Bac blanc Sujet de mathématiques

Sujet de spécialité
Lycée Max Linder Terminale S
Bac blanc
Sujet de mathématiques
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Durée : heures
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en
vigueur.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment mentionné dans le
texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat doit faire figurer clairement sur la copie toute trace de recherche, même incomplète
ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Avant de commencer l’épreuve, le candidat est invité à vérifier que son sujet comporte bien 
pages, numérotées de à.
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Lycée Max Linder Terminale S
Exercice :
Partie A : Restitution organisée de connaissances
On rappelle ci-dessous le théorème de Bézout et le théorème de Gauss :
Théorème de Bézout :Deux entiers relatifs non nuls aet bsont premiers entre eux si et seulement s’il
existe deux entiers relatifs uet vtels que au +bv = 1.
Théorème de Gauss :On considère trois entiers relatifs a;bet c. Si adivise bc et si aet bsont premiers
entre eux, alors adivise c.
En utilisant le théorème de Bézout que l’on admettra, démontrer le théorème de Gauss.
Partie B : Résolution d’une équation diophantienne
On fixe un entier relatif m. On considère alors l’équation diophantienne (E) suivante
(E) : 5x−26k=m
d’inconnues les entiers relatifs xet k.
. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u;v) tel que
5u−26v= 1.
Trouver un tel couple.
. En déduire une solution particulière (x0;k0) de l’équation (E).
. Montrer que le couple (x;k) est solution de l’équation (E) si et seulement si
5(x−x0)−26(k−k0) = 0.
. Montrer que les solutions de l’équation (E) sont exactement les couples (x;k) d’entiers relatifs tels
que :
x= 26q−5m
k= 5q−moù q∈Z.
Partie C : Application
On fait correspondre à chaque lettre de l’alphabet un nombre entier comme l’indique le tableau
ci-dessous.
A B C D E F G H I J K L M
N O P Q R S T U V W X Y Z
On définit un système de codage :
•à chaque lettre de l’alphabet, on associe l’entier xcorrespondant ;
•on associe ensuite à xl’entier yqui est le reste de la division euclidienne de 5x+ 2 par 26 ;
•on associe à yla lettre correspondante.
Ainsi, par cette méthode, la lettre « M » est associée à 12, 12 est transformé en 10 et 10 correspond à la
lettre « K » : la lettre « M » est donc codée par la lettre « K » .
. Coder le mot « WEB ».
. On note xle nombre associé à une lettre de l’alphabet à l’aide du tableau initial et yle reste de la
division euclidienne de 5x+ 2 par 26.
(a) Montrer alors qu’il existe un entier relatif ktel que 5x−26k=y−2.
(b) À l’aide la partie B, en déduire que x≡10 −5ymod 26.
. Expliquer alors pourquoi la lettre « H » dans un message codé sera décodée par la lettre « B ».
Décoder le mot « HFW ».
. Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres
différentes.
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Exercice :
Pré-requis : zest un nombre complexe tel que z=a+iboù aet bsont deux nombres réels. On note zle
conjugué de ztel que z=a−ib.
. Restitution Organisée de Connaissances.
(a) Démontrer que pour tous nombres complexes zet z′,z×z′=z×z′.
(b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nnon nul et tout nombre complexe z,
zn=zn
.Application 
On considère l’équation (E) : z4=−4, où zest un nombre complexe. On admet que cette solution
admet exactement quatre solutions complexes.
(a) Démontrer que si zest une solution de l’équation (E), alors les nombres −zet zsont aussi
solutions de l’équation (E).
(b) On considère le nombre complexe z0= 1 + i.
Écrire z0sous forme exponentielle. Vérifier que le nombre z0est une solution de l’équation
(E).
(c) Déduire des questions précédentes les trois autres solutions de l’équation (E).
.Application 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O; ~u,~v ).
Les points A, B, C et D ont pour affixe respective zA= 1 + i;zB=−1 + i;zC=−1−iet zD= 1 −i.
(a) Placer les points A, B, C et D dans le repère.
(b) E est le point d’affixe zE=−1 + √3.
Démontrer que le triangle BCE est équilatéral et que −−→ CE ,−−→ CB=π
3mod 2π.
(c) F est le point d’affixe zF=−i1 + √3.
Démontrer que zA−zE
zA−zFest un nombre réel.
En déduire que les points A, E et F sont alignés.
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Exercice :
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère les fonctions fet gdéfinies pour tout nombre réel xpar f(x) = exet g(x) = 1 −e−x.
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthonormal du plan sont notées
respectivement Cfet Cg.
Dans cette partie, on admet l’existence de deux tangentes communes à ces deux courbes. On note D
l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe Cfau point A d’abscisse aet tangente à la
courbe Cgau point B d’abscisse b.
-
-
   ----
A
B
Cf
Cg
. (a) Exprimer en fonction de ale coefficient directeur de la tangente à la courbe Cfau point A.
(b) Exprimer en fonction de ble coefficient directeur de la tangente à la courbe Cgau point B.
(c) En déduire que b=−a.
. Démontrer que 2(a−1)ea+1 = 0.
Partie B
On considère la fonction ϕdéfinie sur Rpar ϕ(x) = 2(x−1)ex+1.
. (a) Déterminer les limites de la fonction ϕen −∞ et en +∞.
(b) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de la fonction ϕ, puis étudier son signe.
(c) Dresser le tableau de variations de la fonction ϕsur R. Préciser la valeur de ϕ(0).
. (a) Démontrer que l’équation ϕ(x) = 0 admet exactement deux solutions sur R.
On note αla solution négative de cette équation et βla solution positive.
(b) À l’aide de la calculatrice, donner une valeur arrondie au centième de αet de β.
Partie C
Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie
A.
On note E le point de la courbe Cfd’abscisse αet F le point de la courbe Cgd’abscisse −α,αétant le
nombre réel défini dans la partie B.
. Après avoir donné les coordonnées des points E et F, déterminer en fonction de αle coefficient
directeur de la droite (EF).
. Montrer que 1−2eα
2α= eα.
. Conclure.
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Exercice :
On effectue un sondage dans une région concernant le projet d’installation de lignes à très haute
tension (THT).
Ce projet permettra de relier cette région à la nouvelle unité de production pour l’alimentation en
électricité. On obtient les résultats suivants :
•65 % des personnes interrogées sont contre l’installation de ces lignes ;
•parmi les personnes qui sont contre cette installation, 70 % sont des écologistes ;
•parmi les personnes favorables à l’installation des lignes THT, 20 % sont des écologistes.
On note C l’événement « la personne interrogée est contre la construction », E l’événement « la
personne interrogée est écologiste » et F l’événement « la personne interrogée est contre l’installation
des lignes THT et n’est pas écologiste ».
. (a) Déterminer les probabilités P(C) ; PC(E) et PC(E).
(b) Construire un arbre pondéré décrivant la situation étudiée. Placer sur chaque branche de cet
arbre la probabilité correspondante.
. (a) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée soit contre le projet et soit écologiste.
(b) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée soit pour le projet et soit écologiste.
(c) En déduire la probabilité qu’une personne interrogée soit écologiste.
. (a) Montrer que la probabilité de l’événement F est égale à 0,195.
(b) On choisit au hasard cinq personnes parmi celles qui ont été interrogées lors du sondage.
On note X la variable aléatoire comptant le nombre de personnes qui sont contre
l’installation de lignes THT et ne sont pas écologistes.
Justifier que X suit une loi binomiale de paramètres à préciser.
(c) Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une personne qui soit contre l’installation de
lignes THT et qui ne soit pas écologiste ? On donnera la valeur exacte puis une valeur
approchée à 10−4près.
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