Applications des entiers `a diviseurs denses

ACTA ARITHMETICA
LXXXIII.3 (1998)
Applications des entiers `a diviseurs denses
par
Eric Saias (Paris)
A la m´emoire de Paul Erd˝os
1. Introduction
1a. R´esultats relatifs aux entiers `a diviseurs denses. D´esignons par
P−(n) le plus petit facteur premier de l’entier n≥2 et posons
F(n) = 1 (n= 1),
max{dP −(d) : d|n, d > 1}(n≥2).
Nous appelons entiers `a diviseurs t-denses les entiers nv´erifiant F(n)≤nt.
Nous avons choisi cette d´enomination en raison de l’identit´e
F(n)
n= max
1≤i<τ(n)
di+1(n)
di(n)(n≥2),
o`u 1 = d1(n)< . . . < dτ(n)=nd´esigne la suite croissante de tous les
diviseurs de n(voir le Lemme 2.2 de [9]).
L’objet du pr´esent travail est d’´etudier deux probl`emes distincts, le pre-
mier relatif au petit crible d’Erd˝os et Ruzsa et le second au graphe divisoriel.
Pour cela, nous sommes amen´es `a utiliser les ordres de grandeur exacts de
fonctions de r´epartition li´ees aux entiers `a diviseurs denses, que nous allons
donner maintenant.
Posons
A(x) = card{n:F(n)≤x}.
Les premiers `a ´etudier cette fonction ont ´et´e Schinzel et Szekeres qui ont
montr´e dans [8] que l’on a
A(x) = o(x) quand xtend vers +∞.
Ce r´esultat a ´et´e depuis pr´ecis´e dans un premier temps par Ruzsa [4] qui a
´etabli l’existence d’une constante c > 0 pour laquelle
1991 Mathematics Subject Classification: 11N25, 05C38, 20B99.
[225]

226 E. Saias
A(x)≤x
logcx,
puis par Tenenbaum dont les travaux [9] et [10] montrent que pour ε > 0,
x
(log x)(log log x)5/3+εεA(x)x
log xlog log x.
Enfin il r´esulte facilement de notre travail [7] que l’on a en fait (1)
(1) A(x)x
log x.
Pour les applications, nous sommes amen´es `a consid´erer des fonctions de
r´epartition plus g´en´erales. Posons
D(x, t) = card{n≤x:F(n)≤nt},
D0(x, t) = card{n≤x:F(n)≤nt et nest sans facteur carr´e}
et
A(x, t) = card A(x, t) avec A(x, t) = {n≤x:F(n)≤xt}.
Posons de plus
B(x) = card B(x)
avec
B(x) = {n≤x:n6∈ A(x, 1) et [(d|net d<n)⇒d∈ A(x, 1)]}.
Il r´esulte facilement des r´esultats de [7] que l’on a (2)
(2) D0(x, 2t)D(x, 2t)A(x, t)xlog 2t
log 2xpour x≥t≥1.
Par ailleurs, nous montrons au Lemme 6 du pr´esent travail que l’on a
(3) B(x)x
log x.
1b. Petit crible d’Erd˝os et Ruzsa. Soit Eun ensemble d’entiers stricte-
ment positifs. On d´esigne par F(x, E) le nombre d’entiers strictement posi-
tifs ≤xqui n’ont aucun diviseur dans E. Nous nous int´eressons ici au
probl`eme soulev´e par Erd˝os et Ruzsa de l’estimation asymptotique de la
quantit´e
H(x) = min F(x, E)
(1) Pour une preuve compl`ete de cette estimation, voir la note (2) o`u la formule plus
g´en´erale (2) est ´etablie.
(2) Les estimations de A(x, t) pour x≥t≥2 et de D(x, 2t) et D0(x, 2t) pour x≥
2t≥2 r´esultent directement du Th´eor`eme 1 de [7]. De plus, quand x≥4 et 1 ≤t < 2,
on estime A(x, t) en se ramenant au cas g´en´eral par l’interm´ediaire de l’encadrement
A(x/2,2t)≤A(x, t)≤A(x, 2t). Par ailleurs, quand x≥2 et 1 ≤t≤x < 2t, on
estime D(x, t) et D0(x, t) en se ramenant au cas g´en´eral par l’interm´ediaire des formules
D(x, 2t) = D(x, x) et D0(x, 2t) = D0(x, x). Enfin, les estimations annonc´ees sont triviales
quand xreste born´e.

Applications des entiers `a diviseurs denses 227
o`u le minimum porte sur les ensembles Ev´erifiant les conditions
X
e∈E
1
e≤1 et 1 6∈ E.
Dans [4], Ruzsa montre comment d´eduire de mani`ere ´el´ementaire du
th´eor`eme des nombres premiers la minoration
(4) H(x)x/log x.
Le travail de Ruzsa permet ´egalement de majorer H(x) en fonction de A(x)
par l’interm´ediaire de la formule suivante (3) :
(5) H(x)≤A(x)(1 + 3 log(2x/A(x))) + √x.
Ruzsa conjecture de plus que l’on peut am´eliorer un certain lemme (voir
dans [4] le Lemme 2.8 et la conjecture juste avant le Lemme 2.10) de telle
mani`ere `a obtenir H(x)A(x) au lieu de (5), ce qui ´etablirait avec (1) et
(4) que
(6) H(x)x
log x.
Nous ne savons pas d´emontrer ou infirmer la conjecture de Ruzsa. Cepen-
dant, nous montrons ici que l’on a bien (6). En effet, `a l’aide d’une variante
de l’argumentation qui m`ene `a (5), on obtient (voir le Lemme 10)
H(x)≤max(A(x), B(x) + √x),
les estimations (1), (3) et (4) permettant alors de conclure. On a donc le
Th´ eor` eme 1. Il existe deux constantes strictement positives c1et c2
telles que pour x≥2, on ait
c1
x
log x≤H(x)≤c2
x
log x.
Nous concluons ce chapitre par deux remarques.
Remarque 1. Signalons qu’il r´esulte facilement du pr´esent travail que
X
b∈B(x)
1
b= 1 + O1 log x.
Cela ´etant, on ne sait pas si pour tout x≥2 on a Pb∈B(x)1/b < 1, comme
semble l’indiquer les calculs effectifs des ensembles B(x) pour les petits x.
Il est `a noter qu’en cas de r´eponse positive `a cette derni`ere question, la
(3) Montrons la formule (5). Si Pb∈B(x)1/b ≤1, on a directement H(x)≤F(x, B(x))
=A(x). Sinon on note B0(x) une partie maximale de B(x) telle que Pb∈B0(x)1/b ≤1.
On a alors H(x)≤F(x, B0(x)) ≤F(x, B(x)) + xPb∈B(x)\B0(x)1/b =A(x) + S−S0
avec S:= xPb∈B(x)1/b ≤x+ 3A(x) log(2x/A(x)) d’apr`es le Lemme 7.1 de [9], et S0:=
xPb∈B0(x)1/b > x −√xcar tous les entiers de B(x) sont >√x.

228 E. Saias
d´emonstration de la majoration de H(x) du Th´eor`eme 1 s’obtiendrait alors
encore plus simplement en ´ecrivant
H(x)≤F(x, B(x)) = A(x)x/log x.
Remarque 2. On s’int´eresse ici au probl`eme d’obtenir rapidement une
minoration de A(x). En interpr´etant la formule (5) comme une minoration
de A(x) en fonction de H(x), on obtient en combinant (5) et (4) la formule
A(x)x
(log x) log log x,
qui est de qualit´e l´eg`erement inf´erieure `a ce que l’on a obtenu dans [7] (voir
la formule (1) ci-dessus). Cependant, il est int´eressant de noter que l’on
obtient ainsi une minoration de A(x) qui `a un facteur log log xpr`es est
optimale, et cela diff´eremment et plus rapidement que dans [10] ou [7].
1c. Etude du graphe divisoriel . Soit f(x) le nombre maximum d’entiers
strictement positifs n1, . . . , nf(x)deux `a deux distincts, inf´erieurs `a xet
tels que pour tout i,nidivise ni+1 ou ni+1 divise ni. Soit g(x) le nombre
maximum d’entiers strictement positifs n1, . . . , ng(x)deux `a deux distincts,
inf´erieurs `a xet v´erifiant [ni, ni+1]≤xpour tout i. On note que l’on a
trivialement f(x)≤g(x).
Le premier r´esultat concernant la fonction g(x) est dˆu `a Erd˝os, Freud
et Hegyv´ari. Dans [1] (Theorem 3 et d´emonstration du Theorem 4), ils ont
d´emontr´e implicitement que l’on a pour une certaine constante c > 0,
x
exp(c√log xlog log x)≤g(x)≤(1 −log 2 + o(1))x(x→+∞).
En r´epondant ainsi `a une question de Hegyv´ari, Pomerance [3] a am´elior´e
la majoration en
g(x) = o(x) (x→+∞).
Pour sa part, Pollington [2] a ´etabli la minoration
f(x)≥x
exp((2 + o(1))p(log x) log log x)(x→+∞).
Dans [10], Tenenbaum ´eclaire d’un jour nouveau le probl`eme de l’estima-
tion asymptotique des fonctions f(x) et g(x) en montrant le lien qui existe
entre celui-ci et la r´epartition des entiers `a diviseurs denses. Plus pr´ecis´e-
ment, il montre que pour xassez grand, on a
(7) D0(x/4,2) ≤f(x)≤g(x)≤2D(x, log5x).
En utilisant (2), on en d´eduit que
x
log xf(x)≤g(x)x log xlog log x.

Applications des entiers `a diviseurs denses 229
Dans [5], nous nous sommes int´eress´es `a la variante suivante de la fonc-
tion f(x). Soit f∗(x) le nombre maximum d’entiers deux `a deux distincts
de l’intervalle [√x, x], n1, . . . , nf∗(x), tels que pour tout i,nidivise ni+1 ou
ni+1 divise ni. (Notons que l’on a trivialement f(x)≥f∗(x).) En combi-
nant le r´esultat d´emontr´e `a la Proposition de [5] et la formule (2) du pr´esent
travail, on obtient
(8) f∗(x)x
log x.
Nous montrons ici que l’ordre de grandeur exact des trois fonctions f∗(x),
f(x) et g(x) est x/log x.
Th´ eor` eme 2. Il existe deux constantes strictement positives c3et c4
telles que pour x≥2, on ait
(9) c3
x
log x≤f∗(x)≤f(x)≤g(x)≤c4
x
log x.
Donnons la d´emarche g´en´erale des d´emonstrations des majorations de
(7) et (9). D´esignons par (ni) une suite d’entiers ≤x, deux `a deux dis-
tincts et v´erifiant [ni, ni+1]≤x. Dans [10], Tenenbaum montre que si t
est suffisamment grand, il y a tr`es peu d’entiers niqui n’appartiennent pas
`a A(x, t). De mani`ere quantitative, on obtient rapidement en suivant sa
m´ethode (cf. Lemme 12)
card{i:ni6∈ A(x, t)}  x(log x)/t,
d’o`u, en choisissant t= log2x,
g(x)A(x, log2x) + x/log x,
ce qui est essentiellement ´equivalent `a la majoration de (7).
Notre contribution est ici de montrer que par une analyse plus appro-
fondie de la structure des suites (ni), on obtient
card{i:ni6∈ A(x, 1)}  x/log x,
d’o`u
g(x)A(x, 1) + x/log xx/log x.
La motivation initiale d’Erd˝os, Freud et Hegyv´ari [1] est l’´etude du com-
portement asymptotique du p.p.c.m. de aiet ai+1 o`u (ai)i≥1est une per-
mutation de N∗. En effet, les deux probl`emes sont li´es par l’interm´ediaire
de la formule
g( max
1≤i≤j[ai, ai+1]) ≥j+ 1.
La majoration de g(x) du Th´eor`eme 2 nous permet donc d’en d´eduire le
r´esultat suivant, qui pr´ecise la minoration d’Erd˝os, Freud et Hegyv´ari cor-
respondante ([1], Theorem 4).