CCP MP

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CCP MP
CCP 2002
Exercice 1 [ 02586 ] [correction]
I) Soit B= (e1, . . . , en)une base orthonormale d’un espace vectoriel Ede
dimension n. On note Pla matrice de u, endomorphisme, dans B.
Montrer que uest orthogonal ⇔tP P =In⇔Pest inversible et tP=P−1.
II) Soit f: [0,+∞[→Rdécroissante et continue et telle que R+∞
0f(x)dx
converge.
a) Montrer que fest positive et que ftend vers 0 en +∞.
b) ∀h > 0, montrer que h
N
P
n=1
f(nh)6RNh
0f(x)dx6h
N−1
P
n=0
f(nh).
c) Montrer que la série de terme général f(nh)converge puis que
+∞
P
n=0
f(nh)∼1
hR+∞
0f(x)dxquand h→0+.
Exercice 2 [ 02587 ] [correction]
I) Calcul de
+∞
P
n=0
n2+3n+1
2n.
II) Dessiner ρ=a(1 + cos θ)
Exercice 3 [ 02588 ] [correction]
I) Soient Eun espace euclidien et Aun sous-espace vectoriel de E.
a) Montrer que E=A⊕A⊥(indice : on admettra que toute famille orthonormale
de Epeut être complétée en une base orthonormale de E.
b) Montrer que A⊥⊥ =A.
II) On considère l’équation différentielle
(E) : t2y00(t)+4ty0(t) + (2 −t2)y(t)−1=0
a) Montrer qu’il existe une seule fonction fdéfinie sur Rdécomposable en série
entière solution de E.
b) Montrer que g(t) = −1/t2est solution de (E).
c) Quel est l’ensemble des fonction réelles définies sur Rsolutions de (E)?
Exercice 4 [ 02589 ] [correction]
I) Soit B∈ Mn(C)vérifiant ∀k∈[[1, n]], tr(Bk)=0.
a) Montrer que si Best triangulaire alors Best nilpotente.
b) Généraliser à Bquelconque.
II) Montrer que f(x) = cos xln(tan x)est sommable sur ]0, π/2[.
Calculer Rπ/2
0f(x)dx(on calculera d’abord Rπ/2 0cos xln(sin x)dx).
Exercice 5 [ 02590 ] [correction]
I) Etudier la convergence de la série Pln 1 + sin (−1)n
nα,α > 0.
II) Soit α1, . . . , αndes réels et Ala matrice de coefficient général
ai,j = sin(αi+αj).
Montrer que det A= 0.
Exercice 6 [ 02591 ] [correction]
I) Soit Aet Bdeux parties d’un espace vectoriel normé E, et
C={x+y/x ∈A, y ∈B}.
a) On suppose Aet Bcompactes ; montrer que Cest compacte.
b) On suppose Acompacte et Bfermée ; montrer que Cest fermée.
II) Soit A∈ Mn(C)admettant nvaleurs propres distinctes.
Exhiber une base du commutant de Aet trouver sa dimension.
Exercice 7 [ 02592 ] [correction]
I) Enoncer les principales propriétés du groupe Sn; montrer que son centre est
réduit à {Id}pour n>3.
II) a) Trouver une relation de récurrence concernant la suite d’intégrales
In=Rπ/4
0tannxdx.
b) Montrer que In∼1
2nen +∞.
Exercice 8 [ 02593 ] [correction]
I) Trouver les solutions développables en séries entières de l’équation différentielle
2xy00 +y0−y= 0
II) Dans un espace vectoriel de dimension finie n, trouver un endomorphisme f
tels que ker f=Imf.
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Exercice 9 [ 02594 ] [correction]
I) Calculer
lim
x→0
sh(sin x)−sin(shx)
tan(thx)−th(tan x)
Indication : on pourra faire des développements limités à l’ordre 7.
II) Soit Gun groupe multiplicatif non vide de Mn(R)d’élément neutre E.
Montrer que tous les éléments de Gsont de même rang.
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Exercice 10 [ 03527 ] [correction]
Soient θ∈Ret n∈N?. Décomposer en produit de polynômes irréductibles dans
C[X], puis dans R[X]le polynôme
P(X) = X2n−2Xncos(nθ)+1
Exercice 11 [ 03586 ] [correction]
On considère les polynômes
P= 3X4−9X3+ 7X2−3X+ 2 et Q=X4−3X3+ 3X2−3X+ 2
a) Décomposer Pet Qen facteurs premiers sur R[X]puis sur C[X](on pourra
calculer les valeurs de Pet Qen 1 en 2).
b) Déterminer les polynômes pgcd et ppcm des polynômes Pet Q.
Exercice 12 [ 03703 ] [correction]
On considère les polynômes de C[X]suivants :
P= 2X4−3X2+ 1 et Q=X3+ 3X2+ 3X+ 2
a) Décomposer Pen facteurs premiers de C[X](on pourra calculer les valeurs de
Pen 1et −1).
b) Décomposer Qen facteurs premiers de C[X](on pourra calculer la valeur de Q
en −2).
c) En déduire qu’il existe deux polynômes Uet Vtels que P U +QV = 1.
d) Indiquez une méthode pour déterminer deux polynômes Uet Vutilisant
l’algorithme d’Euclide.
Exercice 13 [ 03557 ] [correction]
On considère la fraction rationnelle
R=X5+X4
(X−2)2(X+ 1)2
a) Décomposer Ren éléments simples.
b) Déterminer les primitives de la fonction x7→ R(x)sur l’intervalle ]−1,2[.
Exercice 14 [ 03543 ] [correction]
Soient El’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K(K=Rou C) de
degrés inférieurs ou égaux à net fl’endomorphisme de Edéfini par
f(P) = P−P0
a) Démontrer que fest bijectif de deux manières :
- sans utiliser de matrice de f;
- en utilisant une matrice de f.
b) Soit Q∈E. Trouver Ptel que f(P) = Q.
Indice : si P∈E, quel est le polynôme P(n+1) ?
Exercice 15 [ 03547 ] [correction]
Soient la matrice A=1 2
2 4 et fl’endomorphisme de M2(R)défini par
f(M) = AM
a) Déterminer ker f.
b) fest-il surjectif ?
c) Trouver une base de ker fet une base de Imf.
Exercice 16 [ 03525 ] [correction]
a) Démontrer que siAet Bsont deux matrices carrées d’ordre nalors AB et BA
ont même trace.
b) En déduire qu’en dimension finie toutes les matrices d’un même
endomorphisme ont même trace.
c) Démontrer que si Aet Bsont semblables alors, pour tout k∈N,Aket Bkont
même trace.
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Exercice 17 [ 03588 ] [correction]
On note Mn(C)l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre nà coefficients
complexes. Pour A= (ai,j )16i,j6n∈ Mn(C), on pose
kAk= sup
16i,j6n|ai,j |
a) Démontrer que kABk6nkAkkBkpuis que, pour tout entier p>1,
kApk6np−1kAkp.
b) Démontrer que pour toute matrice A∈ Mn(C), la série PAp
p!est absolument
convergente. Est-elle convergente ?
Exercice 18 [ 03555 ] [correction]
Soit Φl’endomorphisme de Rn[X]défini par :
P(X)7→ P(X)−P(X−1)
Donner la matrice de Φdans la base canonique de Rn[X]et en déduire ImΦet
ker Φ.
Exercice 19 [ 03544 ] [correction]
Soient Eun espace vectoriel sur Rou Cet f,gdeux endomorphismes de Etels que
f◦g=Id
a) Démontrer que ker(g◦f) = ker f.
b) Démontrer que Im(g◦f) = Img.
c) Démontrer que E= ker f⊕Img.
Exercice 20 [ 03607 ] [correction]
Soit un entier n>1. On considère la matrice carrée d’ordre nà coefficients réels
A=
2−1 0 ··· 0
−1 2 −1....
.
.
0−1......0
.
.
.......2−1
0··· 0−1 2
Pour n>1, on désigne par Dnle déterminant de A.
a) Démontrer que
Dn+2 = 2Dn+1 −Dn
b) Déterminer Dnen fonction de n.
c) Justifier que la matrice Aest diagonalisable. Le réel 0 est-il valeur propre de A?
Exercice 21 [ 03860 ] [correction]
Soient Eun espace vectoriel de dimension nsur R,(ei)16i6nune base de Eet
v1, . . . , vndes vecteurs de E.
a) Démontrer qu’il existe un unique endomorphisme fde Etel que
∀i∈ {1,2, . . . , n},f(ei) = vi
b) On note L(E)l’espace vectoriel des endomorphismes de Eet Mn(R)l’espace
vectoriel des matrices carrées de taille nà coefficients réels. Pour tout u∈ L(E),
on pose
ϕ(u) = Mat(ei)u
la matrice de udans la base (ei).
Démontrer que l’application ϕde L(E)dans Mn(R)est linéaire et bijective.
c) Déterminer la dimension de l’espace vectoriel L(E).
Exercice 22 [ 03862 ] [correction]
Soit Eun espace vectoriel de dimension nsur R. On note L(E)l’ensemble des
endomorphismes de Eet Mn(R)l’ensemble des matrices carrées n×nà
coefficients réels. On admet que L(E)muni des lois +et ◦est un anneau, et que
Mn(R)muni des lois +et ×est un anneau.
a) Préciser l’élément neutre pour la loi ◦dans L(E)et l’élément neutre pour la loi
×dans Mn(R).
b) (ei)16i6ndésignant une base de E, on pose, pour tout u∈ L(E),
ϕ(u) = Mat(ei)u
la matrice de l’endomorphisme udans la base (ei)16i6n.
Démontrer que ϕest un isomorphisme d’anneaux de L(E)dans Mn(R).
c) Démontrer que, pour tout u∈ L(E)
Mat(ei)(u◦u◦. . . ◦u
| {z }
nfois
) = Mat(ei)un
Exercice 23 [ 03585 ] [correction]
Soit Eun espace vectoriel de dimension n.
a) Soit {e1, e2, . . . , en}une base de E.
Démontrer que pour tout i= 2,3, . . . , n,{e1+ei, e2, . . . , en}est une base de E.
b) Déterminer tous les endomorphismes de Edont la matrice est diagonale dans
toute base de E.
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Exercice 24 [ 03587 ] [correction]
Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension n.
a) Démontrer
E=Imf⊕ker f⇒Imf=Imf2
b) Démontrer
Imf=Imf2⇔ker f= ker f2
c) Démontrer
Imf=Imf2⇒E=Imf⊕ker f
Exercice 25 [ 03524 ] [correction]
N.B. : les deux questions sont indépendantes
a) Soit Eun K-espace vectoriel de dimension net soit fun endomorphisme de E.
On note L(E)l’espace des endomorphismes de E. Démontrer que, dans L(E), la
famille nIdE, f, . . . , f n2oest liée et en déduire que fadmet un polynôme
annulateur non identiquement nul.
b) Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie et λune
valeur propre de f.
Démontrer que si Pest un polynôme annulateur de falors P(λ)=0.
Exercice 26 [ 03865 ] [correction]
Soit uun endomorphisme d’un espace vectoriel Esur le corps K=Rou C. On
note K[X]l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
a) Démontrer
∀(P, Q)∈K[X]×K[X],(P Q) (u) = P(u)◦Q(u)
b) Démontrer
∀(P, Q)∈K[X]×K[X], P (u)◦Q(u) = Q(u)◦P(u)
c) Démontrer que pour tout (P, Q)∈K[X]×K[X]
(Ppolynôme annulateur de u)⇒(P Q polynôme annulateur de u)
d) Soit A=−1−2
1 2 . Ecrire le polynôme caractéristique de Aet en déduire
que le polynôme R=X4+ 2X3+X2−4Xest un polynôme annulateur de A.
Exercice 27 [ 03536 ] [correction]
Soit El’ensemble des matrices de M2(R)de la forme
M(a, b) = a b
−b a 
où aet bsont des nombres réels
a) Démontrer que Eest un sous-espace vectoriel et un sous anneau de M2(R).
Quelle est sa dimension ?
b) On pose ϕ(a+ib) = M(a, b). Démontrer que ϕest un isomorphisme d’espaces
vectoriels de Csur E,Cétant considéré comme un espace vectoriel de dimension
2 sur R.
Est-ce un isomorphisme d’anneaux ?
Exercice 28 [ 03714 ] [correction]
pdésigne un entier naturel non nul.
On considère dans Zla relation d’équivalence Rdéfinie par :
xRy⇔ ∃k∈Z, x −y=kp
On note Z/pZl’ensemble des classes d’équivalence pour cette relation R.
a) Quelle est la classe d’équivalence de 0, celle de p?
b) Donner soigneusement la définition de l’addition usuelle et de la multiplication
usuelle dans Z/pZ.
c) On admet que, muni de ces opérations, Z/pZest un anneau.
Démontrer que Z/pZest un corps si, et seulement si, pest nombre premier.
Exercice 29 [ 03599 ] [correction]
On note Snl’ensemble des permutations de l’ensemble constitué par les premiers
entiers non nuls {1,2, . . . , n}.
a) Démontrer que, muni de la loi ◦,Snest un groupe.
b) On note σl’élément de S8défini de la manière suivante :
12345678
54178623
l’image de chaque terme de la première ligne étant écrit juste en dessous.
Démontrer que la permutation σest égale à la composée de deux cycles que l’on
précisera.
c) On note σnla permutation σ◦σ◦. . . ◦σ(nfacteurs)
Déterminer σ12,σ24,σ4et σ2016.
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Exercice 30 [ 03563 ] [correction]
a) uest un endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie net I
désigne l’application identité de E.
Rappeler la définition d’une valeur propre de upuis démontrer que :
λest valeur propre de u⇔det(u−λI)=0
En déduire que uadmet au plus nvaleurs propres distinctes.
b) Trouver un endomorphisme de R2admettant comme valeurs propres 0 et 1.
Exercice 31 [ 03546 ] [correction]
Soit la matrice
M=
0a c
b0c
b−a0
où a, b, c sont des réels.
a) Mest-elle diagonalisable dans M3(R)?
b) Mest-elle diagonalisable dans M3(C)?
Exercice 32 [ 03534 ] [correction]
Soit la matrice
A=
1−1 1
−1 1 −1
1−1 1 
1. Démontrer que Aest diagonalisable de quatre manières :
a) sans calculs ;
b) en calculant directement le déterminant det(A−λI3)où I3est la matrice
identité d’ordre 3 et en déterminant les sous-espaces propres ;
c) en utilisant le théorème du rang ;
d) en calculant A2.
2. On suppose que Aest la matrice d’un endomorphisme ud’un espace euclidien
dans une base orthonormée.
a) Que peut-on dire de l’endomorphisme u?
b) Trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice de uest diagonale.
Exercice 33 [ 03550 ] [correction]
On considère la matrice
A=
1 1 a
0 2 0
0 0 a
où aest un nombre réel.
a) Quel est le rang de A? La matrice Aest-elle inversible ?
b) Aest-elle diagonalisable ?
Exercice 34 [ 03733 ] [correction]
Soit
A=
001
100
010
∈ M3(C)
a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. La matrice A
est-elle diagonalisable ?
b) Soient (a, b, c)∈C3et B=aI3+bA +cA2où I3désigne la matrice identité
d’ordre 3.
Déduire de la question a) les éléments propres de B.
Exercice 35 [ 03706 ] [correction]
On considère dans le plan vectoriel R3, la projection vectorielle fsur le plan
d’équation x+y+z= 0 parallèlement à la droite dd’équations
x
1=y 2=z 3
a) Trouver simplement une base de R3dans laquelle la matrice de fsoit diagonale.
b) En déduire la matrice de fdans la base canonique de R3.
Exercice 36 [ 03608 ] [correction]
Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel Ede dimension net soit
{e1, . . . , en}une base de E.
On suppose f(e1) = f(e2) = . . . =f(en) = voù vest un vecteur de E.
fest-il diagonalisable ? (discuter en fonction du vecteur v).
Exercice 37 [ 03605 ] [correction]
On pose
A=2 1
4−1
a) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
b) Déterminer toutes les matrices commutant avec la matrice
D=3 0
0−2
et en déduire l’ensemble des matrices qui commutent avec A.
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