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Préparation BREVET 2013
Je revois le cours… DIVISIBILITE
a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠ 0.
On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier positif n tel que : a = n × b.
Critères de divisibilité :
Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son dernier chiffre est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son dernier chiffre est 0.
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exercice : critères de divisibilité
Compléter le tableau suivant avec oui ou non.
Exercice : divisibilité
Un confiseur dispose de 966 bonbons aux
fruits et de 690 caramels. Il souhaite faire des petits
paquets tous identiques, en utilisant tous les bonbons
et caramels.
Le confiseur peut-il faire 115 paquets ? 69 paquets ?
Justifier.
115 ne divise pas 966 donc le confiseur ne peut pas
faire 115 paquets.
En revanche 69 est un diviseur commun de 966 et
690 donc le confiseur peut réaliser 69 paquets.
Exercice : divisibilité
Les lignes de bus A et B passent par le même arrêt. A 8 h 20 min, un bus de la ligne A et un bus de la ligne
B sont présents en même temps à cet arrêt. Les bus de la ligne A passent toutes les six minutes et les bus de la
ligne B passent toutes les dix minutes.
Indiquer à quelle heure deux bus des lignes A et B seront de nouveau ensemble à cet arrêt.
Parmis les multiples de 6 et de 10 le plus petit multiple est 30. Donc les bus se rencontreront à nouveau dans 30
minutes. Soit 8h50 min.
Exercice : pour la seconde
1. Matthieu a choisi trois nombres entiers consécutifs, les a additionnés et a remarqué que leur somme est un
multiple de 3. Il recommence avec trois autres nombres entiers consécutifs et il effectue la même
remarque. Renouveler cette expérience. Que remarque-t-on ? Comment peut-on prouver que la somme de
trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3 ?
2. Pedro en déduit que l’on peut également affirmer que la somme de quatre nombres entiers consécutifs est
toujours un multiple de 4, que la somme de cinq nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 5,
etc. A-t-il raison ?
1. Si n est un nombre entier alors n + 1 et n + 2,
alors n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1).
Effectivement la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
2. n, n + 1, n + 2, n + 3 sont quatre entiers consécutifs. n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 n’est pas un multiple
de 4. (on peut aussi vérifier que 4 + 5 + 6 + 7 = 22 qui n’est pas un multiple de 4)
n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n + 10 = 5(n + 2) donc un multiple de 5.