TES 2011-2012 corriges

MATHEMATIQUES
TES 2011-2012
Corrigés des devoirs
DS1 28/09/2011 page2-6
DV 06/10/2011 page 7
DV 13/10/2011 page 8-9
DV 10/11/2011 page 10-11
DS2 23/11/2011 page 12-17
DV 06/12/2011 page 18
DV 09/01/2012 page 20
Bac Blanc 13/01/2012 page 21-26
DS4 08/02/2012 page 27-32
DV 12/03/2012 page 33-34
DS5 28/03/2012 page 35-39
DV 30/04/2012 page 40 ( calcul intégral )
DS 09/05/2012 page 41
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 1 sur 46
TES Bleue et pervenche 28/09/2011
EXERCICE I : ( 3 points )
On considère la fonction
1° Calculer
définie sur
et montrer que pour
par
∈
: =
.
=
2° Etudier les variations de la fonction, puis dresser le tableau de variations (les limites en −∞ et en +∞ non demandées).
3° Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
1° Calcul de la dérivée :
Pour tout de
= =1
= ² + 1
=2
Avec
=
=
1×
.
.
+1 −2 ×
+1 ²
, on a :
2° Signe de la dérivée :
−∞
+
1−
−
1+
+
+1
−
′
−1
0
+
0
=
+1−2
+1
+
+
1
0
+
+
0
=
−
−
1−
+1
+
=
+∞
1² −
+1
=
1−
1+
+1
Racine : 1
Racine : -1
Pas de racine
On en déduit le sens de variation de la fonction !
La fonction est : strictement décroissante sur ] − ∞;−1],
strictement croissante sur [−1; 1]
et strictement décroissante sur [1;+∞[
Tableau de variation de la fonction !
−∞
−1
−
0
+
′
½
1
0
−
+∞
-1/2
3° Equation de la tangente à la courbe &! au point d’abscisse 0 :
1−0
= 1 0 = 0
0 +1
(=
0 × − 0 + 0 ⟺ ( =
Ainsi, une équation de la tangente à au point d’abscisse 0 est : ( =
0 =
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 2 sur 46
EXERCICE II : ( 4,5 points )
La courbe (C) est la représentation graphique d’une fonction
définie et dérivable sur
[− 3; 3] dans un repère orthogonal.
La courbe (C) vérifie les quatre conditions suivantes elle passe par l’origine O du repère et par le point A(−3 ; 9) ;
elle admet au point B *; −
y
A
+
,
une tangente horizontale et elle admet la droite (OA) pour tangente en O.
9
y
(C)
2
1
schéma 1
8
7
-4
-3
-2
-1
6
5
4
1
2
3 x
1
2
3
y
4
3
2
1
3
2
0
-1
-2
-3
-4
schéma 2
1
O
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4
x
-3
-2
-1
B
-2
Equation de la droite -. : ( = −3
-1
0
-1
-2
-3
x
1. Donner sans justifier une équation de la droite (OA) et de la tangente en B.
Equation de la tangente en 1: ( = −
2. Donner sans justifier : 0 ,
Images :
−3 ,
2
attention à la différence d’unités
3
coefficient directeur : 0,
l’énoncé donne l’ordonnée de B :
1 ,
’
0 56 ’ 1 .
0 = 0 −3 = 9 1 = −
2
3
Nombres dérivés :
0 = −3 c’est le coefficient directeur de la tangente à
1 = 0
2
3
au point O d’abscisse 0.
c’est le coefficient directeur de la tangente en B d’abscisse 1
3. Recherche du schéma donnant la représentation graphique de la fonction dérivée ’ de la fonction .
Sur la courbe donnée de la fonction , on lit le sens de variation de , on déduit le signe de sa dérivée ′
−3
′
1
−
3
Lu
-5/3
0
+
Déduit
On élimine le schéma 1 qui ne représente pas une fonction positive sur [1; 3]
Les schémas 2 et 3 représentent une fonction ayant le signe voulu .
De plus, on a vu que
0 = −3 ,
or la courbe du schéma 2 ne passe pas par le point de coordonnées 0; −3 ;
seule la courbe du schéma 3 passe par le point de coordonnées 0;−3 ,
Ainsi , par élimination et sachant que l’une des trois courbes représente ′ , c’est le schéma 3 qui
représente !′
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 3 sur 46
est définie sur [−3; 3] par
4. On suppose que
−3 = 956 1 = −
4.a. On a :
Or
56
−3 =
1 =
3
−3
3
+ 8 −3
=
2
3
3
3
+8
+ 9 −3 = −9 + 98 − 39
+9
où 8 et 9 sont des réels.
1
1
× 13 + 8 × 1 + 9 × 1 = + 8 + 9
3
3
Donc on a le système : :
4.b. Résolvons
−3 = 9
1 =
2
−
3
−9 + 98 − 39 = 9
98 − 39 = 18
38 − 9 = 6
2
2 ⟺:
⟺:
⟺<
8+9 =− −
+
8
+
9
=
−
8
+ 9 = −2
3
3
3
3
38 − 9 = 6
48 = 4
8=1
38 − −2 − 8 = 6
⟺<
⟺<
⟺<
8 + 9 = −2
9 = −2 − 8
9 = −3
9 = −2 − 8
<
=
La fonction étudiée est définie par
3
3
+
EXERCICE III : (4.5 points )
On donne la courbe représentative d’une fonction
y
−3
définie sur [−2; 12]
D:y=x
8
7
6
Cf
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
-1
-2
1° Par lecture graphique, sans justification :
a) Dresser le tableau de variations de la fonction . On fera apparaître le signe de la dérivée
−2
1
5
9
12
−
0
+
0
−
0
+
′
9
7
7
1
b) Les solutions de l’équation
= 4 sont les abscisses des points de ayant pour ordonnée 4,
ces solutions sont −1; 3; 6,5; 11
c) L’intervalle image de [1; 5] est l’ensemble des ordonnées des points de ayant leur abscisse
dans [1; 5]. L’intervalle image de [1; 5] est [0; 7]
De même, l’intervalle image de [−2; 1] est [0; 9]
Et l’intervalle image de [−1; 8] est [0; 7]
0
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 4 sur 46
d) Dresser le tableau de signe de
−2
1
+
0
.
12
+
= A où A est un réel quelconque.
e) On cherche le nombre de solutions de l’équation
Les solutions de l’équation ! B = C sont les abscisses des points de &! d’ordonnée C
Valeurs de A
A ∈] − ∞; 0[
A=0
A ∈]0; 1[
A=1
A ∈]1; 7[
A = 7
A ∈]7; 9]
A ∈]9; +∞[
=A
Nombre de solutions de l’équation
0 solution
1solution
2 solutions
3 solutions
4 solutions
3 solutions
1 solution
0 solution
2° L’affirmation « l’équation
= admet exactement trois solutions dans [−2; 12] » est –elle vraie ?
Les solutions de l’équation
= sont les abscisses des points d’intersection de et de la droite
d’équation ( = . Or la courbe coupe la droite d’équation ( = en exactement trois points.
L’affirmation est donc vraie.
EXERCICE IV : ( 8 points )
Une entreprise fabrique des vases en cristal à l’aide d’un moule. Elle limite sa production à 4000 vases par jour.
1° Le coût de production d’une quantité D de vases est donné, en euros, par : D = 0,02D² + 20D + 40000.
a) Etudier les variations de la fonction sur [0; 4000]. Dresser le tableau de variation.
Dérivée : pour tout D de E0; 4000F ′ D = 0,04D + 20
Racine : 0,04D + 20 = 0 ⇔ D = J,JK = −500 < 0
J
(1er degré avec G > 0)
0
4000
D
+
MNOP5Q5 ′ D
Donc la fonction coût de production est strictement croissante sur E0; 4000F
0
4000
D
+
MNOP5Q5 ′ D
440 000
D
40 000
D
b) Recopier et compléter le tableau de valeurs.
D
Coût en milliers d’euros
c)
0
40 000
40
500
55 000
55
1000
80 000
80
Tracer la courbe RS Unités : 2 cm pour 500 vases en abscisses
2000
160 000
160
3000
280 000
280
4000
440 000
440
1 cm pour 20 milliers d’euros en ordonnée.
2° On suppose que toute la production est vendue au prix unitaire de 110 € le vase.
Exprimer la recette T D en euros, puis tracer RU dans le même repère que la courbe RS .
T D = 110D en euros
La représentation graphique RU est une droite ( à tracer à la règle !) qui passe par l’origine du repère
et R(1000)=110 000= 110 milliers d’euros ; R(2000) = 220 000 = 220 milliers d’euros
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 5 sur 46
1 D =T D −
D = 110D − V0,02D + 20D + 40 000W = −0,02D² + 90D − 40 000.
3° a) Bénéfice, exprimé en euros :
b) Quelle quantité doit-on produire pour faire un bénéfice égal à 50 000 € ?
1 D = 50 000 ⇔ −0,02D² + 90D − 40 000 = 50000 ⇔ −0,02D² + 90D − 90000 = 0
Second degré : ∆= 90 − 4 × −0,02 −90000 =900
∆> 0 QYP9 Q5
ZG9NP5M : D =
[J √[JJ
J,JK
J
= J,JK = 3000 et D =
[J √[JJ
J,JK
]J
= J,JK = 1500
Le bénéfice est égal à 50 000 € lorsque l’entreprise produit 1500 vases ou 3000 vases.
c) Déterminer la plage de rentabilité de l’entreprise, c’est-à-dire les quantités à produire pour que l’entreprise ait un bénéfice
positif ou nul. Expliquer comment retrouver ce résultat graphiquement.
On résout pour q ∈ E0 ; 4 000F :
1 D ≥ 0 ⟺ −0,02D + 90D − 40 000 ≥ 0
Second degré : ∆= 90 − 4 × −0,02 −40000 = 4900 = 70
∆> 0 QYP9 Q5
ZG9NP5M D =
[J _J
J,JK
= 4000 et D =
[J _J
J,JK
= 500 de plus G < 0
0
500
4000
D
−
0
+
0
1 D
1 D ≥ 0 ⟺ D ∈ E500 ; 4 000F
La plage de rentabilité de l’entreprise est une production comprise entre 500 et 4000 vases inclus.
Graphiquement, le bénéfice 1 D est supérieur ou égal à 0 pour les abscisses D des points de la droite de
la recette situés au dessus ou en contact avec la courbe du Coût. On retrouve D ∈ E500 ; 4 000F
d) Tableau de variation de la fonction B.
On calcule la dérivée du bénéfice : 1′ D = −0,04D + 90 (1er degré avec G < 0)
[J
Racine : −0,04D + 90 = 0 ⟺ −0,04D = −90 ⟺ D = J,JK = 2250 or 2250 ∈ E0 ; 4 000F
D’où le tableau de variation du bénéfice
0
2250
D
+
0
1 D
61250
1 D
-40000
4000
−
0
e) Déduire la quantité à produire pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal ?
D’après le tableau de variation le bénéfice est maximal pour 2250 vases produits et il est égal à 61250 euros.
4° Durant l’année 2010, l’entreprise a fabriqué 2250 vases par jour et elle a travaillé durant 280 jours.
a) Déterminer en millions d’euros le bénéfice réalisé en 2010.
D’après 3° c’est le bénéfice maximal : 61250€ par jour
soit pour 280 jours : 61250 × 280 = 17 150 000€
soit 17,150 millions d’euros de bénéfice pour l’année 2010.
b) L’entreprise décide de réinvestir 40 % de ce bénéfice et de placer le reste. Calculer, en millions d’euros, la
somme réinvestie et la somme placée.
somme réinvestie :
KJ
JJ
× 17,150 = 6,860
somme placée : 17,150 − 6,860 = 10,290
l’entreprise réinvestit 6,860 ANaaNYPM Q 5 ZYM et place 10,290 ANaaNYPM Q′5 ZYM
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 6 sur 46
=
TESB 06/10/2011
Limite de ! en 2 :
aNA 2
→
aNA 2 −
→
O
= 056 …
Limite de ! en +∞ :
de plus haut degré
2
Ainsi aNA
=−
→
g
ℎ
3
2
=
c =]2;+∞[
−5 +3
= −∞
2−
= 2 est asymptote à
.
est une fonction rationnelle, elle a même limite à l’infini que le quotient de ses termes
−5 +3
2
= aNA = aNA −2
→ h −
→ h
2−
= −∞
→ h
+
f QYP9aNA = −∞ et la droite d’équation
→
g → h
3
− 5 + 3 = 1
Ainsi aNA aNA 2
= −∞
Limite de i en 2 :
⋆ aNA −
⋆ →
= −4
aNA 3 + 1 = 7
→
aNA
→
− 2 = 056 …
Q YùaNA l−
→
g
+
3 +1
m = +∞
−2
Ainsi aNA O
= +∞ et la droite d’équation
⋆ aNA −
= −∞
→
g f QYP9aNA Limite de i en +∞ :
→ h
⋆ aNA → h
→
g
3 +1
= +∞
−2
= 2 est asymptote à
n
.
3 +1
3
= aNA = aNA 3 = 3
→ h
→ h
−2
Q Yù aNA l−
→ h
Ainsi aNA O
→ h
+
3 +1
m = −∞
−2
= −∞
Limite deo en 2 :
aNA ² = 4
→
aNA
→
− 2 ² = 056 …
Ainsi aNA ℎ
→
g f QYP9aNA = +∞ et la droite d’équation
→ h
−2 ²
Ainsi aNA ℎ
→ h
A.BERGER
= aNA → h
²−4 +4
= aNA
→ h
= +∞
= 2 est asymptote à
Limite de o en +∞ : ℎ est une fonction rationnelle
aNA −2 ²
→
g
= aNA 1 = 1
→ h
= 1 et la droite d’équation ( = 1 est asymptote à
TES BLEUE
p
p
.
au voisinage de +∞ .
année 2011-2012
Page 7 sur 46
La fonction est définie sur ]2; +∞[ par =
1.a. Dérivée
. − .
=
= ² − 6 + 12
]
Corrigé devoir 13/10/2011 (1a : 2.5 - 1b : 2 - 1c : 1 - 2 : 3.5 - 3 : 4 - 4 : 1.5 -5 : 1.5 - 6 : 1.5 - 7 : 2.5)
Pour tout de ]2; +∞[ on a :
2 −6
−2 −1×
=
−2 ²
1. b. Signe de la dérivée
Pour r
= ²−4 =
Tableau de signe :
′
−4
−2 ²
2
0
=
− 2
− 6 + 12
=⋯=
=2 −6
=1
²−4
=
−2 ²
−4
−2
− 4 , les racines sont évidentes : 0 et 4 de plus 0 ∉]2;+∞[
−
+
−
4
0
+∞
+
+
+
0
1.c. Sens de variation
D’après le signe de sa dérivée, la fonction est
strictement décroissante sur ]2; 4] et
strictement croissante sur [4;+∞[
2° a) Limite à l’infini : est une fonction rationnelle, donc elle a même limite à l’infini que le quotient
de ses termes de plus haut degré.
lim
→ h
² − 6 + 12
²
= lim
= lim
→ h
→ h
−2
Limite en w
lim
→
= +∞Q Yù lim
− 6 + 12 = 4
lim − 2 = 0566G8.
→
GNPMN lim
→
g
= +∞
→ h
f QYP9 lim
→
g
= +∞
² − 6 + 12
= +∞
−2
On en déduit que la droite d’équation = 2 est asymptote à .
3. a. Asymptote oblique
On calcule l’écart entre et la droite Q’ d’équation ( = − 4
4
4
− −4 =l −4+
m− −4 =
−2
−2
On cherche la limite à l’infini
lim
→ h
− 2 = +∞ ⟹ lim
-PG ∶ lim
−
→ h
−4
4
= 0
−2
= 0
Ainsi la droite c d’équation ( = − 4 est asymptote à
3. b. Position de &! et z
→ h
On étudie le signe de
4
−2
4
−2
Pour
2
−
0
∈]2;+∞[, on a :
A.BERGER
K
au voisinage de +∞ .
− 4 sachant qu’on a prouvé :
+
+
+
+∞
> 0 donc
−
TES BLEUE
− 4 > 0 ainsi
année 2011-2012
−
−4 =
K
est au -dessus de cM Z]2;+∞[
Page 8 sur 46
4° Tableau de variation de !
24 + ∞
−0 +
+∞
+∞
2
5° Equation de la tangente {| à &! au point A d’abscisse 3.
(=
3 × − 3 + 3 ⟺ ( = −3 − 3 + 3 ⟺ ( = −3 + 12
6° Une tangente est parallèle à l’axe des abscisses si et seulement si son coefficient directeur est nul,
or le coefficient directeur de la tangente en A d’abscisse G est le nombre dérivé ′ G .
D’après le tableau de variations, on a :
= 0 ⟺ = 4, donc il existe un point en lequel admet une tangente parallèle à l’axe des
abscisses, c’est le point } 4; 2
7° Tracé : ne pas oublier les asymptotes et la tangente horizontale
y
10
D': x =2
9
Cf
8
7
6
D:y =x-4
5
4
A
3
S
2
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 x
-1
T
-2
Question complémentaire possible
Discuter graphiquement, suivant les valeurs du réel A, le nombre et le signe des solutions de l’équation
=A
Valeurs de A
Nb de solutions de
=A
0
sol
A ∈] − ∞; 2[
1 sol positive
A = −2
2 sol positives
A ∈]2;+∞[
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 9 sur 46
TESB 10/11/2011 1h
EX I : On donne le tableau de variation d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−3; 12].
−
-3
Signe de
6
Variations de
1
0
10
+
5
8 = 3 et que
8 = 2.
0
Soit O la fonction définie sur l’intervalle ]1; 10]par : O
On suppose de plus que
=
a) Soit O la fonction définie sur l’intervalle ]1; 10] par : O
N
O=
1
1
x
=N∘
b) Calculer : O 10 =
J
=
=2
c) Calculer la limite de la fonction O en 1.
1
1
aNA
= 056
> 0, Q5•a M aNA = +∞doncaNA = +∞
→
€→J ~
→
g
GNPMN aNA O
→
g
€gJ
= +∞
.
avec N: ~ ⟼ €
g d) Sens de variations de O sur l’intervalle ]1; 10]:
est croissante sur ]1; 10]
•
•
]1; 10] =]0; 5]
• La fonction inverse N est décroissante sur ]0;+∞[,en particulier sur l’intervalle ]0; 5]
Donc la fonction composée O = N ∘ est décroissante sur ]1; 10].
e) Déterminer O 8 . On applique
O
=
V
W
donc O′ 8 =
V
‡
‡ W
=
=
[
On considère la fonction définie sur [0;+∞[ par
EXERCICE II : ( 12 points )
=
3
3
+2
+ 2.
1° Justifier par les méthodes habituelles toutes les informations contenues dans ce tableau de variation :
0
4
ˆ
+∞
Signe de
Variations de
A.BERGER
0
2
+
0
3‡
3
TES BLEUE
−
0
−∞
année 2011-2012
Page 10 sur 46
=
×3
3
de [0;+∞[
+4 =−
Dérivée : pour tout
Signe de la dérivée :
0
0
− +4
Signe de
0
+4 =
− +4
4
+
+
+
+∞
+
−
−
0
0
Sens de variation :
Le signe de la dérivée permet de justifier : strictement croissante sur [0; 4] et strictement décroissante
sur [4;+∞[
Limite en +∞
est une fonction polynôme, donc elle a même limite en +∞ que son terme de plus haut degré.
−1 3
−1 3
aNA l
+ 2 + 2m = aNA l
m = −∞
→ h 3
→ h 3
Images :
0 = ⋯ = 2
4 =
3
× 43 + 2 × 4 + 2 =
3‡
3
= 0 admet une unique solution dans [4;+∞[, notée ˆ.
2° Montrer que l’équation
D’après son tableau de variation
est continue et strictement décroissnate sur [4;+∞[
L’intervalle image de [4;+∞[ est ‰−∞; 3 ‰
De plus 0 ∈ ‰−∞; 3 ‰
3‡
Donc l’équation
3‡
= 0 admet une unique solution dans [4;+∞[
3° Donner un encadrement de ˆ à 0,1 près.
6,15
ˆ
6,16
+0,10888
0
−0,0238
D’où 6,15 ≤ ˆ ≤ 6,16 est un encadrement de ˆ à 0,01 près
4° Dresser le tableau de signe de
.
Du tableau de variations complété avec ˆ unique solution de l’équation
0
ˆ
+∞
+
0
−
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
= 0, on déduit :
Page 11 sur 46
TES Bleue et Pervenche 23/11/2011
EXERCICE I : ( 4 points )
1° On considère la fonction Qéfinie sur
par : = 0,6
Déterminer une primitive ‹ de sur
1
31
‹
= 0,6 3 +
− + = 0,2 3 + 0,3 − + 3
52
• Déterminer la primitive ‹ de sur telle que ‹ 1 = 2
‹
=‹
+
, on calcule pour avoir ‹ 1 = 2
‹ 1 = 2 ⇔ 0,2 × 1 + 0,3 × 1 − 1 + = 2
⇔ −0,5 + = 2
⇔ = 2,5
= 0,2 3 + 0,3 − + 2,5
Ainsi : ‹
•
G = 5 −1
= 2 × + +B − * , Œ =
2° Dans chaque cas, déterminez une primitive de la fonction
′
3
donc ‹
a pour primitive K
=
8 =
2
× • +B − *
*
2
2 −1
G•Y Z•ZNAN6N 5
donc ‹
9 ‹
3
=
K
•
=
J
= 5 − 1QYP9
5 −1
Œ = [1;+∞[
K
= 2 − 1QYP9
1 3 1
+ + − Œ =]0;+∞[
2 2
1
1
1 1
=
+ +3× −
2
2
1 1
1
−1
1
= × ²+
+3×
− aP =
2 2
2
4
=
sur Π:
+
⋆ ′
⋆
= 1. aP
′
+
1
=
+ 1 = aP +
on valide l’expression ( b)
+1
= aP +
= aP +
on valide c) et on réfute a)
1
. aP +
G ≠
8 A.BERGER
+
1
+1
=
1
3
− − aP
2
aP +
= aP + 1 +
+1
=
TES BLEUE
1
3
2
− 1
=5
=2
3° On considère la fonction définie et dérivable sur ]0;+∞[ par :
Retrouvez parmi les propositions suivantes la ou les expressions de
′= ’ + ’
= +1
= aP
=1
+
= + 1 . aP
. Justifier.
+1
9 1 + aP +
année 2011-2012
1
= ’
Page 12 sur 46
EXERCICE II : ( 4 points )
D’après Nouvelle Calédonie Novembre 2004
1. La droite coupe l’hyperbole en deux points, mais un seul de ces deux points a son abscisse dans
]0;+∞[ , donc l’équation (E) semble avoir une unique solution dans ]0;+∞[.
aNA
− 2 = −2
2.a. Limite en 0
→J
aNA
→J
gJ
1
= +∞QYP9aNA
Limite en +∞
→J
gJ
−1
1
• QYP9aNA l − 2 − m = −∞QYP9aNAO
→J
→J
= −∞
gJ
gJ
aNA − 2 = +∞
1
• QYP9 aNA l − 2 − m = +∞QYP9 aNA O
1
→ h
→ h
aNA = 0
→ h
= +∞
→ h
∈]0;+∞[ : O
2.b. dérivée :
= 1−
=1+
Signe de i B : Pour tout ∈]0;+∞[ :
1
1
> 0donc ² > 0donc > 0donc1 +
> 0doncO
Pour tout
Ainsi la fonction O est strictement croissante sur ]0;+∞[
= −∞
>0
2.c. Equation i B = ‘
Tableau de variations de i ( non demandé, mais il facilite le travail suivant )
0
+∞
+
O′
+∞
O
−∞
D’après ce tableau de variation,
la fonction O est continue et strictement croissante sur ]0;+∞[
O ]0;+∞[ = ]−∞;+∞[
0 ∈] − ∞;+∞[
Donc l’équation O
= 0 admet une unique solution dans ]0;+∞[ , on la note ˆ
O
2,41
−0,0049
D’où 2,41 ≤ ˆ ≤ 2,42 encadrement de ˆ d’amplitude 10
ˆ
0
2,42
+0,00678
−2= ⟺
−2− =0⟺O
2.d. Equation (E) :
=0
Dans ]0;+∞[ la solution de O
= 0 est aussi la solution de (E) : ainsi ’ est l’unique solution de (E),
on retrouve ce qui a été observé graphiquement par le 1er élève : l’équation (E) a une unique solution dans
]0;+∞[.
Remarque : un 3ème élève aurait pu résoudre l’équation (E), il aurait obtenu : 1 + √2 est la solution de
l’équation (E).
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 13 sur 46
EXERCICE III : (5 points )
Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [−1;+∞[ dont la représentation graphique, dans un
repère orthonormal, est la courbe donnée ci-dessous.
La droite “ , tangente à la courbe au point A
; 2,75 a pour équation ( =
La droite “’ est la tangente à la courbe au point B 1; 2 .
L’axe des abscisses est asymptote à au voisinage de +∞.
+ 3,25
y
4
3
A
B
2
(T)
1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6x
(T')
-1
1° A partir des informations fournies par le graphique, recopier et compléter le tableau.
0
1
−1/2
1
0
-2
′
2,75
3
2
2° Dresser le tableau de variation de la fonction .
-1
0
+∞
3
Lu sur la courbe
2
+
0
−
0
déduit
3° Résoudre graphiquement dans [−1;+∞[ l’inéquation
≤0
D’après le tableau de variation, on a :
≤ 0 ⟺ ∈ [0;+∞[
L’ensemble de solution de l’inéquation est } = [0;+∞[
4° Soit ‹ une primitive de
sur [−1;+∞[
Déterminer le sens de variation de ‹.
D’après le tableau de variation de , on a
-1
+∞
+
Or ‹ primitive de signifie ‹ =
Donc le signe de donne les variations de ‹,
donc F est strictement croissante sur [−1;+∞[
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 14 sur 46
5° On appelle O la fonction inverse de
N
O=
1
c’est à dire que O =
1
x
=N∘
e) Pour ∈ [−1; +∞[ :
donc
≠ 0donc
existe,
existe et
>0
existe
donc O
Ainsi, la fonction O est bien définie sur [−1;+∞[
f) Calculer : O 0 = J = 3 O
=
/
avec N: ~ ⟼
=
,_2
=
K
€
O −1 =
g) Calculer la limite de la fonction O en +∞.
1
1
aNA
= 056
> 0, Q5•a M aNA = +∞donc aNA = +∞
€→J ~
→ h
→ h
GNPMN aNA O
→+∞
=
€gJ
= +∞
h) Sens de variations de O
sur l’intervalle [−1; 0]
•
est croissante sur [−1; 0]
•
[−1; 0] = [2; 3]
• La fonction inverse N est décroissante sur ]0;+∞[,en particulier sur l’intervalle [2; 3
Donc la fonction composée O = N ∘ est décroissante sur [−1; 0].
sur l’intervalle [0;+∞[
•
est croissante sur [0;+∞[
•
[0;+∞[ =]0; 3]
• La fonction inverse N est décroissante sur ]0;+∞[,en particulier sur l’intervalle ]0; 3]
Donc la fonction composée O = N ∘ est décroissante sur [0;+∞[.
O
O′
i) Tableau de variation de la fonction O
-1
0
+∞
1/2
+∞
Lu sur la courbe
1/3
j)
Déterminer O 1 . On applique
=
−
− 1
− −2
1
=
doncO 1 =
=
= 2
2
V
W
V 1 W
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 15 sur 46
EXERCICE IV : ( 7 points )
Nouvelle Calédonie Mars 2011
La longueur est exprimée en kilomètre, étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur
= 15 3 − 120 ² + 500 + 750
formule :
Le graphique de l’annexe donne la représentation graphique de la fonction .
Si le marché offre un prix •en euros pour un kilomètre de ce tissu,
alors la recette de l’entreprise CoTon pour la vente d’une quantité est égal à T
Partie A : Étude du bénéfice
1. Sur [0; 10],
par la
= • .
la droite d’équation ( = 400 est en-dessous de la courbe de la fonction Coût, ce qui
signifie que pour un prix unitaire de 400€ , la recette ne peut être supérieure au coût, donc l’entreprise ne
peut pas réaliser de bénéfice.
2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.
a. Pour un prix de 680€, la droite d’équation ( = 680 est au-dessus de la courbe du coût sur l’intervalle
[2,1; 8,7] , l’entreprise réalisera un bénéfice pour une production comprise entre 2,1•A et 8,7•A de
tissu à 0,1•A près.
b. Bénéfice :
Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 10] on a :
1
= 680 −
= 680 − 15 3 − 120 + 500 + 750 = −15 3 + 120 + 180 − 750
Dérivée
= −45 + 240 + 180
Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 10] on a 1
c. Étudier les variations de la fonction B sur [0 ; 10].
Signe de la dérivée et variations :
1
est un polynôme de degré 2 : Δ = 240² − 4 × −45 × 180 = 90000 = 300
Ce polynôme a deux racines :
1
1
0
+
=
KJ 3JJ
[J
= 6
6
0
1410
−
=
KJ 3JJ
[J
10
= − 3 mais − 3 ∉ [0; 10]
G = −45
1 6 = −15 × 63 + 120 × 6 + 180 × 6 − 750 = 1410
1 0 = −750
1 10 = ⋯ = −1950
La fonction — est strictement croissante sur [0 ; 6] et strictement décroissante sur [6 ; 10]
On en déduit :
L’entreprise doit produire et vendre 6•A de tissu pour réaliser un bénéfice maximal de 1410 €.
Partie B : Étude du coût moyen
1. Coût moyen
Pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10] on a :
15 3 − 120 + 500 + 750
750
=
=
= 15 ² − 120 + 500 +
˜
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 16 sur 46
Dérivée : Pour tout x appartenant à l’intervalle ]0
; 10] on a :
= 30
˜
30
30
120
3
120
120
750
De plus : 30
5
3
30
5
3
⋯ 30
120
Ainsi
30
5
′
1
750
˜
750
2. a. Démontrer que pour tout x appartenant à ]0 ; 10],
Pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10] on a :
² H 0 56 ²
5 H 0 56 30 H 0
Donc
Ainsi
2 V
3J
˜
2W
est du même signe que
′
˜
est du signe de
Tableau de variations de la fonction
0
5
0
˜
˜
750
5
25
5
5 .
Pour justifier que deux expressions ont le
même signe, on justifie que les facteurs
multiplicateurs qui ne leurs sont pas
communs sont strictement positifs.
5.
5 sur "0 ; 10"
est du signe de
5
5
On n’a pas besoin de connaître le signe
des deux expressions complètes.
sur l’intervalle ]0 ; 10].
10
La fonction ˜ , coût moyen est
strictement décroissante sur "0 ; 5" et
strictement croissante sur %5 ; 10 "
˜
425
b. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum?
Le coût moyen est minimal pour une production de 5 •A
˜
5
5
2
2
2125
425
le coût moyen est 425€ par •A produit et vendu
le coût total pour 5 •A produits et vendus est 2125€
Pour tracer une droite
correctement, il faut utiliser
trois points suffisamment
espacés.
De préférence, trouver des
points sur les neouds du
quadrillage. Sinon, mesurer
avec précision.
A.BERGER
TES BLEUE
année 2011-2012
Page 17 sur 46
DV 06/12/2011
On considère la fonction est définie sur ]0; +∞[ par :
2°a) Limite en 0
aNA 1 − = 1
→J
aNA aP = −∞ • QYP9 aNA 1 − + 2aP = −∞GNPMN aNA
→J
gJ
aP
→J
gJ
⋆ 1 −
2°b) limite en +∞ :
1−2
™š
=1−
+2
aP
→J
gJ
™š
=1−
+ 2aP .
= −∞
= 1 − + 2aP =
aP
m = 1
m = − ∞
• QYP9 aNA − l1 − 2
→ h
aNA − = −∞
⋆ aNA
→ h
→ h
= 0
. YA•GZé5 QYP9 aNA l1 − 2
Q Yù aNA 1 − l1 − 2
→ h
1° Dérivée : pour tout
Signe de la dérivée :
0
2
+
0
− +2
0 +
+ 0
aP
→ h
m = −∞GNPMN aNA
= −1 + 2 × = −1 + =
de ]0;+∞[
−
+
−
= −∞
→ h
3° Tableau de variation de ! :
0
1
2
+
0
+∞
−1 + 2aP2
0
−∞
−
3
0
2 = 1 − 2 + 2aP2 = −1 + 2aP2
3°a) 1 = 1 − 1 + aP1 = 0
3° b) d’après son tableau de variation,
[3; 4] = [ 4 ; 3 ]
la fonction est continue et strictement décroissante sur [3; 4] ,
de plus 0 ∈ [ 4 ; 3 ] car 3 ≈ +0.1956 4 ≈ −0.2274
donc l’équation
= 0 admet une unique solution dans [3; 4]
avec le petit tableau de valeurs… 3,51 est une valeur approchée à 0,01 près par défaut de α .
3° c) D’après le tableau de variations complété avec α et 1 , on a :
0
1
α
+∞
− 0 +
0
−
4° On appelle O la fonction définie sur ]0; +∞[ par : O
O
=1× −
5°a) pour tout
+ 2aP − 1 + − +
de ]0 ; +∞ [ , on a :
On constate que O
=
×
=−
, donc Oest une primitive de
= . −
+ 2aP − 1 −
sur ]0, +∞[
5° b) d’après la question 3c, on connaît le signe de
, donc le signe de O’
décroissante sur ]0; 1] , croissante sur [ 1 ; α ], et décroissante sur [ α ; +∞ [.
définie sur ]0 ;+∞[ par :
5 = 5. aP5 − 5 = 5 × 1 − 5 = 5 − 5 = 0
Ex II : 1° On considère la fonction
2° Pour tout de ]3; +∞[:
2 − ln − 3 ≥ 0 ⟺ − ln
A.BERGER
− 3 ≥ −2 ⟺ ln
TES BLEUE
•
= • . ln
−3 ≤2⟺
α
4
+∞
−∞
+ 2aP − 1
+ 2 = 1 − + 2aP , on en déduit que la fonction O est
= . aP − •
− • = • −aP5 − • = − • − • = − •
−3≤5 ⟺
année 2011-2012
≤ 3+5
} = ]3; 3 + 5 ]
Page 18 sur 46
3°
ln 5
2aP5
2×1
2
1
G
aPG
=
=
=
=
attentionàlaconfusion ∶ ln
56
‼‼
K
ln 16
ln 2
4aP2 4aP2 2aP2
8
aP8
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 19 sur 46
TESB DV 09/01/2012
1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
“∩
issues
“
0,1
0,9
Ҥ
• “ =
0,80
̅
0,20
J
JJ
= 0,1
̅
•ª
Données déduites : • “§ = 0,9 •ª
Données :
100€
“∩ ̅
0,10
0,90
Bénéfice : B
50€
“§ ∩ 50€
“§ ∩ ̅
0€
= 0,80
• ª§
̅ = 0,20
• ª§
=
J
= 0,1
̅ = 0,90
2.a. • “§ ∩
= • “§ × • ª§
= 0,9 × 0,1 = 0,09
La probabilité que le client n’achète pas de table et achète un lot de chaises est égale à 0,09.
2.b. est la réunion des événements “ ∩ et “§ ∩ qui sont incompatibles,
•
= • “ ∩ + • “§ ∩
Or • “§ ∩
= 0,09 et • “ ∩
= • “ × •ª
= 0,1 × 0,80 = 0,08
D’où •
= 0,09 + 0,08 = 0,17
Ainsi la probabilité que le client achète un lot de chaises est 0,17
2.c. •S̅ “ =
« S̅ ∩ª
« S̅
̅ ∩ “ = • “ × •ª
Or •
Donc •S̅ “ =
« S̅ ∩ª
« S̅
̅ = 0,1 × 0,20 = 0,02
= J,‡3 ≈ 0,024
J,J
et •
̅ =1−•
= 1 − 0,17 = 0,83
la probabilité que la personne achète une table sachant qu’elle n’a pas acheté un lot de chaises est de 0,024.
3° Le bénéfice réalisé peut être de 0€, 50€ ou 100€
• • 1 = 0 = • “§ ∩ ¬ = • “§ × • ª§ ̅ = 0,9 × 0,9 = 0,81
• Les événements “§ ∩ 56“ ∩ ¬ sont incompatibles et ont pour union l’événement 1 = 50
• 1 = 50 = • “§ ∩ + • “ ∩ ¬ = 0,09 + 0,02 = 0,11
• 1 = 100 = • “ ∩
•
= • “ × •ª
= 0,1 × 0,8 = 0,08
D’où la loi de probabilité :
Bénéfice Probabilité
-°3
® = ¯ •- ×
-°
0
0,81
-
50
0,11
100
0,08
= 0,81 × 0 + 0,11 × 50 + 0,08 × 100 ≈ 13,50.
Le commerçant peut espérer faire un bénéfice de 13,50€ par client entrant dans le magasin.
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 20 sur 46
BAC BLANC MATHEMATIQUES
TERMINALE ES
13 /01/2012
corrigé
EXERCICE I : ( 5 points )
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième et donnés sous forme décimale.
Jade est une jeune cavalière qui participe régulièrement à des concours d’obstacles.
A chaque concours, elle a noté sur une fiche le nom de sa monture ainsi que la performance qu’elle a réalisée.
L’examen de la collection de fiches ainsi constituée a permis à Jade d’établir que :
Six fois sur dix, elle a monté Cacahuète, une vieille jument docile mais qui fait souvent tomber les barres d’obstacle.
Lorsqu’elle a monté cacahuète, Jade a réussi son parcours deux fois sur cinq.
Trois fois sur dix, elle a monté la jeune jument Tornade. C’est une jument performante, mais difficile à maîtriser.
Lorsque Jade l’a montée, elle a réussi son parcours une fois sur deux.
Lors des autres concours, Jade a monté le courageux et régulier Abricot.
Avec lui, elle a réussi son parcours quatre fois sur cinq.
Jade prend au hasard une fiche dans sa collection. On s’intéresse au nom du cheval et au résultat du concours mentionnés sur la
fiche. On note :
l’événement « Jade montait Cacahuète » “ l’événement « Jade montait Tornade » . l’événement « Jade montait Abricot »
T l’événement « Jade a réussi son parcours » T§ l’événement « Jade n’a pas réussi son parcours »
1° Représenter cette situation par un arbre pondéré.
0,4
C
0,6
0,6
0,5
0,3
T
0,5
0,1
0,8
A
T§
T
Issues
T
T§
T
C∩ T
C∩ T§
T∩ T
T∩ T§
A∩ T
0,2
T§
A ∩ T§
2° Calculer la probabilité de l’événement : « Jade montait Abricot et a réussi son parcours »
• A ∩ T = • . × •² T = 0,1 × 0,8 = 0,08
La probabilité que Jade montait Abricot et a réussi son parcours est égale à ‘, ‘³.
Calculer la probabilité de l’événement : « Jade montait Cacahuète et a réussi son parcours ».
• C∩ T = •
× •S T = 0,6 × 0,4 = 0,24
La probabilité que Jade montait Cacahuète et a réussi son parcours est égale à ‘, w•.
3° Montrer que la probabilité de l’événement : « Jade a réussi son parcours » est égale à 0,47.
T est la réunion de C∩ T, “ ∩ T, 56 A∩ T,quisontdeuxàdeuxincompatibles
OuC∩ T, “ ∩ T, 56 A∩ T,forment une partition de T, donc par la formule des probabilités totales
• T = • C∩ T + • “ ∩ T + • A∩ T
= 0,24 + • T × •T T + 0,08
= 0,24 + 0,3 × 0,5 + 0,08 = 0,24 + 0,15 + 0,08
=0,47
• T§ = 1 − • T = 1 − 0,47 = 0,53
La probabilité que Jade a réussi son parcours est égale à 0,47.
•U (“)=
« T∩T
=
≈ 0,319 arrondi au millième
4° Sachant que Jade a réussi son parcours, quelle est la probabilité que ce jour-là elle ait monté Tornade ?
« U
0,15
J,K_
Sachant que Jade a réussi son parcours, la probabilité que ce jour là elle est monté Tornade est 0,319
5° Sachant que Jade n’a pas réussi son parcours, quelle est la probabilité que ce jour-là elle ait monté Abricot ?
•U§ (.)=
¬
« A∩T
§
« U
=
§
• A ׫A T
« U§
=
0,1.×0,2
0,53
= J,23 ≈ 0,038
J,J
Sachant que Jade n’a pas réussi son parcours, la probabilité que ce jour-là elle ait monté Abricot est 0,038
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 21 sur 46
EXERCICE II : ( 5 points )
NON SPECIALITE les parties A et B sont indépendantes.
Partie A : La courbe ci-dessous est une partie de la courbe représentative dans un repère orthogonal d’une fonction définie et
dérivable sur [−4; 4]. La droite “ tangente à la courbe au point . 0; 1,5 passe par le point 1 3; 0 .
y
4
3
T
2
A
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
B
3
2
4
5
6
7
x
-1
-2
-3
1. Aucune justification n’est demandée. Sur votre copie, reporter seulement le n° de la question, la lettre correspondant à votre réponse et cette réponse.
,2
1. a. réponse C :
0 est le coefficient directeur de la tangente à en A
0 = − 3 = −0,5
1. b. réponse C : lnV
1. c. réponse C :
W=0⟺
= 1 or l’équation
est décroissante sur [0; 1[ .
l’intervalle image de [0; 1[ est ]0; 1,5]
= 1 admet exactement 3 solutions .
la fonction inverse N est décroissante sur ]0;+∞[, donc aussi sur ]0; 1,5]
2. Soit ‹ une primitive de sur [−4; 4] Déterminer le sens de variation de ‹. Justifier.
F est une primitive de donc ‹ =
On lit le signe de
:
−4
1
3
4
+
0
−
0
+
Le signe de
est aussi celui de ‹′ . On en déduit le sens de variation de ‹
‹ est croissante sur [−4; 1], décroissante sur [1; 3] ; croissante sur [3 ;4]
Partie B : On considère la fonction définie sur ]0;+∞[ par
= − 2 + aP .
L’étude admise de la fonction a permis d’établir le tableau de variation suivant :
0
1
ˆ
2
3
+∞
+
′
+∞
0
−∞
1. Montrer que l’équation
= 0 admet une unique solution dans [1; 3]. On la note ˆ.
D’après son tableau de variations,
La fonction est continue et strictement croissante sur [1; 3]
L’intervalle image d e [1; 3] est [ 1 ; 3 ] avec 1 = −1, 3 = 1 + aP3
0 ∈ [−1; 1 + aP3]
Donc l’équation
= 0 admet une unique solution dans [1; 3] que l’on note ˆ.
2. Avec la méthode de dichotomie sur l’intervalle [1; 3], donner un encadrement de ˆ d’amplitude 0,25.
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 22 sur 46
•
•
•
ˆ ∈ [1; 3] à 2 près
A=
= 2 2 ≈ 0,69 > 0
⟹ ˆ ∈ [1; 2] à 1 près
3
A=
= 1,5 1,5 ≈ −0,09 < 0
⟹ ˆ ∈ [1,5; 2] à 0,5 près
A=
= 1,75 1,75 = +031 > 0
⟹ ˆ ∈ [1,5; 1,75] à 0,25 près
D’où 1,5 ≤ ˆ ≤ 1,75 est un encadrement de ˆ à 0,25 près .
•
,2
3. En appliquant la méthode du balayage d’un intervalle, donner une valeur approchée de ˆ à 0,1 près.
1,5
ˆ
1,6
−0,0945
0
+0,07
Ainsi ˆ ≈ 1,5 valeur approchée à 0,1 près
EXERCICE III : (4 points)
y
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
= 100 ⟺
1. a. Pour quelle durée de travail quotidien y a –t-il saturation ?
On dit qu’il y a « saturation » lorsque la fonction de satisfaction prend la valeur 100. Or
= 4 donc il y a satisfaction pour 4heures de travail quotidien.
1.b. Sur quel intervalle y a-t- il « envie » ? il y a envie lorsque est positive, or
[0; 4] donc il y a envie pour une durée quotidienne de travail de 0h à 4h
1.c. Sur quel intervalle y a-t- il « rejet » ? il y a rejet lorsque est négative, or
[4; 8] donc il y a rejet pour une durée quotidienne de travail de 4h à 8h
4 = 0 car la tangente à
1. d. Donner 4 : 4 =
horizontale , donc de coefficient directeur nul.
A.BERGER
= ′ et
= ′ et
croissante sur
décroissante sur
au point de coordonnées 4; 100 est
TES bleue année 2011/2012
Page 23 sur 46
2. On admettra que la fonction est ici une fonction affine définie sur [0; 8].
=
Expliquer pourquoi son expression est :
= ′
4 = 0 soit
4 =0
et or on donne :
2
+ 50.
-P 6NaNM5a59Y5 N9N5P6QNZ5965 ZQ5aG6GPO5P65àaG9Y Z85Q5 5Pa YZNONP5:
c’est-à-dire 0 = 50
et
=G +8
0 − 4
50 − 0
50
25
=
=−
= − 0−4
0−4
4
2
0 =
2J
= 50
formule du coefficient directeur
G=
0 = 50 −
D’où avec
2
× 0 + 8 = 50 donc 8 = 50
=−
2
+ 50
=
² + 50 .
3. Sachant que 0 = 0, montrer que
K
= donc est une primitive de , c’est la primitive qui prend en 0 la valeur 0.
=−
=−
2
+ 50
25 1
×
2 2
2
+ 50 + •
0 = 0⟺0+0+• = 0⟺ • =0
ainsi que
=
K
2
² + 50 .
4. En déduire les valeurs pour lesquelles la satisfaction prend la valeur 75.
On résout
= 75 ⟺ −
⟺−
2
K
2
K
⟺ =
⟺
+ 50 = 75
+ 50 − 75 = 0Δ = 50 − 4 ×
2J
2
,2
Y =
= 6Y = 2
2J
2
,2
K
2
× −75 = 625 = 25 > 0
La satisfaction prend la valeur 75 pour une durée de travail quotidien de 2h ou 6h
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 24 sur 46
On admettra que les fonctions considérées dans cet exercice sont dérivables sur l’intervalle ]0;+∞[.
Soit la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par :
= 2 − aP . aP
La figure ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal.
La courbe
coupe l’axe des abscisses en A 1; 0 et en B.
La tangente en E à la courbe est parallèle l’axe des abscisses
La droite “² est la tangente en A à la courbe .
EXERCICE IV : (6 points)
2
E
1
A
1
0
B
2
3
4
5
6
7
8
-1
1. Résoudre l’équation
=0
En déduire l’abscisse, en valeur exacte, du point B.
= 0 ⇔ 2 − aP = 0Y aP = 0 ⇔ aP = 2Y aP = 0
⇔ = 5 Y = 1 Les solutions sont 5 561.
A et B sont les 2 points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses donc l’abscisse de B est 5
-2
Cf
2. a. Calculer la limite de
aNAaP = −∞
→J
gJ
aNA 2 − aP
→J
gJ
en 0, interpréter graphiquement.
• ⟹ aNA aP
→J
= +∞
La droite d’équation
gJ
2 − aP
= −∞GNPMNaNA
= 0 est asymptote (verticale) à la courbe.
2. b. Calculer la limite de en +∞.
aNA aP = +∞
→ h
aNA 2 − aP
→ h
= −∞
f ⟹ aNA
→ h
3. On note ′ la fonction dérivée de sur ]0;+∞[
3. a. Démontrer que pour tout réel de ]0;+∞[, on a : =
+
= 2 − aP
=−
1
= − aP + 2 − aP
1
=
= aP
=
−aP
+
2 − aP
=
= −∞
=
−aP + 2 − aP
3. b. Etudier le signe de
.
Racine 2 − 2aP = 0 ⇔ −2aP = −2 ⇔ aP = 1 ⇔ = 5
Signe 2 − 2aP > 0 ⇔ −2aP > −2 ⇔ aP < 1 ⇔ 0 < < 5
0
e
+∞
+
−
2 − 2aP
+
0
+
+
0
−
A.BERGER
= −∞
→J
gJ
™š
=
TES bleue année 2011/2012
2 − 2aP
Page 25 sur 46
4. Dresser le tableau de variation de la fonction .
0
1
e
5
+∞
+
0
−
′
1
0
0
−∞
−∞
5 =1
5. Calculer l’équation de la tangente à
(=
G
−G + G
G =
1 =
2 − 2aP1
1
=2
56
en A : l’abscisse de A est G = 1
G =
1 = 2 − aP1 aP1 = 0
Equation : ( = 2 − 1 + 0
La tangente à en A a pour équation ( = 2 − 2
6. Dans une entreprise, on a modélisé par la fonction sur l’intervalle %0,2 ; +∞%, le « bénéfice » mensuel
(éventuellement négatif) réalisé en vendant x milliers d’objets fabriqués. Ce bénéfice est exprimé en milliers d’euros.
En utilisant les résultats des questions précédentes, répondre aux questions suivantes :
6. a. Combien faut-il vendre d’objets pour réaliser le bénéfice mensuel maximal ?
Quel est le montant de ce bénéfice maximal ?
D’après son tableau de variation, la fonction a pour maximum 1 atteint en 5.
5 ANaaN5ZM = 5 × 1000 ≈ 2,71828 × 1000 = 2718,28
1 ANaaN5Z Q’5 ZYM = 1000 5 ZYM
Donc l’entreprise doit vendre 2718 objets pour réaliser le bénéfice maximal qui est alors égal à 1000 euros.
6. b. Quel nombre d’objets l’entreprise doit-elle vendre mensuellement pour que le bénéfice soit positif ou
nul ?
D’après le tableau de variation complété par les solutions 1 et 5 de l’équation
= 0, le bénéfice est
%1;
"
5
positif ou nul pour ∈
5 ANaaN5ZM ≈ 7,3890 × 1000 ≈ 7389
Pour avoir un bénéfice positif ou nul, l’entreprise doit vendre entre 1000 et 7389 objets.
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 26 sur 46
TES Bleue et Pervenche 08/02/2012
EXERCICE I : ( 5 points )
• » =
1° Données :
2° Arbre pondéré :
0,4
0,6
»
»̅
KJ
JJ
0,6
0,4
23/30
7/30
= 0,40•¼ ½ =
½
¬
½
½
¬
½
Issues
»∩½
]J
JJ
= 0,60
Centres Etrangers juin 2010
Coût (€)
18 €
¬
»∩½
12€
¬
»̅ ∩ ½
0€
»̅ ∩ ½
6€
¬ = 0,4
Données déduites : • »̅ = 0,60•¼ ½
Donnée supplémentaire : • ½ =
3° « le téléphone possède les deux options » : » ∩ ½
• » ∩ ½ = • » × •¼ ½ = 0,4 × 0,6 = 0,24
La probabilité de l’évènement « le téléphone possède les deux options » est égale à 0,24.
_
J
= 0,7
4° W est la réunion de » ∩ ½ et »̅ ∩ ½ qui sont incompatibles,
Donc • ½ = • » ∩ ½ + • »̅ ∩ ½
Donc • »̅ ∩ ½ = • ½ − • » ∩ ½ = 0,7 − 0,24 = 0,46
0,46 46 23
• »̅ ∩ ½
=
=
=
¬
0,6
60 30
• »
5° événement : »̅ MG9ℎGP6½
• ½ ∩ »̅
0,46 46 23
•¾ »̅ =
=
=
=
• ½
0,7
70 35
3
Ainsi, sachant que le téléphone a l’option Wifi, la probabilité qu’il ne possède pas l’option GPS est 32.
•¼̅ ½ =
6° Les différentes valeurs du coût, noté
droite de l’arbre
•
•
•
•
, sont : 0€, 6€, 12€5618€ comme le montrent la colonne à
¬ = • §§§
¬ = 0,6 ×
= 0 = • »̅ ∩ ½
» × •¼̅ ½
7
4,2
=
= 0,14
30 30
= 6 = • »̅ ∩ ½ = 0,469 4°
¬ = • » × •¼ ½
¬ = 0,4 × 0,4 = 0,16
= 12 = • » ∩ ½
= 18 = • » ∩ ½ = 0,249 3°
D’où la loi de probabilité du coût :
0
6
Valeur de
0,14
0,46
Probabilité •-°K
12
0,16
18
0,24
Total : 1
7° Espérance mathématique de cette loi :
® = ¯ •- ×
-°
-
= 0,14 × 0 + 0,46 × 6 + 0,16 × 12 + 0,24 × 18 = 9
Dans la situation décrite, on peut espérer un coût moyen de 9€ par téléphone portable
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 27 sur 46
Une entreprise fabrique chaque mois tonnes d’un certain produit, avec appartenant à l’intervalle]0; 6].
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d’euros, pour une production mensuelle de x tonnes est donné par
EXERCICE II : ( 6 points ) Métropole septembre 2011
, où
est la fonction définie par
1° Conjectures calculatrice
=
0,015 +2
1. a. La fonction coût est décroissante sur ]0; 4,2] et croissante sur [4,2; 6]
1. b. Le coût moyen est minimum pour une production de 4,2 tonnes, et ce coût est de 0,635 milliers
d’euros, c’est-à-dire 635 € par tonne.
1. c. Le coût moyen est de 4000 euros, c’est-à-dire 4 milliers
d’euros pour une production de 0,504 tonnes, soit environ
500 •O
2° On désigne par ′ la fonction dérivée de la fonction .
Pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]0; 6] :
= 0,015 + 2
= 0,015
= =1
=
0,015 ×
− 1 × 0,015 + 2
0,01 5 − 0,015 − 2
=
²
²
3° On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; 6] par
= 0,01
5 − 0,015 − 2.
¿À
ÀÁÀ
ÀÂ
3. a. Pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle ]0; 6] :
= 0,01 = 0,01
= 5 =5
= 0,01 × 5 + 5 × 0,01 − 0,015 = 0,015 + 0,01 5 − 0,015 = 0,01 5
3. b. Sens de variation de la fonction f sur l’intervalle]0; 6].
0
6
0
+
0,01
+
5
||
+
′
Ainsi, la fonction est strictement croissante sur ]0; 6]
3. c. Justifier que l’équation f ( x) = 0 admet une seule solution ˆ appartenant à l’intervalle [4; 5].
0
4
ˆ
5
6
+
′
4 ≈ −0,3621
6
5 ≈ 3,9365
5
6 ≈ 18,171
0
4
−2
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 28 sur 46
D’après son tableau de variations,
• la fonction est continue et strictement croissante sur [4; 5]
• l’intervalle image de [4; 5] par est [ 4 ; 5 ]
• de plus 0 ∈ [ 4 ; 5 ]
= 0 admet une uique solution dans [4; 5], notée ˆ.
donc, l’équation
3. d. A l’aide des informations ci-dessous, fournies par le logiciel XCas, donner la valeur arrondie au
dixième du nombre réel ˆ.
D’après la valeur approchée donnée par le logiciel , on a : ˆ ≈ 4,2 arrondi au dixième
3. e. Déduire des résultats précédents le signe de
sur l’intervalle ]0; 6].
D’après le tableau de variations, complété avec ˆ, unique solution de l’équation
0
ˆ
6
Signe de
||
− 0
+
= 0, on a :
4° À l’aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu
pour une production mensuelle de ˆ tonnes du produit.
On observe que :
=
Or ² > 0 sur ]0; 6], donc &′ B est du signe de ! B . Le signe de
D’où les variations de
0
ˆ
6
′
||
−
0
+
a été établi à la q3.
ˆ
La fonction est décroissante sur ]0; ˆ] puis croissante sur [ˆ; 6]
Donc le coût moyen est minimum pour une production de ˆ tonnes soir environ : 4,2 tonnes
On peut observer que la valeur arrondie ˆ ≈ 4,2 est cohérente avec la valeur conjecturée sur la
calculatrice q1b.
EXERCICE III : ( 4 points )
1a 2b 3a
1° Soit la fonction définie sur ]0;+∞[ par
= 3 +1+
•Ã
Ä
Réponse a : conjecture à la calculatrice : la droite d’équation = 0 est asymptote à
On vérifie en calculant la limite de
quand x tend vers 0
⋆ aNA3 + 1 = 1
→J
⋆ aNA5 = 1 et aNA
→J
gJ
Q YùaNA
→J
gJ
→J
gJ
= +∞
3
= 0 Qonc aNA
→J
gJ
5
3
= +∞
2° Le nombre −3 est solution de l’équation (a) : aP = −aP3
Réponse b :
-3 < 0donc on élimine a et c qui ont aP
A.BERGER
(b) : ln 5
= −3
TES bleue année 2011/2012
(c) : 5 ™š = −3
(d): 5 = −3
Page 29 sur 46
b) ln 5 = −3
or ln 5 = donc = −3
on contrôle quand même que -3 n’est pas solution de d)
3° Soit la fonction définie sur ]0;+∞[ par
= 3aP − 2 + 5
Dans le plan muni d’un repère, la tangente à la courbe représentative de la fonction en son point d’abscisse 1 admet pour
équation :
(a) : ( = + 2 (b) : ( = − + 4
(c) : ( = 3 + 1
(d) : ( = + 3
Réponse : a
On conjecture avec la calculatrice.
(=1
= − 2QYP9
3
1 = 1 et
− 1 + 3 soit ( =
+2
On calcule l’équation ( =
1 =0−2+5 = 3
1
−1 +
1
P entier naturel
4° On considère l’algorithme suivant :
Entrée
Initialisation
Traitement
Affichage
Initialisation
Etape 1
Etape 2
Etape 3
Etape 4
Etape 5
Affichage
Donner à Å la valeur 0
Donner à Æ la valeur 4
Donner à } la valeur 4
Tant que Å < P
Affecter à Å la valeur Å + 1
Affecter à Æ la valeur 4 + 2Å
Affecter à } la valeur } + Æ
Fin
Vous devez tester Ç < È avant le traitement des 3
actions
•
•
Afficher la valeur de }
0<5 : traitement
1<5 : traitement
2<5 : traitement
3<5 : traitement
5≮ + : ARRET
4<5 : traitement
Valeur de Å
0
1
2
3
4
5
Valeur de Æ
4
6
4+4=8
4+6=10
4+8=12
4+10=14
EXERCICE IV : (6 points)
Partie A : est la courbe représentative d’une fonction
La tangente “ à
1°
1 =
et
au point . 1;
′ 1 = −3
Tant que • < P : il y a traitement
Quand • ≮ P : il y a arrêt, et il affiche ce qu’il a
en mémoire
Valeur de }
4
10
18
28
40
54
S = 54
dans un repère orthonormal.
a pour coefficient directeur −3.
2° La fonction est définie sur ]0;+∞[ par
= G ² + 8 − 4aP , où G et 8 sont deux réels.
a) Pour ∈]0;+∞[ ,
= 2G + 8 −
b) Etablir le système
1
1
1
1 = ⇔ G 1 + 8 1 − 4aP1 = ⇔ G + 8 =
2
2
2
K
1 = −3 ⇔ 2G × 1 + 8 − = −3 ⇔ 2G + 8 = 1 donc G568 solutions du système :
K
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
G+8 =
2G + 8 = 1
Page 30 sur 46
:
c) Déterminer G et 8
G+8 =
2G + 8 = 1
Donc
⇔:
G=
G + 1 − 2G =
−G = −
⇔:
⇔:
⇔Ê
8 = 1−2 = 0
8 = 1 − 2G
8 = 1 − 2G
8 = 1 − 2G
G+8 =
G = 568 = 0
Partie B : On admet que La fonction est définie sur ]0;+∞[ par
1° Calculer aNA
→J
gJ
. Interpréter graphiquement le résultat.
1
² = 0
1
→J 2
• QYP9aNA l
→J 2
aNAaP = −∞QYP9aNA − 4aP = +∞
aNA
→J
gJ
→J
gJ
Ainsi aNA
gJ
= +∞ et la droite d’équation
→J
gJ
2° Factoriser ! B par B et en déduire aNA
→ h
*
=
² − 4aP = B
w
=
² − 4aP − 4aP m = +∞
= 0 est asymptote verticale à la courbe
.
B−•
ËÈB
B
1
aNA
= +∞
1
aP
→ h2
−4
m = +∞
• QYP9 aNA l
aP
→ h 2
= 0 ZYNMMGP959YA•GZé5
aNA
En factorisant ,
→ h
De plus aNA = +∞ aNA
→ h
Ainsi aNA
→ h
= +∞
−4
→ h
™š
= +∞
3° Calculer ′
pour ∈]0;+∞[ puis étudier son signe.
1
=
− 4aP 2
Pour ∈]0;+∞[
4 Bw − •
= − =
B
Racines ∶ − 4 = 0 ⇔ − 2
+ 2 = 0 ⇔ = 2Y = −2 on garde que 2 sur ]0;+∞[
Signe : numérateur second degré
Dénominateur : 1er degré
−4
0
0
||
−
+
−
2
0
0
+
+
+
+∞
+∞
4° Dresser le tableau de variations de la fonction .
′
0
A.BERGER
−
+∞
2
0
2-4ln2
+
+∞
TES bleue année 2011/2012
Page 31 sur 46
5° On considère la fonction ‹ définie par ‹
Montrer que la fonction ‹ est une primitive de
On dérive F
‹
=]
‹′
=
3
]
3
+ 4 − 4 . aP
+ 4 − 4. aP + 4 ×
‹′
=
donc ‹ est une primitive de
=
sur ]0;+∞[ .
=
]
3
+ 4 − 4 . aP
sur ]0;+∞[ .
+ 4 − 4aP − 4 =
sur ]0;+∞[ .
− 4aP =
5° Sur papier millimétré, dans un repère orthonormal d’unités 2cm,
tracer la tangente au point d’abscisse 2, elle a pour coefficient directeur 0
la tangente “ à
et la courbe
.
au point . 1;
a pour coefficient directeur −3.
y
5
4
3
Cf
2
1
A
-1
0
-1
1
2
3
4
5
x
S
-2
A'
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 32 sur 46
DV 12/03/2012
1.a.. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
issues
Bénéfice : B
.
0,2
0,8
0,70
0,30
.̅
̅
• . =
J
JJ
= 0,2
34€
.∩ ̅
30€
.̅ ∩ 0,25
0,75
.∩
̅
•²
4€
.̅ ∩ ̅
Les valeurs soulignées, non
données, ont été rajoutées
par la suite.
0€
= 0,70
Données déduites : • .̅ = 0,8 •² ̅ = 0,30
Donnée supplémentaire : • .̅ ∩ ̅ = 0,6
Données :
1° ⋆ • .̅ = 1 − • . = 1 − 0,2 = 0,8
⋆ • .̅ ∩ ̅ = 0,6
c’est une donnée : 60 % des clients n’achètent ni l’appareil photo, ni la carte mémoire
0,6 3
• .̅ ∩ ̅
⋆ •²̅ ̅ =
=
= = 0,75
̅
0,8 4
• .
Un client n’achète pas l’appareil photo en promotion, la probabilité qu’il n’achète pas non plus la carte mémoire en
promotion est égale à 0,75.
On peut reporter cette valeur dans l’arbre et déduire •²̅
= 0,25
est la réunion des événements . ∩ et .̅ ∩ qui sont incompatibles,
•
= • . ∩ + • .̅ ∩
or • .̅ ∩
= • .̅ × • ²̅
= 0,8 × 0,25 = 0,2
et • . ∩
= • . × •²
= 0,2 × 0,7 = 0,14
D’où •
= 0,2 + 0,14 = 0,34
2°
Ainsi la probabilité qu’un client achète la carte mémoire en promotion est 0,34.
3° •S . =
« ²∩S
« S
= J,3K =
J, K
_
_
Sachant qu’un client achète la carte mémoire en promotion, la probabilité que ce client achète aussi l’appareil
photo en promotion est 7/17.
¬ ∩ = 0,2
• 1=4 =• .
• 1 = 30 = • . ∩ § = • . × •. ¬ = 0,2 × 0,3 = 0,06
4°a) Bénéfice : Le bénéfice peut prendre quatre valeurs, comme indiqué dans l’arbre pondéré
• 1 = 34 = • . ∩
= 0,14
Bénéfice par client en euros
Probabilité d’atteindre le bénéfice
A.BERGER
0
0,6
4
0,2
30
0,06
TES bleue année 2011/2012
34
0,14
Page 33 sur 46
4° b) espérance de gain par client
-°K
® = ¯ •- ×
-°
-
= 0,6 × 0 + 0,2 × 4 + 0,06 × 30 + 0,14 × 34 = 7,36
Le commerçant peut espérer faire un bénéfice de 7,36€ par client donc un bénéfice global de 736€
pour 100 clients profitant de la promotion.
5° a) On répète 3 fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n’a que deux issues
. et .̅ de probabilités respectives 0,2 et 0,8.
Schéma de Bernoulli représenté par un arbre pondéré :
1er
client
2ème
client
A
0,2
A
0,8
0,2
.̅
0,8
3ème
client
Issues
A
.̅
AAA
3
.̅
A.̅A
2
A.̅.̅
A
A
A
.̅
.̅
.̅
A
.̅
AA.̅
.̅AA
.̅A.̅
.̅.̅A
.̅.̅.̅
Nombre
d’achats
2
1
2
1
1
0
5° b) H « exactement deux de ces trois clients achètent l’appareil photo en promotion »
• Ì = • ...̅ + • ..̅. + • .̅..
= 3 × V• . W × • .̅ carleschoixdesclientssontindépendants
= 3 × 0,2 × 0,8
= 0,096
La probabilité qu’exactement deux de ces trois clients achètent l’appareil photo en promotion est égale à
0,096
5° c) I « au moins un de ces trois clients n’achète pas l’appareil photo en promotion »
Œ ̅ : « les trois clients achètent l’appareil en promotion »
• Œ ̅ = • ...
= V• . W
= 0,23
= 0,008
3
• Œ = 1 − • Œ ̅ = 1 − 0,008 = 0,992
La probabilité qu’au moins un de ces trois clients n’achète pas l’appareil photo en promotion est égale à
0,992.
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 34 sur 46
TES Bleue et Pervenche 28/03/2012
EXERCICE I : (5 points)
Antilles septembre 2011
Fréquentation des lignes aériennes, en millions de passagers.
1° Pourcentage d’évolution du nombre de passagers entre 2005 et 2008
Nombre de passagers en 2005 : 82millions en 2008 : 97,9 millions
ÏÐ-šÑ™• − Ï-š-Ò-Ñ™•
97,9 − 82
6=
× 100 =
× 100 ≈ 19,4
82
Ï-š-Ò-Ñ™•
2° a. Nuage de points ÓÔ BÔ ; ÕÔ pour Ô variant de 1 à 7.
Le nombre de passagers a augmenté de 19,4 % entre 2005 et 2008.
2° b. Coordonnées du point moyen :
1
103
̅ = 0 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 28 =
≈ 14,7
7
7
376,8
1
(§ = 21,9 + 26,4 + 36,9 + 44,7 + 67 + 82 + 97,9 =
≈ 53,8
7
7
Le point moyen est » 14,7; 53,8 en arrondissant les coordonnées au dixième.
3° Le nuage de points n’a pas une forme linéaire, la croissance semble d’abord lente, puis de plus en plus
rapide, un ajustement affine n’est pas adapté.
4° Un ajustement exponentiel est préférable.
Année
1980 1985 1990 1995 2000 2005
0
5
10
15
20
25
Rang de l’année Ö
67
82
Nombre de passagers (- (en millions) 21,9 26,4 36,9 44,7
Ö
3,086 3,273 3,608 3,800 4,205 4,407
Ö3
×5° Pour la série B; Ø , avec ÖNPT5O Ö , Ö3 , une équation de la droite de régression de Ø
méthode des moindres carrés est :
× = 0,055 + 3,044 (les coefficients étant arrondis au millième).
2008
28
97,9
4,584
en B par la
6° Exprimons Õ en fonction de B:
On a × = 0,055 + 3,044
aP( = 0,055 + 3,044
D’où :
( = 5 J,J22
3,JKK
( = 5 J,J22 × 5 3,JKK
et × = aP(
or 5 3,JKK ≈ 20,989
Ainsi ( = 20,9895 J,J22 est l’équation de l’ajustement exponentiel de la série
; ( .
7° Prévision pour 2011 avec le modèle exponentiel :
= 31 ( = 20,9895 J,J22×3 ≈ 115,47
2011 est l’année de rang 31.
Pour
Selon notre modèle exponentiel, on peut prévoir 115,5 millions de passagers en 2011.
Cohérence ?
Méthode 1 : Prévision des compagnies aériennes : 30% de plus qu’en 2008 :
30
97,9 × l1 +
m = 97,9 × 1,30 ≈ 127,3
100
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 35 sur 46
Méthode 2 : 6 =
2,2 [_,[
[_,[
17,9% de 2008 à 2011
× 100 ≈ 17,9 avec notre modèle exponentiel, il y a une augmentation de
Notre modèle n’est pas cohérent avec les prévisions. Les compagnies aériennes ont fait une prévision
nettement supérieure à celle donnée par le modèle exponentiel.
y
nb de passagers (en millions)
110
100
M7
90
80
M6
70
M5
60
50
M4
40
M3
30
M2
20 M1
10
rang de l'année
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
1+1.5+1+0.5+1+1
Le plan est muni d’un repère orthonormal -; ÚÛ; ÜÛ d’unité graphique 2 cm.
On s’intéresse à la fonction définie sur l’ensemble des réels par
= −1 + 5
On note C sa courbe représentative dans le repère -; ÚÛ; ÜÛ .
1. a. Limite de la fonction !en +∞.
30
32
34x
EXERCICE II : (6 points Polynésie Septembre 2011
aNA = +∞ et aNA 5 = +∞ donc aNA . 5 = +∞ donc aNA −1 + 5
→ h
QYP9 aNA → h
→ h
= +∞
→ h
→ h
1..b. Limite de la fonction ! en −∞.
aNA 5 = 0 (C. Comparée) et aNA − 1 = −1 donc aNA −1 + 5
→ h
→ h
→ h
= +∞
= −1 ainsi aNA → h
Interprétation graphique : la droite d’équation ( = −1 est asymptote horizontale à la courbe C au
voisinage de −∞
2.a. Dérivée.
Pour tout nombre réel x , avec
= . + .
= =5
′
= 1 ′
=5
= 0+1×5 + ×5 =5 + 5 =
Donc
On obtient bien :
= +1 5
A.BERGER
= −1
+1 5
TES bleue année 2011/2012
Page 36 sur 46
2.b. Dresser le tableau de variations de la fonction . (la valeur de l’extremum sera arrondie à 10 − 2).
Racines de la dérivée
+ 1 = 0 ⇔ + 1 = 0 ⟺ = −1565 > 0
MNOP5de ′
5
′
−∞ − 1
−
0
+
−
0
+1
Tableau de variations de !
′
Minimum :
−∞
-1
−
−1 = −1 − 5
+
−1
0
+∞
+
+
0
+
−1 − 5
≈ −1,37
ˆ
1
+∞
+∞
0
3.. Equation ! B = ‘ dans l’intervalle [‘; *].
D’après son tableau de variations,
la fonction est continue et strictement croissante sur [0; 1]
Ö NP65Z Gaa5NAGO55M6[ 0 ; 1 ] avec 0 = −1 et 1 = −1 + 5 ≈ 1,71
Donc 0 ∈ [ 0 ; 1 ]
Donc l’équation
= 0 admet une unique solutionˆ dans [0; 1].
Encadrement d’amplitude 10
de α .
0,56
−0,0196
0
ˆ
+0.0791
0,57
D’où 0,56 ≤ ˆ ≤ 0,57 est un encadrement de α d’amplitude 10 .
4.. Démontrer qu’une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 est y = x − 1 .
La tangente a pour équation( = G + − G
G
G = 0 = −156 G =
0 = 0 + 1 5J = 1
Donc T : ( = −1 + × 1MYN6( = − 1
5.. Dans le repère -; ÚÛ; ÜÛ tracer la droite T et la courbe C.
Penser à placer judicieusement l’origine du repère et penser à placer le sommet } −1;−1 − 5
Conjecture sur la position de la courbe C par rapport à la droite T :
On conjecture que la tangente T est au dessous de la courbe C avec comme seul point de contact le
point A d’abscisse 0.
6.. Pour étudier une position relative, on étudie le signe de la différence des deux fonctions :
− − 1 = −1 + 5 − − 1 = 5 − = 5 − 1 MNOP5de 5 − 1 : 5 − 1 > 0 ⇔ 5 > 1 ⇔ > aP1 ⇔ > 0
−∞0
+∞
−
0
+
5 − 1
−
+
− (ª
+
0
+
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 37 sur 46
Conclusion : Pour tout ≠ 0
> −1
Ainsi la courbe C est toujours au dessus de la tangente T et le point . 0 ; −1 est leur seul point de contact.
y
3
Cf
2
T:y=x-1
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1
S
EXERCICE III : (5 points)
Fournisseur A
Fournisseur B
Total
Métropole septembre 2011
Doullet
10
5
15
Rinar
10
10
20
Vécosse
10
15
25
Total
30
30
60
Pierre reçoit le colis, et tire au hasard une médaille. Dans la suite de l’exercice, on suppose que chaque
médaille a la même probabilité d’être tirée.
+
1.a. Montrer que la probabilité que cette médaille soit à l’effigie de Vécosse est égale à *w .
Soit V l’événement « cette médaille soit à l’effigie de Vécosse »
D’après l’énoncé on fait l’hypothèse d’équiprobabilité.
P8 Q5 9GM G YZG8a5M 25
5
• Ï =
=
=
P8 Q5 9GM •YMN8a5M
60 12
+
Donc la probabilité que cette médaille soit à l’effigie de Vécosse est égale à
*w
1.b. Quelle est la probabilité que cette médaille soit à l’effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B ?
P8 Q5 9GM G YZG8a5M 15 1
• Ï∩1 =
=
=
P8 Q5 9GM •YMN8a5M
60 4
*
Donc la probabilité que la médaille soit à l’effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B est •
c. Pierre constate que la médaille tirée est à l’effigie de Vécosse. Quelle est la probabilité qu’elle
provienne du fournisseur B ?
1
• Ï∩1
1 12 3
•Ý 1 =
= 4 = ×
=
5
• Ï
4 5
5
12
3
La probabilité que la médaille provienne du fournisseur B sachant qu’elle est à l’effigie de Vécosse est 2
A.BERGER
TES bleue année 2011/2012
Page 38 sur 46
Pierre remet la médaille dans le colis.
2. Pierre répète maintenant trois fois de suite les mêmes gestes :
− il tire au hasard une médaille ;
− il note l’effigie du champion et remet la médaille dans le colis.
Quelle est la probabilité qu’au moins une des médailles soit à l’effigie de Vécosse ?
Il s’agit de la répétition trois fois de tirages identiques et indépendants (car la médaille est remise
¬ • Ï = 2 et • ϧ = 1 − • Ï = _
entre chaque tirage) n’ayant que deux issues : Þ et Þ
Le nombre de médailles à l’effigie de Vécosse suit une loi binomiale.
A « Au moins une médaille est à l’effigie de Vécosse » a pour événement contraire .̅« aucune n’est à
l’effigie de Vécosse »
• . = 1 − • .̅ ) = 1 − • ϧ ϧ ϧ
• . = 1 − • ϧ ϧ ϧ
= 1 − • ϧ • ϧ • ϧ car les tirages sont indépendants
7 3
= 1 − l m
12
3K3
= 1 − _ ‡ =
3‡2
_ ‡
≈ 0,80
La probabilité qu’au moins une des médailles soit à l’effigie de Vécosse est égale à 0,80 à 0,01 près.
EXERCICE IV : (4 points)
d’après Polynésie Juin 2010
Pour chacune des questions 1. – 2. – 3. , trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.
1° Une primitive de la fonction O définie sur par O
= 5 est la fonction » définie sur par :
»
= − −1 5
»
= −1 × 5 + −5
× − − 1 = −5 + 5 + 5 = 5 = O
= 0,8
2° La fonction ℎ est définie sur par ℎ
™šJ,‡
™š J,‡
ℎ
= 0,8 = 5
=5
on utilise Gß = 5 ß.™šÑ
3° La courbe de la fonction
−4
Signe de
permet de lire le signe de
−1
3
−
0
+
0
:
−
6
On en déduit les variations de ses primitives ‹à
Toute primitive est décroissante sur [−4;−1] croissante sur [−1; 3] et décroissante sur [3; 6]
Seule la courbe C3 représente une courbe ayant ces variations, donc C3 est la représentation graphique
d’une primitive de la fonction .
4° On considère la fonction aP
Sans justifier :
a) Donner l’ensemble de définition de aP
lnV
W existe si et seulement si
>0
D’après le tableau de signe de
: cáâ =] − 1; 3[
b) Donner aNA : aNA
=0
aNA
→
g
= 0 G 59
« On aurait dû donner » :
→
g
A.BERGER
→
g
> 0 et aNAaP~ = −∞ donc aNA lnV
€→J
€gJ
→
g
TES bleue année 2011/2012
W = −∞
Page 39 sur 46
Corrigé DV 30/04/2012
Ex1 : 1. En utilisant les données et le graphique, préciser :
1. a. 0
3
0
2 , c’est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0.
1.b. La limite de la fonction f en + ∞ : aNA
1 car la droite D d’équation (
voisinage de +∞
2. Equation de la tangente T à la courbe
(
0
0
0 ⟺( 2
Une équation de T est ( 2
3.
G
5
4.b. Valeur de ãäåæ :
æ
! ‘ =,⟺*
,⟺*
ä‘
! ‘ = w ⟺ ä‘ ã
D’où ! B
*
5. Position de
4
1
•B w
äB
7
J
w
æ
5
,⟺æ
w⟺ã
w
G
G
8
w
w⟺ã
•
2 H 0 et 5 H 0 donc
K
•Ã
H 0 donc 1
K
•Ã
est positive sur %0; 1", donc l’aire décrite est définie par :
La fonction
ç
‘
8
par rapport à l’axe des abscisses
2
5
∈ %0; 1" : 4
Pour
G
5
Q
J
•
ç
Q
[‹
]J = ‹ 1
‹ 0
. G. en valeur exacte et ≈ 3,32 . G. à 10
J
au
au point A :
3
3.. Encadrement de l’aire par deux entiers consécutifs :
3 . G. Š Š 4 . G.
4.a. Dérivée : Pour tout de
G
8
=1
1
G
8
5
5
0
1 est asymptote à
→ h
1
l1
>0
H 0QYP9
10
m
5
l
6
m
5J
10
5
7
près
De plus 3 L 3,32 L 4 donc ce résultat est cohérent avec l’encadrement donné à la q3.
Ex2 : 1° on peut répondre avec la calculatrice :
2° On admet que
3
ç
J
est au-dessus ou au contact de c sur %0; 3", donc l’aire cherchée est définie par :
Q
3
ç
J
4,5
L’aire entre les deux courbes est
A.BERGER
4
Q
3
ç
J
3 Q
è
1
3
3
3
1
2
3
é
J
l 9
27
m
2
0
4,5 . G.
TES bleue année 2011/2012
Page 40 sur 46
DS6 09/05/2012
EXERCICE I : ( 5 points )
La Réunion juin 2010
1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
issues
Bénéfice : B
1
0,7
0,3
1§
0,80
0,20
0,05
0,95
}
1∩}
2000 €
}̅
1 ∩ }̅
-300 €
}
1§ ∩ }
-500 €
}̅
1§ ∩ }̅
-300 €
• 1 = 0.7
•ê } = 0,80
•ê§ } = JJ = 0,05
Données déduites : • 1§ = 0,8 •ê }̅ = 0,20
•ê§ }̅ = 0,95
Données :
2
2. Déterminer la probabilité • 1 ∩ } qu’il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte.
• 1 ∩ } = • 1 × •ê } = 0,7 × 0,8 = 0,56
la probabilité qu’il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte est de 0,56.
3. Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575.
} est la réunion des événements 1 ∩ } et 1§ ∩ } qui sont incompatibles,
• } = • 1 ∩ } + • 1§ ∩ }
or • 1§ ∩ } = • 1§ × • ê§ } = 0,3 × 0,05 = 0,015
D’où • } = 0,56 + 0,015 + 0,575
Ainsi la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575.
4. Lors d’une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l’une des trois situations suivantes :
4.a. Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du «gain» (positif ou négatif) réalisé.
Gain : xi
2 000
− 500
− 300
Probabilité : pi
0,56
0,015
0,425
• » = 2000 = • 1 ∩ } = 0,56
Soit G le gain du pêcheur.
• » = −300 = • }̅ = 1 − • } = 1 − 0,575 = 0,425
• » = −500 = • 1§ ∩ } = 0,015
4.b. Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir ?
Espérance de gain :
-°3
® » =¯
-°
-
× •- = 0,56 × 2000 + 0,015 × −500 + 0,425 × −300 = 985
Le pêcheur peut espérer un gain de 985 € par sortie.
A.BERGER
TES bleue
2011/2012
Page 41 sur 46
5. Le pêcheur prévoit d’effectuer trois sorties successives sur la zone de pêche.
Déterminer la probabilité que, pour les trois sorties, le sonar reste muet.
On répète 3 fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n’a que deux issues } et
}̅ de probabilités respectives 0,575 et 0,425.
Schéma de Bernoulli représenté par un arbre pondéré :
1ère
sortie
2ème
sortie
0,575
}̅
0,425
0,575
Issues
S
SSS
}̅
S
}
}̅
2
}̅ }}
1
}̅
}̅ } }̅
}̅
}̅}̅}̅
2
}̅ }̅ S
S
K: « les trois sonars sont muets » : }̅}̅}̅
1
S}̅}̅
S
0,425
1
S}̅S
S
Nombre de
sonars
muets
0
SS}̅
}̅
S
S
3ème
sortie
2
3
• ë = • }§ }§ }§ = Vp }̅ W = 0,4253 ≈ 0,077 à 1 millième près
3
EXERCICE III : (5 points)
Pondichéry Avril 2010
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : Le tableau ci-dessous donne l’évolution, par période de cinq ans, de la population globale des deux
Allemagnes (RFA et RDA) de 1958 à 1973.
Année
Rang de l’année - 1 ≤ N ≤ 4
Population des deux Allemagnes (en millions d’habitants 1 ≤ N ≤ 4
1958
1
71,5
1963
2
74,4
1968
3
77
1973
4
78,8
Source INSEE
L’allure de ce nuage suggère un ajustement affine.
1°Equation de la droite d’ajustement de ( en par la méthode des moindres carrés :
Pour la série ; ( , avec la calculatrice, les coefficients étant arrondis au centième, on obtient :
( = 2,45 + 69,3 comme équation de la droite d’ajustement de ( en .
2° En 1993, la population globale de l’Allemagne réunifiée s’élevait à 81 millions d’habitants.
L’ajustement proposé est-il adapté ?
L’année 1993 est l’année de rang 8.
Pour = 8, on a ( = 2,45 × 8 + 69,3 = 88,9
Selon notre modèle, la population de l’Allemagne en 1993 aurait dû être de 88,9 millions, soit près de 10 % en trop
par rapport à la valeur réelle. L’ajustement proposé n’est donc pas adapté.
A.BERGER
TES bleue
2011/2012
Page 42 sur 46
Partie B : On étudie ci-dessous l’évolution de la population de l’Allemagne sur une période plus étendue (à partir
de 1990, il s’agit de la population de l’Allemagne réunifiée).
Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous :
y
population en millions
D : y = 2,45x+69,3
83
81
79
77
75
73
71
rang de l'année
69
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 x
Au vu de l’allure du nuage, un ajustement logarithmique semble plus approprié.
Pour cela, on pose ×- = 5 •
ìí
JJ
= 5 ïðð , pour 1 ≤ N ≤ 11.
îí
1° Sur votre copie, recopier et compléter le tableau ci-dessous, les valeurs de ×- seront arrondies au
centième.
Année
1958 1963 1968 1973 1993 1998 2003 2008
1
2
3
4
8
9
10
11
Rang de l’année - 1 ≤ N ≤ 11
74.4
77
78.8
81
82.1
82.5
82.2
Population des deux Allemagnes (- 71.5
2.04
2.10
2.16
2.20
2.25
2.27
2.28
2.28
Valeur de ×- 1 ≤ N ≤ 11
2° Equation de la droite d’ajustement affine de × en , obtenu par la méthode des moindres carrés.
Pour la série ; × , avec la calculatrice, les coefficients étant arrondis au centième, on obtient :
× = 0,02 + 2,07 comme équation de la droite d’ajustement de × en .
On a : × = exp
56× = 0,02 + 2,07
3° En déduire l’équation de l’ajustement logarithmique recherché :
Donc exp
Donc
ì
JJ
ì
JJ
ì
JJ
= 0,02 + 2,07
= ln 0,02 + 2,07
( = 100aP 0,02 + 2,07 .
Ainsi l’équation de l’ajustement logarithmique recherché est bien : Donc
Donc
( = 100aP 0,02 + 2,07 .
4° A l’aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation de la population de l’Allemagne en 2013.
2013 est l’année de rang 12 .
Pour = 12, on a( = 100 ln 0,02 × 12 + 2,07 ≈ 83,7
Selon ce 2ème modèle, on peut prévoir une population de 83,7 millions d’habitants en 2013.
A.BERGER
TES bleue
2011/2012
Page 43 sur 46
EXERCICE III : (5 points)
Polynésie Septembre 2011
Soit une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ] − 4; ∞%
On désigne par ′ la fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle " 4;+∞%.
La courbe Γ ci-contre est la représentation graphique dans un repère orthogonal de !′ , la fonction dérivée de
sur " 4;+∞%.
Cette courbe Γ passe par les points : .V– 3; 0W, 1 – 1; 0 et
Partie A :
0;– 1,5 .
1. A l’aide de la représentation graphique de la fonction dérivée ′, déterminer ′ 0 et ′ 3 .
On a la courbe de la dérivée, on lit donc sur cette courbe l’image de 0et l’image de -3 en confirmant
avec le point C et le point A.
0
NAGO5Q50•GZ = YZQYPPé5Q •YNP6 Q5aG9Y Z85Q5aGQéZN é5 56Q G8M9NMM50
0
1,5
De même
−3
0
2.
Trois courbes sont présentées ci-dessous. Une seule de ces trois courbes peut représenter la fonction . Déterminer laquelle
des trois représentations graphiques ci-dessous est celle de la fonction , en justifiant votre réponse :
y
3
2
1
-5
-4
A
-3
-2
B
-1
0
1
2
3
x
-1
C
-2
-3
-4
-5
Grâce la courbe de la dérivée ’ : on lit le signe de ’
des abscisses.
’ est négative sur "
par la position de sa courbe Γ par rapport à l’axe
4;−3",positive sur[−3; 1"et négative sur[−1;+∞%.
On déduit le sens de variation de la fonction :
est décroissante sur ] − 4;−3",croissante sur[−3; 1"et décroissante sur[−1;+∞%.
Seule la courbe C1 correspond au sens de variation de ,
par élimination C1 est donc la représentation graphique de !
Partie B : Pour tout réel x appartenant à l’intervalle ] − 4;+∞%, on a
1. a. Soit x un réel appartenant à l’intervalle "
aP
donc
2G
8
K
2G
4;+∞%. Exprimer ′
ß
TES bleue
8aP
4 .
en fonction de , G et 8.
K
1. b. Déduire des questions précédentes que G = −1 et 8 = −6.
⋆
0
1,5
ß
ß
donc 2G 0 J K
1,5QYP9 K = −1,5QYP9æ = −ó
⋆ −3
0
ß
Donc 2G
3
0QYP9 − 6G 8 0QYP9 − 6G 6
3 K
QYP9ã = −*
Ainsi ! B = −B² óËÈ B •
A.BERGER
G ²
2011/2012
0QYP9 − 6G
6
Page 44 sur 46
2. On considère l’intégrale Œ = ô 3
Q
2. a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale Œ puis en donner une valeur arrondie au dixième.
Une primitive de est
Œ=ç
3
Q =[
]
3
=
−1 −
Œ = − −1 ² − 6aP −1 + 4 − − −3
õ = ³ − óËÈ, ≈ *, •
−3
− 6aP −3 + 4 = −1 − 6aP3 − −9 − 6aP1 = 8 − 6aP3
2. b. Donner une interprétation géométrique de l’intégrale Œ.
Dans le repère de la courbe Γ représentant la dérivée ’, cette fonction ′ est positive sur [−3; −1]
I est égale l’aire de la partie du plan située entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations
= −1, c'est-à-dire la partie située sous la courbe pour
EXERCICE IV : (5 points)
appartenant à l’intervalle [−3;−1]
= −3et
La réunion Juin 2010
Suite à un accident industriel, un gaz se répand dans un local d’usine.
L’évolution du taux de gaz dans l’air peut être modélisé grâce à la fonction f définie sur l’intervalle
[0;+∞[ par
=2 5
où est le nombre de minutes écoulées depuis l’accident et
le taux de
gaz dans l’air exprimé en parties pour million (••A .
1. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [0;+∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée.
1. a. Calculer ′ et étudier son signe pour x élément de l’intervalle [0;+∞[
’= ’ + ’
= 25 + 2 −1 5 = 25 − 2 5 = 25 1 −
1. b. Donner le tableau des variations de la fonction f sur l’intervalle [0;+∞[ (la limite n’est pas
demandée).
Racine de
∶ 2 > 0565 > 0QYP9P5M GPP a5P6•GM
1− =0⇔ =1
MNOP5de ′
01
+∞
1−
+
0
−
25
+
+
′
+
0
−
Tableau de variations de
′
0
+
0,65
0
1
0
25
0,65
−
5
0 = 2 × 05 J = 0
1 = 25
+∞
0,07
C’est pourquoi, dans la suite de l’exercice, on restreindra l’étude de la fonction à l’intervalle [0; 5].
Le plan est muni d’un repère orthogonal. La courbe représentative de la fonction sur l’intervalle [0; 5] est
donnée ci-dessous.
2. On admet que le taux de gaz dans l’air est négligeable après 5 minutes.
2. a. Vérifier que ‹ définie sur l’intervalle [0 ; 5] par ‹
= −2 − 2 5
’= ’ + ’
‹
= −25 + −2 − 2 −1 5 = −25 + 2 + 2 5
ö B = ! B donc F est une primitive de ! sur [0 ; 5]
A.BERGER
TES bleue
2011/2012
= −25
est une primitive de .
+ 25
Page 45 sur 46
+2 5
=2 5
2. b. Calculer la valeur moyenne A (exprimée en ••A) du taux de gaz pendant les 5 minutes.
On déterminera la valeur exacte de A puis on donnera sa valeur approchée arrondie à 0,01 ••A près.
8
1
A=
ç
8−G G
5
1
Q =
ç
5−0 0
Q =
1
[‹
]50 =
1
‹ 5 −‹ 0
5
1
1
2 12
A = [ −2 − 10 5−5 − −2 50 ] = [−125−5 + 2] = − 5−5
5
5
5
5
5
w
Ëã÷ãËäøùCúÕäÈÈäûøåãøBûäiãØÇäÈûãÈåËäü+ÇùäCÔèùäüCÔÈøåäüäüå −
+
C ≈ ‘, ,³ÇÇC
*w
+
ä−+ ÇÇC
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
On considère que le gaz a un effet irritant pour l’organisme si le taux dépasse 0,65••A pendant plus
d’une minute.
Déterminer si le personnel de l’usine a été affecté ou non par la fuite de gaz, en explicitant la démarche.
Par le graphique
La courbe représentative de la fonction est au dessus de la droite d'équation y=0,65 sur l’intervalle
[a ; b]. Or avec la précision permise par le graphique, nous ne pouvons pas savoir si l'amplitude de
l'intervalle est supérieure ou non à une minute.
On utilise la fonction et le théorème des valeurs intermédiaire pour chercher les antécédents de 0,65
5 = 105 2 ≈ 0,06
La fonction est continue et strictement croissante sur [0; 1]
Ö NP65Z Gaa5NAGO55M6[ 0 ; 1 ] avec 0 = 0 et 1 = 25 ≈0,74
Donc 0,65 ∈ [ 0 ; 1 ]
Donc l’équation
= 0,65 admet une unique solution 1 dans [0; 1].
La fonction est continue et strictement décroissante sur [1; 5]
Ö NP65Z Gaa5NAGO55M6[ 5 ; 1 ] avec 5 ≈ 0,067 et 1 = 25
Donc 0,65 ∈ [ 5 ; 1 ]
Donc l’équation
= 0,65 admet une unique solution 2 dans [1; 5].
0,581
0,582
0,581 <
1,583 <
1
2
0,64995
0,65
0,65042
1,583
y
0,8
< 1,584
0,7
A
B
0,6
La durée d’exposition au gaz est l'amplitude de
l'intervalle [ ; ]
est supérieure à
1,583-0,582 soit à 1,001
Donc selon la norme définie par l’énoncé, on
peut considérer que le personnel a été affecté
par la fuite de gaz.
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
A.BERGER
0,65016
0,65
0,64992
1,584
< 0,582
≈0,74
TES bleue
2011/2012
-0,1
x1
1
x2
2
3
Page 46 sur 46
4
5