par induction sur la bonne fondaison 3 4 5 de w. On suppose w|=(φ⇒φ).
On veut montrer w|=φ: montrons w0|=φpour tout w≺w0. Par hy-
pothèse d’induction, w0|=(φ⇒φ)⇒φ. Par hypothèse d’induction,
w0|=(φ⇒φ), donc w0|=φ. Comme w|=(φ⇒φ),w0|=φ⇒φ.
On conclut donc w0|=φcomme attendu.
Question 7 (?)
Montrer que si φest valide dans la classe des structures transitives bien fondées,
alors φ[P:= ψ]aussi.
Correction 7
On procède par transformation de modèle. Fixons Pet ψ. Pour tout Kon va
construire un K0avec mêmes mondes, tel que K0, w |=φssi K, w |=φ[P:= ψ].
Ainsi, on aura bien K, w |=φ[P:= ψ]pour tout K(validité de φ[P:= ψ])
puisque K0, w |=φpour tout K0(validité de φ).
La construction est simple : K0est identique à Ksauf qu’on impose P∈
αK0(w)ssi K, w |=ψ. (En d’autres termes, on ne modie que la présence ou
l’absence de Pdans les α(w).) On vérie alors aisément par induction sur φque
K0, w |=φssi K, w |=φ[P:= ψ], pour tout w.
— Si φ=Qest un atome diérent de P, alors Q∈αK(w)ssi Q∈αK0(w),
ce qui permet de conclure par dénition de la satisfaction pour un atome.
— Si φ=ψ, alors K0, w |=ψest équivalent à K0, w0|=ψpour tout w≺
w0, lui même équivalent, par hypothèse d’induction sur ψ, à K, w0|=ψ
pour tout w≺w0, équivalent à K, w |=ψ.
— Le cas de ⊥est immédiat.
— Si φ=φ0⇒ψ0, on conclut aisément par hypothèses d’induction, suivant
le même schéma que pour ψ.
Question 8
3. Pour faire une induction sur la bonne fondaison on voit cette notion comme une dénition
inductive : l’ensemble des mondes bien fondés est le plus petit ensemble de mondes tel que west
bien fondé dès que tous ses successeurs le sont. L’hypothèse de bonne fondaison de Krevient à
dire que tous ses mondes sont bien fondés selon la dénition précédente, ce qui permet de faire
une induction sur cette propriété inductive de w.
4. En supposant que la structure est à branchement ni, on pourrait se ramener à une induc-
tion sur l’entier naturel représentant la hauteur du monde w(longueur de la plus longue chaîne
partant de w). Sans le branchement ni, cette hauteur est un ordinal pas forcément ni, mais on
peut encore faire une induction transnie sur cette hauteur.
5. Enn, on pouvait ne pas faire d’induction du tout, mais une preuve par l’absurde. En adap-
tant le coeur du raisonnement on peut, à partir d’un w0qui ne satisfait pas la formule, construire
une chaîne innie w0≺w1≺. . . ≺wn≺. . . de mondes (dont aucun ne satisfait la formule).
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