30 81 1582 8 15 1 16 15 53 15 109 15 106 3 1 5 1 3 2 5 3 3 2 5 2

1
FEVRIER 2015
CORRIGE DU BREVET BLANC LIBANAIS
COLLEGE PROTESTANT FRANCAIS
MATHS
CLASSE DE III
EXERCICE I
30
81 1582
8
15
1
16
1553
15
10915
106
3
1
5
1
3
2
5
33
2
5
2
A
A est un entier relatif.
8
3
2
34
2
3
333532
4
3
277512 
B
B est un entier naturel.
11431418
1262
8910
3
2
12
2
3
4
2
3
3
2
53 1021052
1052 51022
1052
51024 
C
C est un decimal.
EXERCICE II
Soit
x
le montant initial des economies.
xxx  3
1
7
2
1
;
xxx 3
1
2
1
7
;
x
6
1
7
;
42x
.
Le montant initial des economies etait de 42 euros.
EXERCICE III
1)
7223842412169241213 222
2 xxxxxxxxxxA
516344912429124222
2
2 xxxxxxxxxB
2)
713241313213413241213 22  xxxxxxxxxxxA
3)
51323223223229124222
2 xxxxxxxxxxxB
4)
7702203)0( 2A
05
3
1
16
3
1
3
3
12
B
ou bien
05
3
1
1
3
1
3
3
1
B
2221372226722223)2( 2A

2
5)
0A
;
0713  xx
;
un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
7;
3
1
S
5B
;
551632 xx
;
0163xx
;
un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
0;
3
16
S
BA 
513713  xxxx
0513713  xxxx
012213  xx
un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
6;
3
1
S
EXERCICE IV :
2)
ABC
est un triangle inscrit dans le cercle C de diamètre
BC
. Or tout triangle inscrit dans un
cercle de diamètre un de ses côtés est rectangle et ce côté est son hypoténuse. Donc
ABC
est un
triangle rectangle en
A
.
3) On sait que dans le triangle
OAB
:
A
C donc
rayonOA OB
et
ˆ60ABC 
.
Or tout triangle qui possède deux côtés de même mesure et un angle de
60
est équilatéral. Donc
AOB est un triangle équilatéral. Or un triangle équilatéral a trois côtés de même mesure. Donc
4cmOA OB AB
.
4) a) On sait que
ABC
est un triangle rectangle en
A
.
Donc
AB AC
Or
EF AC
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles.
Donc (AB) // (EF).

3
b) Les points
B
,
D
et
E
sont alignés dans le même ordre que
F
,
D
et
A
et (AB) // (EF).
D’après le théorème de Thalès :
DF DE EF
DA DB AB
donc
DF DB DA DE  
5) Dans le triangle
ABC
,
O
et
D
sont les milieux respectifs de
BC
et
AC
. Donc
AO
et
BD
passent par les sommets
A
et
B
du triangle
ABC
et coupent
BC
et
AC
en leurs milieux. Or la
droite qui passe par un sommet d’un triangle et coupe le côté opposé en son milieu est une
médiane. Donc
AO
et
BD
sont les médianes relatives à
BC
et
AC
respectivement.
Or dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point qui est le centre de gravité. Donc G
est le centre de gravité. (CG) passe par le sommet C et par le centre de gravité. Or dans un triangle ,
la droite qui passe par un sommet et par le centre de gravité est une médiane. Donc (CG) est la
médiane relative à [AB]. Or la médiane relative à un côté le coupe en son milieu. Donc I est le milieu
de [AB].
b) Dans le triangle ABC , I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Or dans un triangle , le
segment qui joint les milieux de deux côtés vaut la moitié du troisième côté.
Donc
18
4
22
IJ BC cm  
6) a) J est le symétrique de I par rapport à B. Or la symétrie conserve les longueurs.
Donc IB = BJ
Or I est le milieu de [AB].
Donc IB = IA Alors par transitivité IA= IB = BJ
Par suite ,
22
33
AI
AB AI IB
AJ AI IB BJ AI
b) G est le centre de gravité du triangle ABC. Or le centre de gravité se trouve aux deux tiers de la
médiane à partir du sommet.
Donc
2
3
AG AO
d’où
2
3
AG
AO 
Dans le triangle AOT, les points A,B et T sont alignés dans le même ordre que A , G et O et
2
3
AG
AO 
donc
AB
AJ
=
2
3
AG
AO 
Alors d’après la réciproque du théorème de Thales : (BG) // (OJ)

4
EXERCICE V
2) Dans le triangle
ABC
:
22
2 2 2
2 2 2 2
7,5 56.25 Donc
4,5 6 20,25 36 56,25
BC BC AB AC
AB AC
Alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore,
ABC
est un triangle rectangle en
A
.
3) On sait que
D
C et que
ED BC
.
Or la droite qui coupe un cercle en un point et qui est perpendiculaire au rayon en ce point est une
tangente. Donc
DE
est la tangente en
D
au cercle.
4) On sait que
ABC
est un triangle rectangle en
A
Donc
AC AB
et
A
C
D’après la propriété déjà citée
AC
est la tangente à C en
A
.
On sait que
ED
et
EA
sont deux tangentes issues de
E
au cercle C. Or par un point pris hors
d’un cercle on peut mener deux tangentes à un cercle et ce point est équidistant des points de
tangence. Donc
ED EA
.
5) Dans le triangle
ABC
rectangle en
A
:
4,5 3 1,5 3
sinC 7,5 5 1,5 5
copp AB
hyp BC
On sait que
ED DC
Donc
EDC
est un triangle rectangle en
D
.
Dans le triangle
EDC
rectangle en
D
:
sinC copp ED
hyp EC
Alors par transitivité
3
5
ED
EC 
.

5
6) a)
6AC AE EC x EC    
donc
6EC x
b) On sait que
3
5
ED
EC 
or
ED EA x
et
6EC x
Donc
3
65
xx
donc
5 3 6xx
5 18 3xx
8 18x
donc
18 2,25
8
x cm
Par suite
2,25EA cm
.
7) a) On sait que
EDC
est un triangle rectangle en
D
, or dans un triangle rectangle, les
angles aigus sont complémentaires.
Donc
DEC
et
C
sont complémentaires. Or si deux angles sont complémentaires, alors le cosinus de
l’un est le sinus de l’autre.
Donc cos
DEC
= sin
C
DEC
et
AEF
sont deux angles opposés par le sommet, donc égaux.
Alors
3
cosAEF cosDEC sinC 5
b) On sait que
cosAEF
3
5
Or
22
sin AEF cos AEF 1
Donc
2
23 25 9 16
sin AEF 1 5 25 25
Donc
16 4
sinAEF 25 5
4
sinAEF 4
5
ˆ
tan 33
cosAEF 5
AF
AEF AE