TES 2011-2012 corriges
A.BERGER TES BLEUE année 2011-2012 Page 1 sur 46
MATHEMATIQUES
TES 2011-2012
Corrigés des devoirs
DS1 28/09/2011 page2-6
DV 06/10/2011 page 7
DV 13/10/2011 page 8-9
DV 10/11/2011 page 10-11
DS2 23/11/2011 page 12-17
DV 06/12/2011 page 18
DV 09/01/2012 page 20
Bac Blanc 13/01/2012 page 21-26
DS4 08/02/2012 page 27-32
DV 12/03/2012 page 33-34
DS5 28/03/2012 page 35-39
DV 30/04/2012 page 40 ( calcul intégral )
DS 09/05/2012 page 41
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TES Bleue et pervenche 28/09/2011
EXERCICE I : ( 3 points )
On considère la fonction définie sur par
.
1° Calculer
et montrer que pour :
2° Etudier les variations de la fonction, puis dresser le tableau de variations (les limites en et en non demandées).
3° Déterminer une équation de la tangente à la courbe
au point d’abscisse 0.
1° Calcul de la dérivée :
Pour tout de
Avec
, on a :
2° Signe de la dérivée :
1
+ + 0
0 + +
+ + +
Racine : 1
Racine : -1
Pas de racine
0 + 0
On en déduit le sens de variation de la fonction !
La fonction est : strictement décroissante sur "#"$
strictement croissante sur %#"
et strictement décroissante sur %#%
Tableau de variation de la fonction !
1
0 + 0
½
-1/2
3° Equation de la tangente à la courbe &
!
au point d’abscisse 0 :
''
'
''
(
''')(
Ainsi, une équation de la tangente à
au point d’abscisse 0 est : (
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EXERCICE II : ( 4,5 points )
La courbe (C) est la représentation graphique d’une fonction définie et dérivable sur
[
]
3;3
−
dans un repère orthogonal.
La courbe (C) vérifie les quatre conditions suivantes elle passe par l’origine O du repère et par le point
)9;3A(
−
;
elle admet au point B*#
+
,
une tangente horizontale et elle admet la droite (OA) pour tangente en O.
1. Donner sans justifier une équation de la droite (OA) et de la tangente en B.
Equation de la droite -./ (0
attention à la différence d’unités
Equation de la tangente en 1: (
2
3
coefficient directeur : 0,
l’énoncé donne l’ordonnée de B :
2
3
2. Donner sans justifier /'$0$$
4'56
4
Images : ''07
2
3
Nombres dérivés :
'0 c’est le coefficient directeur de la tangente à
au point O d’abscisse 0.
' c’est le coefficient directeur de la tangente en B d’abscisse 1
3. Recherche du schéma donnant la représentation graphique de la fonction dérivée 4 de la fonction .
Sur la courbe donnée de la fonction , on lit le sens de variation de , on déduit le signe de sa dérivée
0
1 3
-5/3
Lu
0 + Déduit
On élimine le schéma 1 qui ne représente pas une fonction positive sur %#0"
Les schémas 2 et 3 représentent une fonction ayant le signe voulu .
De plus, on a vu que
'0 ,
or la courbe du schéma 2 ne passe pas par le point de coordonnées '#0 ;
seule la courbe du schéma 3 passe par le point de coordonnées '#0 ,
Ainsi , par élimination et sachant que l’une des trois courbes représente , c’est le schéma 3 qui
représente !
(C)
2 3-1-2-3
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
0 1
1
x
y
O
A
B
schéma 1
2 3-1-2-3
-4
2
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
schéma 2
2 3-1-2-3
-4
2
3
4
-1
-2
-3
0 1
1
x
y
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4. On suppose que est définie sur %0#0" par
3
3
8
9 où 8 et 9 sont des réels.
4.a. On a : 0756
2
3
Or 0
3
0
3
80
9077809
56
0
3
8
9
089
Donc on a le système : :07
2
3
):778097
3
89
2
3
):7809;
89
2
3
3
)<089=
89
4.b. Résolvons
<
089=
89
)<088=
98 )< >8>
98)<8
90
La fonction étudiée est définie par
3
3
0
EXERCICE III : (4.5 points )
On donne la courbe représentative d’une fonction définie sur %#"
1° Par lecture graphique, sans justification :
a) Dresser le tableau de variations de la fonction . On fera apparaître le signe de la dérivée
1 5 9 12
0 + 0
0 +
9 7 7
0 1
b) Les solutions de l’équation > sont les abscisses des points de
ayant pour ordonnée 4,
ces solutions sont #0#=$?#
c) L’intervalle image de %#?" est l’ensemble des ordonnées des points de
ayant leur abscisse
dans %#?". L’intervalle image de %#?" est %'#@"
De même, l’intervalle image de %#" est %'#7"
Et l’intervalle image de %#;" est %'#@"
Cf
D : y = x
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1-2
-3
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
0 1
1
x
y
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d) Dresser le tableau de signe de .
1 12
+ 0 +
e) On cherche le nombre de solutions de l’équation A où A est un réel quelconque.
Les solutions de l’équation !BC sont les abscisses des points de &
!
d’ordonnée C
Valeurs de
A
Nombre de solutions de l’équation
A
A
"
#
'
%
A
'
A"'#%
A
A"#@%
A@
A
"
@
#
7
"
A
"
7
#
%
0 solution
1solution
2 solutions
3 solutions
4 solutions
3 solutions
1 solution
0 solution
2° L’affirmation « l’équation admet exactement trois solutions dans %#" » est –elle vraie ?
Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection de
et de la droite
d’équation (. Or la courbe
coupe la droite d’équation ( en exactement trois points.
L’affirmation est donc vraie.
EXERCICE IV : ( 8 points )
Une entreprise fabrique des vases en cristal à l’aide d’un moule. Elle limite sa production à 4000 vases par jour.
1° Le coût de production d’une quantité D de vases est donné, en euros, par :D'$'D'D>''''
a) Etudier les variations de la fonction sur %'#>'''" Dresser le tableau de variation.
Dérivée : pour tout D de E'#>'''F D'$'>D' (1er degré avec GH')
Racine : '$'>D''ID
J
J$JK
?''L'
D
0 4000
MNOP5
Q5
D
+
Donc la fonction coût de production est strictement croissante sur
E'#>'''F
D
0 4000
MNOP5
Q5
D
+
D
440 000
40 000
b) Recopier et compléter le tableau de valeurs.
D
0 500 1000 2000 3000 4000
D
40 000 55 000 80 000 160 000 280 000 440 000
Coût en milliers d’euros 40 55 80 160 280 440
c) Tracer la courbe R
S
Unités : 2 cm pour 500 vases en abscisses 1 cm pour 20 milliers d’euros en ordonnée.
2° On suppose que toute la production est vendue au prix unitaire de 110 € le vase.
Exprimer la recette TD en euros, puis tracer R
U
dans le même repère que la courbe R
S
.
TD'D en euros
La représentation graphique R
U
est une droite ( à tracer à la règle !) qui passe par l’origine du repère
et R(1000)=110 000= 110 milliers d’euros ; R(2000) = 220 000 = 220 milliers d’euros
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
1
/
46
100%
