Je revois le cours… DIVISIBILITE

Préparation BREVET 2013
Je revois le cours…
DIVISIBILITE
a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠ 0.
On dit que b est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier positif n tel que : a = n × b.
Critères de divisibilité :
Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son dernier chiffre est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son dernier chiffre est 0.
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exercice : critères de divisibilité
Compléter le tableau suivant avec oui ou non.
est divisible par
2
3
5
9
10
413
N
N
N
N
N
540
O
O
O
O
O
7 834
O
N
N
N
N
2 175
N
O
O
N
N
81 316
O
N
N
N
N
Exercice : divisibilité
Un confiseur dispose de 966 bonbons aux
fruits et de 690 caramels. Il souhaite faire des petits
paquets tous identiques, en utilisant tous les bonbons
et caramels.
Le confiseur peut-il faire 115 paquets ? 69 paquets ?
Justifier.
115 ne divise pas 966 donc le confiseur ne peut pas
faire 115 paquets.
En revanche 69 est un diviseur commun de 966 et
690 donc le confiseur peut réaliser 69 paquets.
Exercice : divisibilité
Les lignes de bus A et B passent par le même arrêt. A 8 h 20 min, un bus de la ligne A et un bus de la ligne
B sont présents en même temps à cet arrêt. Les bus de la ligne A passent toutes les six minutes et les bus de la
ligne B passent toutes les dix minutes.
Indiquer à quelle heure deux bus des lignes A et B seront de nouveau ensemble à cet arrêt.
Parmis les multiples de 6 et de 10 le plus petit multiple est 30. Donc les bus se rencontreront à nouveau dans 30
minutes. Soit 8h50 min.
Exercice : pour la seconde
1. Matthieu a choisi trois nombres entiers consécutifs, les a additionnés et a remarqué que leur somme est un
multiple de 3. Il recommence avec trois autres nombres entiers consécutifs et il effectue la même
remarque. Renouveler cette expérience. Que remarque-t-on ? Comment peut-on prouver que la somme de
trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3 ?
2. Pedro en déduit que l’on peut également affirmer que la somme de quatre nombres entiers consécutifs est
toujours un multiple de 4, que la somme de cinq nombres entiers consécutifs est toujours un multiple de 5,
etc. A-t-il raison ?
1. Si n est un nombre entier alors n + 1 et n + 2,
alors n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1).
Effectivement la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
2. n, n + 1, n + 2, n + 3 sont quatre entiers consécutifs. n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 n’est pas un multiple
de 4. (on peut aussi vérifier que 4 + 5 + 6 + 7 = 22 qui n’est pas un multiple de 4)
n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n + 10 = 5(n + 2) donc un multiple de 5.
Préparation BREVET 2013
Je revois le cours…
NOTION DE PGCD
a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.
Le PGCD de a et b est le plus grand des diviseurs communs des nombres a et b.
On dit que deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exercice : algorithme d’Euclide
Compléter le calcul du PGCD de 1 078 et 322
par l’agorithme d’Euclide.
Dividende Diviseur Reste
1 078
322
112
322
112
98
112
98
14
98
14
0
Exercice : PGCD
Déterminer le PGCD de 592 et de 999.
Justifier.
Pour déterminer le PGCD de 592 et de 999, on
utilise l’algorithme d’Euclide :
Dividende Diviseur Reste Le PGCD de 592 et
999
592
407 999 est 37.
592
407
185
407
185
37
185
37
0
Exercice : premiers entre eux
1) Les nombres 32 et 27 sont-ils premiers entre eux ? Justifier la réponse.
Le PGCD de 32 et de 27 est égal à 1. Donc les nombres 32 et 27 sont premiers entre aux.
2) Justifier, sans calcul, que 965 et 7 610 ne sont pas premiers entre eux.
Les nombres 965 et 7 610 ont pour diviseurs communs 5. Donc les nombres 965 et 7 610 ne sont pas premiers
entre eux.
Exercice : problème PGCD
Un artisan doit carreler une cuisine rectangulaire de dimensions 2,6 m sur 3,8 m. Il souhaite utiliser le nombre
minimal de carreaux carrés sans faire de découpe. Quel est alors le côté du carreau et quel est le nombre de
carreaux nécessaires pour carreler la cuisine (on ne tient pas compte de l’épaisseur du joint) ?
Les dimensions de la cuisines sont 260 cm sur 380 cm. Le côté du carreau doit être un diviseur de la longueur et
de la largeur . Donc un diviseur commun de 260 et de 380. De plus, on cherche a obtenir le minimum de carreau.
Pour se faire, on cherche le plus grand commun diviseur de 260 et de 380 par la méthode d’Euclide.
Dividende Diviseur Reste Le côté du carreau est de 20 cm.
380
260
120
Il faut sur la longueur 380/20 = 19 carreaux.
260
120
20
Et, pour la largeur 260/20 = 13 carreaux.
120
20
0
Soit pour recouvrir la cuisine 19 × 13 = 247 carreaux.
Exercice : problème PGCD
Un collectionneur de timbres décide de se séparer d’une partie de sa collection, soit 3 283 timbres français et
2 144 timbres étrangers. Pour cela, il souhaite faire des lots de la manière suivante :
 Tous les lolts sont identiques ;
 Le stock de timbres doit être entièrement réparti.
Déterminer le nombre maximum de lots que peut constituer le collectionneur, ainsi que le nombre de timbres
français et de timbres étrangers dans chaque lot.
Le nombre de lot est un diviseur commun de 3 283 et 2 144. De plus, on veut le plus grand nombre de lot.
Soit le PGCD de 3 283 et 2 144. PGCD(3 283 ; 2 144) = 67. Il peut faire 67 lots.
Dans se cas là : Il y aura dans chaque lot 3 283/67 = 49 timbres français et 2 144/67 = 32 timbres étrangers.
Préparation BREVET 2013
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FRACTIONS IRREDUCTIBLES
Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction est
irréductible.
Si l’on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD, alors la fraction obtenue est
irréductible.
Exercice : Fractions irréductibles
Rendre irréductibles les fractions suivantes :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercice : type brevet
Pour fêter son jumelage avec une ville d’Italie, une commune française organise des rencontres sportives entre les
élèves de troisième des deux villes. Les organisateurs souhaitent constituer le plus grand nombre possible
d’équipes comprenant chacune un même nombre d’élèves français et un même nombre d’élèves italiens.
1. Sachant qu’il y a 294 élèves français et 210 élèves italiens, quel est le plus grand nombre d’équipes que l’on
peut composer ?
Pour déterminer le plus grand nombre d’équipe, on calcule le PGCD de 294 et de 210.
PGCD(294 ; 210) = 42.
On peut faire 42 équipes.
2. Combien y a-t-il d’élèves de chaque pays par équipe ?
294/42 = 7 élèves français pour 210/42 = 5 élèves italiens.
Exercice : type brevet
1. Calculer PGCD(2 983 ; 1 099).
On calcule le PGCD par l’algorithme d’Euclide.
Le PGCD de 2 983 et de 1 099 est 157.
2. Rendre irréductible la fraction
en expliquant la méthode choisie.
Pour rendre irréductible la fraction, on simplifie par le PGCD.
3. Calculer
.
Dividende Diviseur Reste
2 983
1 099
785
1 099
785
314
785
314
157
314
157
0