Un cours (M. Gastineau)
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5ème4 2009-2010 Chapitre n°6 : « Le parallélogramme » I. L'essentiel 1/ Rappels a. Droites parallèles Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes. b. Quadrilatère Un quadrilatère est une figure fermée constituée de quatre segments appelés côtés. Vocabulaire • A , B , C et D sont les sommets. • • [ AB ] , [ BC ] , [ CD ] et [ DA ] sont les côtés. • Noms possibles : ABCD , BADC , CDAB … • Côtés opposés : [ AD ] et [ BC ] ; [ AB ] et [ DC ] • Côtés consécutifs : [ BA ] et [ AD ] ; [ DC ] et [ CB ] … • Diagonales : [ AC ] et [ BD ] . DAB et DCB . • Angles opposés : 2/ A savoir parfaitement ! Définition Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Construction à la règle et à l'équerre On a construit deux paires de droites parallèles : • d 1 // d 2 • d 1 ' // d 2 ' Ces quatre droites forment quatre points : A , B , C et D . ABCD est un parallélogramme. 5ème4 2009-2010 Construction à la règle et au compas • On suppose les points A , B et C déjà placés. On veut construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. • On prend l'écartement entre A et B et on pointe sur C pour former un premier arc de cercle. • On prend l'écartement entre B et C et on pointe sur A pour former un deuxième arc de cercle. • On place le point D puis on trace le parallélogramme ABCD . Autre exemple A , B et C sont trois points quelconques. Construis le point D tel que BACD soit un parallélogramme. II. Propriétés 1/ Sur les côtés Propriété Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur. Figure pour illustrer. Les côtés opposés sont : • [ IJ ] et [ LK ] • [ LI ] et [ KJ ] . Donc IJ =LK et IL= JK . 2/ Sur les diagonales Rappels • A et A' sont symétriques par rapport à un point O si O est le milieu du segment [ AA' ] . • On rappelle aussi qu'un centre de symétrie est un point autour duquel la figure peut effectuer un demi-tour puis revenir à sa place initiale (voir page 156) Définition Le centre d'un parallélogramme est l'intersection des diagonales 5ème4 2009-2010 Activité On considère un parallélogramme ABCD de centre O . Il semble que les longueurs OB et OC soient égales. De même pour les DO et OA . Il semble donc que O soit le milieu des diagonales. Propriétés • Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. • Le centre du parallélogramme est aussi le centre de symétrie. Exemple • Les parallélogrammes sont : ABFE ; ADEC . • Dans ABFE les longueurs égales sont : AB=EF AE= BF AH =HF EH = HB • Dans ADEC les longueurs égales sont : DG =GC AG= EG AD=CE DE =CA 3/ Sur les angles Propriétés Dans un parallélogramme, les angles opposés sont de même mesure. Exemple Dans le parallélogramme ci-contre, on a : CBA=C DA • • BCD= BAD 5ème4 2009-2010 Propriété Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires. Exemple CBA BAD=14535=180 . On a Rappels • Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme fait 180°. • Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme fait 90°. III. Constructions de parallélogramme (exemples) Méthode générale • On fait une figure à main levée la plus réaliste possible. • On élabore une stratégie de construction. • On fait la figure aux instruments. Exemple 1 DAB=60° . AB=5 cm Construire un parallélogramme ABCD tel que AD= 4 cm et • Figure à main levée : C D 4 cm 60° A 5 cm B • Je trace AD= 4 cm ; je fais un angle à 60° ; je trace AB=5 cm . Pour construire le point C , j'utilise le compas. (é che lle 1/2) 5ème4 2009-2010 Exemple 2 Construire le parallélogramme IJKL tel que IJ=3,5 cm ; JK =4,7 cm et IK =2,8 cm • A main levée 3,5 cm I 4,7 cm 2,8 cm L J K • Avec les instruments Exemple 3 FOG =35° Construire un parallélogramme EFGH tel que FH =9 cm et EG=5 cm . • A main levée E 5c 9 cm m F 35° O H G • Aux instruments (é che lle 1/2) IV. Propriétés réciproques Propriété caractéristique n°1 Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors c'est un parallélogramme. 5ème4 2009-2010 Application C'est la construction au compas vue au début du chapitre. On a construit le parallélogramme ABCD tel que AB=CD et BC =AD Propriété caractéristique n°2 Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure alors c'est un parallélogramme. Propriété caractéristique n°3 Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme.
