Bac blanc Sujet de mathématiques

Lycée Max Linder
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Terminale S
Bac blanc
Sujet de mathématiques
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Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Durée :  heures
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Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en
vigueur.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment mentionné dans le
texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat doit faire figurer clairement sur la copie toute trace de recherche, même incomplète
ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
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Avant de commencer l’épreuve, le candidat est invité à vérifier que son sujet comporte bien 
pages, numérotées de  à .
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Repère de l’épreuve : MALML
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Exercice  :
Partie A : Restitution organisée de connaissances
On rappelle ci-dessous le théorème de Bézout et le théorème de Gauss :
Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il
existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Théorème de Gauss : On considère trois entiers relatifs a ; b et c. Si a divise bc et si a et b sont premiers
entre eux, alors a divise c.
En utilisant le théorème de Bézout que l’on admettra, démontrer le théorème de Gauss.
Partie B : Résolution d’une équation diophantienne
On fixe un entier relatif m. On considère alors l’équation diophantienne (E) suivante
(E) : 5x − 26k = m
d’inconnues les entiers relatifs x et k.
. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u; v) tel que
5u − 26v = 1.
Trouver un tel couple.
. En déduire une solution particulière (x0 ; k0 ) de l’équation (E).
. Montrer que le couple (x; k) est solution de l’équation (E) si et seulement si
5(x − x0 ) − 26(k − k0 ) = 0.
. Montrer que les solutions de l’équation (E) sont exactement les couples (x; k) d’entiers relatifs tels
que :



x = 26q − 5m
où q ∈ Z.


k = 5q − m
Partie C : Application
On fait correspondre à chaque lettre de l’alphabet un nombre entier comme l’indique le tableau
ci-dessous.
A B C D E F G H I J K
L M
            
N O
P
Q
R
S
T
U V W X
Y
Z
            
On définit un système de codage :
• à chaque lettre de l’alphabet, on associe l’entier x correspondant ;
• on associe ensuite à x l’entier y qui est le reste de la division euclidienne de 5x + 2 par 26 ;
• on associe à y la lettre correspondante.
Ainsi, par cette méthode, la lettre « M » est associée à 12, 12 est transformé en 10 et 10 correspond à la
lettre « K » : la lettre « M » est donc codée par la lettre « K » .
. Coder le mot « WEB ».
. On note x le nombre associé à une lettre de l’alphabet à l’aide du tableau initial et y le reste de la
division euclidienne de 5x + 2 par 26.
(a) Montrer alors qu’il existe un entier relatif k tel que 5x − 26k = y − 2.
(b) À l’aide la partie B, en déduire que x ≡ 10 − 5y mod 26.
. Expliquer alors pourquoi la lettre « H » dans un message codé sera décodée par la lettre « B ».
Décoder le mot « HFW ».
. Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres
différentes.
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Exercice  :
Pré-requis : z est un nombre complexe tel que z = a + i b où a et b sont deux nombres réels. On note z le
conjugué de z tel que z = a − i b.
. Restitution Organisée de Connaissances.
(a) Démontrer que pour tous nombres complexes z et z ′ , z × z ′ = z × z ′ .
(b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul et tout nombre complexe z,
zn = zn
. Application 
On considère l’équation (E) : z 4 = −4, où z est un nombre complexe. On admet que cette solution
admet exactement quatre solutions complexes.
(a) Démontrer que si z est une solution de l’équation (E), alors les nombres −z et z sont aussi
solutions de l’équation (E).
(b) On considère le nombre complexe z0 = 1 + i.
Écrire z0 sous forme exponentielle. Vérifier que le nombre z0 est une solution de l’équation
(E).
(c) Déduire des questions précédentes les trois autres solutions de l’équation (E).
. Application 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u
~ , v~ ) .
Les points A, B, C et D ont pour affixe respective zA = 1 + i ; zB = −1 + i ; zC = −1 − i et zD = 1 − i.
(a) Placer les points A, B, C et D dans le repère.
√
(b) E est le point d’affixe zE = −1 + 3.
−−→ −−→
π
Démontrer que le triangle BCE est équilatéral et que CE , CB =
mod 2π.
3
√
(c) F est le point d’affixe zF = − i 1 + 3 .
z −z
Démontrer que A E est un nombre réel.
zA − zF
En déduire que les points A, E et F sont alignés.
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Exercice  :
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère les fonctions f et g définies pour tout nombre réel x par f (x) = ex et g(x) = 1 − e−x .
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthonormal du plan sont notées
respectivement Cf et Cg .
Dans cette partie, on admet l’existence de deux tangentes communes à ces deux courbes. On note D
l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe Cf au point A d’abscisse a et tangente à la
courbe Cg au point B d’abscisse b.


B

A
Cf
-
-
b
b
-
-
Cg





-
-
.
(a) Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A.
(b) Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B.
(c) En déduire que b = −a.
. Démontrer que 2(a − 1) ea +1 = 0.
Partie B
On considère la fonction ϕ définie sur R par ϕ(x) = 2(x − 1) ex +1.
.
(a) Déterminer les limites de la fonction ϕ en −∞ et en +∞.
(b) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de la fonction ϕ, puis étudier son signe.
(c) Dresser le tableau de variations de la fonction ϕ sur R. Préciser la valeur de ϕ(0).
.
(a) Démontrer que l’équation ϕ(x) = 0 admet exactement deux solutions sur R.
On note α la solution négative de cette équation et β la solution positive.
(b) À l’aide de la calculatrice, donner une valeur arrondie au centième de α et de β.
Partie C
Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie
A.
On note E le point de la courbe Cf d’abscisse α et F le point de la courbe Cg d’abscisse −α, α étant le
nombre réel défini dans la partie B.
. Après avoir donné les coordonnées des points E et F, déterminer en fonction de α le coefficient
directeur de la droite (EF).
1 − 2 eα
= eα .
. Montrer que
2α
. Conclure.
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Exercice  :
On effectue un sondage dans une région concernant le projet d’installation de lignes à très haute
tension (THT).
Ce projet permettra de relier cette région à la nouvelle unité de production pour l’alimentation en
électricité. On obtient les résultats suivants :
• 65 % des personnes interrogées sont contre l’installation de ces lignes ;
• parmi les personnes qui sont contre cette installation, 70 % sont des écologistes ;
• parmi les personnes favorables à l’installation des lignes THT, 20 % sont des écologistes.
On note C l’événement « la personne interrogée est contre la construction », E l’événement « la
personne interrogée est écologiste » et F l’événement « la personne interrogée est contre l’installation
des lignes THT et n’est pas écologiste ».
.
(a) Déterminer les probabilités P(C) ; PC (E) et PC (E).
(b) Construire un arbre pondéré décrivant la situation étudiée. Placer sur chaque branche de cet
arbre la probabilité correspondante.
.
(a) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée soit contre le projet et soit écologiste.
(b) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée soit pour le projet et soit écologiste.
(c) En déduire la probabilité qu’une personne interrogée soit écologiste.
.
(a) Montrer que la probabilité de l’événement F est égale à 0, 195.
(b) On choisit au hasard cinq personnes parmi celles qui ont été interrogées lors du sondage.
On note X la variable aléatoire comptant le nombre de personnes qui sont contre
l’installation de lignes THT et ne sont pas écologistes.
Justifier que X suit une loi binomiale de paramètres à préciser.
(c) Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une personne qui soit contre l’installation de
lignes THT et qui ne soit pas écologiste ? On donnera la valeur exacte puis une valeur
approchée à 10−4 près.
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