Logique de Gödel-Löb
(DM de Logique 2016, Correction)
David Baelde
Résumé
Les questions particulièrement astucieuses sont marquées (?) ;
les plus techniques sont marquées (!).
Nous considérons le langage de la logique (propositionnelle) modale. Étant
donné un ensemble Pde constantes propositionnelles, ou atomes, on dénit l’en-
semble des formules φcomme suit :
φ::= P| ⊥ | φψ|φP∈ P.
On écrira ¬φpour φ⇒ ⊥. Si Γ = {φ1, . . . , φn}est un ensemble ni de
formules, on utilisera les notations suivantes :
¬Γdef
=φ1,...,¬φn}
Γφdef
=φ1. . . φnφ
Ce langage est évalué sur des structures de Kripke diérentes de celles vues
en cours pour la logique intuitionniste. On considèrera ici qu’une structure
de Kripke est donnée par (W,, α)où :
West un ensemble de mondes ;
≺ ⊆ W2est une relation sur les mondes ;
α:W 2Pest une fonction des mondes dans les ensembles d’atomes.
On notera que αest quelconque, pas forcément monotone.
Étant donné une structure K= (W,, α)et un monde w∈ W, on dénit
par induction sur φla relation de satisfaction K, w |=φ:
K, w 6|=
K, w |=Pssi Pα(w)
K, w |=φψssi K, w |=φimplique K, w |=ψ
K, w |=φssi K, w0|=φpour tout ww0
Un structure K= (W,, α)et un monde w W constituent un contre-
modèle du séquent Γ`quand K, w |=φpour tout φΓet K, w 6|=ψpour
tout ψ.
1
Un séquent est valide quand il n’a pas de contre-modèle. Il est valide pour une
certaine classe de structures quand il n’a pas de contre-modèle dans cette classe.
On considèrera en particulier la classe des structures transitives (dans lesquelles
ww0w00 entraîne ww00) et celle des structures bien fondées (où il n’y
a pas de chaîne innie w1w2. . . wnwn+1 . . ., ce qui correspond en fait
plutôt à la bonne fondaison de la relation renversée).
La logique de Gödel-Löb (GL) peut se dénir de façon axiomatique à la Hilbert,
en calcul des séquents, ou simplement comme l’ensemble des énoncés valides
pour la classe des structures transitives et bien fondées. Nous allons voir ces trois
présentations et montrer leur équivalence.
Il y a d’autres interprétations possibles de cette logique. La plus importante en
logique mathématique, qui vaut à GL le nom de logique de la prouvabilité, inter-
prète φcomme la prouvabilité de (l’interprétation de) φ. Par exemple, P
Ps’interprète comme “pour toute formule φde l’arithmétique, si l’on peut prou-
ver qu’on peut prouver φ, alors on peut prouver φ. On trouve aussi des utilisa-
tions de GL en bases de données XML mais aussi, de façon plus éloignée de nos
intérêts, en éthique.
Question 1
Donner des contre-modèles à moins de trois mondes pour les formules suivantes :
φφ
(φψ)(φψ)
Correction 1
Non corrigé.
1 Calcul des séquents
On dénit en Figure 1 le calcul des séquents LGL, qui nous servira de première
dénition de GL. Dans la règle , la notation Γsignie {φ|φΓ}. Dans
ce calcul, les membres Γet des séquents sont des ensembles, et non des multi-
ensembles. La notation , φ)se lit en général Γ∪ {φ}, mais il est important de la Merci
GLB !lire comme une union disjointe dans la conclusion des règles de la Figure 1 : ainsi,
l’application d’une règle (lue du bas vers la haut) supprime la formule principale
du séquent.
Question 2
2
Γ, ψ ` Γ `φ,
Γ, φ ψ`LΓ, φ `ψ,
Γ`φψ, R
Γ,⊥ ` LΓ, φ `φ, ax
Γ`
Γ, φ `wLΓ`
Γ`φ, wR
Γ,Γ,φ`φ
Γ`φ
Figure 1 – Calcul des séquents pour GL
Dériver les formules suivantes dans LGL 1:
1. φφ
2. (φφ)φ
3. (⊥ ⇒ φ)(φ⇒ ⊥)
Correction 2
Non corrigé.
Question 3
Donner, pour chacune des trois formules précédentes, un contre-modèle soit non
transitif soit non bien fondé, et dans tous les cas avec moins de trois mondes.
Correction 3
Non corrigé.
Question 4
Montrer que, si Γ`φψ, est prouvable, alors Γ, φ `ψ, aussi.
Correction 4
On procède par induction sur la dérivation de Γ`φψ, .
Si la dernière règle qui s’applique est Rportant sur φψ, alors on conclut
immédiatemment :
Π1
Γ, φ `ψ,
Γ`φψ,
Π1
Γ, φ `ψ,
1. La modalité lie plus fortement que :φψse lit (φ)ψ.
3
Si la dernière règle qui s’applique porte sur une formule de , alors on conclut
par hypothèse d’induction. Par exemple, si c’est R, portant sur (φ0ψ0)
(ce qui n’exclut pas φ=φ0et ψ=ψ0) on conclut en utilisant la dérivation Π0
1
obtenue par hypothèse d’induction à partir de la sous-dérivation Π1originale :
Π1
Γ, φ0`φψ, ψ0,0
Γ`φψ, φ0ψ0,0
Π0
1
Γ, φ, φ0`ψ, ψ0,0
Γ, φ `ψ, φ0ψ0,0
Si la dernière règle est un aaiblissement sur φψ, alors on a une dérivation
de Γ`ce qui permet de dériver Γ, φ `ψ, par aaiblissements.
Si c’est un axiome sur φψ, on conclut par Lsur (φψ)Γpuis deux
axiomes sur φet ψ.
Question 5
Montrer que, si Γ, φ ψ`est prouvable, alors Γ, ψ `et Γ`φ, aussi.
Correction 5
Similaire à l’argument précédent.
2 Présentation axiomatique
On considère maintenant la dénition axiomatique de GL. On dénit l’en-
semble de formules AGL comme le plus petit ensemble Stel que :
(AGL-1) si φSalors φS;
(AGL-2) (φψ)(φψ)S, pour tous φet ψ; Merci
AL !(AGL-3) (φφ)φest dans S, pour tout φ;
(AGL-4) toute formule purement propositionnelle valide 2est dans S;
(AGL-5) si φψSet φSalors ψS, pour tous φet ψ;
(AGL-6) Sest close par remplacement d’atomes par des formules quelconques.
Question 6
Montrer que (φφ)φest valide dans la classe des structures transi-
tives bien fondées.
Correction 6
Soit une structure Ket un monde wde K. On montre w|=(φφ)φ,
2. On parle ici d’une formule où la modalité n’apparaît pas, et la notion de validité est celle
du calcul propositionnel classique.
4
par induction sur la bonne fondaison 3 4 5 de w. On suppose w|=(φφ).
On veut montrer w|=φ: montrons w0|=φpour tout ww0. Par hy-
pothèse d’induction, w0|=(φφ)φ. Par hypothèse d’induction,
w0|=(φφ), donc w0|=φ. Comme w|=(φφ),w0|=φφ.
On conclut donc w0|=φcomme attendu.
Question 7 (?)
Montrer que si φest valide dans la classe des structures transitives bien fondées,
alors φ[P:= ψ]aussi.
Correction 7
On procède par transformation de modèle. Fixons Pet ψ. Pour tout Kon va
construire un K0avec mêmes mondes, tel que K0, w |=φssi K, w |=φ[P:= ψ].
Ainsi, on aura bien K, w |=φ[P:= ψ]pour tout K(validité de φ[P:= ψ])
puisque K0, w |=φpour tout K0(validité de φ).
La construction est simple : K0est identique à Ksauf qu’on impose P
αK0(w)ssi K, w |=ψ. (En d’autres termes, on ne modie que la présence ou
l’absence de Pdans les α(w).) On vérie alors aisément par induction sur φque
K0, w |=φssi K, w |=φ[P:= ψ], pour tout w.
Si φ=Qest un atome diérent de P, alors QαK(w)ssi QαK0(w),
ce qui permet de conclure par dénition de la satisfaction pour un atome.
Si φ=ψ, alors K0, w |=ψest équivalent à K0, w0|=ψpour tout w
w0, lui même équivalent, par hypothèse d’induction sur ψ, à K, w0|=ψ
pour tout ww0, équivalent à K, w |=ψ.
Le cas de est immédiat.
Si φ=φ0ψ0, on conclut aisément par hypothèses d’induction, suivant
le même schéma que pour ψ.
Question 8
3. Pour faire une induction sur la bonne fondaison on voit cette notion comme une dénition
inductive : l’ensemble des mondes bien fondés est le plus petit ensemble de mondes tel que west
bien fondé dès que tous ses successeurs le sont. L’hypothèse de bonne fondaison de Krevient à
dire que tous ses mondes sont bien fondés selon la dénition précédente, ce qui permet de faire
une induction sur cette propriété inductive de w.
4. En supposant que la structure est à branchement ni, on pourrait se ramener à une induc-
tion sur l’entier naturel représentant la hauteur du monde w(longueur de la plus longue chaîne
partant de w). Sans le branchement ni, cette hauteur est un ordinal pas forcément ni, mais on
peut encore faire une induction transnie sur cette hauteur.
5. Enn, on pouvait ne pas faire d’induction du tout, mais une preuve par l’absurde. En adap-
tant le coeur du raisonnement on peut, à partir d’un w0qui ne satisfait pas la formule, construire
une chaîne innie w0w1. . . wn. . . de mondes (dont aucun ne satisfait la formule).
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