TP COMPOSANTS PASSIFS 12/13 Dimensionnement des composants passifs d’un convertisseur Buck SOF IA NE AÏ T CH ABA NE ROM AIN GI R ARD UFR PhITEM - Université Joseph Fourier Master EEATS 1année, majeure SEE Résumé— Le sujet de ce BE est le dimensionnement du filtre LC constituant un convertisseur Buck. En premier lieu, nous étudierons un modèle parfait de la structure afin de dimensionner les composants passifs en question et faire un choix de composants disponibles sur le marché. À partir de ces choix, nous compléterons l’étude en tenant compte des éléments parasites tout en respectant les contraintes imposées dans le cahier des charges. I. INTRODUCTION Fig. 1 Schéma du montage Buck Dès le début des années 1980, le monde a commencé à se préoccuper de la gestion de l'énergie dans divers domaines. Celle-ci est devenue une nécessité depuis la prise de conscience des sources d'énergies limitées en plus d'êtres polluantes. Fabriquer des dispositifs non optimisés eu égard à leurs pertes est alors devenu inconcevable, que ce soit dans le domaine des très hautes puissances que des petites, utilisées par le grand-public. La recherche d’un rendement élevé et la qualité des tensions d’alimentation sont des critères essentiels. Les alimentations à découpage fonctionnent sur le principe de stockage inductif d’énergie où sa restauration est effectuée lors de la demande de la charge. Dans ce BE, nous sommes amenés à travailler sur les composants passifs d’un hacheur abaisseur dit Buck. C’est un convertisseur de tension continue-continue (DC/DC) qui sort en sortie une tension réglable de plus faible valeur que celle fournie en entrée. Comment fonctionne ce convertisseur et par quelles approches le dimensionnerons-nous ? La source de courant continu E (batterie) est en convention générateur. Tous les autres éléments sont en convention récepteur. Les courants respectifs traversant chaque élément seront noté « i » suivis du même indice que les tensions associées. Mode de fonctionnement : Le cahier des charges impose un fonctionnement en limite de conduction continue. C'est-à-dire que le courant dans l’inductance démarre de zéro en début de période (t=0) et s’annule à t=T, exclusivement. Formes d’ondes Ce convertisseur est commandé par commutation du transisitor. Il y a deux configurations envisageables: • Passant de 0 à T: L’interrupteur K est fermé. La tension aux bornes de l’inductance vaut . Le courant dans l’inductance augmente linéairement avec une pente de . La tension aux bornes de la diode est négative, donc la diode est bloqué. On fait l’hypothèse que est constant et que ne change pas. (Valable sur toute la période T). La caracteristique du courant sera identique à celle de mais décalée de manière à obenir (Proprieté du condensateur). • Bloqué de T à T : Cahier des charges Puissance à fournir : 50W Tension de sortie : 10V Tension d’entrée : 24 V (batterie) Fréquence de découpage : 20kHz Ondulation de tension max : 5% de la tensio de sortie Vs Rendement : 95% Mode de fonctionnement : Limite de conduction continue. L'interrupteur K est ouvert. . Sachant que le courant dans une inductance ne peut subir de variation brusque, la diode devient donc passante afin d'assurer la continuité du courant dans l'inductance. La tension aux bornes de l'inductance vaut .Par conséquent, le courant traversant l'inductance décroît avec une pente de . Les formes d’ondes tracées sont considerées en régime pérmanent, c'est-à-dire qu’elles resterons inchangées à chaques période. Les signaux à la fin de chaque période corréspond à celles du début de la précédente. II. FONCTIONNEMENT DU MONTAGE Schéma de la structure : 1 Le choix de l’inductance revient au choix du noyau magnétique ETD à utiliser, sur lequel s’effectuera le bobinage. Celui-ci peut être caractérisé par divers paramètres physiques, à savoir le type de matériau, la taille, la géométrie etc. Cependant, le critère à étudier pour un choix optimal est le « produit des aires » noté Ae.Sf. Le produit de Ae (surface utile au flux) avec Sf (surface de la fenêtre bobinable) est lié au volume et à l’énergie magnétique max stockable. (10) Le courant max admissible dans la bobine est de Imax=10A. Nous prendrons un coefficient de bobinage de Kb=0.4 qui représente la place perdue entre les parties actives du bobinage. Dans notre cas la densité de courant J vaut 5A/m²v (valeur typique). Nous aurons également besoin de la valeur efficace du courant : Fig. 2. Formes d'ondes en régime pérmanent (11) III. ETUDE DU MODELE PARFAIT Le produit des aires vaut donc : Dans un premier lieu, considérons la structure sans les résistances série parasites. Ceci nous permettera de determiner l’inductance et le condensateur à utiliser de manière simple mais pas pour autant érronée. De cette manière nous aurons une idée des ordres de grandeur cohérante. A partir des composants choisis subséquement, la détermination des résistances associées ce fera à partir des données fournies par le constructeur, dont elles sont fonction. Il suffit de choisir à présent un noyau magnétique à partir des datasheets disponibles. Nous determinerons celui-ci d’après le document [1]. Nous choisirons le noyau magnétique PQ20/20 de type 3F3 car il est possible de l’utiliser à la fréquence de fonctionnement souhaitée. La surface utile donnée est de et la surface bobinable (12) A. Mise en équation de la structure D’après les formes d’ondes déterminées précédemment et les lois de Kirchhoff, nous avons pu en déduire les expressions suivantes : est bien validée. Après avoir choisi A, nous nous rendons compte que le champ d’induction magnétique souhaité sera supérieur à celui du noyau ETD choisit. (13) et Blim=0.32T Comme Bmax>Blim, nous devons trouver la bonne perméance pour ne pas saturer le noyau. L’ajout d’un entrefer est alors indispensable. • Determination de l’entrefer : Phase 1 : de 0 à αT. (1) (2) Phase 2 : de αT à T. (3) (4) (5) (6) (7) Pour cela, calculons le nombre de spires eu égard au champ magnétique Blim souhaité : (14) N A présent, calculons l’entrefer à partir de ce nombre N de spires B. Détermination de l’inductance L Nous allons tout d’abord déterminer la valeur de l’inductance L à partir de l’écriture de la valeur moyenne du courant. (15) . Il existe des petites plaquettes qui permettent de réaliser des entrefers, dans notre cas, nous prendrons une de 0.6 mm d’épaisseur. Le constructeur de l’ETD propose le même noyau avec cet entrefer. Finallement le noyau qu’on choisi est l’ETD PQ20/20 – 3F4 – A160 d’après le document[1]. La valeur de l’entrefer choisi est un petit peu supérieure à celle calculée, nous devons alors recalculer le nombre de spires correspondant. (8) On en déduit L : (9) L .Son produit des aires . La condition vaut donc Dimensionnement de l’inductance L 2 En dérivant l’expression de point max de se trouve à (16) finallement. (25) Nous trouvons que dans le cas ou on fait une étude en régime pérmanent, où les signaux en début de période sont similaires à ceux de la fin. donc Dimensionnement des fils Nous allons calculer la section des fils à l’aide de l’épaisseur de peau. Nous savons qu’en basse fréquence, le courant transitant à travers une section de fil de cuivre, prend toute la surface : la réparation des charges est homogène. En haute fréquence, en revanche, le courant est repoussé vers les bords d’autant plus qu’on élève la fréquence. Les conséquences sont qu’une partie considérable du cuivre (dont le prix est élevé) n’est pas utilisée et les pertes engendrées sont d’autant plus importantes. Il nous faut donc un condensateur qui puisse supporter 10 V en continu et qui limite l’ondulation de tension de Vs à 5% de Vsmoy. A l’aide du document [2] nous avons choisi le condensateur « FELSIC 125 FRS (BC) CO 47 » de valeur nominal 220 µF et de tension nominal 16 V. (17) D. Test du convertisseur (de rayon).Avec la résistivité ρ du cuivre qui vaut . La section max du fil est alors (18) . Nous prendrons donc des fils de 0.9 mm de diamètre. Vérifions aussi si le fil peut supporter le courant qui le traversera . Le courant max par fil est : (19) .Sachant que nous aurons un courant efficace de 5.77 A qui circulera dans ce fil, le nombre de fils necessaires est : . Deux fils en parallèle lors du bobinage sont alors necessaires afin de pouvoir faire circuler le courant assurant le bon fonctionnement du montage. Dans cette partie nous allons tester le fonctionnement du montage à l’aide du logiciel PSIM, afin de valider la cohérance de nos calculs. Fig. 3. Schéma du montage En premier lieu, la phase de test se fera sans les résistances série parasites de l’inductance et du condensateur ( et ). C. Dimensionnement du condensateur C Le condensateur de sortie C sert à filtrer la tension de sortie. Plus la valeur de C est grande, plus le signal de sortie est lissé, mais d’autre part, le courant absorbé atteint des pics plus considérables. Les paramètres dimensionnants d’un condensateur sont sa capacité et la tension max qu’il peut supporter. La valeur du condensateur nous sera donnée à partir de , valeur crête-à-crête du signal Vs en régime pérmanent dont il dépend. Observons l’allure de Vs(t) D’après la loi des nœuds nous pouvons écrire Fig. 4. Vs=f(t) La tension Vs(t) correspond au cahiers des charges, la tension moyenne du signal , l’ondulation max de . La tension moyenne relevée aux bornes de l’inductance . Le courant moyen traversant la bobine est au lieu de 5 A théorique. Phase 1 : de 0 à αT En dérivant l’expression de point max de se trouve à nous avons trouvé que le et donc : nous avons trouvé que le donc : Phase 2 : de αT à T 3 <Vs>=10V. C’est la valeur souhaitée. Cette valeur ne respecte pas celle du cahier des charges qui impose une valeur de 0.5. Un redimensionnement s’avère alors necessaire malgré la valeur de la puissance en sortie Ps=49,97W Fig. 5. IL=f(t) et UL=f(t) La courbe ic(t) correspond bien à celle voulue par le cahier des charges. Avec . Fig. 7. Vs=f(t) et Is=f(t) La tension moyenne relevée aux bornes de l’inductance . Le courant moyen traversant la bobine est au lieu de 5 A théorique. Les résistances série n’influent que très peu sur les caractéristiques de l’inductance. Fig. 6. Ic=f(t) Le dimensionnement effectué satisfait les contraintes posées par le cahier des charges. Cependant, c’est un modèle parfait, dont nous éstimerons par la suite sa fidélité à la réalité. IV. ETUDE DU MODELE REEL Dans cette partie nous prendrons en compte les résistances série parasites de l’inductance et du condensateur. A. Determination des resistances parasites Résistance de l’inductance Sachant que notre diametre de fil est de 0.9 mm (un peu plus petit que le diamètre de peau), nous pouvons calculer la longueur totale de fil à prendre pour le bobinage de l’inductance. Fig. 8. VL=f(t) et IL=f(t) La tension mais soulignons que . Ceci est due aux résistances parasites, modifiant tensions et courants. Cependant, celles-ci sont relativement de faibles valeurs, ce qui explique cette ressemblance. La courbe ic(t) correspond bien à celle voulue par le cahier des charges. Avec , fluctant entre -5 A et 5 A. Avec r : rayon du fil. ltot Donc la résistance . Cependant nous avons précisé précedemment que nous mettions deux fils en parallèle ce qui revient à deux résistances en parallèles : Résistance du condensateur Pour la determiner, nous avons tout simplement regardé dans la documentation[2] du condensateur choisi. Nous avons relevé la resistance serie (aussi appelé ESR) (à haute fréquence). Fig. 9. Vc=f(t) et Ic=f(t) A. Simulation sur PSim Observons le comportement du système avec l’ajout des nouveaux éléments. Voir fig. 3. Schéma du montage. Observons la courbe de Vs : Nottons aussi que pour avoir les même signaux que ceux observés dans le cas idéal, il faut compenser l’ajout des 4 résistances série par une augmentation de la valeur de l’inductance, la capacité n’influant que sur la forme du signal. B. Méthode de dimensionnement Nous proposons une autre méthode qui nous semble plus correcte eu égard à l’imperfection des composants considérés : Grâce à la loi des mailles, on détérmine l’expression de IL(t) à partir de l’equation différentielle associée. Conditions initiales : IL(t)=0. Après résolution, on trouve la solution suivante : On utilise la relation des valeurs moyennes suivantes : <IL>=<Is>= . On obtient ainsi une première équation en fonction de . <IL(t)> Nous obtenons une seconde équation en utilisant le rendement qui nous donnera la puissance de sortie, celle-ci étant fonction de L’expression des pertes dans les résistances est : écrire Toujours en se servant de la loi des mailles, on peut En découle l’équation différentielle suivante : Un des cas limite peut s’écrire : Avec . Ic , en fonction de C et Rc est détérminable grâce à son équation différentielle et sa valeur moyenne <Ic(t)>=0. Nous nous retrouvons avec trois équations à quatre inconnues. Nous n’arrivons pas à savoir si une des quatres inconnues est un parametre dépendant des autres. V. CONCLUSION L’étude menée sur ce convertisseur Boost a pérmis, malgré un dimensionement réaliste non réalisé, de mettre en évidence l’ampleur des effets induits par les élements parasites des composants passifs utilisés. En effet, malgré leur faible valeur, les résistances parasites nous ont mené à redimensionner l’inductance et la capacité du filtre LC du hacheur. Nonobstant le respect de plusieurs conditions, le taux d’ondulation, lui ne respecte plus le cahier des charges et faille au but primaire du Boost : fournir une tension continue viable. REFERENCES [1] [2] Ferroxcube, Soft Ferrites and Accessories 2005 p. 691 Würth Elektronik, Electronic Interconnect & Electromechanical Solutions SIC-SAFCO : Condensateurs Electrolytiques Aluminium 2008 p. 34 5