Chapitre 4 : Groupes

Chapitre4
Introduction aux groupes
ID´efinition et premiers exemples
D´efinition I.1 Un groupeestun ensemble Gmuni d’uneloi decomposition not´ee ∗
G×G→G
(g1,g2)7→ g1∗g2
telle que
1. La loi ∗estassociative :(g1∗g2)∗g3=g1∗(g2∗g3), ∀g1,g2,g3∈G,
2. La loi ∗un ´el´ementneutre e∈G,c’est `a dire un ´el´ementequiv´erifie e∗g=g∗e=g,∀g∈G,
3. Quelquesoit g∈Gil existe g′∈Gtel que g∗g′=g′∗g=e.
On le note (G, ∗). Lorsquela loi ∗estcommutative(g1∗g2=g2∗g1,∀g1,g2∈G)on dit queGest
ab´elien ou commutatif.Dansce cas, la loi est souventnot´ee de mani`ereadditive:+.
Lorsquele groupeGestfinietcontientn´el´ements, on ditque Gestd’ordrenet note |G|=n.
Exemple I.2 –(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+) sontdes groupes ab´eliensd’´el´ementneutre 0.
–(Q\{0},×), (R\{0},×), (C\{0},×)sontdes groupes ab´eliens d’´el´ementneutre 1, (Z\{0},×)n’est
pas un groupecar par exemple 2n’a pas d’inversedans Z: il n’existe pas n∈Ztel que2×n=1,
(R,×)n’est pas un groupe car il n’existe pas x∈Rtel que x×0=1.
–SoitEun ensemble. L’ensemble desautomorphismesdeE,c’est`a direl’ensemble Aut(E)={f:
E→E,fbijective},munidelaloi de composition des applications estun groupedontle neutre est
l’application identit´esur Eet qui eng´en´eral estnon ab´elien. Par exemple,consid´erons E={1,2,3}
et pourg,f:E→Ed´efinies par :
f(1) =2,g(1) =1,
f(2) =1,g(2) =3,
f(3) =3,g(3) =2.
Alorsfet gsontdes bijections et f◦g6=g◦fcar f◦g(1) =f(1) =2etg◦f(1) =g(2) =3.
–Soitn∈N∗alors(Z/nZ,+) est un groupeab´elien.Par contre(Z/nZ\ {0},×)est un groupesi et
seulementsinestun nombre premier. En effet, l’´el´ementneutrede Z/nZpour la multiplication est
1car 1·a=1a=aquelquesoit a∈Z/nZ.
Pourque Z/nZsoit un groupeil fautet il suffitquetout ´el´ementa∈Z/nZ\{0}admette un inverse,
c’est `a dire qu’il existe b∈Z/nZtel que ab=1. Donc, d’apr`es la proposition VI.4 du chapitre
pr´ec´edent, il fautque a∧n=1pour touta=1, . . . , n−1. Ainsindoitˆetrepremier.
Proposition I.3Soit (G, ∗)un groupe.Alors l’´el´ementneutre de Gestunique.
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Preuve :Soiteet e′´el´ements de Gdeux´el´ements neutredeG.Alors,comme eestun ´el´ementneutre,
on a:
e∗e′=e′.
Maiscomme e′estaussi un ´el´ementneutrede G,on aaussi :
e∗e′=e
et donc e=e′.2
Proposition I.4Soit (G, ∗)un groupe, eson ´el´ementneutre. Alors quel quesoit g∈G, il existe un
uniqueg′∈Gtel que
g∗g′=g′∗g=e.
D´efinition I.5 Soit (G, ∗)un groupeet g∈G.L’unique ´el´ementg′∈Gtel queg′∗g=g∗g′=e
s’appelle l’inverse de g.On le note g−1.Lorsque legroupe est ab´elien etquela loi estnot´ee demani`ere
additive,on note g´en´eralementl’inverse de gpar −g.
Preuve de la propositionI.4:Soitg′et g′dansGtel que g′∗g=g∗g′=eet g′′ ∗g=g∗g′′ =e.
Comme laloi ∗estassociativeon aalors
g′∗g∗g′′ =(g′∗g)∗g′′ =e∗g′′ =g′′
et
g′∗g∗g′′ =g′∗(g∗g′′ )=g′∗e=g′
d’o`ug′=g′′ .2
Proposition I.6Soit (G, ∗)un groupe,eson ´el´ementneutre. Alors e−1=e
Preuve :Eneffet,e∗e=e∗e=e,donce=e−1.2
Proposition I.7Soit (G, ∗)un groupeet g∈G.Alors(g−1)−1=g.
Preuve :Soit el’´el´ementneutre deG.Alorsg−1∗g=g∗g−1=eet donc (g−1)−1=g.2
II Sous groupes
D´efinition II.1Soit (G, ∗)un groupeet Hune partie deG.On dit que Hestun sous-groupede Gsi
1. H6=∅,
2. Heststable par la loi ∗,c’est `a dire ∀h, h′∈H,h∗h′appartientencore `a H.
3. Heststable pourl’inversion, c’est `a dire ∀h∈H,h−1appartientencore `a H.
Exemple II.2 1. Soitn∈N.AlorsnZestun sousgroupede Z.
2. SoitU={z∈C,|z|=1}.Alors (U,·)est un sous groupede(C,·).
Proposition II.3Soit (G, ∗)un groupe, eson ´el´ementneutre etHun sous groupede G.Alorse
appartient`a H.
Preuve :Soith∈H(comme H6=∅,hexiste). h−1appartient`a Hcar Heststable par l’inversion et
comme het h−1appartiennent`a Het que Heststable par la loi ∗,h∗h−1=eappartient`a H.2
Proposition II.4Soit (G, ∗)un groupeet Hun sousgroupede G.Alors(H,∗)est un groupe.
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Preuve :En effet,H6=∅par hypoth`ese. L’´el´ementneutreede Gappartient`a Hd’apr`eslaproposition
pr´ec´edente etquel quesoit h∈H,h∗e=e∗h=hcar happartient`a G.D’autre part, si gappartient`a
H,alors g−1,l’inversedegdansGappartient`a Hcar Heststable par l’inversion donc gaun inverse
dansH.2
Proposition II.5Soit (G, ∗)un groupeet Hunepartie de G.Alors Hestun sousgroupede Gsi et
seulementsi
1. H6=∅,
2. ∀h, h′∈H,h′∗h−1appartientencore `a H.
Preuve :⇒)On supposeque HEst un sousgroupe.AlorsH6=∅parhypoth`ese.De plus,quels que
soienth, h′∈H,h′−1appartientencore`a Hcar Heststablepour l’inversion etcommehet h′−1
appartiennent`a H,alorsh∗h′−1appartientencore `a Hcar Heststable pourla multiplication.
⇐)On note ele neutre de G.Soithappartenant`a H.Alorsh∗h−1=eappartient`a H.
MontronsqueHeststablepour l’inversion.Soit h∈H.Alors commeeet hsontdes ´el´ementsdeH,
e∗h−1=h−1appartient`a H.
MontronsmaintenantqueHeststablepar la loi ∗.Soit h, h′∈H.Comme Heststablepourl’inversion,
h′−1appartient`a H.Ainsi, commeh′−1et happartiennent`a Het que(h′−1)−1=h′,h∗h′=
h∗(h′−1)−1appartient`a H.2
Proposition II.6Soit (G, ∗)un groupe,H1, . . . , Hndes sous groupes de G.Alors ∩n
i=1Hiestun sous
groupede G.
Preuve :L’intersection ∩n
i=1Hiestnon vide car pourtouti,eappartient`a Hidonceappartient`a
∩n
i=1Hi.
Soienta, b∈ ∩n
i=1Hi.Alors pourtout i,a∗b−1appartient`a Hicar Hiestun sousgroupeet donc
a∗b−1appartient`a ∩n
i=1Hi.2
Remarque II.7 En g´en´eral, la r´eunion de deux sous groupes n’est pas un sous groupe. Par exemple,
2Zet 3Zsontdes sousgroupesde (Z,+) mais 2Z∪3Z, l’ensemble desmultiples de2ou de 3, n’est
pas un sousgroupedeZcar 2et3appartiennent`a 2Z∪3Zmais 5=2+3n’appartientpas `a 2Z∪3Z
puisque 5n’estni un multiple de2, niun multiple de3.
Exemple II.8 (Les sous-groupes de Z)D´eterminonstouslessous groupes de Z.Remarquonsd´ej`a
quequelquesoit n∈N,nZet un sous groupedeZ.En effet:
–nZ6=∅car 0=n·0appartient`a nZ.
–Soita, b∈nZ.Alors il existe α,β∈Ztels que a=αnet b=βn.Ainsi, a−b=n(α−β)appartient
`a nZ.
Montronsque tous les sousgroupes deZsontde cette forme.
SoitGun sousgroupede Z.Si G={0}, il n’yarien`a faire, G=0Z.Sinon, il existe a∈Gtel que
a>0. En effet, G6={0}donc il existe a∈G.Soit a>0et il n’y arien `a faire, soit a<0, alors −a,
l’inversede aappartient`a Get −a>0.
Soitnle pluspetit ´el´ementde l’ensemble {a∈G, a>0}.Montronsque G=nZ.
Soita∈nZ.Il existe k∈Ztel que a=kn.
⋆Si k>0, alors kn=n+n+. . . +nappartient`a Gcar Geststable par laloi +etdonc aappartient
`a G.
⋆Si k<0, alors (−k)nappartient`a Gd’apr`es ce qu’on vientdevoir et −(−kn)=knappartient`a G
car Geststable pourl’inversion.Ainsiaappartient`a Get nZestinclusdans G.
R´eciproquement, montrons que toutg∈Gappartient`a nZ.
On effectue la division euclidiennedegpar n:g=nq +ravec q∈Z,r∈Ntel que 0≤r<n.
On ar=g−nq,or gappartient`a Get nq aussi d’apr`es ce quel’on vientde voir.Ainsi, g−nq
appartient`a Get donc raussi. Mais 0≤r<net nestle plus´el´ementstrictementpositifdeGdonc
r=0et g=nq appartient`a nZ.
Ainsi, tous lessous groupes de Zsontde laforme nZ,n∈N.
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Proposition II.9Soit (G, ∗)un grouped’ordre fini et Hun sous groupedeG.Alors Hestd’ordre
finiet|H|divise |G|.
Preuve :CommeH⊂G,|H|,le cardinal deHestn´ecessairementinf´erieur `a celui de Gdonc|H|≤|G|
et Hestd’ordrefini.
On d´efinitsur Gla relation xRysi et seulementsix∗y−1appartient`a H.
Restunerelation d’´equivalence car
–∀x∈G,e=x∗x−1appartient`a Hdonc xRx.
–∀x,y∈Gtels quexRy,on ax∗y−1appartient`a Hdonc comme Heststable par l’inverse,
(x∗y−1)−1=y∗x−1appartient`a Het yRx.
–∀x,y,z∈Htels que xRyet yRzon ax∗y−1∈Het y∗z−1∈Het comme Heststable par laloi
∗,x∗z−1=x∗y−1yz−1appartient`a Het donc xRz.
Notonsxla classe del’´el´ementx∈Gmodulo R.
Alorsquel que soit x∈G,card (x)=|H|.Eneffet, x={y,y∗x−1∈H}={z∗x, z∈H}.Maintenant,
si z∗x=z′∗xalorsen multipliantpar x−1on obtientz=z′.Ainsi l’application f:H−→x
z7−→z∗x
estunebijection etdonc card (x)=|H|.
Enfin,comme l’ensembledes classes d’´equivalence modulo Rforme unepartition deG,six1, . . . , xk
sonttoutes les classes d’´equivalence modulo R,alors|G|=Pk
i=1 card (xi)=k|H|.2
III Morphismesdegroupes
D´efinition III.1Soit (G, ∗)et (G′,·)deuxgroupes. On dit quef:G→G′estun morphisme de
groupesi
∀a, b∈G, f(a∗b)=f(a)·f(b).
On dit quefestun isomorphisme si festbijective.Dansce cas on dit queGestisomorphe `a G′.
On dit quefestun automorphisme si festbijective etsi G=G′.
Exemple III.2 Soit θ∈Ret U={z∈C,|z|=1}.Alors(U,·)est un sousgroupede (C,·)etdonc
un groupe. L’application f:Z−→U
n7−→einθ estun morphisme degroupe.
Proposition III.3Soit (G, ∗)et (G′,·)deuxgroupes, el’´el´ementneutredeG,e′celuideG′et
f:G→G′un morphisme degroupe.Alorsf(e)=e′.
Preuve :Nousavons f(e∗e)=f(e)=f(e)·f(e). Enmultipliantpar f(e)−1on obtiente′=f(e).2
Proposition III.4Soit (G, ∗)et (G′,·)deux groupesetf:G→G′un morphisme degroupes.
Alorspour toutg∈G,f(g)−1=f(g)−1.
Preuve :Soitg∈G,el’´el´ementneutre deG,e′celuide G′.Alors f(g−1)·f(g)=f(g−1∗g)=f(e)=e′
et demˆeme f(g)·f(g−1)=e′doncf(g)−1=f(g−1).2
D´efinition III.5Soit (G, ∗)et (G′,·)deuxgroupes,el’´el´ementneutrede G,e′l’´el´ementneutrede
G′et f:G→G′un morphisme degroupe.
On appellenoyau de fet on note ker fl’ensemble
ker f={g∈G, f(g)=e′}.
On appelleimage de fet on note Imfl’ensemble
Imf ={f(g),g∈G}.
Remarque III.6 D’apr`es la proposition III.3, l’´el´ementneutre deGappartienttoujours `a ker f.
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Exemple III.7 D´eterminonsker fpour f:Z−→U
n7−→einθ .Le neutre de Uest 1. On doit donc
d´eterminer les n∈Ztels quef(n)=1.
f(n)=1⇔einθ =1
⇔∃k∈Z,nθ=2kπ.
Ainsi, s’il existe p
q∈Q,p∈Z,q∈N∗,p∧q=1tel que θ=p qπ,f(n)=1siet seulementsi n=2kq p.
Comme nestun entier etp∧q=1, il faut etil suffit que 2ksoit un multiple dep,c’est `a dire,2k=mp,
m∈Z.Doncn=mq,m∈Zet ker f={mq,m∈Z}lorsqueθ=p
qπ,p∧q=1, p∈Zet q∈N∗.
S’il n’existe pas derationnelp
qtel que θ=p qπ,alors kerf={0}.
Proposition III.8Soit (G, ∗)et (G′,·)deuxgroupes, el’´el´ementneutredeG,e′celuideG′et
f:G→G′un morphisme degroupe.
Alorskerfestun sousgroupede Get d’apr`esla proposition suivante festinjectivesiet seulementsi
ker f={e}.
Preuve :ker f6=∅car f(e)=e′donc eappartient`a ker f.
Soitg1,g2∈ker f.Alors
f(g1∗g−1
2)=f(g1)·f(g2)−1=e′·e′=e′
doncg1∗g−1
2appartient`a ker f.etdonc ker festun sousgroupede G.
Supposons que fsoit injective etg∈ker f.Alors f(g)=e′=f(e)doncg=ed’o`uker f⊂{e}.
Commeeappartient`a ker fon akerf={e}.
R´eciproquement, siker f={e},f(g1)=f(g2)impliquef(g1)·f(g2)−1=e′et doncf(g1∗g−1
2)=e′.
Ainsi, g1∗g−1
2appartient`a ker f={e}d’o`ug1=g2.2Dansl’exemple pr´ec´edent,festdonc injective
si et seulementsiθ
πestirrationnel.
Proposition III.9AlorsImfestun sousgroupedeG′et festsurjectivesiet seulementsiImf=G′.
Preuve :Imfestnon vide car f(e)appartient`a imf.
Soitg1,g2∈G.Alorsf(g1)·f(g2)=f(g1∗g2)appartientencore `a Imf.
Soitg∈G.Alorsf(g)−1=f(g−1)appartient`a Imfet donc Imfestun sousgroupede G′.
De plus,par d´efinition,festsurjectivesiet seulementsi Imf=G′.2
IV Groupes cycliques
Notation IV.1Soit (G, ∗)un groupe, eson ´el´ementneutre etgun ´el´ementde G.On notehgi
l’ensemble hgi={gn,n∈Z},o`ug0=0, o`u pourn∈N∗gn=g∗g∗. . . ∗g,nfois,eto`u pourn∈Z,
n<0, gn=(g−n)−1.
Proposition IV.2 Soit (G, ∗)un groupeet gun ´el´ementdeG.Alors hgiestun sousgroupede G.
D´efinition IV.3hgiestappel´esous groupeengendr´epar g.
Preuve de la proposition IV.2:hgiestnon vide car e=g0.
Soitgnet gm∈hgi.Alorsgn∗gm=gn+mappartient`a hgi.
Soitgn∈hgi.Alors si n>0, (gn)−1=g−nappartient`a hgi.Si n<0, (g−n)−1=gnpar d´efinition et
donc(gn)−1=g−nappartient`a hgi.2
D´efinition IV.4Soit (G, ∗)un groupe.On dit queGestun groupecycliques’il existe g∈Gtel que
hgi=G.Dansce cas, gestappel´eg´en´erateur deG.
On appelleordrede get note ord(g)l’entier ord(g)=|hgi|.
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