Mise en orbite d`un satellite géostationnaire

Exercice à rendre le vendredi 1er avril
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Mise en orbite d’un satellite géostationnaire
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des
questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec votre cours ouvert et les exercices faits en classe à portée de main est chaudement recommandé.
Utiliser votre calculatrice ou un logiciel comme Geogebra ou Python est possible, et peut parfois vous aider.
Travailler en groupe est autorisé mais le travail de rédaction doit être individuel et le nom des personnes avec qui
vous avez travaillé doit être indiqué au début de votre copie. Les groupes doivent être raisonnables : pas plus de
trois personnes. Je rappelle aussi qu’un travail de groupe est un travail à plusieurs, et pas le travail d’une personne
recopié plusieurs fois.
On s’intéresse dans cet exercice à la mise en orbite d’un satellite géostationnaire. Dans le référentiel géocentrique,
supposé galiléen, ce satellite se déplace suivant une orbite circulaire de rayon R = RT +h, où RT est le rayon terrestre
et h l’altitude par rapport à la surface terrestre. On note m = 900 kg la masse du satellite, et on l’assimile à un
point matériel. Cet exercice sera aussi l’occasion de se rendre compte des limites du modèle du champ force central
conservatif pour décrire avec précision le mouvement des satellites.
Données :
. Rayon terrestre RT = 6,38 · 103 km ;
. Masse de la Terre MT = 5,97 · 1024 kg ;
. Constante gravitationnelle G = 6,67 · 10−11 m3 · kg−1 · s−2 ;
. Altitude de l’orbite géostationnaire : h = 3,6 · 104 km.
Tous les résultats établis en cours sur l’orbite circulaire (vitesse, période, énergie mécanique) pourront être utilisés
sans démonstration.
A - Mise en orbite directe du satellite
Intéressons-nous maintenant à la mise en orbite du satellite. Le satellite étant initialement immobile par rapport
à la Terre sur une base de lancement située à la latitude λ (λ = 0 à l’équateur et λ = ±90° au niveau des pôles), une
fusée lui fournit un travail W pour l’amener sur son orbite avec la vitesse initiale calculée précédemment.
A.1 - Déterminer dans le référentiel géocentrique l’énergie mécanique du satellite avant son lancement.
A.2 - En déduire que le travail W que la fusée doit fournir au satellite vaut
2h
RT2
GmMT
2
1+
−
cos
λ
.
W =
2(RT + h)
RT
(RT + h)2
Où doit-on placer préférentiellement la base de lancement ?
A.3 - On lit parfois que les bases de lancement (Kourou, Cap Canaveral) sont placées près de l’équateur pour des
raisons d’économie de carburant. Calculer W numériquement pour un lancement depuis l’équateur et un lancement
depuis le Nord de l’Europe (λ = 55°). Le modèle proposé par l’énoncé confirme-t-il cette explication ? Proposer une
explication alternative.
B - Passage par une orbite de transfert
En pratique, la mise en orbite est réalisée en deux temps comme représenté sur la figure 1. Le satellite est d’abord
placé sur une orbite provisoire de rayon R0 = 7500 km avant de rejoindre l’orbite géostationnaire de rayon R. Pour
cela, on le fait passer sur une orbite de transfert elliptique dont le périgée P est à la distance R0 et l’apogée A à la
distance R du centre de la Terre. Lorsque le satellite arrive à cet apogée, on le place alors sur l’orbite circulaire de
rayon R. Ces deux changements d’orbite se font grâce à un moteur placé sur le satellite. Ce processus est très bref
par rapport à la période orbitale : on considère donc que la vitesse passe instantanément et sans changer de direction
de v1 à v10 en P puis de v20 à v2 en A. Le moteur est éteint « instantanément » une fois la nouvelle vitesse atteinte.
B.1 - Calculer la vitesse v1 .
B.2 - Montrons maintenant un résultat admis en cours indiquant que pour une trajectoire elliptique de demi-grand
axe a l’énergie mécanique du satellite s’écrit
G MT m
Em = −
2a
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Étienne Thibierge, 11 mars 2016, www.etienne-thibierge.fr
Exercice à rendre le vendredi 1er avril : Mise en orbite d’un satellite géostationnaire
R
P
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
R0
O
A
Figure 1 – Schéma des différentes orbites impliquées. L’orbite provisoire et l’orbite géostationnaire sont représentées
en traits pointillés, alors que l’orbite géostationnaire est représentée en trait épais.
B.2.a - Exprimer l’énergie mécanique en fonction de ṙ et r seulement.
B.2.b - Justifier qu’à l’apogée et au périgée ṙ = 0. Déduire de l’énergie mécanique une équation du second degré
dont rA ey rP sont les deux solutions.
B.2.c - En déduire que
G MT m
rmin + rmax = −
Em
et conclure.
B.2.d - En déduire l’énergie mécanique du satellite sur chacune des trois orbites.
B.3 - Calculer la vitesse v10 après le premier transfert et la variation ∆vP = v10 − v1 . Calculer le travail WP fourni
par le moteur du satellite en ce point.
B.4 - Déterminer une relation entre v10 , v20 , R et R0 . En déduire v20 .
B.5 - Calculer la variation de vitesse ∆vA = v2 − v20 lors du second transfert, et le second travail WA fourni par le
moteur au satellite.
B.6 - Expliquer sans calcul pourquoi, dans le modèle utilisé ici, ce processus de mise en orbite géostationnaire n’est
pas plus économique que la mise en orbite directe. Pourquoi est-ce différent en réalité ?
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Étienne Thibierge, 11 mars 2016, www.etienne-thibierge.fr