Logique de Gödel-Löb

Logique de Gödel-Löb
(DM de Logique 2016, Correction)
David Baelde
Résumé
Les questions particulièrement astucieuses sont marquées (?) ;
les plus techniques sont marquées (!).
Nous considérons le langage de la logique (propositionnelle) modale. Étant
donné un ensemble Pde constantes propositionnelles, ou atomes, on dénit l’en-
semble des formules φcomme suit :
φ::= P| ⊥ | φ⇒ψ|φoù P∈ P.
On écrira ¬φpour φ⇒ ⊥. Si Γ = {φ1, . . . , φn}est un ensemble ni de
formules, on utilisera les notations suivantes :
¬Γdef ={¬φ1,...,¬φn}
Γ⇒φdef =φ1⇒. . . ⇒φn⇒φ
Ce langage est évalué sur des structures de Kripke diérentes de celles vues
en cours pour la logique intuitionniste. On considèrera ici qu’une structure
de Kripke est donnée par (W,≺, α)où :
—West un ensemble de mondes ;
—≺ ⊆ W2est une relation sur les mondes ;
—α:W → 2Pest une fonction des mondes dans les ensembles d’atomes.
On notera que αest quelconque, pas forcément monotone.
Étant donné une structure K= (W,≺, α)et un monde w∈ W, on dénit
par induction sur φla relation de satisfaction K, w |=φ:
K, w 6|=⊥
K, w |=Pssi P∈α(w)
K, w |=φ⇒ψssi K, w |=φimplique K, w |=ψ
K, w |=φssi K, w0|=φpour tout w≺w0
Un structure K= (W,≺, α)et un monde w∈ W constituent un contre-
modèle du séquent Γ`∆quand K, w |=φpour tout φ∈Γet K, w 6|=ψpour
tout ψ∈∆.
1

Un séquent est valide quand il n’a pas de contre-modèle. Il est valide pour une
certaine classe de structures quand il n’a pas de contre-modèle dans cette classe.
On considèrera en particulier la classe des structures transitives (dans lesquelles
w≺w0≺w00 entraîne w≺w00) et celle des structures bien fondées (où il n’y
a pas de chaîne innie w1≺w2. . . wn≺wn+1 ≺. . ., ce qui correspond en fait
plutôt à la bonne fondaison de la relation renversée).
La logique de Gödel-Löb (GL) peut se dénir de façon axiomatique à la Hilbert,
en calcul des séquents, ou simplement comme l’ensemble des énoncés valides
pour la classe des structures transitives et bien fondées. Nous allons voir ces trois
présentations et montrer leur équivalence.
Il y a d’autres interprétations possibles de cette logique. La plus importante en
logique mathématique, qui vaut à GL le nom de logique de la prouvabilité, inter-
prète φcomme la prouvabilité de (l’interprétation de) φ. Par exemple, P⇒
Ps’interprète comme “pour toute formule φde l’arithmétique, si l’on peut prou-
ver qu’on peut prouver φ, alors on peut prouver φ”. On trouve aussi des utilisa-
tions de GL en bases de données XML mais aussi, de façon plus éloignée de nos
intérêts, en éthique.
Question 1
Donner des contre-modèles à moins de trois mondes pour les formules suivantes :
—φ⇒φ
—(φ⇒ψ)⇒(φ⇒ψ)
Correction 1
Non corrigé.
1 Calcul des séquents
On dénit en Figure 1 le calcul des séquents LGL, qui nous servira de première
dénition de GL. Dans la règle , la notation Γsignie {φ|φ∈Γ}. Dans
ce calcul, les membres Γet ∆des séquents sont des ensembles, et non des multi-
ensembles. La notation (Γ, φ)se lit en général Γ∪ {φ}, mais il est important de la Merci
GLB !lire comme une union disjointe dans la conclusion des règles de la Figure 1 : ainsi,
l’application d’une règle (lue du bas vers la haut) supprime la formule principale
du séquent.
Question 2
2

Γ, ψ `∆ Γ `φ, ∆
Γ, φ ⇒ψ`∆⇒LΓ, φ `ψ, ∆ Γ`φ⇒ψ, ∆⇒R
Γ,⊥ ` ∆⊥LΓ, φ `φ, ∆ax
Γ`∆
Γ, φ `∆wLΓ`∆ Γ`φ, ∆wR
Γ,Γ,φ`φ
Γ`φ
Figure 1 – Calcul des séquents pour GL
Dériver les formules suivantes dans LGL 1:
1. φ⇒φ
2. (φ⇒φ)⇒φ
3. (⊥ ⇒ φ)⇒(φ⇒ ⊥)⇒⊥
Correction 2
Non corrigé.
Question 3
Donner, pour chacune des trois formules précédentes, un contre-modèle soit non
transitif soit non bien fondé, et dans tous les cas avec moins de trois mondes.
Correction 3
Non corrigé.
Question 4
Montrer que, si Γ`φ⇒ψ, ∆est prouvable, alors Γ, φ `ψ, ∆aussi.
Correction 4
On procède par induction sur la dérivation de Γ`φ⇒ψ, ∆.
Si la dernière règle qui s’applique est ⇒Rportant sur φ⇒ψ, alors on conclut
immédiatemment :
Π1
Γ, φ `ψ, ∆
Γ`φ⇒ψ, ∆−→
Π1
Γ, φ `ψ, ∆
1. La modalité lie plus fortement que ⇒:φ⇒ψse lit (φ)⇒ψ.
3

Si la dernière règle qui s’applique porte sur une formule de ∆, alors on conclut
par hypothèse d’induction. Par exemple, si c’est ⇒R, portant sur (φ0⇒ψ0)∈∆
(ce qui n’exclut pas φ=φ0et ψ=ψ0) on conclut en utilisant la dérivation Π0
1
obtenue par hypothèse d’induction à partir de la sous-dérivation Π1originale :
Π1
Γ, φ0`φ⇒ψ, ψ0,∆0
Γ`φ⇒ψ, φ0⇒ψ0,∆0−→
Π0
1
Γ, φ, φ0`ψ, ψ0,∆0
Γ, φ `ψ, φ0⇒ψ0,∆0
Si la dernière règle est un aaiblissement sur φ⇒ψ, alors on a une dérivation
de Γ`∆ce qui permet de dériver Γ, φ `ψ, ∆par aaiblissements.
Si c’est un axiome sur φ⇒ψ, on conclut par ⇒Lsur (φ⇒ψ)∈Γpuis deux
axiomes sur φet ψ.
Question 5
Montrer que, si Γ, φ ⇒ψ`∆est prouvable, alors Γ, ψ `∆et Γ`φ, ∆aussi.
Correction 5
Similaire à l’argument précédent.
2 Présentation axiomatique
On considère maintenant la dénition axiomatique de GL. On dénit l’en-
semble de formules AGL comme le plus petit ensemble Stel que :
(AGL-1) si φ∈Salors φ∈S;
(AGL-2) (φ⇒ψ)⇒(φ⇒ψ)∈S, pour tous φet ψ; Merci
AL !(AGL-3) (φ⇒φ)⇒φest dans S, pour tout φ;
(AGL-4) toute formule purement propositionnelle valide 2est dans S;
(AGL-5) si φ⇒ψ∈Set φ∈Salors ψ∈S, pour tous φet ψ;
(AGL-6) Sest close par remplacement d’atomes par des formules quelconques.
Question 6
Montrer que (φ⇒φ)⇒φest valide dans la classe des structures transi-
tives bien fondées.
Correction 6
Soit une structure Ket un monde wde K. On montre w|=(φ⇒φ)⇒φ,
2. On parle ici d’une formule où la modalité n’apparaît pas, et la notion de validité est celle
du calcul propositionnel classique.
4

par induction sur la bonne fondaison 3 4 5 de w. On suppose w|=(φ⇒φ).
On veut montrer w|=φ: montrons w0|=φpour tout w≺w0. Par hy-
pothèse d’induction, w0|=(φ⇒φ)⇒φ. Par hypothèse d’induction,
w0|=(φ⇒φ), donc w0|=φ. Comme w|=(φ⇒φ),w0|=φ⇒φ.
On conclut donc w0|=φcomme attendu.
Question 7 (?)
Montrer que si φest valide dans la classe des structures transitives bien fondées,
alors φ[P:= ψ]aussi.
Correction 7
On procède par transformation de modèle. Fixons Pet ψ. Pour tout Kon va
construire un K0avec mêmes mondes, tel que K0, w |=φssi K, w |=φ[P:= ψ].
Ainsi, on aura bien K, w |=φ[P:= ψ]pour tout K(validité de φ[P:= ψ])
puisque K0, w |=φpour tout K0(validité de φ).
La construction est simple : K0est identique à Ksauf qu’on impose P∈
αK0(w)ssi K, w |=ψ. (En d’autres termes, on ne modie que la présence ou
l’absence de Pdans les α(w).) On vérie alors aisément par induction sur φque
K0, w |=φssi K, w |=φ[P:= ψ], pour tout w.
— Si φ=Qest un atome diérent de P, alors Q∈αK(w)ssi Q∈αK0(w),
ce qui permet de conclure par dénition de la satisfaction pour un atome.
— Si φ=ψ, alors K0, w |=ψest équivalent à K0, w0|=ψpour tout w≺
w0, lui même équivalent, par hypothèse d’induction sur ψ, à K, w0|=ψ
pour tout w≺w0, équivalent à K, w |=ψ.
— Le cas de ⊥est immédiat.
— Si φ=φ0⇒ψ0, on conclut aisément par hypothèses d’induction, suivant
le même schéma que pour ψ.
Question 8
3. Pour faire une induction sur la bonne fondaison on voit cette notion comme une dénition
inductive : l’ensemble des mondes bien fondés est le plus petit ensemble de mondes tel que west
bien fondé dès que tous ses successeurs le sont. L’hypothèse de bonne fondaison de Krevient à
dire que tous ses mondes sont bien fondés selon la dénition précédente, ce qui permet de faire
une induction sur cette propriété inductive de w.
4. En supposant que la structure est à branchement ni, on pourrait se ramener à une induc-
tion sur l’entier naturel représentant la hauteur du monde w(longueur de la plus longue chaîne
partant de w). Sans le branchement ni, cette hauteur est un ordinal pas forcément ni, mais on
peut encore faire une induction transnie sur cette hauteur.
5. Enn, on pouvait ne pas faire d’induction du tout, mais une preuve par l’absurde. En adap-
tant le coeur du raisonnement on peut, à partir d’un w0qui ne satisfait pas la formule, construire
une chaîne innie w0≺w1≺. . . ≺wn≺. . . de mondes (dont aucun ne satisfait la formule).
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