Multiplication et Division - Univ

LES NOMBRES RELATIFS
OPÉRATIONS SUR
LES NOMBRES RELATIFS :
MULTIPLICATION ET DIVISION
Dossier n°3
Juin 2005
Conçu et réalisé par :
Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA
Marie-Christine LIEFOOGHE
Bruno VANBAELINGHEM
Annie VANDERSTRAELE
C.D.R.
AGRIMEDIA
LES NOMBRES RELATIFS :
- Multiplication
- Division
Apprentissage
Objectif :
- Savoir effectuer des multiplications et des divisions sur des nombres relatifs
Contenu :
- Savoir calculer le produit de deux nombres relatifs
- Savoir calculer le produit de plusieurs nombres relatifs
- Savoir diviser des nombres relatifs
- Exercices de synthèse
Pré-requis :
( voir dossier n°1 )
- Les nombres relatifs
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3
1
MULTIPLICATION DE NOMBRES RELATIFS
Chapitre 1
RAPPEL
On appelle produit, le résultat d'une multiplication.
1er exemple :
6 est le produit de 2 et 3 car 2 x 3 = 6
2 et 3 sont appelés facteurs du produit
2ème exemple :
5 x 4 x 10 = 200
200 est le produit de 5, 4 et 10
5, 4 et 10 sont les facteurs du produit
I-
PRODUIT DE DEUX NOMBRES RELATIFS
Multiplier deux nombres relatifs POSITIFS ne pose guère de problème...
Ainsi, pour multiplier par exemple ( + 7,2 ) par ( + 11 ) il faut multiplier les valeurs absolues
entre elles : 7,2 x 11 = 79,2
et donner le signe + au résultat car les 2 nombres sont positifs ;
d'où :
( + 7,2 ) x ( + 11 ) = ( + 79,2 )
La valeur absolue du produit de deux nombres relatifs est le produit des deux valeurs
absolues.
Ainsi, la valeur absolue du produit de :
( + 4 ) et ( - 3,5 ) est
14
car
4
( - 10 ) et ( - 5 )
est
50
car
10 x
5
= 50
(-8)
est
56
car
8
7
= 56
et ( + 7 )
x 3,5 = 14
x
Mais quel signe devons-nous donner au résultat ?
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3
2
Appliquons la règle des signes qui se résume par le tableau
suivant :
er
ème
Signe du 1
nombre relatif
Signe du 2
nombre relatif
Signe du
produit
+
+
+
-
-
+
+
-
-
-
+
-
Règle
Le produit de deux nombres
relatifs de même signe est
un nombre positif
Le produit de deux nombres
relatifs de signes contraires
est un nombre négatif
Reprenons les exemples précédents :
• ( + 4 ) x ( - 3,5 ) = ?
Effectuons le produit des valeurs absolues :
4 x 3,5 = 14
d'après la règle des signes :
les nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc un nombre négatif
( + 4 ) x ( - 3,5 ) = - 14
• ( - 10 ) x ( - 5 ) = ?
Effectuons le produit des valeurs absolues :
10 x 5 = 50
d'après la règle des signes :
les nombres relatifs sont de même signe, le résultat est donc un nombre positif
( - 10 ) x ( - 5 ) = + 50
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3
3
• (-8)x(+7)=?
le produit des valeurs absolues est :
8 x 7 = 56
d'après la règle des signes :
les nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc un nombre négatif
( - 8 ) x ( + 7 ) = - 56
On retiendra :
Pour obtenir le résultat du produit de 2 nombres relatifs, on commence
par multiplier les 2 valeurs absolues, puis pour trouver le signe du résultat, on
applique la règle suivante :
⌦ Le produit de 2 nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif
Exemples :
- 5 x - 2 = + 10
+ 5 x + 2 = + 10
⌦ Le produit de 2 nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif
Exemples :
- 5 x + 2 = - 10
+ 5 x - 2 = - 10
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3
4
Maintenant à vous !
Calculez :
( - 3,1 )
x
( + 7,2 )
=
(-7)
x
( - 4,3 )
=
(+1)
x
( - 4,2 )
=
(+4)
x
( + 3,42 )
=
(-7)
x
( + 8,4 )
=
(-1)
x
( - 5,1 )
=
( - 5,2 )
x
0
=
( + 3,5 )
x
( - 2,9 )
=
( - 13 )
x
( - 12 )
=
Voir réponses page suivante
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3
5
RÉPONSES
( - 3,1 )
x
( + 7,2 )
=
- 22,32
(-7)
x
( - 4,3 )
=
+ 30,1
(+1)
x
( - 4,2 )
=
- 4,2
(+4)
x ( + 3,42 )
=
+ 13,68
(-7)
x
( + 8,4 )
=
- 58,8
(-1)
x
( - 5,1 )
=
+ 5,1
( - 5,2 )
x
0
=
0
( + 3,5 )
x
( - 2,9 )
=
- 10,15
( - 13 )
x
( - 12 )
=
+ 156
Très bien !
Passons à la suite !!
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3
6
II -
PRODUIT DE PLUSIEURS NOMBRES RELATIFS
Exemples
• (-5)x(+2)x(-4)=?
Effectuons le produit des valeurs absolues :
5 x 2 x 4 = 40
puis indiquons le signe du résultat.
Nous avons vu précédemment la règle des signes à appliquer pour le produit de deux
nombres relatifs :
(
-5)x(+2)x(-4)
( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) = + 40
puis
-
-
x
+
• ( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) = ?
Effectuons le produit des valeurs absolues :
2,5 x 3 x 5,3 x 8,1 = 321,975
(
puis indiquons le signe du résultat :
- 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 )
puis :
puis :
+
x
-
-
+
( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) = - 321,975
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3
7
Remarque :
Autre méthode :
pour connaître le signe d'un produit de plusieurs facteurs,
on peut compter le nombre de signes
-
Si nous en trouvons un nombre pair ( 0 ; 2 ; 4... ) le produit est positif.
Si nous en trouvons un nombre impair ( 1 ; 3 ; 5... ) le produit est négatif.
- 2,6 ) x ( + 3,2 ) x ( - 6,8 ) = ?
Il y a deux signes -, le produit est donc positif.
Exemple 1 :
(
Il ne reste plus qu'à calculer le produit des valeurs absolues.
( - 2,6 ) x ( + 3,2 ) x ( - 6,8 ) = + 56,576
- 3,7 ) x ( - 4,5 ) x ( - 7,8 ) = ?
Il y a trois signes -, le produit est donc négatif.
Exemple 2 :
(
Il ne reste plus qu'à calculer le produit des valeurs absolues.
( - 3,7 ) x ( - 4,5 ) x ( - 7,8 ) =
- 129,87
LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n° 3
8
Maintenant à vous !
Exercice 1
Sans calculer les produits suivants, indiquez le signe de chacun d'eux après avoir compté
le nombre de signes
PRODUITS
Nombre
de
signes
Exemple :
( + 2,5 ) x ( - 5 ) x ( + 3,2 ) x ( - 12,6 )
-
Ce
Signe
nombre
du
est-il
produit
pair ou
impair ? + ou -
2
+
pair
( - 3 ) x ( + 7,4 ) x ( + 4,3 ) x ( - 7 ) x ( + 4 ) x ( - 2,5 )
( + 7,8 ) x ( + 19 ) x ( - 7,3 ) x ( - 7,2 ) x ( - 5,3 ) x ( - 17,3 )
( + 5,2 ) x ( - 6,2 ) x ( + 72 ) x ( + 3,1 ) x ( - 32 ) x ( + 23 ) x ( + 5,1 )
( + 5 ) x ( + 2,4 ) x ( - 3,3 ) x ( - 53 ) x ( - 3 ) x ( - 12 ) x ( - 0,8 )
( + 3 ) x ( + 5 ) x ( + 7 ) x ( - 8 ) x ( + 10 ) x (+ 5 )
Exercice 2
Trouvez sans opération, le signe qui manque dans les égalités suivantes :
ÉGALITÉS
Entourez le signe
manquant
Exemple : ( - 2,3 ) x ( ? 2,7 ) x ( + 56 ) = + 347,76
?=
+
ou
-
( + 32 ) x ( - 3 ) x ( - 10 ) x ( ? 2 ) = + 1 920
?=
ou
( + 125 ) x ( - 5 ) x ( ? 3,22 ) x ( + 4 ) = + 8 050
?=
+
+
ou
-
( - 8 ) x ( - 3,5 ) x ( + 0,7 ) x ( ? 1,7 ) x ( - 4 ) = - 133,28
?=
+
ou
-
( - 5,5 ) x ( - 2,1 ) x ( ? 0,12 ) x ( - 7 ) = + 9,702
?=
+
ou
-
( + 9,2 ) x ( - 1,2 ) x ( ? 8,6 ) x ( - 81 ) = - 7 690,46
?=
+
ou
-
NB
Dans l’exemple la bonne réponse est « - » car le produit est positif, il faut donc
un nombre pair de signes « - ».
Voir réponses page suivante
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9
RÉPONSES
Exercice 1
PRODUITS
Nombre
de
signes
-
Ce
Signe
nombre
du
est-il
produit
pair ou
impair ? + ou -
( - 3 ) x ( + 7,4 ) x ( + 4,3 ) x ( - 7 ) x ( + 4 ) x ( - 2,5 )
3
impair
-
( + 7,8 ) x ( + 19 ) x ( - 7,3 ) x ( - 7,2 ) x ( - 5,3 ) x ( - 17,3 )
4
pair
+
( + 5,2 ) x ( - 6,2 ) x ( + 72 ) x ( + 3,1 ) x ( - 32 ) x ( + 23 ) x ( + 5,1 )
2
pair
+
( + 5 ) x ( + 2,4 ) x ( - 3,3 ) x ( - 53 ) x ( - 3 ) x ( - 12 ) x ( - 0,8 )
5
impair
-
( + 3 ) x ( + 5 ) x ( + 7 ) x ( - 8 ) x ( + 10 ) x (+ 5 )
1
impair
-
Exercice 2
ÉGALITÉS
Entourez le signe
manquant
( + 32 ) x ( - 3 ) x ( - 10 ) x ( ? 2 ) = + 1 920
?=
+
ou
-
( + 125 ) x ( - 5 ) x ( ? 3,22 ) x ( + 4 ) = + 8 050
?=
+
ou
-
( - 8 ) x ( - 3,5 ) x ( + 0,7 ) x ( ? 1,7 ) x ( - 4 ) = - 133,28
?=
+
ou
-
( - 5,5 ) x ( - 2,1 ) x ( ? 0,12 ) x ( - 7 ) = + 9,702
?=
+
ou
-
( + 9,2 ) x ( - 1,2 ) x ( ? 8,6 ) x ( - 81 ) = - 7 690,46
?=
+
ou
-
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10
Maintenant à vous !
Calculez les produits suivants :
( - 3 ) x ( - 2 ) x ( + 10 )
=
( + 8 ) x ( - 5 ) x ( + 2,4 )
=
( + 3,1) x ( - 5,2 ) x ( - 10 )
=
( - 4 ) x ( - 2,1 ) x ( - 3,5 )
=
( + 2 ) x ( + 3,2 ) x ( - 4 )
=
( + 7 ) x ( - 5 ) x ( - 11 )
=
( - 7 ) x ( + 0,2 ) x 0
=
( - 7,2 ) x ( + 4,9 ) x ( - 3,2 )
=
( + 14,3 ) x ( - 15 ) x ( + 3 )
=
( + 3,5 ) x ( - 1,2 ) x ( + 5,2 )
=
( - 2,9 ) x ( + 5 ) x ( - 3,1 ) x ( + 5 )
=
( + 10,4 ) x ( + 3 ) x ( - 7 ) x ( - 3 )
=
( - 7,6 ) x ( - 4 ) x ( - 3 )
=
( + 2,25 ) x ( + 13 ) x ( + 7,5 ) x ( - 13 )
=
( + 4 ) x ( - 3 ) x ( - 11,5 ) x 0 x ( - 5,8 )
=
Conseil : vous pouvez relire la page 8
Voir réponses page suivante
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11
RÉPONSES
( - 3 ) x ( - 2 ) x ( + 10 )
=
+ 60
( + 8 ) x ( - 5 ) x ( + 2,4 )
=
- 96
( + 3,1 ) x ( - 5,2 ) x ( - 10 )
=
+ 161,2
( - 4 ) x ( - 2,1 ) x ( - 3,5 )
=
- 29,4
( + 2 ) x ( + 3,2 ) x ( - 4 )
=
- 25,6
( + 7 ) x ( - 5 ) x ( - 11 )
=
+ 385
( - 7 ) x ( + 0,2 ) x 0
=
0
( - 7,2 ) x ( + 4,9 ) x ( - 3,2 )
=
+ 112,896
( + 14,3 ) x ( - 15 ) x ( + 3 )
=
- 643,5
( + 3,5 ) x ( - 1,2 ) x ( + 5,2 )
=
- 21,84
( - 2,9 ) x ( + 5 ) x ( - 3,1 ) x ( + 5 )
=
+ 224,75
( + 10,4 ) x ( + 3 ) x ( - 7 ) x ( - 3 )
=
+ 655,2
( - 7,6 ) x ( - 4 ) x ( - 3 )
=
- 91,2
( + 2,25 ) x ( + 13 ) x ( + 7,5 ) x ( - 13 ) =
- 2 851,875
( + 4 ) x ( - 3 ) x ( - 11,5 ) x 0 x ( - 5,8 ) =
0
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12
Chapitre 2
DIVISION DE NOMBRES RELATIFS
Maintenant, qu’en est-il de la division de deux nombres relatifs ?
DIVISION DE DEUX NOMBRES RELATIFS
Exemple : ( - 5,4 ) ÷ ( - 4 ) = ?
on peut aussi écrire :
- 5,4
-4
= ?
Pour diviser deux nombres relatifs, nous devons diviser les valeurs absolues.
5,4 ÷ 4 = 1,35
puis appliquer la même règle des signes que pour
la multiplication.
Ici le résultat de la division est positif car les signes sont les mêmes.
( - 5,4 ) ÷ ( - 4 ) = + 1,35
- 14
Autre exemple :
- 5,4
ou :
+5
-4
= + 1,35
= ?
Divisons les valeurs absolues
14 ÷ 5 = 2,8
Appliquons la règle des signes :
les deux nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc négatif.
- 14
+5
= - 2,8
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13
Maintenant à vous !
Calculez les quotients suivants :
RAPPEL : le résultat d’une division s’appelle le QUOTIENT
(-7)÷(+8)
=
( + 14 ) ÷ ( - 3,5 )
=
( - 14 )
(-5)
(+7)÷(+4)
( + 13,188 )
( - 2,8 )
( - 31,6 )
( - 0,4 )
=
=
=
=
( + 1 472 ) ÷ ( - 0,4 ) =
( + 48,96 ) ÷ ( - 0,9 ) =
(-3)
(+8)
( - 75 )
(+5)
( + 36 )
(-9)
( + 1 ) ÷ ( + 0,5 )
=
=
=
-
+
=
Voir réponses page suivante
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14
RÉPONSES
(-7)÷(+8)
=
- 0,875
( + 14 ) ÷ ( - 3,5 )
=
-4
=
+ 2,8
=
+ 1,75
=
- 4,71
=
+ 79
( - 14 )
(-5)
(+7)÷(+4)
( + 13,188 )
( - 2,8 )
( - 31,6 )
( - 0,4 )
( + 1 472 ) ÷ ( - 0,4 ) =
- 3 680
( + 48,96 ) ÷ ( - 0,9 ) =
- 54,4
(-3)
(+8)
( - 75 )
(+5)
( + 36 )
(-9)
( + 1 ) ÷ ( + 0,5 )
=
- 0,375
=
- 15
=
-4
=
+2
-
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+
15
EXERCICES DE SYNTHÈSE
Chapitre 3
Calculez :
a)
( - 4,7 ) x ( + 12,8 ) x ( - 0,75 ) = ?
b)
( + 1,6 ) x ( - 3,2 ) ÷ ( - 2,5 ) = ?
c)
( - 15,4 ) x ( - 2 )
( + 0,8 ) x ( + 2,5 )
=?
d)
( + 7,5 ) x ( + 1,5 ) x ( - 5,2 ) ÷ ( + 9,36 ) = ?
e)
( - 3 ) x ( + 8 ) x ( - 2 ) x ( - 7 ) x ( + 1,05 ) = ?
f)
( + 30,1 ) x ( + 1,5 )
( - 5 ) x ( + 3,01 )
=?
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16
RÉPONSES
a)
( - 4,7 ) x ( + 12,8 ) x ( - 0,75 ) =
+ 45,12
b)
( + 1,6 ) x ( - 3,2 ) ÷ ( - 2,5 ) =
+ 2,048
c)
( - 15,4 ) x ( - 2 )
( + 0,8 ) x ( + 2,5 )
=
+ 30,8
+2
+ 15,4
=
d)
( + 7,5 ) x ( + 1,5 ) x ( - 5,2 ) ÷ ( + 9,36 ) =
- 6,25
e)
( - 3 ) x ( + 8 ) x ( - 2 ) x ( - 7 ) x ( + 1,05 ) =
- 352,8
f)
( + 30,1 ) x ( + 1,5 )
( - 5 ) x ( + 3,01 )
=
+ 45,15
- 15,05
=
-3
Fin
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17