
(R4) Bernouilli, Torricelli, Magnus, Navier
c) Dans quel cas les équations de Navier-Stokes peuvent-ils se réduire aux équations de
Stokes ?
Dans le cas des écoulements à faible nombre de Reynolds (rampants) ou les forces
d’inertie non-linéaires sont négligeables par rapport aux forces visqueuses
II) Deuxième partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique lisse
(Barême : 9 points)
De l’huile de densité 0,85 s’écoule dans une conduite cylindrique lisse horizontale de
rayon R = 60 mm, Le nombre de Reynolds de l’écoulement est de 250. La viscosité
dynamique est de 0,02 Ns/m2.
a) calculer la perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite), l’exprimer
aussi en équivalent de hauteur de colonne d’eau (mCE)
b) Déterminez la vitesse de débit um. Donnez aussi la vitesse sur l’axe.
c) A partir du profil de vitesse, déterminez la distance par rapport à l’axe de la conduite
où la vitesse locale est égale à cette vitesse de débit.
d) Calculez la contrainte visqueuse à la paroi.
e) Déterminez enfin la puissance dissipée si la conduite fait 100 mètres de long.
f) On multiplie le débit par 40. Calculer alors la nouvelle perte de charge linéaire Δp (par
mètre de longueur de conduite).
g) Que devient cette perte de charge linéaire si la conduite présente une rugosité relative
ε/D = 0.02
h) Déterminez enfin la puissance dissipée (à fournir) pour transporter le fluide à débit
initial (Reynolds = 250), sur une longueur de 100 mètres, sachant que la conduite est
inclinée de 45° vers le haut.
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Epreuve finale / 2008-2009
Réponses :
L’écoulement est laminaire, 256.0250/64
Re
64 ===λ
La vitesse de débit est donnée par :
smmxmkgmNsxDDU /049.0)12.0./850/(.02.0250/250/250 32 ==== − ρμν
Vitesse maximale sur l’axe : en laminaire 2 fois la vitesse de débit = 0.098 m/s
Le profil est parabolique et on a :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−= )(1.2)( 2
2
R
r
Uru , soit u(r) = U en mRr 0425.02/06.02/ ===
La perte de charge linéaire est donnée par :
Pa
msmxmxmkg
x
D
LU
hgp 177.2
24.0
/)049.0(1/850
256.0
.2
.
2223
2
===Δ=Δ
ρ
λρ
mmCe222.0)s/m81.9xm/kg1000/(Pa177.2hCem 23 ==Δ
Contrainte à la paroi : PammxPa
L
Rp
p0653.02/06.0177.2
2
.== Δ
= τ
Autre calcul :
PaxxRURr
r
UAXEp 0653.006.0/098.0202.0/2)(. =−=−==
∂
∂
=
μμτ
Puissance dissipée : WattsmxxsmxmxPaRULp 12064.0)/06.0(1416.3/049.0100177.2.... 22 ==Δ
π
Autre calcul : WattsmxmxmxxxPaRLU
p12064.0/049.010006.01416.320653.02. ==
π
τ
Pour un nombre de Reynolds de 10000, en conduite lisse, on a le régime de Blasius :
λ =0.3164.Re-1/4
Soit
03164.0=λ
La vitesse de débit est aussi multipliée par 40, soit : 1.96 m/s
La perte de charge linéaire est donnée par :
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Pa
msmxmxmkg
x
D
LU
hgp 5.430
24.0
/)96.1(1/850
03164.0
.2
.
2223
2
===Δ=Δ
ρ
λρ
En conduite horizontale, la puissance sur 100 mètres est donnée par :
Puissance dissipée : WattmxxsmxmxPaRULp 954)06.0(1416.3/96.11005.430.... 22 ==Δ
π
En conduite rugueuse, d’après les courbes de Nikuradsé : λ = 0.0525
PaPap 7145.430
03164.0
0525.0 ==Δ
En conduite inclinée de 45° vers le haut, la différence de pression supplémentaire à vaincre
est de :
kPaxxxLgp huile 590707.010081.9850)45sin(...
=
=°=Δ
ρ
sur 100 mètres
Globalement la puissance vaut : WattmxxsmxPaRUp 327)06.0(1416.3/049.0590000... 22 ==Δ
π
Diagramme de Nikuradse
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Partie III ) Viscosité du lait
On veut mesurer la viscosité du lait. Des recherches sur le web donnent une viscosité
dynamique du lait double de celle de l’eau. On utilise pour cela un viscosimètre, à chute de
bille qui comporte un long tube de verre vertical, rempli de lait, et dans lequel on laisse tomber
une bille sphérique. On mesure le temps nécessaire relatif au déplacement de la bille entre
deux repères fixes A et B.
1. Faire le bilan des forces appliquées à la sphère (poids, poussée d'Archimède, force de
frottement supposée Stokienne/à faible nombre de Reynolds) et les représenter sur un schéma.
Donner l'expression littérale de chacune de ces forces en fonction
-de l'accélération de la pesanteur g;
-du coefficient de viscosité μ et de la masse volumique ρL du lait;
-du rayon R de la sphère, de sa masse volumique ρB et de sa vitesse U. B
2. Sachant que le mouvement vertical descendant de la sphère devient rapidement uniforme
avant l'arrivée au repère A, établir la relation entre la durée t du parcours AB de longueur L et
les grandeurs précédentes.
3. Le temps de chute de la bille entre A et B distants de L = 11 cm est t = 10 s. Calculer le
coefficient de viscosité dynamique μ du lait.
4. Calculez enfin le nombre de Reynolds et reconsidérez l’hypothèse de Stokes, et proposez
une démarche pour calculer la viscosité effective du lait en supposant que la vitesse de chute
est atteinte dès le point A.
Indications : On écrit l’équilibre des forçes avec une traînée non Stokienne, on isole (calcule)
le coefficient de traînée CD, et la courbe (Re)fCD
=
permet de cibler une valeur
approximative du nombre de Reynolds, donc de la viscosité effective du lait. On utilise alors la
loi de Schiller-Nauman pour affiner le nombre de Reynolds et la viscosité du lait.
Données:
- masse volumique du lait ρL = 1032 kg·m–3
- masse volumique de la bille ρB = 1050 kg·mB
–3
- rayon de la bille R = 1,0 mm
Rappels de cours :
Expression générale de la traînée d’une sphère :
DD ACUF 2
2
1
ρ = , CD = f(Re) où Re = UD/ν est le nombre de Reynolds et A = πR2
A très faible nombre de Reynolds, en traînée dite de Stokes (1845, 1851), on montre que
les forces de pression (à hauteur d’une contribution de 1/3) et de viscosité (2/3) induisent une
traînée totale égale à :
RUFD
πμ
6=, où μ est la viscosité dynamique du fluide, ce qui donne un coefficient de
traînée de
Re
24
=
D
C
Il existe ensuite des formules empiriques approchées qui donnent d'assez bons résultats,
dont celle de Schiller-Naumann (1933) (attention, valable pour Re < 800)
)Re15.01(
Re
24 687.0
+=
D
C
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