Chapitre 4 Introduction aux groupes I Définition et premiers exemples Définition I.1 Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition notée ∗ G×G → G (g1 , g2 ) 7→ g1 ∗ g2 telle que 1. La loi ∗ est associative : (g1 ∗ g2 ) ∗ g3 = g1 ∗ (g2 ∗ g3 ), ∀g1 , g2 , g3 ∈ G, 2. La loi ∗ un élément neutre e ∈ G, c’est à dire un élément e qui vérifie e ∗ g = g ∗ e = g, ∀g ∈ G, 3. Quel que soit g ∈ G il existe g ′ ∈ G tel que g ∗ g ′ = g ′ ∗ g = e. On le note (G, ∗). Lorsque la loi ∗ est commutative (g1 ∗ g2 = g2 ∗ g1 , ∀g1 , g2 ∈ G) on dit que G est abélien ou commutatif. Dans ce cas, la loi est souvent notée de manière additive : +. Lorsque le groupe G est fini et contient n éléments, on dit que G est d’ordre n et note |G| = n. Exemple I.2 – (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) sont des groupes abéliens d’élément neutre 0. – (Q \ {0}, ×), (R \ {0}, ×), (C \ {0}, ×) sont des groupes abéliens d’élément neutre 1, (Z \ {0}, ×) n’est pas un groupe car par exemple 2 n’a pas d’inverse dans Z : il n’existe pas n ∈ Z tel que 2 × n = 1, (R, ×) n’est pas un groupe car il n’existe pas x ∈ R tel que x × 0 = 1. – Soit E un ensemble. L’ensemble des automorphismes de E, c’est à dire l’ensemble Aut(E) = {f : E → E, f bijective}, muni de la loi de composition des applications est un groupe dont le neutre est l’application identité sur E et qui en général est non abélien. Par exemple, considérons E = {1, 2, 3} et pour g, f : E → E définies par : f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 3, g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 2. Alors f et g sont des bijections et f ◦ g 6= g ◦ f car f ◦ g(1) = f (1) = 2 et g ◦ f (1) = g(2) = 3. – Soit n ∈ N∗ alors (Z/nZ, +) est un groupe abélien. Par contre (Z/nZ \ {0}, ×) est un groupe si et seulement si n est un nombre premier. En effet, l’élément neutre de Z/nZ pour la multiplication est 1 car 1 · a = 1a = a quel que soit a ∈ Z/nZ. Pour que Z/nZ soit un groupe il faut et il suffit que tout élément a ∈ Z/nZ \ {0} admette un inverse, c’est à dire qu’il existe b ∈ Z/nZ tel que ab = 1. Donc, d’après la proposition VI.4 du chapitre précédent, il faut que a ∧ n = 1 pour tout a = 1, . . . , n − 1. Ainsi n doit être premier. Proposition I.3 Soit (G, ∗) un groupe. Alors l’élément neutre de G est unique. 41 Preuve : Soit e et e′ éléments de G deux éléments neutre de G. Alors, comme e est un élément neutre, on a : e ∗ e′ = e′ . Mais comme e′ est aussi un élément neutre de G, on a aussi : e ∗ e′ = e et donc e = e′ .2 Proposition I.4 Soit (G, ∗) un groupe, e son élément neutre. Alors quel que soit g ∈ G, il existe un unique g ′ ∈ G tel que g ∗ g ′ = g ′ ∗ g = e. Définition I.5 Soit (G, ∗) un groupe et g ∈ G. L’unique élément g ′ ∈ G tel que g ′ ∗ g = g ∗ g ′ = e s’appelle l’inverse de g. On le note g −1 . Lorsque le groupe est abélien et que la loi est notée de manière additive, on note généralement l’inverse de g par −g. Preuve de la proposition I.4 : Soit g ′ et g ′ dans G tel que g ′ ∗ g = g ∗ g ′ = e et g ′′ ∗ g = g ∗ g ′′ = e. Comme la loi ∗ est associative on a alors g ′ ∗ g ∗ g ′′ = (g ′ ∗ g) ∗ g ′′ = e ∗ g ′′ = g ′′ et g ′ ∗ g ∗ g ′′ = g ′ ∗ (g ∗ g ′′ ) = g ′ ∗ e = g ′ d’où g ′ = g ′′ .2 Proposition I.6 Soit (G, ∗) un groupe, e son élément neutre. Alors e−1 = e Preuve : En effet, e ∗ e = e ∗ e = e, donc e = e−1 .2 Proposition I.7 Soit (G, ∗) un groupe et g ∈ G. Alors (g −1 )−1 = g. Preuve : Soit e l’élément neutre de G. Alors g −1 ∗ g = g ∗ g −1 = e et donc (g −1 )−1 = g.2 II Sous groupes Définition II.1 Soit (G, ∗) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G si 1. H 6= ∅, 2. H est stable par la loi ∗, c’est à dire ∀h, h′ ∈ H, h ∗ h′ appartient encore à H. 3. H est stable pour l’inversion, c’est à dire ∀h ∈ H, h−1 appartient encore à H. Exemple II.2 1. Soit n ∈ N. Alors nZ est un sous groupe de Z. 2. Soit U = {z ∈ C, |z| = 1}. Alors (U, ·) est un sous groupe de (C, ·). Proposition II.3 Soit (G, ∗) un groupe, e son élément neutre et H un sous groupe de G. Alors e appartient à H. Preuve : Soit h ∈ H (comme H 6= ∅, h existe). h−1 appartient à H car H est stable par l’inversion et comme h et h−1 appartiennent à H et que H est stable par la loi ∗, h ∗ h−1 = e appartient à H.2 Proposition II.4 Soit (G, ∗) un groupe et H un sous groupe de G. Alors (H, ∗) est un groupe. 42 Preuve : En effet, H 6= ∅ par hypothèse. L’élément neutre e de G appartient à H d’après la proposition précédente et quel que soit h ∈ H, h ∗ e = e ∗ h = h car h appartient à G. D’autre part, si g appartient à H, alors g −1 , l’inverse de g dans G appartient à H car H est stable par l’inversion donc g a un inverse dans H.2 Proposition II.5 Soit (G, ∗) un groupe et H une partie de G. Alors H est un sous groupe de G si et seulement si 1. H 6= ∅, 2. ∀h, h′ ∈ H, h′ ∗ h−1 appartient encore à H. Preuve : ⇒) On suppose que H Est un sous groupe. Alors H 6= ∅ par hypothèse. De plus, quels que soient h, h′ ∈ H, h′−1 appartient encore à H car H est stable pour l’inversion et comme h et h′−1 appartiennent à H, alors h ∗ h′−1 appartient encore à H car H est stable pour la multiplication. ⇐) On note e le neutre de G. Soit h appartenant à H. Alors h ∗ h−1 = e appartient à H. Montrons que H est stable pour l’inversion. Soit h ∈ H. Alors comme e et h sont des éléments de H, e ∗ h−1 = h−1 appartient à H. Montrons maintenant que H est stable par la loi ∗. Soit h, h′ ∈ H. Comme H est stable pour l’inversion, h′−1 appartient à H. Ainsi, comme h′−1 et h appartiennent à H et que (h′−1 )−1 = h′ , h ∗ h′ = h ∗ (h′−1 )−1 appartient à H.2 Proposition II.6 Soit (G, ∗) un groupe, H1 , . . . , Hn des sous groupes de G. Alors ∩ni=1 Hi est un sous groupe de G. Preuve : L’intersection ∩ni=1 Hi est non vide car pour tout i, e appartient à Hi donc e appartient à ∩ni=1 Hi . Soient a, b ∈ ∩ni=1 Hi . Alors pour tout i, a ∗ b−1 appartient à Hi car Hi est un sous groupe et donc a ∗ b−1 appartient à ∩ni=1 Hi .2 Remarque II.7 En général, la réunion de deux sous groupes n’est pas un sous groupe. Par exemple, 2Z et 3Z sont des sous groupes de (Z, +) mais 2Z ∪ 3Z, l’ensemble des multiples de 2 ou de 3, n’est pas un sous groupe de Z car 2 et 3 appartiennent à 2Z ∪ 3Z mais 5 = 2 + 3 n’appartient pas à 2Z ∪ 3Z puisque 5 n’est ni un multiple de 2, ni un multiple de 3. Exemple II.8 (Les sous-groupes de Z) Déterminons tous les sous groupes de Z. Remarquons déjà que quel que soit n ∈ N, nZ et un sous groupe de Z. En effet : – nZ 6= ∅ car 0 = n · 0 appartient à nZ. – Soit a, b ∈ nZ. Alors il existe α, β ∈ Z tels que a = αn et b = βn. Ainsi, a − b = n(α − β) appartient à nZ. Montrons que tous les sous groupes de Z sont de cette forme. Soit G un sous groupe de Z. Si G = {0}, il n’y a rien à faire, G = 0Z. Sinon, il existe a ∈ G tel que a > 0. En effet, G 6= {0} donc il existe a ∈ G. Soit a > 0 et il n’y a rien à faire, soit a < 0, alors −a, l’inverse de a appartient à G et −a > 0. Soit n le plus petit élément de l’ensemble {a ∈ G, a > 0}. Montrons que G = nZ. Soit a ∈ nZ. Il existe k ∈ Z tel que a = kn. ⋆ Si k > 0, alors kn = n + n + . . . + n appartient à G car G est stable par la loi + et donc a appartient à G. ⋆ Si k < 0, alors (−k)n appartient à G d’après ce qu’on vient de voir et −(−kn) = kn appartient à G car G est stable pour l’inversion. Ainsi a appartient à G et nZ est inclus dans G. Réciproquement, montrons que tout g ∈ G appartient à nZ. On effectue la division euclidienne de g par n : g = nq + r avec q ∈ Z, r ∈ N tel que 0 ≤ r < n. On a r = g − nq, or g appartient à G et nq aussi d’après ce que l’on vient de voir. Ainsi, g − nq appartient à G et donc r aussi. Mais 0 ≤ r < n et n est le plus élément strictement positif de G donc r = 0 et g = nq appartient à nZ. Ainsi, tous les sous groupes de Z sont de la forme nZ, n ∈ N. 43 Proposition II.9 Soit (G, ∗) un groupe d’ordre fini et H un sous groupe de G. Alors H est d’ordre fini et |H| divise |G|. Preuve : Comme H ⊂ G, |H|, le cardinal de H est nécessairement inférieur à celui de G donc |H| ≤ |G| et H est d’ordre fini. On définit sur G la relation xRy si et seulement si x ∗ y −1 appartient à H. R est une relation d’équivalence car – ∀x ∈ G, e = x ∗ x−1 appartient à H donc xRx. – ∀x, y ∈ G tels que xRy, on a x ∗ y −1 appartient à H donc comme H est stable par l’inverse, (x ∗ y −1 )−1 = y ∗ x−1 appartient à H et yRx. – ∀x, y, z ∈ H tels que xRy et yRz on a x ∗ y −1 ∈ H et y ∗ z −1 ∈ H et comme H est stable par la loi ∗, x ∗ z −1 = x ∗ y −1 yz −1 appartient à H et donc xRz. Notons x la classe de l’élément x ∈ G modulo R. ∈ H}. Maintenant, Alors quel que soit x ∈ G, card (x) = |H|. En effet, x = {y, y∗x−1 ∈ H} = {z ∗x, z H −→ x si z ∗x = z ′ ∗x alors en multipliant par x−1 on obtient z = z ′ . Ainsi l’application f : z 7−→ z ∗ x est une bijection et donc card (x) = |H|. Enfin, comme l’ensemble des classes d’équivalence modulo P R forme une partition de G, si x1 , . . . , xk k sont toutes les classes d’équivalence modulo R, alors |G| = i=1 card (xi ) = k|H|.2 III Morphismes de groupes Définition III.1 Soit (G, ∗) et (G′ , ·) deux groupes. On dit que f : G → G′ est un morphisme de groupe si ∀a, b ∈ G, f (a ∗ b) = f (a) · f (b). On dit que f est un isomorphisme si f est bijective. Dans ce cas on dit que G est isomorphe à G′ . On dit que f est un automorphisme si f est bijective et si G = G′ . Exemple III.2 Soit θ ∈ R et U = {z ∈ C, |z| = 1}. Alors (U, ·) est un sous groupe de (C, ·) et donc Z −→ U un groupe. L’application f : est un morphisme de groupe. n 7−→ einθ Proposition III.3 Soit (G, ∗) et (G′ , ·) deux groupes, e l’élément neutre de G, e′ celui de G′ et f : G → G′ un morphisme de groupe. Alors f (e) = e′ . Preuve : Nous avons f (e ∗ e) = f (e) = f (e) · f (e). En multipliant par f (e)−1 on obtient e′ = f (e).2 Proposition III.4 Soit (G, ∗) et (G′ , ·) deux groupes et f : G → G′ un morphisme de groupes. Alors pour tout g ∈ G, f (g)−1 = f (g)−1 . Preuve : Soit g ∈ G, e l’élément neutre de G, e′ celui de G′ . Alors f (g −1 ) · f (g) = f (g −1 ∗ g) = f (e) = e′ et de même f (g) · f (g −1 ) = e′ donc f (g)−1 = f (g −1 ).2 Définition III.5 Soit (G, ∗) et (G′ , ·) deux groupes, e l’élément neutre de G, e′ l’élément neutre de G′ et f : G → G′ un morphisme de groupe. On appelle noyau de f et on note ker f l’ensemble ker f = {g ∈ G, f (g) = e′ }. On appelle image de f et on note Imf l’ensemble Imf = {f (g), g ∈ G}. Remarque III.6 D’après la proposition III.3, l’élément neutre de G appartient toujours à ker f . 44 Exemple III.7 Déterminons ker f pour f : Z −→ n 7−→ U . Le neutre de U est 1. On doit donc einθ déterminer les n ∈ Z tels que f (n) = 1. f (n) = 1 ⇔ einθ = 1 ⇔ ∃k ∈ Z, nθ = 2kπ. Ainsi, s’il existe pq ∈ Q, p ∈ Z, q ∈ N∗ , p ∧ q = 1 tel que θ = pq π, f (n) = 1 si et seulement si n = 2k pq . Comme n est un entier et p∧q = 1, il faut et il suffit que 2k soit un multiple de p, c’est à dire, 2k = mp, m ∈ Z. Donc n = mq, m ∈ Z et ker f = {mq, m ∈ Z} lorsque θ = pq π, p ∧ q = 1, p ∈ Z et q ∈ N∗ . S’il n’existe pas de rationnel pq tel que θ = pq π, alors ker f = {0}. Proposition III.8 Soit (G, ∗) et (G′ , ·) deux groupes, e l’élément neutre de G, e′ celui de G′ et f : G → G′ un morphisme de groupe. Alors ker f est un sous groupe de G et d’après la proposition suivante f est injective si et seulement si ker f = {e}. Preuve : ker f 6= ∅ car f (e) = e′ donc e appartient à ker f . Soit g1 , g2 ∈ ker f . Alors f (g1 ∗ g2−1 ) = f (g1 ) · f (g2 )−1 = e′ · e′ = e′ donc g1 ∗ g2−1 appartient à ker f . et donc ker f est un sous groupe de G. Supposons que f soit injective et g ∈ ker f . Alors f (g) = e′ = f (e) donc g = e d’où ker f ⊂ {e}. Comme e appartient à ker f on a ker f = {e}. Réciproquement, si ker f = {e}, f (g1 ) = f (g2 ) implique f (g1 ) · f (g2 )−1 = e′ et donc f (g1 ∗ g2−1 ) = e′ . Ainsi, g1 ∗ g2−1 appartient à ker f = {e} d’où g1 = g2 .2Dans l’exemple précédent, f est donc injective si et seulement si πθ est irrationnel. Proposition III.9 Alors Imf est un sous groupe de G′ et f est surjective si et seulement si Imf = G′ . Preuve : Imf est non vide car f (e) appartient à imf . Soit g1 , g2 ∈ G. Alors f (g1 ) · f (g2 ) = f (g1 ∗ g2 ) appartient encore à Imf . Soit g ∈ G. Alors f (g)−1 = f (g −1 ) appartient à Imf et donc Imf est un sous groupe de G′ . De plus, par définition, f est surjective si et seulement si Imf = G′ .2 IV Groupes cycliques Notation IV.1 Soit (G, ∗) un groupe, e son élément neutre et g un élément de G. On note hgi l’ensemble hgi = {g n , n ∈ Z}, où g 0 = 0, où pour n ∈ N∗ g n = g ∗ g ∗ . . . ∗ g, n fois, et où pour n ∈ Z, n < 0, g n = (g −n )−1 . Proposition IV.2 Soit (G, ∗) un groupe et g un élément de G. Alors hgi est un sous groupe de G. Définition IV.3 hgi est appelé sous groupe engendré par g. Preuve de la proposition IV.2 : hgi est non vide car e = g 0 . Soit g n et g m ∈ hgi. Alors g n ∗ g m = g n+m appartient à hgi. Soit g n ∈ hgi. Alors si n > 0, (g n )−1 = g −n appartient à hgi. Si n < 0, (g −n )−1 = g n par définition et donc (g n )−1 = g −n appartient à hgi.2 Définition IV.4 Soit (G, ∗) un groupe. On dit que G est un groupe cyclique s’il existe g ∈ G tel que hgi = G. Dans ce cas, g est appelé générateur de G. On appelle ordre de g et note ord(g) l’entier ord(g) = |hgi|. 45 Exemple IV.5 Soit n ∈ N∗ . Alors Z/nZ est un groupe cyclique engendré par 1. Proposition IV.6 Soit G un groupe d’ordre fini n, e son élément neutre. Alors quel que soit g ∈ G, g n = e. Preuve : Soit g ∈ G et considérons hgi. Alors hgi est un sous groupe de G donc |hgi| ≤ n et |hgi| divise n. Par conséquent, il existe p 6= q tel que g p = g q (sinon hgi serait infini) et donc g p−q = e. Il existe donc m tel que g m = e. Quitte à considérer m au lieu de m, on suppose que m ≥ 0. Soit m0 = inf{m, g m = e}. Alors m0 = |hGi| et donc m0 divise n : il existe k ∈ N tel que km0 = n et donc g n = g km0 = (g m0 )k = ek = e.2 Exemple IV.7 Dans Z/4Z, 2 + 2 + 2 + 2 = 0. Proposition IV.8 Soit (G, ∗) un groupe, e son élément neutre et g ∈ G un élément d’ordre n. Alors g m = e si et seulement si n divise m. Preuve : Si m = kn on a g m = g kn = (g n )k = ek = e. Réciproquement, supposons que g m = e. Effectuons la division de m par n : m = nq + r, q ∈ Z, r ∈ N tel que 0 ≤ r < n. Alors g m = g r . Comme 0 ≤ r < n, ord(g) = n et g r = e cela implique que r = 0 et donc n divise m.2 Théorème IV.9 Soit (G, ∗) un groupe cyclique d’ordre n. Alors G est isomorphe à Z/nZ. Z/nZ −→ G Preuve : Soit g ∈ G tel que hgi = G. On définit f : et on montre que f est un n 7−→ g n isomorphisme. Il faut déjà montrer que f est bien défini, c’est à dire que si p = q alors g p = g q . En effet, si p = q, il existe k ∈ Z tel que p − q = kn et donc g p = g q+kn = g q ∗ g kn = g q ∗ (g n )k = g q ∗ e = g q . Donc f est bien définie. De plus, f est un morphisme car ∀p, q ∈ Z, f (p + q) = = = = f (p + q) g p+q gp ∗ gq f (p) ∗ f (q). Reste à montrer que f est bijective. Comme G et Z/nZ ont même cardinal, il suffit de montrer que f est injective. Pour cela, déterminons ker f : Soit p ∈ Z/nZ tel que f (p) = e. Alors g p = e, donc n divise p d’après la proposition précédente et donc p = 0. Ainsi ker f = {0} et f est injective.2 46