Trigonométrie hyperbolique. On définit trois fonctions

MVA006 - Mathématiques
2012–2013
T. Horsin
Trigonométrie hyperbolique.
On définit trois fonctions

ex − e−x



sh : R → R, x 7→




2



ex + e−x

ch : R → R, x 7→



2




sh(x)



 th : R → R, x 7→
ch(x)
Comme ∀x ∈ R, ex > 0 alors ch(x) > 0 donc ces trois fonctions sont définies sur R.
1
On vérifie que (sh)0 = ch, (ch)0 = sh, (th)0 = 1 − th2 = 2 .
ch
La fonction ch étant > 0, sh est une fonction strictement croissante, et comme sh(0) =
1−1
= 0, sh est négative sur R− et est positive sur +∞.
2
sh est impaire comme th tandis que ch est paire.
On a lim sh(x) = lim ch(x) = +∞ tandis que dim lim+∞ th(x) = 1.
+∞
+∞
y = ch(x)
y = th(x)
y = sh(x)
Figure 1
Case 2D5000, 292 rue Saint-Martin 75141 Paris Cedex 03
Bureau 17.0.14
Tel: 0158808765, Mel: [email protected]
Conservatoire National des Arts et Métiers
Département d’Ingénierie Mathématique
La fonction ch est strictement croissante sur [0, +∞[ et comme ch(0) = 1 et lim ch(x) =
+∞
+∞, ch définit une bijection de [0, +∞[ sur [1, +∞[. La fonction réciproque argch est
strictement croissante de [1, +∞[ sur [0, +∞[.
1
On a (argch)0 (x) =
. Or on vérifie facilement que
sh(argch(x))
ch2 (x) − sh2 (x) = 1,
1
(argch)0 (x) = √
donc
x2 − 1 .
La fonction sh est strictement croissante sur ] − ∞, +∞[ et comme lim sh(x) = −∞ et
−∞
lim sh(x) = +∞, sh définit une bijection de ] − ∞, +∞[ sur ] − ∞, +∞[. La fonction
+∞
réciproque argsh est strictement croissante de ] − inf ty, +∞[ sur ] − ∞, +∞[.
1
On a (argsh)0 (x) =
. Or on vérifie facilement que
ch(argsh(x))
ch2 (x) − sh2 (x) = 1,
(argsh)0 (x) = √
1
.
donc
2
x +1
La fonction th est strictement croissante sur ] − ∞, +∞[ et comme lim sh(x) = −1
−∞
et lim sh(x) = +1, sh définit une bijection de ] − ∞, +∞[ sur ] − 1, +1[. La fonction
+∞
réciproque argth est strictement croissante de ] − 1, +1[ sur ] − ∞, +∞[.
1
On a (argth)0 (x) =
.
1 − th2 (argth(x))
1
0
(argth)
(x)
=
.
Donc
1 − x2
Déterminons une expression de argch(x) argsh(x) et argth(x).
Si y = ch(x) alors
ex + e−x = 2y soit X 2 + 1 − 2yX = 0 avec X = ex . Cette équation a un discriminant de
4y2 − 4 > 0 puisque
y ≥ 1.
p
p
On a X = y ± y2 − 1. Comme x ≥ 0 alors X ≥ 1, ce qui donne X = y + y2 − 1,
p
donc argch(y) = ln(y + y2 − 1) .
Si y = sh(x) alors
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ex − e−x = 2y soit X 2 − 1 − 2yX = 0 avec X = ex . Cette équation a un discriminant de
4y2 + 4 > 0
p
Comme X > 0, on a X = y + y2 + 1.
p
donc argsh(y) = ln(y + y2 + 1) .
Si y = th(x) alors
ex − e−x = y(ex + e−x ) soit e2x − 1 = y(e2x + 1) ou encore e2x (1 − y) = 1 + y donc
1+y
1 1+y
e2x =
, soit x = ln(
).
1−y
2 1−y
1 1+y
argth(y) = ln(
)
Donc
2 1−y .
On dipose de formules de trigonométrie.
Par exemple
e2x − e2x
ex − e−x ex + e−x
sh(2x) =
=2
.
2
2
2
e2x + e2x
ch(2x) =
= 2ch2 (x) − 1.
2
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