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Mathématiques
Option Spécifique
Stéphane Perret
Version 3.001

Table des matières
I Première année 1
1 Les principes de base de la logique 3
1.1 Le principe de non-contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Le principe du tiers exclu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Lesimplications................................ 4
1.4 La réciproque d’une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Leséquivalences................................ 5
1.6 Le contraire d’une expression bien formée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Lacontraposée ................................ 6
1.8 Trois méthodes pour démontrer des implications . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9 Contre-exemples................................ 8
1.10 La découverte des nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Le théorème fondamental de l’arithmétique et sa preuve 11
2.1 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Le théorème fondamental de l’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Existence de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Unicité de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Il y a une infinité de nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Première démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Deuxième démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Les anneaux 17
3.1 Définitions................................... 17
3.2 L’anneau des matrices de taille 2 fois 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Les anneaux de congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.2 Lescongruences............................ 20
4 Les équations diophantiennes 23
4.1 Calcul du pgcd, algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Théorème de Bezout, algorithme d’Euclide étendu . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Théorème de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.2 L’algorithme d’Euclide étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.3 Lemme de Gauss (généralisation du lemme d’Euclide) . . . . . . . 26
4.3 Les équations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Annexe sur la relation entre les droites et les équations diophantiennes . 31
4.5 Annexe sur l’algorithme d’Euclide étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
i

Lycée cantonal de Porrentruy
Mathématiques : cours OS
Cours de Mathématiques
5 Systèmes de restes chinois 37
5.1 Un exemple de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Leppcm.................................... 37
5.3 Résolution de systèmes de restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Les bases de la cryptographie et le code RSA 41
6.1 Introduction au principe de cryptographie . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Le système de cryptographie RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2.1 Miseenplace ............................. 42
6.2.2 Sûreté du système RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2.3 ThéorèmeRSA ............................ 43
6.2.4 Méthode de codage et de décodage . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7 Fractals 45
7.1 Introduction.................................. 45
7.2 Fractalisation dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2.1 Les applications affines et les matrices . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2.2 Addition de transformations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2.3 Composition de transformations linéaires . . . . . . . . . . . . . . 48
7.2.4 Exemples de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.3 Créationdefractals.............................. 50
7.3.1 Description d’une MCRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.4 LejeuduChaos................................ 54
7.4.1 Unesurprise.............................. 54
7.4.2 Le jeu du chaos et les attracteurs des MCRM . . . . . . . . . . . 55
7.5 Dimension d’ensembles auto-semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.5.1 Dimension des fractals auto-semblables . . . . . . . . . . . . . . . 59
8 Codes correcteurs d’erreurs 61
8.1 Introduction : Le sport-toto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2 Codes correcteurs d’erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2.1 La méthode des spécialistes du radar . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.3 LecodedeHamming............................. 64
8.4 LescodesISBN................................ 67
8.4.1 LecodeISBN-10 ........................... 67
8.4.2 LecodeISBN-13 ........................... 67
9 Les colorations de Pólya 69
9.1 Groupes de permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.2 Groupes .................................... 71
9.3 Les actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.4 Les théorèmes de Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
S. Perret page ii Version 3.001

Cours de Mathématiques
Mathématiques : cours OS
Lycée cantonal de Porrentruy
II Deuxième année 75
10 Nombres complexes 77
10.1Introduction.................................. 77
10.2 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10.2.1 Construction géométrique du nombre imaginaire . . . . . . . . . . 78
10.2.2 Les deux façons de décrire un nombre complexe . . . . . . . . . . 80
10.2.3 L’addition de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.2.4 La multiplication de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . 82
10.2.5 Le conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.2.6 La division de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.2.7 La formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.2.8 Les racines énièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . 84
10.3 Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.3.1 Le théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.3.2 Résolution d’équations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . 85
10.3.3 Résolution d’équations du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . 85
10.3.4 Résolution d’équations du troisième degré . . . . . . . . . . . . . 86
10.4 D’autres valeurs exactes de cosinus et de sinus . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.5 Une projection stéréographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.6 Les fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.6.1 Définition ............................... 90
10.6.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.6.3 Isométries, similitudes et similitudes rétrogrades . . . . . . . . . . 91
10.6.4 Pointsfixes .............................. 92
10.6.5 Deux exercices avec leur corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11 L’ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia 97
11.1Préliminaires ................................. 97
11.1.1 Suites de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.1.2 Module et inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.1.3 Inégalité triangulaire renversée (ITR) . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.1.4 Boules centrées à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.1.5 Suitesbornées............................. 98
11.1.6 Notation pour les compositions de fonctions . . . . . . . . . . . . 98
11.2 L’ensemble de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.2.1 Une première propriété de l’ensemble de Mandelbrot . . . . . . . 99
11.2.2 En route vers les représentations graphiques . . . . . . . . . . . . 100
11.2.3 Algorithme en Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.2.4 Représentations graphiques de l’ensemble de Mandelbrot . . . . . 102
11.2.5 Une autre propriété de l’ensemble de Mandelbrot . . . . . . . . . 103
11.3 Les ensembles de (Gaston) Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.3.1 Représentations graphiques d’ensembles de Julia . . . . . . . . . . 104
12 Séries et développements de Taylor 105
12.1 Les séries arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12.1.1 Le symbole somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12.1.2 Séries arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12.1.3 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
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