énoncé

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Spé ψ 2002-2003 Devoir n°5
ÉLECTROMAGNÉTISME
Partie I
MATERIAU MAGNETIQUE CONDUCTEUR
On considère un matériau magnétique homogène isotrope linéaire de permittivité ε0 et de per-
méabilité µ. Ce matériau est de plus conducteur , de conductivité γ. Pour les applications numériques,
on prendra
ε
π
09
1
36
10
=
.
S.I. et µ = µr.µ0 avec µ0 = 4π.10–7 S.I.
Ÿ µr = 10000 , γ = 2.106 Ω–1.m–1 pour un alliage à base de fer.
Ÿ µr = 1000, γ = 1 Ω–1.m–1 pour une ferrite.
I-1) Évaluer pour alliage à base de fer et pour une ferrite l'ordre de grandeur du rapport de la
densité volumique de courant au courant de déplacement ε∂
∂
0
r
E
t en régime sinusoïdal forcé pour une
fréquence de 1 kHz, 1 Mhz, 1 Ghz, 1012 Hz.
I-2) En déduire le domaine de fréquence pour lequel l'équation de Maxwell-Ampère peut
s'écrire
rot
 →
r
B
= µγ
r
E
. On suppose dans la suite de cette partie que cette approximation est vérifiée.
I-3) a) Montrer que ∆
r
B
= µγ ∂
∂
r
B
t
.
b) Donner un exemple dans un autre domaine de la physique d'une équation du même type.
c) Pourquoi ce type d'équation traduit-il un phénomène irréversible ? Quel est ce phénomène
dans le cas étudié et celui de votre exemple ?
I-4) On se place en régime harmonique forcé de pulsation ω. Sans chercher à résoudre l'équa-
tion vérifiée par
r
B
, montrer qu’elle fait apparaître la longueur caractéristique δµγω =2 dont on cal-
culera la valeur à 50 Hz et à 1 kHz pour l'alliage et la ferrite. Quelle conclusion pouvez-vous tirer de
ces valeurs numériques ?
Partie II
TRACE D’UN CYCLE D’HYSTERESIS
On considère un tore à
section circulaire de rayon R et
de circonférence moyenne L
avec L >> R. Ce tore est réalisé
soit en alliage à base de fer soit
en ferrite. Sur le tore sont en-
roulées N spires de résistance
négligeable parcourues par un
courant d'intensité i(t) sinusoï-
dale de pulsation ω. Pour les ap-
plications numériques, on pren-
dra N = 100 spires, L = 25 cm,
R = 1 cm, i(t) = I0cosωt, avec

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I0 = 0,25 A. Les autres valeurs numériques sont données en introduction.
II-1) Tracer l’allure du cycle d’hystérésis ||B|| en fonction de ||H||
Ÿ d’un matériau linéaire ;
Ÿ d'un matériau ferromagnétique en précisant les points particuliers et les ordres de
grandeur des valeurs numériques de l'excitation magnétique et du champ magnétique correspondant à
ces points.
II-2) Ou rappelle que L >> R et qu'alors les effets des courants induits sur les variations du
champ magnétique à l'intérieur du tore sont prépondérants.
Justifier les affirmations suivantes :
a) Le champ magnétique et l’excitation magnétique sont orthogonaux à la section de
tore représentée et ne dépendent que de r et de t. Le vecteur densité de courant dû aux phénomènes
d'induction à l’intérieur du matériau magnétique est dans le plan d'une section droite du tore et ses
lignes de courant sont sensiblement des cercles concentriques.
b) H(R, t) =
N
L
i t( )
c)
r
H
et
r
B
sont nuls à l’extérieur du tore.
En déduire les valeurs numériques de l’amplitude du champ B(r, t) et de l’amplitude Φ0 du
flux de B à travers le circuit électrique (c'est-à-dire l’ensemble des N spires) en considérant B comme
uniforme dans le tore. Que pensez-vous de ces valeurs numériques ?
II-3) a) Présenter un montage simple permettant à l’aide d'un oscilloscope de représenter le
cycle d'hystérésis du matériau constituant le tore.
b) Donner la relation littérale entre les valeurs des composants utilisés dans le montage,
les caractéristiques géométriques du tore, l'excitation magnétique H et le champ magnétique B dans le
matériau quand on suppose B et H uniformes sur la section du tore.
c) À l’aide des résultats de la question II-2, donner l’ordre de grandeur des valeurs des
composants électroniques utilisés ainsi que les réglages de l’oscilloscope (mode de balayage) pour une
fréquence de 50 Hz. Le calibre des voies est choisi égal à 0,1 V par division.
II-4) En réalité B vérifie l’équation différentielle ∂
∂
∂
∂
µγ ∂
∂
2
21B
r
r
B
r
B
t
+ =
a) On cherche B(r, t) = Re B x i t( )exp( )
ω
b
g
où Re est la partie réelle avec x
r
=
δ
et
δµγω =2. En introduisant y = α.x, où α est un nombre complexe à déterminer, montrer que
d B
dy y dB dy B
2
210+ + =
b) Justifier le fait que
d
B
dx
( )0 0= sachant que d B
dx
2
2(0)
est fini.
II-5) Le logarithme du module de
B
x
B
(
)
( )0 est représenté
ci-contre, a) Quels renseignements peut-on déduire de cette
courbe sur le champ magnétique dans le tore en fonction du rapport
R/δ ? b) Le montage envisagé permet-il de visualiser le cycle
d'hystérésis du matériau constitutif du tore pour une fréquence de

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50 Hz ? Sinon, quelle modification proposez-vous pour visualiser ce cycle d'hystérésis ?
II-6) L’étude précédente conduit à s’interroger sur la déformation du cycle observée à
l’oscilloscope. Soit la fonction à valeur complexe : h x
sB s ds
x B x
x
( )
( )
( )
=
z
2
02
En utilisant la solution de l'équation différentielle de la question II-4 a)
Ÿ On peut tracer le module |h(x)| en fonction de x.
Ÿ On peut tracer l'argument θ de h(x) en fonction de x.
a) Quelle relation relie h(R/δ), B(R, t) et le flux Φ(t) à travers le circuit électrique ?
b) Utiliser les courbes donnant h(x) et θ pour indiquer l’allure du cycle observé à l'os-
cilloscope dans le cas où le matériau est l'alliage de fer.
c) Conclure quant à la possibilité d'observer le cycle d'hystérésis caractéristique des
propriétés magnétiques du matériau.
Partie III
CHUTE D'UN AIMANT DANS UN TUYAU METALLIQUE
Un petit aimant A est lâché sans vitesse initiale du point O
(z = 0), son moment magnétique
r
M
= M
z
u
uur
est au cours du mouvement
toujours vertical et dirigé vers le bas; son abscisse au cours de la chute
est notée zA(t), l'axe Oz étant orienté suivant la verticale descendante.
Cette chute s'effectue à l'intérieur d'un tuyau métallique creux, d'épais-
seur e faible devant son rayon moyen a. La conductivité électrique du
métal est σ. Les frottements de l'air sont négligés.
L'extrémité supérieure du tuyau est placée en z = 0 et sa lon-
gueur est L.
III-1) Dans un premier temps il est commode de raisonner sur un
circuit (C) de cote z constitué par un tronçon de tuyau de hauteur dz. Un
point M de cette boucle est repéré par ses coordonnées sphériques d'ori-
gine l'aimant A et l'orientation positive du circuit est choisie suivant
+
r
u
ϕa) Expliquer qualitativement l'origine d'un courant di in-
|h(x)|
θ
(x)

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duit dans le circuit (C); prévoir son sens par la loi de Lenz et le représenter sur un dessin. Interpréter
alors l'existence d'une force de freinage s'exerçant sur l'aimant (on fera un schéma clair illustrant
l’explication). b) Le potentiel vecteur créé en un point M du circuit (C) par le dipôle magnétique est
donné par l'expression suivante où r = AM :
r
r
r
A M u
r
r
( ) =∧µ
π
02
4
M
Représenter le vecteur
A
→(M) et donner ses coordonnées sur la base sphérique en fonction de
M, a, z et zA.
c) Pour quelle raison ce potentiel est-il fonction du temps ?
En déduire l'expression suivante du champ électromoteur
E
→
m(M), en notant v =
A
dz
dt
> 0 la
vitesse de chute de l'aimant,
E
→
m(M) = −
−
+ −
3
40
2 2 5 2
µ
πϕ
M
a z z v
a z z u
A
A
( )
b
g
c h /
r
Dans la suite ce champ est supposé uniforme sur l'épaisseur e du métal (car e << a) ainsi que
sur sa hauteur dz.
d) Déterminer le courant di induit par ce champ électromoteur dans le circuit (C) (on
utilisera la loi d'Ohm locale et le flux du vecteur densité de courant
r
J
à travers une surface adéquate.)
Retrouver ce résultat par la force électromotrice induite ei et la conductance dG du circuit (C).
Le signe de di est-il conforme à la prévision faite à la question III-1-a) ?
III-2) Soit
r
F
la force exercée par le tuyau sur l'aimant et FZ sa projection sur l'axe Oz. Il est
plus simple d'évaluer son opposée FZ’ = –FZ c'est-à-dire la force exercée par l'aimant sur le tuyau.
a) Rappeler les expressions des composantes Br et Bθ du champ magnétique (en coor-
données sphériques) créé par le dipôle magnétique A au point M du circuit (C) en fonction de M, θ et
r = AM.
b) Exprimer sur la base
r
u
r et
r
u
ϕ la force d²
r
F
’ exercée par le champ de l'aimant sur un
élément dl
r
u
ϕ du circuit (C) et la représenter sur un dessin, puis la projeter sur Oz et en donner la
résultante dFZ’ pour le circuit (C) entier en fonction de M, di, a, r et θ.
c) En exprimant sinθ, cosθ et r en fonction de z et zA , montrer que FZ la composante
de la force exercée par le tuyau entier sur l'aimant, est finalement donnée par l'intégrale :
Fe a v z z dz
a z z
L
ZA
A
( )
= − −
+ −
z
98
02 3 2
2 2 5
0
µ σ π M
b
g
c h
d) Effectuer dans l'intégrale précédente le changement de variable x =
()
A
zz
a
−
et justi-
fier physiquement l'utilisation de l'intégrale : 5
²5
(1²)128
xdx
x
π
+∞
−∞ =
+
∫ sachant entre autre que a << L.
e) En déduire que la force de freinage du tuyau sur l'aimant est du type
r
F
= -α
r
v
où α
est un coefficient positif indépendant de la position zA de l'aimant. Donner l'expression de α. Com-
menter le signe – ainsi que la forme générale de la force.
f) Application numérique. L'expérience est facilement réalisable en prenant :
Ÿ pour le tuyau de cuivre : a = 3,5 mm; e = 1 mm ; L = 1 m ; σ = 5,8×107 S.m-1.
Ÿ pour l'aimant en Néodyme-Fer-Bore (en forme de petit disque de 5 mm de diamètre et
2 mm de haut), le constructeur fournit la valeur du moment dipoalire M = 3,7×10-2 A.m².
Donner la valeur numérique de α en précisant son unité.