Leçon G1 Triangles rectangles

G.1
Triangles rectangles
I)
Calculs de longueurs
Si, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deux côtés, alors on peut calculer la longueur du 3ème
grâce au théorème de Pythagore.
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 2,5 cm ; AC = 2 cm. Calculer AB.
Rédaction :
Le triangle ABC est rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore, BC2 = AB2 + AC2
2,52 = AB2 + 22
6,25 = AB2 + 4
AB2 = 6,25 – 4
AB2 = 2,25
AB = 2,25
AB = 1,5 cm
Si, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur d’un côté et un angle, alors on peut calculer la longueur
des autres côtés grâce au cosinus.
Exemple :
Calculer ST (donner l’arrondi au dixième de cm)
Rédaction : Dans le triangle STP rectangle en S,
ST
cos STP =
TP
ST
cos 40° =
12
donc ST = 12  cos 40°
SP  9,2 cm (arrondi au dixième de cm).
Bien vérifier que la calculatrice est en mode degré D
II)
Calculs d’angles
Si, dans un triangle rectangle, on connaît la longueur de deux côtés, alors on peut calculer les angles grâce au
cosinus.
Exemple :
Construire un triangle DEF rectangle en D tel que DF = 8 cm et EF = 10 cm.
Calculer DFE (donner la troncature au dixième de degré)
Rédaction :
Dans le triangle DEF rectangle en D,
DF
cos DFE =
EF
8
cos DFE =
10
DFE  36,9°
Bien vérifier que la calculatrice est en mode degré D et taper SECONDE cos (8  10) EXE
cos–1
III)
Est-ce qu’un triangle est rectangle ?
a) Propriété du triangle inscrit dans un cercle
Propriété :
Si un triangle est inscrit dans un cercle et si un côté du triangle est un diamètre du cercle
alors ce triangle est rectangle et le diamètre est son hypoténuse.
Rédaction :
Le triangle ABH est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] donc le triangle ABH est
rectangle en H.
Autre formulation :
Si dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d’un diamètre et un point
de ce cercle alors il est rectangle en ce point.
Rédaction :
H est un point du cercle de diamètre [AB]
donc le triangle ABH est rectangle en H.
b) Connaissance des longueurs des trois côtés
Exemple 1 :
Soit ABC un triangle tel que AB = 3,6 cm, BC = 6 cm et CA = 4,8 cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, préciser son angle droit.
Rédaction :
BC2 = 62 = 36
AB2 + CA2 = 3,62 + 4,82 = 12,96 + 23,04 = 36
BC2 = AB2 + CA2
donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle ABC est rectangle en A.
Exemple 2 :
ABC est un triangle tel que AB = 6 cm, CB = 3 cm et AC = 5 cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ?
Rédaction :
AB2 = 62 = 36
AC2 + CB2 = 52 + 32 = 25 + 9 = 34
AB2  AC2 + CB2
donc le triangle ABC n’est pas rectangle.