Master Recherche Informatique 2 Complexité Max

Master Recherche Informatique 2
Complexit´e
Devoir `a rendre le 19 Octobre 2012
Max-Cut
On admettra dans cet exercice que le probl`eme NTE d´efini comme suit
est NP-complet : la donn´ee consiste en un ensemble de triplets de variables
et la question est de savoir s’il existe une distribution de v´erit´e telle que
toutes les variables d’un mˆeme triplet ne soient pas affect´ees `a la mˆeme
valeur.
Une coupe pour un graphe non orient´e G= (V, E) est la partition de ses
sommets Ven deux ensembles disjoints Set T. La taille de la coupe est le
nombre d’arˆetes ayant une extr´emit´e dans Set une dans T. On s’int´eresse ici
au probl`eme Max-Cut : la donn´ee est un graphe G= (V, E) et un entier
k, la question est de savoir s’il existe une coupe de taille au moins k.
1. Montrer que Max-Cut est dans NP.
2. Montrer que le probl`eme NTE se r´eduit en temps polynomial `a Max-Cut .
Partant d’une donn´ee de ptriplets form´es sur nvariables du probl`eme
NTE , on construira l’instance suivante de Max-Cut : A chaque
variable xassocier 3psommets ´etiquet´es xet 3psommets ´etiquet´es ¯x.
Tous les sommets ´etiquet´es xsont reli´es `a tous les sommets ´etiquet´es
¯x. A chaque triplet Ci= (xi, yi, zi) associer un triangle. Relier en-
suite ces graphes entre eux en reliant chaque litt´eral des graphes issus
de la premi`ere ´etape aux sommets des graphes issus de la seconde
repr´esentant le litt´eral oppos´e. Le graphe ainsi construit a n(3p)2+
3p+ (3p)2arˆetes. Conclure que Max-Cut est NP-complet.
3. Que peut-on en conclure quant `a la complexit´e du probl`eme Max-2-Sat ?
Enum´eration
Definition 0.1 Un probl`eme d’´enum´eration Eest donn´e par un couple E=
(I, Sol)o`u Iest un ensemble d’instances et Sol est une fonction I−→
P(Σ∗).
Un algorithme d’´enum´eration Asur E, produit pour toute instance x,
toutes les solutions de Sol(x)les unes apr`es les autres sans r´ep´etition et se
termine en un nombre fini d’´etapes.
Definition 0.2 Enum-NP est la classe des probl`emes d’´enum´eration E=
(I, Sol)pour lesquels pour tout xet tout y:
– si y∈Sol(x)la taille de yest polynomialement born´ee en celle de x;
– on peut v´erifier en temps polynomial si y∈Sol(x).
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La complexit´e d’un algorithme d’´enum´eration se mesure par le d´elai
n´ecessaire entre la production de deux solutions cons´ecutives. On appelle
le ieme d´elai, le temps qui s’´ecoule entre la production de la ieme solution
et de la (i+ 1)eme. Il faut ´egalement prendre en compte le d´elai entre le
d´ebut de l’algorithme et la production de la 1ere solution et le d´elai entre la
derni`ere solution et l’arrˆet de l’algorithme.
Definition 0.3 Soit E= (I, Sol)un probl`eme d’´enum´eration dans Enum-NP,
x∈I, avec n= #Sol(x),
– on dit que E∈OutputP s’il existe un algorithme d’´enum´eration A
dont le temps total est polynomial en |x|et n, c’est-`a-dire polynomial
en la taille de l’entr´ee et le nombre de solutions ;
–E∈IncP si pour tout i∈ {0, . . . , n}, le ieme d´elai de A(x)est born´e
par p(|x|, i)o`u pest un polynˆome ;
–E∈DelayP si pour tout i, le ieme d´elai de A(x)est born´e par p(|x|)
o`u pest un polynˆome.
1. Expliquer pourquoi il n’est pas raisonnable de s’int´eresser `a la sous-
classe de Enum-NP form´ee des probl`emes pour lesquels il existe un
algorithme d’´enum´eration dont le temps d’ex´ecution est polynomiale-
ment born´e en fonction de la taille de l’entr´ee.
2. Montrer les inclusions suivantes : DelayP ⊆IncP (OutputP.
3. Montrer que sous l’hypoth`ese P6=NP l’´enum´eration des mod`eles d’une
formule en 3-CNF n’est ni dans DelayP ni dans IncP.
4. Montrer que sous l’hypoth`ese P6=NP l’´enum´eration des mod`eles d’une
formule en 3-CNF n’est ni dans DelayP ni dans IncP.
5. On consid`ere ici le probl`eme pNTE (Presque Non Tous Egaux). La
donn´ee est un ensemble Cde quadruplets de variables (et non de
litt´eraux) : C={C1, . . . , CP}o`u Ci= (wi, xi, yi, zi) pour i= 1, . . . , p.
La question est de d´eterminer une distribution de v´erit´e I:V−→
{0,1}, o`u Vest l’ensemble des variables apparaissant dans C, telle
pour tout i= 1, . . . , p :
– ou bien I(wi) = I(xi) = I(yi) = I(zi)=0
– ou bien I(wi) = 1 et I(xi), I(yi) et I(zi) ne sont pas tous les trois
´egaux.
Quelle est la complexit´e de ce probl`eme ? Montrer qu’il n’admet pas
d’algorithme d’´enum´eration `a d´elai polynomial `a moins que P=NP.
(On pourra utiliser le probl`eme mentionn´e au d´ebut de l’exercice pr´ec´edent).
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