ferromagnetisme – transformateur - exercices

FERROMAGNETISME – TRANSFORMATEUR - EXERCICES
1. Circuit magnétique avec entrefer ( Centrale 97 ) :
On considère un tore ferromagnétique de section S, le cercle moyen ayant une
longueur L avec S << L2. Le tore comporte une coupure d’épaisseur e << L (
entrefer ).
On enroule sur ce tore N spires jointives de fil de cuivre, alimentées par une source
de tension continue de valeur E, dont on néglige la résistance interne. Il circule
alors un courant I dans la bobine.
On admet que l’entrefer ne modifie pas l’allure des lignes de champ magnétique par rapport à un tore
fermé ( sans entrefer ).
Le matériau magnétique est supposé linéaire.
a) Montrer que le module du champ magnétique est le même dans l’entrefer et dans le matériau.
b) Exprimer B en fonction de N, I, L, e, µ0 et µ, perméabilité magnétique absolue du matériau magnétique.
c) On définit la perméabilité apparente µa du tore coupé, comme celle d’un tore de longueur moyenne L ne
comportant pas d’entrefer, qui avec le même bobinage parcouru par le même courant, créerait le même
champ magnétique. Calculer µa/µ0 en fonction de µ/µ0, L et e. Que devient µa/µ0 si µ/µ0  .
d) Comparer l’inductance propre du tore avec entrefer et du tore sans entrefer de perméabilité µ a ( tore
équivalent ).
AN : L = 4,5 cm ; e = 0,4 mm ; µ/µ0 = 2.103.
2. Alimentation d’une ampoule basse tension :
La plaque signalétique d’un transformateur indique ses caractéristiques nominales : 220 V / 12 V / 40 VA :
valeurs efficaces nominales de la tension d’entrée, de la tension de sortie et produit des valeurs efficaces
nominales de la tension et de l’intensité.
Ce trnsformateur est alimenté coté primaire par la tension délivrée par EDF :
e(t) = E2. cos(2ft) avec E = 220 V et f = 50 Hz.
Au secondaire, on branche une ampoule 12 V, 40 W assimilable à une résistance R.
1) Le transformateur est considéré comme parfait.
a) Déterminer le rapport de transformation m du transformateur et la résistance R de l’ampoule.
b) déterminer les expressions i1(t) et i2(t) des intensités des courants primaire et secondaire. Peut-on dire
que le transformateur est adapté au montage ?
2) En réalité, l’enroulement primaire possède une résistance R 1 = 5  et l’enroulement secondaire une
résistance R2 = 0,5 . On suppose que
ne modifie pas la tension et le courant au primaire.
a) Déterminer la valeur efficace de la tension u2(t) aux bornes de l’ampoule.
b) Déterminer la valeur numérique des pertes cuivre et le rendement du montage.
Réponses : R = 3,6  ; U2eff = 10,5 V ; PCu = 4,4 W.
3.Courants dans le modèle linéaire :
On considère un transformateur formé d’un matériau de perméabilité µ ; les bobinages primaire et
secondaire ayant des coefficients d’autoinduction L1 et L2 et un coefficient d’inductance mutuelle M.
a) Exprimer le rapport de transformation m en fonction de M et L1.
b) Quelle relation entre L1, L2 et M traduit un couplage total ?
c) Le primaire est alimenté par un générateur sinusoidale de fém :
e(t) = E.cost.
Une résistance R est placée au secondaire.
Déterminer les intensités au primaire et au secondaire, ainsi que le courant magnétisant. Peut-on avoir i1(t)
= -mi2(t) ?
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4. Étude expérimentale d’un matériau ferromagnétique ( CCP PSI 09 )
On désire tracer expérimentalement le cycle d’Hystérésis B = f(H) d’un matériau se présentant
sous la forme d’un tore sur lequel sont bobinés deux enroulements. On note R son rayon moyen et S sa
section.
Le schéma de principe du montage expérimental est le suivant
Dans les conditions expérimentales, N2.i2 << N1i1 . On ne tiendra pas compte de la résistance des
enroulements. H et B sont supposés uniformes dans le tore.
Compte tenu qu’on peut inverser (en appuyant sur la touche « invert ») une des deux voies de l’oscilloscope,
on n’attachera pas trop d’importance aux signes des coefficients de proportionnalité K 1 et K2 dans les deux
questions suivantes.
1) La relation entre i1 et H est du type H = K1i1. Établir l’expression de K1 en fonction de N1 et R.
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a) Rappeler la relation entre le flux CM à travers une section droite du circuit magnétique et la
tension v2dans la bobine 2. La relation entre vS et B est du type B = K2.vS. En déduire l’expression de K2
en fonction de , N2 et S. On admettra que vS = 0, lorsque B = 0.
b) On utilise le montage ci-contre pour réaliser l’intégrateur.
Quelles doivent être les bornes d’entrée + et – de l’amplificateur
opérationnel pour un fonctionnement en mode linéaire ? Établir
alors l’expression de  en fonction de R et de C.
3) Les composants donnent K1 = 100 S.I. et K2 = 0, 20 S.I.
On observe sur (écran de (oscilloscope la courbe ci-dessous.
En déduire l’ordre de grandeur du champ magnétique rémanent Br,
de sa valeur à saturation Bsat et de l’excitation coercitive Hc dont on
précisera les unités !
4) La ferrite présente un cycle de surface
inférieure à celle du fer ainsi qu’un champ
rémanent plus faible.
Quel est parmi ces deux matériaux celui qui
est le mieux adapté à la réalisation :
* d’un transformateur ?
* d’un aimant permanent ?
5) Sur l’oscillogramme, on évalue l’aire A du
cycle à 6 carreaux. Rappeler sous forme d’une
intégrale, l’expression de la densité volumique
d’énergie dissipée dans le matériau au cours
d’un cycle. L’évaluer numériquement dans le
cas du cycle étudié ci-dessus.
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7. Principe du disjoncteur différentiel ( CCP PSI 09 )
Un disjoncteur différentiel se compose de deux circuits électriques couplés par le circuit magnétique
précédent. La ligne électrique bifilaire EDF (230 Veff, 50 Hz qui assure le transport aller et retour du
courant) est placée au centre du circuit magnétique précédent. Une autre bobine, assimilable à un circuit
ouvert, comporte N spires enroulées autour du circuit magnétique.
4) Un usager touche accidentellement un seul des deux fils de la ligne centrale bifilaire, par exemple le
conducteur aller, en même temps que ses pieds sont reliés à la terre. Il y a alors un courant de fuite : tout
le courant véhiculé par le conducteur aller ne repart pas par le conducteur retour. Pour qu’il n’y ait pas
d’accident grave, l’intensité efficace du courant qui traverse l’usager doit être inférieure à 30 mAeff.
Expliquer en quoi ce dispositif permet-il de détecter une électrocution ?
5) La bobine précédente alimente un électroaimant qui coupe l’alimentation EDF sur seuil de tension:
Vseuil = 5 Veff. . Combien doit-elle comporter de spires pour une protection de 30 mA eff (courant maximal
admissible dans le corps de l’usager !) ?
6) En pratique, les matériaux magnétiques ne sont généralement pas linéaires, mais présentent un cycle
d’hystérésis B(H). Pourquoi les constructeurs de disjoncteurs différentiels recherchent-ils des matériaux
dB
magnétiques doux tel que
en H = 0, soit maximum ?
dH
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