Variétés hamiltoniennes et Application moment. - IMJ-PRG

Vari´et´es hamiltoniennes
et Application moment.
Mich`ele Vergne
avec contributions de Olivier Guichard et Laurent Thuillier.
Ann´ee 2000
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Introduction
On se donne une action du groupe S1sur une vari´et´e symplectique (M, σ)
de dimension 2n. On suppose que le champ de vecteurs associ´e `a l’action
de S1est hamiltonien. Il y a donc une fonction fappel´ee ´energie, dont le
gradient symplectique engendre l’action de S1. Cette fonction est constante
sur les orbites de S1(th´eor`eme de Noether). Une des premi`eres constructions
fondamentales est la construction de la vari´et´e symplectique r´eduite au niveau
a. C’est une vari´et´e de dimension (2n−2), qui consiste `a ´etudier les orbites
de S1dans le niveau d’´energie f=a.
Plus g´en´eralement, si un groupe de Lie compact connexe Gagit sur Mpar
une action hamiltonienne , on construit une vari´et´e r´eduite de dimension 2n−
2 dim(G). Cette vari´et´e r´eduite est tr`es importante en th´eorie des invariants.
On d´emontrera le th´eor`eme de Duistermaat-Heckman, dans le cadre pr´e-
symplectique ( la 2-forme ferm´ee σn’est pas n´ecessairement non d´eg´en´er´ee).
L’image de la mesure de Liouville par l’application moment est une fonc-
tion localement polynomiale, ( non n´ecessairement positive) dont la densit´e
calcule les volumes r´eduits.
Un exemple ´evident de vari´et´e symplectique est l’espace Cn. Soit Mune
sous vari´et´e alg´ebrique de Cn. C’est une vari´et´e symplectique. Soit Gun sous
groupe de U(n) laissant stable M. Le groupe complexifi´e GCagit dans M.
Alors la vari´et´e r´eduite de Mau niveau 0 classifie les orbites ferm´ees de GC
dans M. C’est le th´eor`eme de Kirwan- Mumford.
Si Cest un cˆone alg´ebrique stable par G, alors Gagit sur la vari´et´e pro-
jective P(C) correspondante. Le quotient de Mumford P(C)//GCde P(C)
par GCest isomorphe `a la vari´et´e r´eduite au niveau 0 de la G-vari´et´e Ha-
miltonienne P(C). On montrera (sous quelques hypoth`eses) que les sections
invariantes du fibr´e Lksur P(C) sont les sections holomorphes du fibr´e r´eduit
Lk//G sur le quotient de Mumford P(C)//GCde P(C) par GC.
La construction d’espace r´eduit permet aussi de construire de nouvelles
vari´et´es par coupure symplectique. En particulier, on construira une vari´et´e
torique associ´ee `a un polytope convexe rationnel.
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SOMMAIRE
Cours du Mercredi 9 Fevrier
Vari´et´es Hamiltoniennes. D´efinitions.
Pages 5-17
Cours du Mercredi 16 Fevrier
L’application moment pour l’action lin´eaire d’un tore.
Pages 18-27
Cours du Mercredi 23 Fevrier
Fibr´es principaux. R´eduction symplectique.
Pages 28-42
Cours du Mercredi 1er Mars
Paradigmes. P(V);T∗M; Orbites coadjointes.
Page 43 : Ce chapitre manque. RECOPIER NOTES DES ETUDIANTS.
Cours du Mercredi 8 Mars
L’espace projectif. Convexit´e de l’application moment.
Pages 44-52
Cours du Mercredi 15 Mars
Application moment et Orbites ferm´ees pour l’action d’un groupe r´eductif
complexe.
Pages 53-59
Cours du Mercredi 22 Mars
Expos´e de Olivier Guichard
Coupures symplectiques , vari´et´es toriques.
Pages 60-70
Cours du Mercredi 29 Mars
Image de la mesure de Liouville par l’application moment et volumes des
espaces r´eduits.
Pages 71-82
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Cours du Mercredi 19 Avril
Action d’un groupe r´eductif complexe sur une vari´et´e projective. Th´eor`eme
de convexit´e de Kirwan- Mumford.
Pages 83-89
Cours du Mercredi 2 Mai
Expos´e de Laurent Thuillier.
Prequantification. Connexion, action et moment.
Pages 90-100
Cours du Mercredi 10 Mai
Quotient de Kirwan-Mumford et section holomorphes G-invariantes.
Pages 101-105
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Vari´et´es Hamiltoniennes. D´efinitions
9 f´evrier.
1 Fibr´e tangent, normal
Soit Mune vari´et´e de classe C∞. On note T M le fibr´e tangent `a M,
et Γ(M, T M) l’espace des sections C∞du fibr´e tangent. Un ´el´ement Vde
Γ(M, T M) est donc un champ de vecteurs. Si v∈TxM, et si φest une
fonction sur Md´efinie au voisinage de x, alors l’action de vsur la fonction
φest d´efinie par
(v·φ)(x) = d
d²φ(x(², v))|²=0
o`u x(², v) est une courbe sur Mtelle que x(0, v) = xet tangente `a ven x.
Si V∈Γ(M, T M) est un champ de vecteurs, alors Vd´efinit une d´erivation
de C∞(M) :
(V φ)(m) = (Vm·φ)(m),
car on a la r`egle de Leibniz :
V(φ1φ2) = V(φ1)φ2+φ1V(φ2).
R´eciproquement, toute d´erivation de l’alg`ebre C∞(M) est d´efinie par un
champ de vecteurs. On utilisera souvent la mˆeme notation pour un champ
de vecteurs et la d´erivation associ´ee, comme d´ej`a fait plus haut. Ainsi, le
crochet [V1, V2] de deux champs de vecteurs V1, V2est le champ de vecteurs
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