Moyenne de fonctions arithmétiques : l`approche analytique — Une

DRAFT
Moyenne de fonctions
arithmétiques :
l’approche analytique
—
Une introduction
agrémentée d’exercices
—
Cours donnés à l’université de
Nouakchott
—
Nouakchott
21 Octobre / 30 Octobre 2013
—
Olivier Ramaré
8 octobre 2013

DRAFT
2
8 octobre 2013 Version 1

DRAFT
Introduction
Ce cours portera surtout sur les valeurs moyennes de fonctions arithmétiques
et se poursuivra par une introduction au crible de Montgomery et des applica-
tions.
Les fonctions arithmétiques sont très souvent mal connues, et possèdent un
comportement qui semble irrégulier et sans cohérence. Regardons par exemple
la fonction
f0(n) = Y
p|n
(p−2).(0.1)
Si la suite de ses valeurs semble très erratique, de la régularité apparaît lorsque
l’on considère des sommes Pn≥1f0(n)F(n/X)pour des fonctions suffisamment
régulières et petites au voisinage de l’infini F. Nous allons par exemple démon-
trer que
Théorème A
Soit Xun réel positif. Nous avons
X
n≥1
f0(n)e−n/X =C0X2+O(X7/4)
où la constante C0est donnée par
C0=Y
p≥21−3
p(p+ 1)= 0.29262 ···
Remarquons que dans cet énoncé et de façon systématique dans la suite, la
lettre pdésigne un nombre premier.
Le fait de considérer simultanément de nombreuses valeurs de f0(n)a pour
effet de dissimuler certaines valeurs aberrantes prises par la fonction considérée.
Nous considérons ensuite la fonction f1définie par :
f1(n) = Y
p|n
p+ 1
p+ 2.(0.2)
Nous montrerons que

DRAFT
2
Théorème B
Soit Xun réel positif. Nous avons
X
n≤X
f1(n)1−n
X=1
2C1X+O(X1/4)
où la constante C1est donnée par
C1=Y
p≥21−1
p(p+ 2)= 0.8166 ···
Et nous montrerons finalement les deux résultats suivants.
Théorème C
Soit Xun réel positif. Nous avons
X
n≤X
f0(n) = C0X2+O(X11/8)
où la constante C0est donnée ci-dessus.
Théorème D
Soit Xun réel positif. Nous avons
X
n≤X
f1(n) = C1X+O(X3/8)
où la constante C1est donnée ci-dessus.
Le lecteur pourra consulter les livres (Apostol, 1976) ou (Ellison, 1975).
Les livres (Bombieri, 1987/1974) et (Halberstam & Richert, 1974) sont deux
autres références incontournables. D’autres très bons livres : (Vinogradov, 1954),
(Davenport, 2000), (Montgomery & Vaughan, 2006) et (Bordellès, 2012).
Contenu
Nous présentons ci-après le déroulement prévu du cours. Il faut noter que
le chapitre 4 est un supplément qui ne fera pas partie du cours. De même la
section 8.3 ne fera probablement pas partie du cours.
8 octobre 2013 Version 1

DRAFT
3
Calendrier :
Lundi 21/10 – 9h30/13h30 Introduction, bestiaire, produit de convolution et multiplicativité.
(a) Introduction : régularité en moyenne. Fonctions multiplicatives. Bestiaire.
(b) Multiplicativité de la fonction de diviseurs. Convolution de fonctions mul-
tiplicatives.
(c) Multiplicativité du produit droit.
(d) Fonction ζde Riemann, abscisse de convergence absolue, unicité des coef-
ficients de Dirichlet.
Mardi 22/10 – 9h30/13h30 Séries de Dirichlet
(a) Abscisse de convergence absolue,
(b) Séries de Dirichlet et produit de convolution,
(c) La fonction zeta de Riemann.
(d) Série de Dirichlet et multiplicativité.
Mercredi 23/10 – 9h30/13h30 Problème de taille.
(a) Majoration à la Tchebychev,
(b) (Majoration de l’) Ordre maximal de la fonction de diviseurs,
(c) Diverses applications.
Jeudi 24/10 – 10h00/12h00 Devoir surveillé sur les fonctions multiplicatives.
Jeudi 25/10 – 12h30/13h30 Questions et préparation des devoirs à la maison.
Vendredi 26/10 Jour férié.
Samedi 27/10 – 9h30/13h30 Transformées de Mellin
(a) Quelques transformées de Mellin,
(b) Quelques formules de sommation,
(c) Prolongement de la fonction zeta de Riemann au demi-plan <s > 0,
(d) Majorations de la fonction zeta de Riemann au demi-plan <s > 0.
Dimanche 28/10 – 9h30/13h30 Preuve du théorème A. Exemples du chapitre 7.
Lundi 29/10 – 9h30/13h30 Preuve du théorème B. Le symbole de Legendre et sa série de Dirichlet.
Mardi 30/10 – 9h30/13h30 Élimination du lissage et preuve du théorème C.
Mercredi 31/10 – 10h00/12h00 Examen final
Mercredi 31/10 – 12h30/14h00 Questions sur les devoirs à maison.
Le cours de Nouakchott, 2013 8 octobre 2013