Calcul différentiel et fonctions holomorphes

Calcul différentiel et fonctions holomorphes
Pierron Théo
ENS Ker Lann

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Table des matières
I Calcul différentiel 1
1 Fonctions différentielles 3
1.1 Définitions et propriétés élémentaires .............. 4
1.2 Applications n-linéaires ...................... 6
1.3 Différentielle de fonctions composées .............. 9
1.4 Différentielles partielles ...................... 10
1.4.1 Différentielles partielles .................. 10
1.4.2 Fonctions définies sur un produit ............ 11
2 Théorème des accroissements finis 15
2.1 Le cas de la variable réelle .................... 15
2.2 Cas général ............................ 17
2.3 Applications ............................ 18
2.3.1 Différentielle nulle implique fonction constante . . . . . 18
2.3.2 Différentielles partielles .................. 18
2.3.3 Différentielle d’une suite de fonctions .......... 20
3 Différentielles et formule de Taylor 23
3.1 La variable réelle ......................... 23
3.2 Différentielle d’ordre supérieur .................. 25
3.3 Formes différentielles ....................... 28
3.4 Fonctions convexes ........................ 30
3.4.1 Cas réel .......................... 30
3.4.2 Cas général ........................ 31
3.5 Différentielle d’ordre supérieur .................. 31
3.6 Formules de Taylor ........................ 32
4 TIL et TFI 35
4.1 Théorème d’inversion locale ................... 35
4.2 Théorème des fonctions implicites ................ 39
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ii TABLE DES MATIÈRES
5 Problèmes d’extrema 41
5.1 Problème général ......................... 41
5.2 Extrema liés ............................ 43
6 Sous variétés différentiables de Rn45
6.1 Introduction : courbes et surfaces ................ 45
6.1.1 Courbes dans R2(C1).................. 45
6.1.2 Surfaces dans R3..................... 46
6.2 Sous-variétés Ckde dimension dde Rn............. 47
6.3 Espaces tangents ......................... 48
II Fonctions holomorphes 49
7 Premières propriétés 51
7.1 Définition ............................. 51
7.2 Séries entières ........................... 52
7.3 Conditions de Cauchy-Riemann ................. 53
7.4 Intégration sur des chemins ................... 54
8 Théorème de Cauchy et conséquences 59
8.1 Le cas convexe .......................... 59
8.2 Le logarithme ........................... 63
8.3 Théorème des zéros isolés .................... 64
8.4 Singularités ............................ 65
8.5 Le théorème des résidus ..................... 67
8.6 Principe du maximum ...................... 72
9 Généralisations 77
9.1 Exemple .............................. 77
9.2 Intégrale sur des cycles ...................... 78
9.3 Exemple de calculs d’intégrales ................. 79

Première partie
Calcul différentiel
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