Variétés hamiltoniennes et Application moment. - IMJ-PRG

Variétés hamiltoniennes
et Application moment.
Michèle Vergne
avec contributions de Olivier Guichard et Laurent Thuillier.
Année 2000
1
Introduction
On se donne une action du groupe S 1 sur une variété symplectique (M, σ)
de dimension 2n. On suppose que le champ de vecteurs associé à l’action
de S 1 est hamiltonien. Il y a donc une fonction f appelée énergie, dont le
gradient symplectique engendre l’action de S 1 . Cette fonction est constante
sur les orbites de S 1 (théorème de Noether). Une des premières constructions
fondamentales est la construction de la variété symplectique réduite au niveau
a. C’est une variété de dimension (2n − 2), qui consiste à étudier les orbites
de S 1 dans le niveau d’énergie f = a.
Plus généralement, si un groupe de Lie compact connexe G agit sur M par
une action hamiltonienne , on construit une variété réduite de dimension 2n−
2 dim(G). Cette variété réduite est très importante en théorie des invariants.
On démontrera le théorème de Duistermaat-Heckman, dans le cadre présymplectique ( la 2-forme fermée σ n’est pas nécessairement non dégénérée).
L’image de la mesure de Liouville par l’application moment est une fonction localement polynomiale, ( non nécessairement positive) dont la densité
calcule les volumes réduits.
Un exemple évident de variété symplectique est l’espace Cn . Soit M une
sous variété algébrique de Cn . C’est une variété symplectique. Soit G un sous
groupe de U (n) laissant stable M . Le groupe complexifié GC agit dans M .
Alors la variété réduite de M au niveau 0 classifie les orbites fermées de GC
dans M . C’est le théorème de Kirwan- Mumford.
Si C est un cône algébrique stable par G, alors G agit sur la variété projective P (C) correspondante. Le quotient de Mumford P (C)//GC de P (C)
par GC est isomorphe à la variété réduite au niveau 0 de la G-variété Hamiltonienne P (C). On montrera (sous quelques hypothèses) que les sections
invariantes du fibré Lk sur P (C) sont les sections holomorphes du fibré réduit
Lk //G sur le quotient de Mumford P (C)//GC de P (C) par GC .
La construction d’espace réduit permet aussi de construire de nouvelles
variétés par coupure symplectique. En particulier, on construira une variété
torique associée à un polytope convexe rationnel.
2
SOMMAIRE
Cours du Mercredi 9 Fevrier
Variétés Hamiltoniennes. Définitions.
Pages 5-17
Cours du Mercredi 16 Fevrier
L’application moment pour l’action linéaire d’un tore.
Pages 18-27
Cours du Mercredi 23 Fevrier
Fibrés principaux. Réduction symplectique.
Pages 28-42
Cours du Mercredi 1er Mars
Paradigmes. P (V ) ; T ∗ M ; Orbites coadjointes.
Page 43 : Ce chapitre manque. RECOPIER NOTES DES ETUDIANTS.
Cours du Mercredi 8 Mars
L’espace projectif. Convexité de l’application moment.
Pages 44-52
Cours du Mercredi 15 Mars
Application moment et Orbites fermées pour l’action d’un groupe réductif
complexe.
Pages 53-59
Cours du Mercredi 22 Mars
Exposé de Olivier Guichard
Coupures symplectiques , variétés toriques.
Pages 60-70
Cours du Mercredi 29 Mars
Image de la mesure de Liouville par l’application moment et volumes des
espaces réduits.
Pages 71-82
3
Cours du Mercredi 19 Avril
Action d’un groupe réductif complexe sur une variété projective. Théorème
de convexité de Kirwan- Mumford.
Pages 83-89
Cours du Mercredi 2 Mai
Exposé de Laurent Thuillier.
Prequantification. Connexion, action et moment.
Pages 90-100
Cours du Mercredi 10 Mai
Quotient de Kirwan-Mumford et section holomorphes G-invariantes.
Pages 101-105
4
Variétés Hamiltoniennes. Définitions
9 février.
1
Fibré tangent, normal
Soit M une variété de classe C ∞ . On note T M le fibré tangent à M ,
et Γ(M, T M ) l’espace des sections C ∞ du fibré tangent. Un élément V de
Γ(M, T M ) est donc un champ de vecteurs. Si v ∈ Tx M , et si φ est une
fonction sur M définie au voisinage de x , alors l’action de v sur la fonction
φ est définie par
d
(v · φ)(x) = φ(x(², v))|²=0
d²
où x(², v) est une courbe sur M telle que x(0, v) = x et tangente à v en x.
Si V ∈ Γ(M, T M ) est un champ de vecteurs, alors V définit une dérivation
de C ∞ (M ) :
(V φ)(m) = (Vm · φ)(m),
car on a la règle de Leibniz :
V (φ1 φ2 ) = V (φ1 )φ2 + φ1 V (φ2 ).
Réciproquement, toute dérivation de l’algèbre C ∞ (M ) est définie par un
champ de vecteurs. On utilisera souvent la même notation pour un champ
de vecteurs et la dérivation associée, comme déjà fait plus haut. Ainsi, le
crochet [V1 , V2 ] de deux champs de vecteurs V1 , V2 est le champ de vecteurs
5
produisant la dérivation V1 V2 −V2 V1 de C ∞ (M ). L’espace Γ(M, T M ) est donc
muni d’une structure d’algèbre de Lie.
On a
[X, φY ] = (Xφ)Y + φ[X, Y ]
si X et Y sont des champs de vecteurs et φ une fonction sur M .
Soient M et N des variétés et f : M → N une application C ∞ . Soit
p ∈ M . On note dfp : Tp M → Tf (p) M la linéarisation de f au point p. On la
calcule en considérant l’image par f d’une courbe σ(p, ²) passant par p.
Définition 1 Si N est une sous-variété fermée de M , on note N (M/N ) (ou
simplement N ) le fibré normal de N dans M . En chaque point n ∈ N , la
fibre de N est Tm M/Tm N .
Le fibré N → N contient N comme la section nulle. On admet le théorème
des voisinages tubulaires.
Proposition 2 (Koszul)
Soit N une sous variété fermée de M . Soit N le fibré normal à N dans
M . Il existe un difféomorphisme d’un voisinage ouvert U de la section nulle
de N sur un voisinage ouvert de N dans M , cet isomorphisme étant l’identité
sur N .
2
Rappels de calcul différentiel
L
Soit M une variété de classe C ∞ . Soit A(M ) = i Ai (M ) l’algèbre Zgraduée des formes différentielles sur M . Les formes différentielles ici seront
supposées réelles. On a A0 (M ) = C ∞ (M ), tandis que A1 (M ) est l’espace
des 1-formes. Lorsque α est une 1-forme, on note (α, ξ) la valeur de α sur un
champ de vecteurs ξ. C’est une fonction sur M . La valeur de la fonction (α, ξ)
au point x est ”locale”, c’est-à-dire ne dépend que de la valeur de ξ au point
x. Autrement dit, on a (α, φξ) = φ(α, ξ) pour toute fonction φ ∈ C ∞ (M ).
De même, si α est une k-forme, on note α(ξ1 , . . . , ξk ) la valeur de α sur k
champs de vecteurs ξ1 , ..., ξk . C’est une fonction sur M . Cette fonction est
multilinéaire vis à vis de la multiplication des champs ξk par des fonctions
φk :
α(φ1 ξ1 , . . . , φk ξk ) = (φ1 · · · φk )α(ξ1 , . . . , ξk ).
6
Il est utile d’introduire un peu de notations super (mais, rien ne sera
dit ici sur les super-variétés, ni super-groupes).
Un super-espace vectoriel est un espace vectoriel gradué sur Z/2Z :
E = E + ⊕ E −.
On identifie souvent Z/2Z à l’espace des entiers modulo 2. On dira donc
que v ∈ E + est un élément pair , tandis que w ∈ E − est impair.
Un espace vectoriel gradué E = ⊕i∈Z E i sur Z pourra être ainsi comme
un super-espace.
Une super-algèbre A est une algèbre sur un super-espace et dont le produit
respecte la graduation :
Ai Aj ⊂ Ai+j
( ici, i, j sont des entiers modulo 2).
L’algèbre des endomorphismes End(E) d’un super-espace est une superalgèbre, graduée par
End+ (E) = Hom(E + , E + ) ⊕ Hom(E − , E − ),
End− (E) = Hom(E + , E − ) ⊕ Hom(E − , E + ).
On définit le super-crochet de deux éléments homogènes d’une algèbre
graduée par
[a, b] = ab − (−1)|a||b| ba
avec |a| = 0 ou 1 suivant que a est pair ou impair.
Une super-algèbre est dite commutative si [a, b] = 0 pour tout a, b, i.e. les
éléments pairs commutent, mais les éléments impairs anticommutent.
Par exemple, l’algèbre extérieure ΛV d’un espace vectoriel est une superalgèbre commutative.
Une dérivation D d’une superalgèbre A doit vérifier
D(ab) = D(a)b + aD(b),
D(ab) = D(a)b + (−1)|a| aDb,
si D est paire,
si D est impaire.
Il est facile de vérifier que le crochet (au sens gradué) de deux dérivations
est encore une dérivation.
Revenons à nos moutons.
7
La différentiation extérieure d : A• (M ) → A•+1 (M ) est le seul opérateur
vérifiant les conditions suivantes :
1) d2 = 0.
2) d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)deg α α ∧ dβ (relation de Leibniz) avec (α, β)
homogènes dans A(M ). (Autrement dit, d est une dérivation impaire de
l’algèbre A(M )).
3) (df )(ξ) = ξf où f ∈ A0 (M ) = C ∞ (M ), ξ étant un champ de vecteurs
sur M .
On a l’égalité :
dα(ξ0 , . . . , ξk )
=
k
X
X
(−1)i ξi (α(ξ0 , . . . , ξbi , . . . , ξk ))+
(−1)i+j α([ξi , ξj ], ξ0 , ..., ξbi , ..., ξbj , ..., ξk ),
i=0
0≤i<j≤k
où le ”chapeau” signifie que l’on omet la variable.
Exemple, si α est une 1-forme :
(dα)(ξ0 , ξ1 ) = ξ0 (α, ξ1 ) − ξ1 (α, ξ0 ) − (α, [ξ0 , ξ1 ]).
La formule pour dα définit bien une (k + 1)-forme, car contrairement
à l’apparence, la formule pour dα est bien linéaire sur les fonctions. Par
exemple, pour une 1-forme α :
(dα)(φ0 ξ0 , ξ1 ) = φ0 ξ0 (α, ξ1 ) − ξ1 (α, φ0 ξ0 )) − (α, [φ0 ξ0 , ξ1 ])
= φ0 (dα)(ξ0 , ξ1 ) − (ξ1 · φ0 )(α, ξ0 ) + (α, (ξ1 · φ0 )ξ0 ) = φ0 dα(ξ0 , ξ1 ).
La relation d2 = 0 permet de définir une cohomologie
H ∗ (M, C) =
Ker d
Im d
soit pour chaque i, H i (M, C) = Ker (d|Ai (M ) )/d(Ai−1 (M )) appelée cohomologie de de Rham. Si α est telle que dα = 0, alors on dit que α est exacte. Si
α = dβ, alors on dit que α (qui est fermée , car d2 = 0) est exacte.
On a le lemme de Poincaré : Si U est une boule ouverte de Rn , toute
forme différentielle fermée de degré k > 0 est exacte sur U . On montrera ce
lemme plus tard ( cours du 29 Mars).
8
Soit ξ un champ de vecteurs sur M . La dérivée de Lie L(ξ) agit sur
A(M ) en préservant le degré. Elle agit sur une fonction f par L(ξ)f = ξ · f
et son action sur une k-forme ω est définie par :
(L(ξ)ω) (ξ1 , . . . , ξk ) = ξω(ξ1 , . . . , ξk ) −
k
X
ω(ξ1 , . . . , [ξ, ξj ], . . . , ξk ).
j=1
C’est une dérivation paire de l’algèbre A(M ) :
On vérifie que
L(ξ)(α ∧ β) = L(ξ)α ∧ β + α ∧ L(ξ)β.
L(ξ)d = dL(ξ).
La contraction par le champ ξ notée i(ξ) : Ai (M ) → Ai−1 (M ) est définie
par :
i(ξ)α = α(ξ) si α ∈ A1 (M ) est une 1-forme,
i(ξ)(α ∧ β) = (i(ξ)α) ∧ β + (−1)deg(α) α ∧ (i(ξ)β) si α et β sont des formes
homogènes de A(M ). La contraction ι(ξ) est donc une dérivation impaire de
l’algèbre A(M ).
On a la relation
i(ξ) ◦ i(ξ) = 0.
Pour deux champs de vecteurs ξ1 , ξ2 , on a donc
ι(ξ1 ) ◦ ι(ξ2 ) + ι(ξ2 ) ◦ ι(ξ1 ) = 0.
On vérifie aussi la relation
[L(ξ1 ), ι(ξ2 )] = ι([ξ1 , ξ2 ]).
La dérivation de Lie et la contraction sont liées par la relation de Cartan :
L(ξ) = d ◦ i(ξ) + i(ξ) ◦ d.
Celle-ci se vérifie facilement pour une fonction ϕ,
L(ξ)ϕ = dϕ(ξ) = ξϕ,
et pour une 1-forme α. En effet
(L(ξ)α)(ξ1 ) = ξ(α, ξ1 ) − (α, [ξ, ξ1 ])
9
tandis que
(dι(ξ)α)(ξ1 ) = ξ1 (α, ξ),
(ι(ξ)dα)(ξ1 ) = (dα)(ξ, ξ1 ) = ξ(α, ξ1 ) − ξ1 (α, ξ) − (α, [ξ, ξ1 ]).
On a donc l’égalité promise sur les 1-formes. Comme d et ι(ξ) sont des
dérivations impaires de l’algèbre A(M ), on sait que d ◦ i(ξ) + i(ξ) ◦ d est une
dérivation (paire) de l’algèbre A(M ). L’algèbre A(M ) est engendrée par les
fonctions et les 1-formes. Les deux membres de la relation de Cartan sont
des dérivations de l’algèbre A(M ). Elles sont donc égales, puisqu’elles sont
égales sur un système de générateurs.
3
Action d’un groupe sur une variété
Soit G un groupe de Lie. On note e, ou I , l’identité de G. On note g son
algèbre de Lie. C’est l’espace tangent à e à G. Un groupe à un paramètre est
une application t 7→ g(t) de R dans G vérifiant g(0) = I et g(t+u) = g(t)g(u)
pour tout t, u réels. Pour tout X ∈ g, on note exp(tX) le groupe à un
paramètre tangent à X pour t = 0.
Une action d’un groupe G sur un ensemble M est : pour tout a ∈ G, on a
une application ρ(a) : M → M telle que ρ(a)ρ(b) = ρ(ab) et ρ(1) = IdM . Ici
M sera une variété C ∞ , le groupe G un groupe de Lie et la transformation
ρ(a) un difféomorphisme de M . On note a · m ou am l’action de a ∈ G sur
le point m ∈ M .
L’orbite d’un point m ∈ M est
Gm = {am, a ∈ G} ⊂ M.
La variété M est alors une réunion disjointe d’orbites. Un espace est dit
homogène si il n’y a qu’une orbite. On a Gm = M pour tout point m de M .
Si X ∈ g, on note XM le champ de vecteurs sur M tel que −(XM )m soit
tangent en m ∈ M à la trajectoire exp(θX)m de m sous l’action du groupe
de transformations exp(θX). On note simplement Xm à la place de (XM )m .
Pour une fonction ϕ ∈ C ∞ (M ) :
(XM ϕ)(m) =
d
ϕ(exp(−θX)m)|θ=0 .
dθ
Premier théorème fondamental de Lie
10
L’application X 7→ XM est un homomorphisme de l’algèbre de Lie g dans
l’algèbre de Lie Γ(M, T M ) :
[XM , YM ] = [X, Y ]M .
Pour calmer la suspicion par rapport au signe moins dans la définition de
XM , voir cours du 23 Fevrier.
Si M est un espace homogène sous G, alors pour tout point m ∈ M , les
vecteurs Xm engendrent l’espace tangent Tm M .
Un groupe à un paramètre g(t) de transformations d’une variété C ∞ est
une application t 7→ g(t) de R dans les difféomorphismes de M vérifiant
g(0) = I et g(t + u) = g(t)g(u) pour tout t, u réels. Autrement dit, une
action de R sur M . On note alors V le champ de vecteurs sur M tel que Vx
soit tangent en x à la courbe g(−t)x. Question : étant donné un champ de
vecteurs V sur M , peut-on trouver un groupe à un paramètre de transformation de M tangent à V . C’est clair que non. Exemple : soit M une sous
variété ouverte de N , et g(t) un groupe à un paramètre de transformations
de N . Si x ∈ M , la courbe g(t)x sortira de M au bout d’un certain temps,
à moins que M soit invariante par la transformation g(t). Toutefois, on peut
construire une action locale g(t) sur M .
Dire qu’on a une action locale, c’est dire qu’on a un voisinage D de 0 × M
dans R × M et une application g(t, x) de D dans M , telle que
1) g(0, x) = x
2) Pour tout x ∈ M , on a g(t + u, x) = g(t, g(u, x)) pour t, u suffisamment
petits.
Une action locale sur M définit un champ de vecteurs V . Au point x ∈ M ,
le vecteur V est le vecteur tangent à la courbe g(−t, x) en t = 0.
Montrons que si V est un champ de vecteurs sur M , on peut construire
une action locale de R sur M induisant le champ de vecteurs V .
On suppose d’abord P
que M est un ouvert U de Rn . Le champ de vecteurs
V s’écrit sous la forme ni=1 vi (x1 , ..., xn )∂i , où les fonctions vi sont définies
sur U . Notre application g(t, x) est une application à valeurs dans Rn et doit
vérifier pour x fixé :
d
d
d
g(t, x) = g(t + ², x)|²=0 = g(², g(t, x))|²=0 = −V (g(t, x)).
dt
d²
d²
Si on fixe x, on a donc à résoudre l’équation différentielle non linéaire :
11
d
φ(t) = −V (φ(t))
dt
(1)
avec données initiales
φ(0) = x.
La solution g(t, x) existe pour t petit (dans un intervalle dépendant de x)
et est unique. La solution est bien un groupe local : g(t, g(u, x)) = g(t + u, x),
car les deux membres pour u et x fixés sont solutions de la même équation
différentielle ( 1) et ont même valeur initiale.
On note g(t, x) = g(t)x.
Attention. La solution φ(t, x) n’est définie que si t est petit, car l’équation
est non linéaire. Par exemple, si M = R et V (x) = x2 ∂x , alors g(t, x) est solution de dtd φ(t) = −(φ(t))2 , avec φ(0) = x. On obtient
x
g(t)x =
1 + tx
qui explose pour t = −x−1 .
Maintenant si V est un champ de vecteurs sur une variété M , grâce à
l’unicité, on peut recoller les solutions en une action locale. Si M est compacte, il est clair que la solution existe pour tout t, car on la définit pour t
grand par l’équation g(t, x) = g(t/N )N x, où N est suffisamment grand (N a
pu être choisi grâce à la compacité de M , de sorte que g(t/N, y) soit défini
pour tous les y ∈ M . ).
Montrons maintenant le rapport entre action locale définie par un champ
de vecteurs V et dérivée de Lie. Si g(t) est un groupe à un paramètre de
transformations de M , alors g(t) agit sur C ∞ (M ), Γ(M, T M ), A(M ). Si ξ
est un champ de vecteurs, alors ξ(t) = g(t)ξ est C ∞ en t. On peut donc
définir dtd g(t)ξ|t=0 .
Lemme 3 Soit g(t) un groupe à un paramètre de transformations de M
défini par un champ de vecteurs V . Alors pour tout champ ξ ∈ Γ(M, T M ),
on a
d
g(t)ξ|t=0 = [V, ξ].
dt
Pour toute forme différentielle ω ∈ Ak (M ), on a
d
g(t)ω|t=0 = L(V )ω.
dt
12
Démonstration.
Si φ est une fonction sur M , alors par définition de g(t), on a
d
d
(g(t)φ) = φ(g(t)−1 m) = V (g(t)φ).
dt
dt
Si X est un champ de vecteurs (interprété comme dérivation), on a g(t) ·
X = g(t)Xg(t)−1 . Donc
d
(g(t)Xg(t)−1 )φ|t=0 = V (Xφ) − X(V φ).
dt
Pour toute forme ω ∈ Ak (M ), on a
(g(t)ω)(ξ1 , ξ2 , ..., ξk ) = g(t)(ω, g(t)−1 ξ1 ∧ g(t)−1 ξ2 ∧ · · · ∧ g(t)−1 ξk ).
En dérivant, on obtient la dérivée de Lie.
QED
On utilisera la réciproque. Soit ω ∈ Ak (M ). Soit G un groupe de Lie
connexe agissant sur M . Si pour tout X ∈ g, on a L(XM )ω = 0, alors
gω = ω pour tout g ∈ G.
4
Espace vectoriel symplectique
Si B est une forme bilinéaire alternée sur un espace vectoriel réel V , le
noyau de B noté Ker(B) est l’ensemble des v ∈ V tels que B(v, w) = 0 pour
tout w ∈ V . Une forme bilinéaire alternée B est dite non dégénérée si
Ker(B) = 0.
Un espace vectoriel symplectique est un espace vectoriel réel muni d’une
forme alternée B non dégénérée. Alors V est de dimension paire n = 2`, et il
existe une base P1 , P2 , ..., P` , Q1 , Q2 , ..., Q` telle que B(Pi , Pj ) = B(Qi , Qj ) =
0 et B(Pi , Qj ) = δij .
Il est d’usage de représenter B à l’aide d’ un produit scalaire ordinaire
(, ) sur V . Si J est la matrice, dans la base P1 , P2 , ..., P` , Q1 , Q2 , ..., Q` orthonormée pour (., .), définie par
¶
µ
0 −I
,
J=
I 0
alors B(v, w) = (Jv, w).
13
Soit Sp(B) le groupe de transformations symplectiques de V : c’est le
groupe des transformations linéaires de V , conservant la forme bilinéaire B :
Sp(V ) = {g ∈ GL(V ); B(gv, gw) = B(v, w), pour tout v w ∈ V }.
L’algèbre de Lie de Sp(V ) est donc
sp(V ) = {X ∈ End(V ); B(Xv, w) + B(v, Xw) = 0 pour tout v w ∈ V }.
Autrement dit, la matrice X est infinitésimalement symplectique, si et
seulement si la forme bilinéaire (v, w) 7→ B(Xv, w) est symmétrique.
On en déduit que X s’écrit dans la base Pi , Qj sous la forme
µ
¶
A B
X=
C −t A
où B et C sont des matrices symmétriques.
5
Action Hamiltonienne
Dans l’article de Darboux, sur le système de Pfaff, les coordonnées canoniques s’appellent p et x. Traditionellement la position est notée ( plus
tard ? ?) q. Je ne sais pas quand on a choisi q pour la position... )
Hamilton bcp plus tôt (1828) invente le ”Hamiltonien” ( qu’il n’appelle pas
Hamiltonien, mais fonction caractéristique) ; calculée en fonction de l’action
lagrangienne. L’équation du mouvement est
∂H
dqk
=
;
dt
∂pk
dpk
∂H
=−
;
dt
∂qk
Une variété symplectique (M, Ω) est une variété munie d’une 2-forme
fermée Ω, telle que la restriction Ωm à chaque espace tangent Tm M soit
symplectique. En particulier, M est de dimension paire.
On verra le Théorème de Darboux ( Cours de Toledano) :
Autour
chaque point m, il existe des fonctions coordonnées qk , pk telles
Pde
`
que Ω = k=1 dpk ∧ dqk .
14
Une fonction H ∈ C ∞ (M ) définit alors un champ de vecteurs XH sur M ,
par l’équation dH = ι(XH )Ω. Ceci veut dire que pour tout ξ ∈ Γ(M, T M ),
on a
ξH = Ω(XH , ξ).
Le fait que Ω soit non dégénérée implique que XH existe et est unique. En
coordonnées locales qk , pk ,
dH =
et
XH =
X ∂H
∂H
(
dqk +
dpk )
∂q
∂p
k
k
k
X ∂H ∂
∂H ∂
(−
+
).
∂p
∂q
k ∂qk
k ∂pk
k
Le groupe (local) à un paramètre engendré par XH est applée le flot
hamiltonien de H. C’est le mouvement .
ATTENTION : Notre convention pour le groupe a un paramètres donne
bien
dqk
∂H
=
;
dt
∂pk
dpk
∂H
=−
;
dt
∂qk
Lemme 4 Le flot Hamiltonien de H ∈ C ∞ (M ) préserve H et Ω.
En effet, on a
XH · H = Ω(XH , XH ) = 0
par définition, tandis que
L(XH )Ω = ι(XH )dΩ + dι(XH )Ω == d2 H = 0.
C’est le théorème de Noether (Emmy). Le flot hamiltonien préserve l’énergie
ainsi que la forme symplectique. C’est la base de la construction des structures symplectiques sur les variétés réduites.
Si G est un groupe de Lie, le groupe G agit dans son algèbre de Lie par
l’action adjointe. Soit g∗ l’espace vectoriel dual de g. Alors G agit dans g∗
par l’action contragrédiente appelée action coadjointe : Si g ∈ G, f ∈ g∗ et
X ∈ g, alors (gf, X) = (f, g −1 X).
Si f ∈ g∗ , l’orbite Gf de f par le groupe G est appelée orbite coadjointe.
On verra qu’une orbite coadjointe est munie d’une structure symplectique
canonique. ( Toledano, 11 Fevrier).
15
Soit G un groupe de transformations symplectiques de M . La forme Ω est
stable par G. Donc pour tout X ∈ g, on a L(XM )Ω = 0. Comme dΩ = 0, on
a alors d(ι(XM )Ω) = 0.. La 1-forme ι(XM )Ω est donc fermée. Une action sera
hamiltonienne, si cette 1-forme est exacte. On veut une condition d’invariance
dans le choix d’une primitive. On introduit donc les notations suivantes : Soit
µ : M → g∗
une application commutant à l’action de G. Pour tout X ∈ g, on note la
fonction m → (µ(m), X) par (µ, X). On a alors
g · (µ, X) = (µ, g · X).
Voici enfin la définition d’espace G- hamiltonien (M, Ω, µG
M) :
La variété (M, Ω) est une variété symplectique munie d’une action symplectique de G. L’application
∗
µG
M : M → g
est une application commutant à l’action de G ( on la note µ si G et M sont
fixés). On a l’équation de Hamilton
d(µG
M , X) = ι(XM )Ω
pour tout X ∈ g.
Soit H un sous-groupe de G, on a une application naturelle de g∗ dans
h∗ . Il est donc clair que si M est un espace G-hamiltonien, c’est a fortiori un
espace H-hamiltonien.
Exemple :
Action de S 1 par rotations dans R2 muni de la forme Ω = dx ∧ dy.
Soit J la matrice antisymmétrique 2 × 2 définie par
µ
¶
0 −I
J=
I 0
Alors g(θ) = exp(θJ) est donné par
µ
¶
cos(θ) − sin(θ)
g(θ) =
.
sin(θ) cos(θ)
16
Son champ de vecteurs associé est
JM = y∂x − x∂y .
On considère µ : M → RJ ∗ défini par
1
µ(J)(x, y) = (x2 + y 2 ).
2
On a bien l’équation
dµ(X) = ι(XM )Ω.
En effet
d(µ(J)) = x dx + y dy.
ι(JM )(dx ∧ dy) = ι(y∂x − x∂y )(dx ∧ dy) = x dx + y dy..
17
L’application moment pour l’action linéaire
d’un tore.
16 février.
6
L’espace vectoriel symplectique
Soit (V, B) l’espace vectoriel symplectique de dimension n = 2`. Considérons
la 1-forme ω = 12 B(v, dv) sur V et la 2-forme Ω = dω = 21 B(dv, dv). Ici
dv ∈ A1 (V ) ⊗ V et B(dv, dv) est définie par linéarité sur A1 (M ). Ce n’est
pas nul,
de A1 (M ) anticommutent.P
Plus concrètement : si
P cari les élémentsP
i
v =
xi e , alors dv =
dxi ⊗ e et B(dv, dv) = i,j dxi dxj B(ei , ej ). Le
terme diagonal en (i, i) est nul. On peut donc écrire B(dv, dv) comme
X
X
((dxi ∧ dxj )B(ei , ej ) + (dxj ∧ dxi )B(ej , ei )) = 2
B(ei , ej )(dxi ∧ dxj ).
i<j
i<j
On choisit P1 , P2 , ..., P` , Q1P
, Q2 , ..., Q` une base symplectique de V , avec
j
B(Pi , Qj ) = δi . On écrit v = `k=1 (pk Pk + qk Qk ) la variable dans V . On a
donc
X̀
1 X̀
dpk ∧ dqk .
(pk dqk − qk dpk ),
Ω=
ω=
2 k=1
k=1
Soit Sp(V ) le groupe des transformations symplectiques de V . On note
s son algèbre de Lie. Rappelons que X ∈ s, si et seulement si B(Xv, w) =
B(Xw, v) pour tout v, w ∈ V . L’action de Sp(V ) sur V est Hamiltonienne.
18
L’application moment µ : V → s∗ est donnée pour v ∈ V , par
1
(µ(v), X) = − B(Xv, v)
2
pour X ∈ s. En effet, on a
1
1
1
d( B(Xv, v)) = B(Xdv, v) + B(Xv, dv) = B(Xv, dv),
2
2
2
car X est symplectique. D’autre part,
1
1
ι(XM )Ω = B(−Xv, dv) + B(dv, Xv) = −B(Xv, dv).
2
2
∗
Remarquons que µ : V → s est homogène de degré 2.
Considérons une structure complexe J sur V compatible avec B : c’està-dire telle que B(Jv, Jw) = B(v, w) pour tout v, w ∈ V . De plus on veut
que B(v, Jv) > 0 pour tout v 6= 0 (on peut prendre J(Pk ) = Qk , J(Qk ) =
−Pk ). Soit Q(v, w) = B(v, Jw). C’est un produit scalaire Euclidien sur V .
La forme h = (Q − iB) est une forme Hermitienne sur l’espace complexe
(V, J). Le groupe unitaire U (V ) est un sous groupe maximal de Sp(V ). On
note u l’algèbre de Lie de U (V ). C’est l’espace vectoriel des matrices antihermitiennes. On peut donc restreindre l’application moment en une application moment de V dans u∗ .
Réciproquement, si (V, h) est un espace Hermitien de dimension complexe
`, on définit sur V la forme symplectique
B(v, w) = −Im(h)(v, w).
L’application moment µ : V → u∗ est donnée par
1
i
(µ(v), X) = Im(h)(Xv, v) = − h(Xv, v)
2
2
pour toute transformation antihermitienne X de V ( comme X est antihermitienne, le nombre h(Xv, v) est purement imaginaire).
6.1
Orbites d’un tore complexe
On considère T un tore. Un tore (de dimension r) est simplement un
groupe isomorphe à un produit S 1 ×rf ois ×S 1 . Son algèbre de Lie t est
abélienne. Elle est munie d’un réseau
Γ = {γ ∈ t, exp 2πγ = 1}.
19
Un caractère d’un groupe G est un homomorphisme multiplicatif de G
dans C∗ (Attention, le mot caractère désigne aussi la trace d’une représentation,
mais dans ce cours ce sera plutôt des homomorphismes) . Un caractère d’un
tore est à valeurs dans |z| = 1, car T est compact. Si T = R/2πZ, les caractères χn sont indexés par tous les entiers n ∈ Z, avec χn (θ) = einθ .
On note
P = {λ ∈ t∗ , (λ, Γ) j Z}.
Si λ ∈ P , on note eiλ le caractère de T , tel que eiλ (exp X) = e(iλ,X) pour
X ∈ t. C’est bien une fonction sur T , car, si γ ∈ Γ, eiλ (exp 2πγ) = e2iπ(λ,γ) =
1, ce qui est heureux puisque exp 2πγ = 1.
L’ensemble des caractères d’un tore est ainsi paramétré par P .
On considère l’ action d’un tore T dans un espace vectoriel complexe V de
dimension (complexe) N avec poids α1 , α2 , ..., αN de t∗ . Soit ek une base de
V , telle que l’ action de T sur V soit représentée par des matrices diagonales.
On identifie donc V à CN . L’action de T sur V est donnée par
(exp X)(z1 , z2 , ..., zN ) = (ei(α
1 ,X)
z1 , ei(α
2 ,X)
z2 , ..., ei(α
N ,X)
zN )
pour X ∈ t.
On étend cette action à TC . Si Z = X + iY ∈ tC , on pose (αk , Z) =
(αk , X) + i(αk , Y ) ∈ C. On a alors
1
2
N
(exp Z)(z1 , z2 , ..., zN ) = (ei(α ,Z) z1 , ei(α ,Z) z2 , ..., ei(α ,Z) zN ).
P
k
Définition 5 Soit v = N
k=1 zk e . On note Supp(v) la suite des éléments
αk de t∗ tels que zk 6= 0. Cette suite, à l’ordre près, est indépendante de la
base (ek ) de V diagonalisant l’action de T .
Si ∆ est un ensemble fini d’éléments de t∗ , on définit les cônes C(∆) et
C 0 (∆) dans t∗ par :
X
C(∆) = {λ =
tα α; tα ≥ 0},
α∈∆
C 0 (∆) = {λ =
X
tα α; tα > 0}.
α∈∆
Lemme 6 Supposons que les éléments α ∈ ∆ engendrent t∗ . Alors le cône
C 0 (∆) est l’intérieur du cône C(∆).
En général,
le cône C 0 (∆) est l’intérieur relatif de C(∆) dans l’espace
P
vectoriel k Rαk engendré par C(∆).
20
En effet, il est clairPque C 0 (∆) est ouvert et que C(∆) est fermé. Si y est
dans C(∆), on a y = Ptj αj avec αj ∈ ∆ et tj ≥ 0. Si x est dans l’intérieur
de C(∆), alors y = x−P α∈∆ tα α est encore dans C(∆) pour α ∈ ∆ et tα > 0
petits. Alors x = y + α∈∆ tα α est dans C 0 (∆).
Attention Les éléments αk ne sont pas linéairement indépendants. Il est
compliqué de décrire exactement les arêtes du cône polyhédral C(∆) et donc
de décider lesquels des vecteurs αk sont extrêmaux, ou au contraire contenus
dans l’intérieur de C(∆).
Exemple 1. Soit t = RJ1 ⊕ RJ2 . Soit J 1 et J 2 la base duale. Soit α1 =
1
J , α2 = J 2 , α3 = −(J 1 + J 2 ). On a C 0 (∆) = C(∆) = t∗ .
Exemple 2. Si β 1 = J 1 , β 2 = J 2 , β 3 = (J 1 + J 2 ), on a C(∆) = R+ J 1 ⊕
R+ J 2 . Le vecteur β 3 est dans C 0 (∆), car il s’écrit 12 (β 1 + β 2 + β 3 ). Par contre
β 1 et β 2 ne sont pas dans C 0 (∆).
P
Lemme 7 On a 0 ∈ C 0 (∆) si et seulement si C(∆) = C 0 (∆) = k Rαk .
Considérons le cône convexe fermé C(∆). Comme vu plus haut, c’est
compliqué de savoir quels sont les éléments extrémaux de C(∆).
Soit ξ ∈ t. On appelle face f de C(∆), un sous ensemble de la forme
C(∆) ∩ (ξ = 0), où ξ est tel que ξ(C(∆)) j R+ .
Par exemple {0} est une face. Mais aussi C(∆) lui-même sera considéré
comme une face... Bref, vous voyez quand même ce qu’on entend par face.
La dimension de f est la dimension de l’espace affine engendré. On dira
facette pour une face de codimension 1. On note f 0 l’intérieur relatif de f .
L’intérieur relatif de 0 est zero. Oui !
On va caractériser les orbites fermées de TC dans V à l’aide du cône C 0 (∆).
Puis, on va chercher à paramétrer l’ensemble des orbites fermées de TC dans
V . On étudie ce problème de géométrie complexe à l’aide de l’application
moment du sous-groupe compact maximum T de TC .
Considérons l’exemple 1). Soit T = S 1 × S 1 agissant dans C3 avec poids
α1 , α2 , α3 . Soit z = z1 e1 + z2 e2 + z3 e3 avec z1 , z2 , z3 6= 0. Alors z est d’or1
2
bite fermée sous TC . En effet, comme (exp Z)z = z1 ei(α ,Z) e1 + z2 ei(α ,Z) e2 +
3
z3 ei(α ,Z) e3 et que α1 + α2 + α3 = 0, on voit que l’ orbite de z est l’ensemble
des points u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 tels que u1 u2 u3 = z1 z2 z3 .
Considérons l’exemple 2). Soit T = S 1 × S 1 agissant dans C3 avec poids
β 1 , β 2 , β 3 . Alors, aucune orbite n’est fermée à part 0.
Soit donc TC un tore complexe agissant dans un espace vectoriel complexe, par une action holomorphe. On choisit un produit hermitien sur V
21
de telle sorte que T agisse unitairement dans V . On peut alors choisir une
base orthonormale ek de V telle que T agisse diagonalement dans cette base
orthonormale par
(exp X)(
N
X
zk e k ) =
k=1
N
X
ei(α
k ,X)
zk e k ,
k=1
si X ∈ t. L’élément X ∈ t agit donc par
X(
N
X
k
zk e ) =
k=1
N
X
i(αk , X)zk ek .
k=1
On note < ., . > le produit hermitien. On a donc
P une kapplication
Pmoment
i
k
∗
µ : V → t . Elle est donnéeP
par (µ(v), X) = − 2 < k i(α , X)zk e , k zk ek >.
On a donc (µ(v), X) = 21 k (αk , X)|zk |2 . L’application moment µ : V → t∗
est donc
X
1X
|zk |2 αk .
µ(
zk e k ) =
2 k
Théorème 8 (Kac-Peterson). Considérons l’orbite OC (v) de v par le tore
TC . Alors l’ image de OC (v) par l’application moment µ : V → t∗ est le cône
C 0 (Supp(v)). De plus, l’application µ est un homéomorphisme de O C (v)/T
sur C 0 (Supp(v)).
P
Démonstration. Soit v = k zk ek . Un point p dans OC (v) est de la forme
X
k
k
p=
ei(α ,X) e−(α ,Y ) zk ek
k
avec X, Y ∈ t. Il a même support que v. Pour simplifier les notations dans la
démonstration, on peut donc supposer que tous les zk sont non nuls et que
les éléments αk engendrent t∗ .
On a
1 X −2(αk ,Y ) 2 k
e
|zk | α .
µ(p) =
2 k
et donc µ(p) est dans C 0 (∆). Le théorème découle de la proposition suivante.
Proposition 9 Soit ∆ = {α1 , ..., αN } une suite d’éléments de t∗ ( les éléments
αk ne sont pas nécessairement dans P dans cette proposition ). Supposons
22
que les éléments αk engendrent l’espace vectoriel t∗ . Soient ck des constantes
strictement positives. Soit H : t → t∗ l’application
H(Y ) =
N
X
e(α
k ,Y
)
ck α k .
k=1
Alors H est un homéomorphisme de t sur C 0 (∆).
Démonstration. On calcule la différentielle de H en Y ∈ t : c’est
l’application linéaire de t dans t∗ donnée par :
dHY (W ) =
N
X
ck e(α
k ,Y
)
(αk , W )αk
k=1
Cette application est injective, car
(dHY (W ), W ) =
N
X
ck e(α
k ,Y
)
(αk , W )2
k=1
n’est jamais 0, si W n’est pas zéro : les éléments αk engendrent t∗ .
Prouvons que H est injective. Soient Y1 et Y2 tels que H(Y1 ) = H(Y2 ). On
considère la fonction
φ(t) = (H(Y1 +t(Y2 −Y1 )), (Y2 −Y1 )). Alors φ(0) = φ(1).
P
0
(αk ,Y1 +t(Y2 −Y1 ))
Mais φ (t) = k ck e
(αk , (Y2 − Y1 ))2 est strictement positive en
tout point t si (Y1 − Y2 ) 6= 0. On obtient que nécessairement Y1 = Y2 . Donc
H est un difféomorphisme de t sur son image.
0
PNNous kvoulons montrer que cette image est le cône C (∆). Soit ξ =
k=1 ξk α , avec ξk > 0. Montrons qu’il existe Y ∈ t, avec H(Y ) = ξ. On
considère la fonction φ : t → R donnée par
φ(Y ) =
N
X
ck e(α
k ,Y
k=1
)
− (ξ, Y ).
S’il existe un point critique Y0 ∈ t pour φ, alors
0 ) = ξ. En effet, le fait
P H(Y
(αk ,Y0 ) k
α = ξ.
que la différentielle de φ en Y0 vaut 0 s’écrit k ck e
Montrons que φ est bornée inférieurement et atteint son minimum en un
point Y0 ( forcément critique). On a
φ(Y ) =
N
X
(ck e(α
k ,Y
k=1
23
)
− ξk (αk , Y )).
k
Considérons la function φk (Y ) = ck e(α ,Y ) − ξk (αk , Y ). En étudiant la
fonction y 7→ ck ey − ξk y, on voit que φk (Y ) est bornée inférieurement (par
mk = ξk − ξk (Log(ξk /ck ))). En effet, comme ck > 0 et ξk >P0, si y tend
vers ±∞, la fonction ck ey − ξk y P
tend to +∞. Donc la fonction k φk (Y ) est
bornée inférieurement par m = k mk .
De plus comme chacune des fonctions composantes φk (Y ) tend vers +∞
lorsque | < αk , Y > | devient grand, c’est clair que la fonction atteint son
minimum. En effet, si |Y | devient plus grand que M , au moins un des | <
αk , Y > | devient grand et la fonction φ restera grande. (plus précisément, si
a est le minimum de φ(X) − m, on peut choisir M tel que si ||X|| > M , une
k
des coordonnées
grande, de telle sorte que (φk (X) − mk ) > a + 1.
P(α , X) estP
On aura alors j φj (X) = j (φj (X) − mj ) + m ≥ (m + a + 1). Le minimum
(m + a) est donc atteint sur l’ensemble compact ||X|| ≤ M . )
QED
QED
Soit v ∈ V . Le stabilisateur infinitesimal t(v) de v dans T est l’ensemble
des Y ∈ t tel que αk (Y ) = 0 pour tous les αk ∈ Supp(v). L’espace vectoriel
dual de t/t(v) s’identifie naturellement à l’espace vectoriel engendré par les
αk du support de v.
On note simplement pour la suite le corollaire suivant du théorème précédent.
Corollaire 10 Soit w ∈ TC v. Supposons que µ(w) ∈ C 0 (Supp(v)). Alors
w ∈ TC v.
Démonstration. Soit t1 (v) un supplementaire de t(v) dans t(v). L’application Y → µ(exp(iY )v) est un difféomorphisme de t1 (v) sur C 0 (Supp(v)).
On écrit w = limN vN , avec vN = exp(iYN )tN v. Comme T est compact, on
peut supposer (en prenant éventuellement une sous-suite) que les tN tendent
vers une limite t. En changeant w en t−1 w, on peut supposer w = limN vN ,
avec vN = exp(iYN )v, et en projetant les YN sur t1 (v), on peut supposer les
YN dans t1 (v). Comme µ(w) ∈ C 0 (Supp(v)) par hypothèse, on peut écrire
µ(w) = µ((exp iY )v) avec Y ∈ t1 (v). La proposition (9) montre que la suite
YN tend vers Y , puisque la suite µ((exp iYN )v) tend vers µ((exp iY )v).
QED
Nous étudions maintenant l’image de l’adhérence de OC (v) sous l’application moment.
P
P
Soit v = k zk ek . Soit f une face de C(∆), on note vf = k,αk ∈f zk ek .
Pour chaque face f de C(∆), on note Of l’orbite par TC de vf . On note f 0
24
l’intérieur relatif de f . On note F l’ensemble des faces de C(∆).
Proposition 11 Soit v ∈ V , et soit ∆ = Supp(v). Alors
1) OC (v) = ∪f ∈F Of .
2) L’ image de Of par µ est le cône f 0 .
Démonstration. Si f est une face de ∆, il existe Y ∈ t tel que (α k , Y ) >
0 pour tous les αk qui ne sont pas dans f , et (αk , Y ) =P0 pour αk ∈ F . Donc
k
la limite, lorsque t tend vers l’ infini, de exp(itY )v = k e−t(α ,Y ) zk ek existe
et est vf .
Soit maintenant w ∈ TC v. Supposons que µ(w) ∈ f 0 . Montrons qu’alors
w est dans TC vf . Il suffit de montrer
que w est dans TC vf , car on appliquera
P
la Proposition (10). On a v = k zk ek . Soit vN = (exp iYN )(tN · v) une suite
de points convergeant vers w, ici YN ∈ t et tN ∈ T . Comme précédemment,
on peut supposer tN = 1, quitte à passer à une sous-suite et modifier w en
tw.
P
k
0
0
=
On écrit vN = vN (f )+vN
avec vN (f ) = k,αk ∈f e−<α ,YN > zk ek . On a vN
P
j
−<α ,YN >
j
k
k
zj e . Soit ξ un élément de t tel que < α , ξ >= 0 si α ∈ f
j,αj ∈f
/ e
P
j
−<αj ,YN >
et < α , ξ >> 0 si αj ∈
/ f . Alors < µ(wN ), ξ >= j,αj ∈f
|zj |2 <
/ e
αj , ξ > converge vers 0, puisque µ(w) ∈ f 0 . On voit donc que chaque
j
e−<α ,YN > converge vers
αj n’est pas dans f .
P 0 , lorsque
k
En projetant sur k,αk ∈f Ce , on voit donc que w est dans l’adhérence
de TC vf .
.
QED
Le corollaire des lemmes (7) et (11) est donc le suivant.
Corollaire 12 Un point v ∈ V est tel que OC (v) est fermée, si et seulement
si 0 ∈ C 0 (Supp(v)).
V.
Voici donc la paramétrisation attendue des orbites fermées par TC dans
Proposition 13 Soit TC un tore complexe. Alors toute orbite fermée sous
TC intersecte µ−1 (0). Reciproquement, l’orbite d’un élément v ∈ µ−1 (0) est
fermée. De plus deux éléments v1 et v2 de µ−1 (0) conjugués par TC sont
conjugués par T .
Ceci découle des remarques précédentes.
25
Lemme 14 (cas particulier de Hilbert-Mumford). Supposons 0 ∈ TC v. Il
existe Y ∈ t tel que
0 = lim exp(itY )v.
t→∞
P
k
Démonstration. On peut supposer v =
k zk e avec zk 6= 0 pour
tout k. L’hypothèse que 0 ∈ TC v entraine que le cone C(∆) est convexe
saillant. En effet sinon, ilP
existerait une relation linéaire à coefficients positifs
k
k
entre certains des αk :
éléments
k∈K tk α = 0. Comme les α sont des P
d’un réseau, on voit qu’on peut supposer qu’il existe une relation k nk αk
avec des nk entiers positifs. Si z = (z1 , z2 , · · · , zN ) varie dans l’orbite
Q de v,
k
les coordonnées zk sont multipliées par les constantes ei(α ,Z) . Donc k∈K zknk
reste égal à une constante non nulle. En particulier elles restent non nulles sur
l’adhérence. L’adhérence TC v ne peut donc contenir le point 0 de coordonnées
toutes égales à 0.
Le cône C(∆) est donc un cône saillant.
Y ∈ t tel que (α k , Y ) > 0
P Il existe
k
−t(αk ,Y )
pour tout α . On a alors (exp itY )v = k zk e
vk et ceci tend vers 0
lorsque t tend vers l’infini.
QED
Plus généralement, on a le critère suivant.
Lemme 15 Soit y un point de TC v. Alors il existe Y ∈ t et g ∈ TC tels que
y = limt→∞ exp(itY )gv.
Démonstration.
P
P
Soit v = k zk ek avec zk 6= 0 pour tout k et soit y = j∈J yj ej avec yj 6= 0
P
pour j ∈ J. Regardons l’action de TC dans l’espace vectoriel j∈J Cej . Alors
P
µ(y) est dans C 0 (αj ) et est dans l’adhérence de l’orbite de v1 = j∈J zj ej .
On
supposer qu’ il existe g ∈ TC avec gv1 = y. On a gv =
P peut0 donc
k
les zk0 sont aussi non nuls.
y + k∈J
/ zk e , etP
On a µ(y) = j∈J |yj |2 αj . Comme y n’est pas dans TC v, µ(y) est dans
le bord de C(∆). Il existe donc Y ∈ t tel que (αj , Y ) = 0 pour tout αj ∈ J
tandis que (αk , Y ) > 0 pour k ∈
/ J. On voit alors que (exp itY )gv tend vers
y lorsque t tend vers l’infini.
QED
Soit M un sous-ensemble irréductible de V défini par des équations polynomiales :
M = {z ∈ V ; Pk (z) = 0}.
26
Si M est stable par l’action de T sur V , alors M est stable par l’action
de TC .
Soit
Supp(M ) = ∪v∈M Supp(v).
Proposition 16 Soit M une sous-variété irréductible de V stable par T .
Alors l’ image de M par µ : M → t∗ est le cône convexe polyhédral fermé
engendré par Supp(M ).
Démonstration.
Soit ∆ l’ensemble des poids de T dans V . Il suffit de montrer que l’ensemble fini F formé des sous-ensembles de ∆ de la forme Supp(v), v ∈ M admet un élément maximal. Si S est un sous ensemble de ∆, on définit l’ouvert
U (S) = {z ∈ M, zk 6= 0, αk ∈ S}. Si v ∈ M , l’ ouvert U (Supp(v)) contient v
et est donc non vide. Comme la variété est irréductible, un nombre fini d’ ouverts de Zariski non vides se rencontrent. On a donc un point w ∈ ∩S∈F U (S).
Le support de w est donc égal au support de M . Donc
µ(M ) = ∪v∈M µ(TC v) = C(Supp(M )).
QED
27
Fibrés principaux. Réduction symplectique.
23 février.
7
Fibrations
Définition 17 Soit π : E → M une application différentiable d’une variété
E dans une variété M . On dit que (E, π) est une fibration de E sur M avec
fibre type E, s’il existe un recouvrement de M par des ouverts Ui et des
difféomorphismes φi : π −1 (Ui ) → Ui × E, tels que π : π −1 (Ui ) → Ui soit la
composition de φi avec la projection sur le premier facteur Ui dans Ui × E.
L’espace E est appelé l’espace total de la fibration et M la base.
On voit donc que π −1 (x) est difféomorphique à E pour tout x ∈ M ; On
appelle E “la” fibre de E.
Une application φ : M → N est propre, si l’image réciproque d’un compact est compacte. Une fibration π : E → M est propre si et seulement si la
fibre E est compacte.
Considérons le difféomorphisme φj ◦ φ−1
de (Ui ∩ Uj ) × E découlant de
i
la définition de fibration. C’est une application de Ui ∩ Uj dans le groupe de
difféomorphismes Diff (E) de la fibre E.
Définition 18 Une fibration π : E → M est dite un fibré vectoriel si la
fibre est un espace vectoriel E, et si les difféomorphismes φi sont choisis tels
que φj ◦ φ−1
i : {x} × E → {x} × E sont des applications linéaires inversibles
de E pour tout x ∈ Ui ∩ Uj .
28
Une section s d’un fibré E sur M est une application s : M → E telle
que πs(x) = x for all x ∈ M . Si E est un fibré vectoriel, l’espace Γ(M, E) des
sections (C ∞ ) est un espace vectoriel : les sections s’additionnent. La section
nulle envoie M comme un sous ensemble de E.
Question : Comment reconnait-on qu’une variété V a la structure d’un
fibré vectoriel sur une sous-variété fermée M . Au moins il doit y avoir la
courbe (x, v(t)) = (x, tv), qui envoie tout point (x, v) de V sur le point (x, 0)
de M . Donc au moins, on doit pouvoir rétracter V sur M .
Soit φ : M → N une application C ∞ . On dit que a est une valeur régulière
de φ, si la différentielle de φ est surjective de Tm M dans Ta N pour tout m
dans φ−1 (a). Alors φ−1 (a) est une sous-variété fermée de M . Si φ est propre,
le théorème des fonctions implicites implique qu’il existe un voisinage U de a
dans N , tel que φ−1 (U ) soit isomorphe à φ−1 (a)×U , l’application φ devenant
la seconde projection. Donc φ−1 (U ) est fibré sur U de fibre type φ−1 (a).
8
Retour sur actions à gauche, à droite, et
crochet d’ algèbres de Lie
Une action à gauche d’un groupe G sur un ensemble M est : pour tout
a ∈ G, on a une application ρ(a) : M → M telle que ρ(a)ρ(b) = ρ(ab) et
ρ(1) = IdM . Si a ∈ G et m ∈ M , on note a · m = ρ(a)(m). On note aussi ceci
am et il n’y a pas d’ambiguité dans la notation abm qui peut être interprété
comme a(bm) ou (ab)m.
Une action à droite d’un groupe G sur un ensemble M est : pour tout
a ∈ G, on a une application r(a) : M → M telle que r(a)r(b) = r(ba)
et r(1) = IdM . Si a ∈ G et m ∈ M , on note r(a)m = ma. Il n’y a pas
d’ambiguité dans la notation mab qui peut être interprété comme (ma)b ou
m(ab).
Si a → ρ(a) est une action à gauche sur M , alors r(a) = ρ(a−1 ) est une
action à droite sur M .
Par définition, comme espace vectoriel, l’algèbre de Lie d’un groupe de
Lie est l’espace tangent à l’unité. D’autre part, la courbe exp(tX) est l’unique
groupe à un paramètre tangent à X en g = 1. Quelle est la loi de crochet sur
g ? ? ? Tout d’abord si G est le groupe GL(V ) des transformations linéaires
d’un espace vectoriel réel, l’algèbre de Lie g est l’espace vectoriel End(V ).
29
Elle est donc munie d’un crochet
[A, B] = AB − BA.
Au membre de droite, on utilise la structure de produit de matrices. Il est
donc naturel de chercher une définition du crochet pour l’espace tangent à
un groupe, qui généralise cette définition. Voici la définition : On identifie
l’algèbre de Lie g à l’algèbre de Lie des champs sur G invariants à gauche. Si
X ∈ g, le champ v(X) (invariant à gauche) est donc défini par
(v(X)φ)m =
d
φ(m exp tX).
dt
Le crochet de deux champs invariants à gauche est encore invariant à gauche.
On définit donc [X, Y ] comme l’élément de g tel que
[v(X), v(Y )] = v([X, Y ]).
Ceci nous permet donc de définir une loi d’algèbre de Lie sur g.
Vérifions que c’est bien la loi usuelle dans le cas de GL(V ).
Si A est une matrice, la courbe exp tA est l’exponentielle naturelle des
matrices
t3
t2
exp tA = I + tA + A2 + A3 + · · · ....
2!
3!
Elle définit un champ sur G par action à droite ou à gauche. On peut donc
définir deux champs c(A), avec c(A)B vecteur tangent à la courbe (exp tA)B
en t = 0 et un champ v(A) avec v(A)B tangent à la courbe B(exp tA) en
t = 0.
Attention
Le champ c(A) tangent à l’action à gauche est invariant à droite ( les
actions gauches et droites commutent). Le champ v(A) est le champ
invariant à gauche.
Lemme 19 Soient A et B des matrices. On a
[c(A), c(B)] = −c([A, B]),
[v(A), v(B)] = v([A, B]).
30
Démonstration.
Pour démontrer l’égalité des deux membres, comme ce sont des dérivations
de l’algèbre des fonctions sur End(V ), il suffit de montrer l’identité en question sur les fonctions linéaires ξ sur End(V ). Alors pour U ∈ g
(c(A)ξ)(U ) =
d
(ξ, (exp ²A)U )|²=0
d²
est encore une fonction linéaire. C’est la fonction définie par (c(A)ξ)(U ) =
ξ(AU ). On voit alors que
(c(A)c(B) − c(B)c(A))ξ)(U ) = (c(B)ξ)(AU ) − (c(A)ξ)(BU )
= ξ(BAU ) − ξ(ABU ) = −(c([A, B])ξ)(U ).
De même pour les autres égalités.
QED
De même , le groupe GL(V ) agit sur V par transformations linéaires
g · v = gv. On vérifie par le même calcul que le champ de vecteurs
(cV (A)φ)(v) =
d
φ(exp(²A)v)|²=0
d²
vérifie
[cV (A), cV (B)] = −cV ([A, B])
où à gauche c’est le crochet de champs de vecteurs, et à droite c’est le crochet
(AB − BA) des matrices.
D’ou la définition, qui n’avait pas l’air ”naturelle”, mais qui en fait l’est :
le champ de vecteurs AV associé au groupe à un paramètre g(t) = exp(tA)
de transformations (linéaires) sur V est la dérivation
(AV φ)(v) =
d
φ((exp −tA)v)|t=0 .
dt
On a alors
[AV , BV ] = [A, B]V .
Maintenant, si G est un groupe de Lie, on définit l’action adjointe Ad(g)
de G sur g, comme la linéarisation en 1 de l’action de l’action de Ad(g)(x) =
gxg −1 . On a alors
d
Ad(exp tX)) · Y |t=0 = [X, Y ].
dt
31
C’est vrai dans les matrices, car :
Ad(exp tX) · Y = exp(tX)Y (exp −tX) = Y + t[X, Y ] + · · · ....
On suppose que G agit sur une variété M . Si X ∈ g, on note XM le champ
de vecteurs sur M tel que (XM )m soit tangent en m ∈ M à la trajectoire
exp(−θX)m de m sous l’action du groupe de transformations exp(θX).
On a bien le : Premier théorème fondamental de Lie
L’application X → XM est un homomorphisme de l’algèbre de Lie g dans
l’algèbre de Lie Γ(M, T M ) :
[XM , YM ] = [X, Y ]M .
En effet, on a vu ( cours du 9 fevrier) que exp(tX) vérifie
d
(exp tX)ξ(exp −tX)|t=0 = [XM , ξ]
dt
pour tout champ de vecteurs ξ. On a donc
d
(exp tX)YM (exp −tX)|t=0 = [XM , YM ]
dt
pour X et Y dans g. Ceci est en interprétant un champ de vecteurs comme une
dérivation et en dérivant g(t)ξg(t)−1 . Mais si g est un difféomoprphisme de M ,
et ξ est un champ de vecteurs, on peut aussi calculer g·ξ par (g·ξ)m = g(ξg−1 m )
et ceci se calcule en calculant l’ action de g sur une courbe c(²) telle que c(0) =
g −1 m et tangente à ξg−1 m . Pour calculer le membre de gauche de l’égalité cidessus, qui est (exp tX) · YM on choisit c(²) = exp(−²Y )(exp −tX)m. Alors
g(t)c(²) = (exp tX) exp(−²Y )(exp −tX)m = exp(−²Ad(exp tX)Y ) · m.
C’est le champ associé (Ad(exp tX)Y )M au vecteur Ad(exp tX)Y de g.
En dérivant par rapport à t, on a bien la relation voulue, avec les bons signes.
9
Actions libres
Soit G un groupe de Lie d’algèbre de Lie g. On suppose que G agit sur
une variété M .
32
Si g ∈ G, on note M g l’ensemble des points fixes par g ∈ G. On note
M = {m ∈ M, gm = m, pour tout g ∈ G} l’ensemble des points fixes par
tout le groupe G
Si X ∈ g, on note M 0 (X) l’ensemble des zéros du champ de vecteurs
XM . C’est aussi l’ensemble des points fixes par l’action sur M du groupe à
un paramètre (exp tX).
Soit m ∈ M . On note G(m) = {g ∈ G, gm = m} le stabilisateur de m
dans G. L’algèbre de Lie g(m) du groupe G(m) est g(m) = {X ∈ g, Xm = 0}.
On appelle g(m) le stabilisateur infinitésimal de m ∈ M .
On dit qu’une action est libre si pour tout m ∈ M , on a G(m) = {e}. Par
exemple, G agit librement sur lui-même par multiplication à gauche.
On dit qu’une action est infinitésimalement libre, si g(m) = {0} pour
tout m ∈ M . Toutes les orbites de G dans M sont alors de même dimension
égale à dim G.
G
Définition 20 Si M est une variété, on note MG,libre l’ensemble( qui peut
être vide) des points m tels que G(m) = 0. On note Mg,libre l’ensemble( qui
peut être vide) des points m tels que g(m) = 0.
10
Actions préhamiltoniennes, pseudo hamiltoniennes
Rappelons la définition d’espace G-hamiltonien (M, Ω, µG
M ). La variété
(M, Ω) est une variété symplectique. Le groupe G est un groupe de Lie
opérant sur M de manière symplectique. L’application
∗
µG
M : M → g
est une application commutant à l’action de G. Enfin, on a l’équation de
Hamilton
d(µM
G , X) = ι(XM )Ω
pour tout X ∈ g.
Définition 21 On dira que (M, Ω, µ) est pré- Hamiltonienne, si on supprime l’hypothèse Ω non-dégénérée.
Exemple
Si ω est une 1-forme G-invariante sur M , alors µω : M → g∗ définie par
(µω (m), X) = −(ω, Xm ) et Ω = dω vérifient l’équation de Hamilton
33
d(µω , X) = ι(XM )Ω.
Ici Ω = dω est fermée, mais n’est pas en général non dégénérée. C’est
donc une situation pre-hamiltonienne.
Si M est hamiltonienne, et si N est une sous variété fermée de M stable
par G, alors (N, Ω, µG
N ) est naturellement pré-hamiltonienne, la restriction de
Ω à N n’étant pas en général non dégénérée.
Plus généralement , si N → M est une application G-invariante de N dans
une G-variété hamiltonienne ( ou pré-hamiltonienne), alors N sera munie
d’une structure de variété seulement pré-hamiltonienne. La forme ΩG
N est la
forme tirée en arrière de celle de M , ainsi que l’application moment.
Donnons un exemple.
On considère l’espace vectoriel V = Cn muni de sa forme hermitienne
canonique h notée <, >. La forme Ω = dx1 ∧ dy1 + · · · + dxn ∧ dyn est une
forme symplectique invariante par U (n).
On note g(θ) = exp(θJ) le groupe à un paramètre agissant sur V par
g(θ)z = eiθ z. Son champ de vecteurs associé est
J V = y 1 ∂ x 1 − x 1 ∂ y1 + · · · + y n ∂ x n − x n ∂ yn .
La sphère Σ = {z, kzk2 = 1} est invariante par U (n). En particulier par
g(θ). Comme c’est un espace de dimension impaire (2n − 1), la restriction de
Ω à Σ ne peut être non-dégénérée. On vérifie que son noyau est de dimension
1 en tout point p ∈ Σ et de base (JΣ )p .
La variété (Σ, Ω|Σ , µ) est donc pre-hamiltonienne, avec µ : V → u∗ définie
par
i
µ(v)(X) = − < Xv, v >
2
En fait, nous penserons à µ : M → g∗ comme l’objet primordial.
Lemme 22 Soit µ : M → g∗ une application G-invariante. Si X et Y ∈ g,
on a XM (µ, Y ) = (µ, [X, Y ]).
Démonstration.
C’est juste la définition de l’invariance.
QED
34
Définition 23 ( un peu creuse)
Soit (M, Ω, µ) où Ω est une 2-forme G-invariante sur M ( on ne la
suppose ni fermée, ni non dégénérée), et µ : M → g∗ une application Ginvariante.
On suppose que µ et Ω sont reliées par l’équation de Hamilton : Pour tout
X∈g:
(2)
d (µ, X) = ι(XM )Ω.
On dira que (M, Ω, µ) est pseudo-hamiltonienne. Si µ est donnée, on dira
que Ω est adaptée à µ.
Nous déduisons quelques conséquences de cette équation.
Tout d’abord, on déduit de ι(XM )dΩ+dι(XM )Ω = 0 (car Ω est invariante)
que
ι(XM )dΩ = −ddµ(X) = 0.
En particulier la restriction de Ω aux orbites de G est nécessairement une
2-forme fermée.
L’ équation de Hamilton s’écrit :
(ξ(µ, X))(m) = dm (µ, X)(ξ) = ((dm µ)ξ, X) = Ωm (Xm , ξ).
Lemme 24 (conséquences de toujours la même équation)
Soit (M, Ω, µ) une variété pseudo-hamiltonienne.
a) On a alors, pour tout X, Y ∈ g,
Ω(XM , YM ) = −(µ, [X, Y ]).
b) Si m ∈ M est tel que dm µ est surjectif, alors g(m) = 0.
c) On a (dm µ)ξ = 0 si et seulement si Ωm (Xm , ξ) = 0 pour tout X ∈ g.
Si de plus ξ = Ym , alors Y ∈ g(µ(m)).
Démonstration.
a) résulte de l’équation de Hamilton, plus l’invariance ( lemme 22).
Pour b), on voit que si X ∈ g(m), alors ((dm µ)(ξ), X) = 0 pour tout
ξ ∈ Tm M puisque cela vaut Ω(Xm , ξ). Mais comme la différentielle dm µ :
Tm M → g∗ est surjective, ceci entraine X = 0.
La dernière assertion de c) découle de la formule a).
QED
35
On voit donc d’après a) que µ détermine complètement la restriction de
Ω à une G-orbite.
En particulier, dans le cas d’un espace homogène M = G/G(m), une
application G-invariante µ : M → g∗ existe si et seulement il existe f tel
que G(m) ⊂ G(f ). On envoie alors g · m dans g · f ⊂ g∗ . On voit donc
qu’il existe une unique structure pseudo-hamiltonienne compatible avec µ .
Elle est pre-hamiltonienne, et Ω est la tirée en arrière de la forme de Kirillov
des orbites coadjointes. Cette forme ne sera symplectique que si G(m) est
d’indice fini dans G(f ), c’est-à-dire si M est un recouvrement d’une orbite :
c’est le théorème de Kostant.
Exemple Soit R2 de base e1 , e2 . Soit B la forme alternée non dégénérée
avec B(e1 , e2 ) = 1. Le groupe SL(2, R) agit dans R2 . L’ouvert R2 − {0} est
homogène sous le groupe SL(2, R). La structure symplectique bête induite
par Ω = dx ∧ dy a pour application moment µ avec (µ(v), X) = − 21 B(Xv, v).
On identifie g et g∗ par (X, Y ) 7→ Tr(XY ). Montrer que cette structure
recouvre celle de l’orbite de
¶
µ
0 1
.
E=
0 0
Supposons G compact. On note M G l’ensemble des points fixes de G dans
M . C’est une sous-variété de M ( on admet, on verra pourquoi un peu plus
loin).
Lemme 25 Soit (M, Ω, µ) une variété pseudo-hamiltonienne. Soit F une
composante connexe de M G , alors µ est constante sur F .
Démonstration.
C’est clair, puisque d(µ, X) est nulle sur M G puisque XM est nul sur M G .
QED
Soit H un sous-groupe fermé de G. On note h ⊂ g l’algèbre de Lie de H.
On note h⊥ ⊂ g∗ l’ensemble des formes linéaires nulles sur h. L’application
de restriction g∗ → h∗ est surjective de noyau h⊥ .
Si N est une sous-variété H-invariante, l’application µG : M → g∗ donne
∗
G
par restriction une application µH
N de N dans h . Si Ω est adaptée à µM , alors
la restriction de Ω à N est adaptée à µH
N.
On en déduit que si F est une composante connexe de M H , alors µ(F )
est contenu dans un espace affine de la forme µ(f ) + h⊥ où f est un point
quelconque de M H .
36
Par exemple, si X ∈ g, l’image par µ d’une composante connexe de
M (X) est contenu dans un hyperplan affine parallèle à l’hyperplan X = 0.
On rappelle la définition (20) de l’ouvert Mg,libre .
0
Proposition 26 Soit (M, Ω, µ) une variété pseudohamiltonienne. Soit a une
valeur régulière de µ. Alors µ−1 (a) est contenu dans Mg,libre .
Démonstration. Soit X ∈ g, X 6= 0 et m un zéro de X. Alors la
différentielle de µ en m ne peut être surjective sur g∗ , car (dm µ(ξ), X) =
Ω(Xm , ξ) = 0.
QED
Signalons le concept d’application moment abstraite.( référence, Ginzburg, Guillemin, Karshon ; dg/9904117).
Définition 27 Soit G un groupe compact. Une application moment abstraite
est une application
µ : M → g∗
commutant à l’action de G telle que :
pour tout sous-groupe H de G, l’application µH : M → h∗ est localement
constante sur M H .
En particulier, si µ est une application moment abstraite, alors pour tout
X ∈ g, la fonction (µ(m), X) est localement constante sur M0 (X).
Il est utile de voir que souvent seule la notion d’application moment abstraite joue un rôle dans les démonstrations. Par exemple, on a
Proposition 28 Soit µ : M → g∗ une application moment abstraite. Si µ
est propre et si a est une valeur régulière de µ, alors µ−1 (a) est contenu dans
Mg,libre .
Démonstration.
On choisit un produit scalaire G-invariant sur g. Soit X ∈ g et p un zero de
X. Soit a = µ(p). Par invariance de µ, le point a est stable par X. Supposons
que la différentielle de µ en p soit surjective. On identifie g et g∗ par un
produit scalaire. La courbe a + tX est stable par exp tX. Comme le groupe T
engendré par exp tX est relativement compact, il existe une petite courbe c(t)
dans M , commençant en p, stable par exp tX et se projetant sur la courbe
a + tX (voir plus loin). Mais alors la fonction (X, µ(c(t))) = (a, X) + t(X, X)
n’est pas constante, contrairement à l’hypothèse que µ est une application
moment abstraite.
QED
37
11
Action de groupes compacts
Si G est un groupe compact agissant sur une variété M , alors beaucoup de
choses sont vraies, qui ne sont pas vraies si G n’est pas compact , propriétés
qu’on a déja utilisées d’ailleurs dans ce qui précède.
Par exemple :
On a le théorème du voisinage tubulaire équivariant, pour l’action d’un
groupe compact :
Proposition 29 (Koszul) Soit G un groupe de Lie compact sur une variété
M et laissant stable une sous-variété fermée N . Soit N le fibré normal à N
dans M . Il existe un difféomorphisme d’un voisinage ouvert et G-invariant
de la section nulle de N dans un voisinage ouvert et G-invariant de N dans
M , cet isomorphisme étant l’identité sur N et commutant à l’action de G.
On démontre la proposition ci-dessus, et beaucoup de celles qui suivent,
à l’aide d’une métrique riemanienne G-invariante.
Par exemple si p est un point fixe pour l’action de G, ceci veut dire que
l’action de G est linéarisable au voisinage de p. En particulier, si p est un
point fixe isolé pour un groupe à un paramètres g(t) compact de générateur
X alors l’action de L(X) dans l’espace tangent à p est inversible. Ceci n’est
pas vrai lorsque g(t) est une action de R, groupe non compact par excellence.
Exemple Soit g(t) agissant sur le cercle M = {z, |z| = 1} par
g(t)z =
.
z + it(z + 1)
1 − it(z + 1)
On vérifie facilement que g(t) est un groupe à un paramètre. Le point
z = −1 est fixe, et c’est le seul point fixe. L’orbite de 1 est M − {−1}. Cet
ouvert est isomorphe à R par
x→
1 + ix
,
1 − ix
le groupe g(t) agissant alors par x 7→ x+t. C’est la transformation de Cayley.
Considérons le point fixe z = −1. On voit que lorsque t > 0 un point g(t)z se
rapproche de −1, si z est près de −1 et dans le demi-cercle supérieur, tandis
qu’il s’en éloigne dans le demi-cercle inférieur. Ce n’est pas possible avec un
champ linéarisable près de −1 sur R, qui aurait comme groupe g(t)(x) = eat x.
38
On voit que le vecteur V tangent à g(t) est le vecteur tangent à la courbe
z − i²(z + 1)2 . Il s’annule à l’ordre 2 en z = −1. Son action L−1 (V ) est nulle
dans T−1 M .
Si G est un groupe compact, l’ensemble M G des points de M fixés par
G est une sous-variété fermée de M . On a Tm (M G ) = (Tm M )G . On peut en
effet construire pour tout vecteur v ∈ Tm M fixé par G, une courbe ( par
exemple la géodésique) de vecteur tangent v contenue dans M G .
Si φ : M → N est une application G-invariante et propre, alors si a
est une valeur régulière, il existe un voisinage G(a)-invariant U de a, et un
difféomorphisme G(a)-invariant de φ−1 (U ) avec U × φ−1 (a) tel que l’action
de G(a) devienne l’action g(u, p) = (gu, gp) pour tout g ∈ G(a), u ∈ U et
p ∈ φ−1 (a). En particulier, si p est stable par h ∈ G(a), une courbe c(t) dans
N h , avec c(0) = a se relève en une courbe commençant en p et contenue dans
M h.
Si G est un groupe compact, alors une orbite Gm de G dans M est une
sous-variété fermée de M . On a alors un voisinage tubulaire de Gm dans
G. On voit donc que tout point proche n de l’orbite Gm a un stabilisateur
contenu dans un conjugué gG(m)g −1 . En particulier l’ouvert MG,libre est
soit vide, soit un ouvert connexe et dense dans M . L’ouvert Mg,libre
de même.
Si le groupe G est compact et agit librement dans M , alors l’espace
des orbites M/G est munie d’une structure de variété. Pour cela il faut
donc paramétrer les orbites proches d’une orbite N = Gm. L’ orbite N
est une sous-variété fermée de M . On choisit un point m de N . On choisit un supplémentaire Qm de Tm N = (gM )m dans Tm M . On choisit q un
difféomorphisme d’un voisinage de 0 dans Tm M sur un voisinage de m dans
M . Alors la restriction de q à un voisinage de 0 dans Qm est un système de
cooordonnées près de Gm dans P/G. Une orbite de G proche de Gm coupe
la tranche q(Qm ) en un seul point.
Si M est infinitésimalement libre, on a des modèles de cartes pour l’espace
des orbites M/G de la forme U/Γ, où U est une boule ouverte de Rn et Γ
un groupe fini de transformations linéaires de U . On dit que M/G est une
V -variété.
39
12
Fibrés principaux
Soit P une variété. On suppose que le groupe G agit librement sur P . Il
est d’usage de supposer que l’action de G sur P est une action à droite. Si
X ∈ g, on note donc P X le champ engendré par l’action à droite de G, c’est
le champ tangent à la courbe p(exp tX).
Nous supposons être dans ce cas. ( Si besoin est, on changera notre action
à gauche, en une action à droite par mg := g −1 · m). On dit que P est un
fibré principal de groupe de structure G. Si G est compact ,on peut alors
construire la variété P/G.
On note q : P → P/G l’application quotient.
Remarquons que si G agit librement sur P , et si W est un G-espace,
l’action diagonale de G sur P × W est encore plus libre.... On peut donc
construire l’espace (P × W )/G. C’est l’espace associé. Si W est un espace
vectoriel, muni d’une représentation linéaire de G, alors W = (P × W )/G est
un fibré vectoriel. On dit que c’est un fibré associé ( au fibré principal P ). Il
est d’usage de supposer que G agit à droite dans P , mais à gauche dans W ...
On écrit alors la relation d’équivalence :
(p, m) ∼ (p, m)g ∼ (pg, g −1 m).
Si U est un ouvert de P/G, alors C ∞ (U ) est alors l’espace C ∞ (p−1 (U ))G
des fonctions C ∞ sur U , invariantes par G. On veut donner une description
similaire des formes différentielles sur P/G. Soit α une forme différentielle
sur P/G. Considérons la forme différentielle q ∗ α. Il est clair que q ∗ α est Ginvariante. D’autre part, si X ∈ g, l’image du vecteur Xx dans P/G est nulle.
On voit donc qu’on a ι(P X)q ∗ α = 0.
Définition 30 1) Une forme α sur P est dite horizontale, si ι(P X)α = 0
pour tout X ∈ g.
2) Une forme α est dite basique si α est G-invariante et si α est horizontale.
On note Abas (P ) l’espace des formes basiques.
Autrement dit, une forme α est basique, si
pour tout g ∈ G
et si
g·α=α
ι(P X)α = 0
40
pour tout X ∈ g.
On voit que la différentielle d préserve l’espace Abas (P ). Par contre elle
ne préserve pas l’horizontalité.
On a la proposition suivante.
Proposition 31 L’application q ∗ est un isomorphisme de A(P/G) sur Abas (P ).
Elle commute à la différentielle extérieure.
Démonstration. Notons B = P/G. Si α ∈ Aqbas (P ), on définit αB ∈
Aq (B) par
αB (v1 , . . . , vq )(x) = α(V1 , V2 , ...., Vq )(p)
où p ∈ P est un point tel que q(p) = x, et Vi ∈ Tp P se projette sur vi .
L’horizontalité de α montre que cette définition ne dépend pas des vecteurs
Vi . L’invariance de α montre que αB (v1 , . . . , vq )(x) ne dépend pas du point
p choisi dans la fibre au dessus de x. En effet, un autre point p0 est de la
forme gp. On peut alors choisir Vi0 = gVi et on obtient α(V10 , V20 , ..., Vq0 )(p0 ) =
α(V1 , V2 , ...., Vq )(p).
QED
Il sera souvent beaucoup plus pratique de faire des calculs ”en haut”.
Si P est muni d’une action infinitésimalement libre de G, on fera comme
si G agissait de manière libre, en définissant tous les objets en haut... Par
définition, une forme différentielle sur P/G sera une forme G-basique sur P .
13
Réduction
Dans cette section, G est compact.
Soit (M, Ω, µ) une variété pseudo-hamiltonienne . ( Notion un peu creuse).
Soit a une valeur régulière de µ. Alors µ−1 (a) est une sous-variété G(a)-stable
de M . De plus l’action de G(a) sur µ−1 (a) est infinitésimalement libre.
Lemme 32 La restriction de Ω à µ−1 (a) est une forme G(a)-basique sur
µ−1 (a).
Démonstration. Soit P = µ−1 (a). C’est défini par µ = cte. L’espace
tangent à P en m ∈ P est l’espace des ξ tel que dm µ(ξ) = 0. La forme Ω|P
est G(a)-invariante. Montrons qu’elle est horizontale. Soit X ∈ g(a), alors
XM restreint à P est tangent à P , on a donc ι(XP )(Ω|P ) = (ι(XM )Ω)|P =
d(µ, X)|P = 0, qui est ce qu’on voulait.
QED
41
Supposons tout d’abord que l’action de G(a) dans µ−1 (a) soit libre (Sinon,
on fera comme si). Notons qa : µ−1 (a) → µ−1 (a)/G(a) l’application quotient.
Il existe alors une 2-forme unique Ωred,a sur µ−1 (a)/G(a) telle que qa∗ (Ωred,a ) =
Ω|µ−1 (a) .
−1
On note redG
a l’application AG(a),basique (µ (a)) → A(Mred,a ).
Définition 33 La variété réduite de (M, Ω, µ) au point a est la variété
µ−1 (a)/G(a). On la note Mred,a . Elle est munie de la 2 forme Ωa,red dite
forme réduite (en a).
−1
Plus généralement on note redG
a l’application AG(a),basique (µ (a)) ∼ A(Mred,a ).
Proposition 34 Supposons que M soit G × H pseudo- hamiltonienne, avec
H
∗
G
application moment (µG
M , µM ). Soit a ∈ g une valeur régulière pour µM .
−1
Soit P = (µG
M ) (a). Supposons que l’action de G(a) dans P soit libre. La
variété réduite de (M, Ω, µG
M ) au point a est H-pseudo-hamiltonienne, avec
G H
application moment (reda µP ) et 2-forme redG
a (Ω).
Si M est G × H pre-hamiltonienne, alors la variété réduite de (M, Ω, µG
M)
au point a est H pre- hamiltonienne.
Si M est G × H hamiltonienne, alors la variété réduite de (M, Ω, µG
M)
au point a est H- hamiltonienne.
Démonstration.
Seule la dernière assertion mérite démonstration. . L’espace tangent à P
en m l’espace des ξ tel que dm µ(ξ) = 0. D’après le c) du lemme 24 toujours
la même équation, on a (dm µ)ξ = 0 si et seulement si Ωm (Xm , ξ) = 0 pour
tout X ∈ g. On voit donc que l’espace tangent Tm P est l’orthogonal de gm .
Nous devons calculer le noyau de la forme Ωm restreinte à Tm P , c’est donc
l’intersection de Tm P avec le double orthogonal de gm . Comme Ωm est non
dégénérée, on voit que ξ est dans Tm P ∩ gm . On conclut que ξ = Xm avec
X ∈ g(a) par le c).
QED
Remarquons que si a ∈ g∗ est une valeur régulière pour l’application
T
moment µG
M , alors a|t est une valeur régulière pour l’application moment µ M
de l’action d’un sous groupe fermé T ( d’algèbre de Lie t) de G.
42
Paradigmes. P (V ) ; T ∗M ; Orbites coadjointes
1 mars.
Ce chapitre manque. RECOPIER NOTES DES ETUDIANTS.
43
L’espace projectif. Convexité de l’application
moment.
8 Mars.
14
Coordonnées symplectiques sur P (V )
.
Soit V un espace vectoriel complexe de dimension n + 1. On note P (V ) =
(V − {0})/C∗ l’espace vectoriel projectif associé. C’est une variété de dimension complexe n. On la note donc Pn (C).
Si V est muni d’un produit hermitien, on note Σ(V ) la sphère de V .
C’est une variété réelle de dimension 2n + 1. On la notera parfois S 2n+1 .
Soit S 1 = {eiθ ; θ ∈ R} le groupe des rotations. Le groupe S 1 agit sur V
par v 7→ eiθ v. On peut aussi réaliser P (V ) comme Σ(V )/S 1 . Dans cette
réalisation, on voit clairement que P (V ) est une variété compacte, par contre
on ne voit plus la structure complexe.
On choisit donc une structure hermitienne sur V . On note q : Σ(V ) →
P (V ) l’application
quotient. Soit e1 , e2 , ..., en+1 une base
Pn+1
Pn+1orthonormée pour
k
V . On écrit v = k=1 zk e , et zk = xk +iyk . Soit Ω = k=1 dxk ∧dyk la forme
symplectique de V associée à ce choix de structure hermitienne. Soit U (V )
le groupe unitaire de V d’algèbre de Lie u. Soit (µ(v), X) = − 2i < Xv, v >
l’application moment V → u∗ .
Lemme 35 Il existe une unique 2-forme σ sur P (V ) telle que
q ∗ σ = Ω|Σ(V ) .
44
La forme σ donne à P (V ) la structure d’une variété symplectique.
Considérons l’application m : V − {0} → u∗ donnée par
m(v) =
µ(v)
.
kvk2
Alors m définit une application (encore dénotée m) de P (V ) → u∗ et
l’action de U (V ) sur P (V ) est Hamiltonienne d’application moment m.
Démonstration.
C’est clair, puisque que c’est un cas particulier de réduction. Ici on considère
G = S 1 où S 1 agit par eiθ IdV . L’application moment est µ(v) = 21 kvk2 . La
valeur a = 12 est une valeur régulière avec fibre Σ(V ).
On réduit donc par rapport à S 1 . Le groupe U (V ) continue donc à agir.
Comme U (V ) commutait à S 1 , l’espace quotient est U (V )-hamiltonien.
QED
Il est utile d’utiliser un sous-groupe de U (V ), pour obtenir une description
de l’espace P (V ) avec un système de coordonnées symplectiques dessus.
Soit H le tore de dimension n de U (n + 1) défini par
 iθ

e 1


eiθ2



.
.
H=



eiθn
1
Soit h l’algèbre de Lie de H. L’algèbre h a comme base



J1 = 


i
0
.
0
0
0
0
.
0
0
0
0
.
0
0
0
0
.
0
0
0
0
.
0
0









J2 = 


0
0
.
0
0
0
i
.
0
0
0
0
.
0
0
0
0
.
0
0
0
0
.
0
0






 , ..., Jn = 




0
0
.
0
0
0
0
.
0
0
0
0
.
0
0
0
0
.
i
0
On note J 1 , J 2 , J 3 ,. . ., J n la base duale de h∗ .
Le tore H est un tore maximal dans le groupe P U (n+1) = U (n+1)/(eiθ )
qui agit sur Pn (C). On voit que HC a une orbite ouverte dans Pn (C). On sait
alors que cette orbite ouverte est isomorphe comme espace H- Hamiltonien à
45
0
0
.
0
0



.


un voisinage de la section nulle dans T ∗ H. L’application moment nous dicte
cet isomorphisme.
L’application moment
le groupe H est simplement l’application
Pn µ pour
1
2 k
µ(z1 , z2 , ..., zn+1 ) = 2 k=1 |zk | J . On voit que l’image de Pn (C) par 2µ est
le simplexe
∆n = {t1 ≥ 0, . . . , tn ≥ 0, t1 + t2 + . . . + tn ≤ 1.}
Soit (φ1 , φ2 , ..., φn ) ∈ [0, 2π]n . Considérons l’application de 12 ∆n × [0, 2π]n
dans S 2n+1 définie par
(3)
z1 = (2t1 )
1/2 iφ1
e
, ..., zn = (2tn )
1/2 iφn
e
, zn+1 = (1 −
n
X
2tj )1/2 .
j=1
On considère la relation d’équivalence z ≡ eiφ z. Alors tout point de S 2n+1
est équivalent à l’image d’un point de 12 ∆n × [0, 2π]n par cette application.
En effet, il suffit de multiplier z ∈ S 2n+1 par eiφ de façon à ce que la dernière
coordonnée zn+1 devienne un
2t1 = |z1 |2 , ..., 2tn =
Pnnombre réel. On pose alors P
2
|zn | , et on alors tj ≥ 0,, j=1 2tj ≤ 1 et zn+1 = (1 − nj=1 2tj )1/2 . On en
déduit une application surjective
1
s : ( ∆n × [0, 2π]n ) → Pn (C).
2
On vérifie que l’application ainsi définie est bijective de (l’intérieur de ∆ n )
×S1n sur l’orbite ouverte de HC dans Pn (C). Cette orbite ouverte est l’image
par q de l’ouvert de Σ(V ) formé des points z dont toutes les coordonnées zi
sont non nulles ( par exemple le point ((n+1)−1/2 (n+1)−1/2 , ..., (n+1)−1/2 )).
D’autre part, si z = x + iy = (2t)1/2 eiφ on a dxdy = dtdφ.P
L’image réciproque
de Ω par l’application s est donc simplement la 2-forme nj=1 dtj ∧ dφj . Autrement dit, le système de coordonnées (t, φ) est un système de coordonnées
de Darboux sur l’ouvertde Pn (C), image de l’ouvert de (C∗ )n+1 où toutes les
coordonnées zj sont non nulles.
Cherchons un système de coordonnées de Darboux près d’un point fixe
par H. On voit que les points fixes par l’action de H sont les (n + 1) lignes
Cej , où j varie de 1 à n + 1. On paramétrise
de Cen+1 par Cn ,
Pn un voisinage
k
en envoyant (z1 , z2 , ..., zn ) sur la ligne C( k=1 zk e + en+1 ). Ainsi l’ouvert de
Pn (C) défini par zn+1 6= 0 est un ouvert isomorphe à Cn . Par définition de la
structure complexe de Pn (C), c’est une carte pour la structure complexe.
46
Calculons la structure symplectique induite. Il faut se ramener sur la
sphère unité, car c’est là où on a pris la réduction. On écrit donc le vecteur
de norme 1 sur la droite C(z + en+1 ). L’application devient l’application
z 7→ (1 + kzk2 )−1/2 (z, 1).
Maintenant la forme Ω s’écrit Ω = 2i (dz, dz) en utilisant la forme bilinéaire
P
0
n
complexe (z, z 0 ) = n+1
k=1 zk zk , Donc la structure symplectique de C héritée
de celle de Pn (C) (on dit la forme de Fubini) s’écrit
i
(d((1 + kzk2 )−1/2 z), d((1 + kzk2 )−1/2 z))
2
¡
¢
i
= (1 + kzk2 )−2 (1 + kzk2 )(dz, dz) − (z, dz)(z, dz) .
2
Le moment pour l’action de H s’écrite
m(z) =
n
1
1 X
|zk |2 J k )).
(
(
2
1 + kzk 2 k=1
( Il atterit bien dans 12 (∆n ).)
Ainsi sur P1 (C) la forme symplectique sur la carte C s’écrit (1+|z|2 )−2 dxdy
|z|2
et le moment 12 1+|z|
2 qui est bien à valeurs dans [0, 1/2].
Lemme 36 Sur l’ouvert Cn de Pn (C), on a
i
Ω = ∂∂Log(1 + kzk2 ).
2
On dit que Log(1 + kzk2 ) est le potentiel de Kahler.
Si on veut des coordonnées de Darboux, on regarde la boule ouverte Cn
défini par kzk2 < 1, et l’application
z 7→ (z, (1 − kzk2 )1/2 ).
Ainsi, on voit que un ouvert dense de l’espace projectif ( dernière coordonnée
non nulle) est isomorphe à la boule unité de Cn , muni de sa structure symplectique ordinaire, mais attention cet isomorphisme n’est pas un isomorphisme
de structure complexe.
47
15
Convexité de l’image de l’application moment
.
Soit T un tore agissant unitairement sur V . Il agit dans P (V ). Considérons
l’espace projectif P (V ). Soit v un point de Σ(V ). On considère son image
q(v) dans P (V ). Analysons l’orbite TC q(v) dans P (V ).
Si ∆ est un sous-ensemble de t∗ , on note E(∆) l’enveloppe convexe (fermée)
de l’ensemble ∆.
Proposition 37 L’application m envoie l’ensemble TC q(v) sur l’intérieur
(relatif ) de l’enveloppe convexe des points αk de Supp(v). Elle envoie TC q(v)
sur l’enveloppe convexe ( fermée) de Supp(v). Deux points de TC q(v) ont
même image par m si et seument si ils sont conjugués par T . Enfin les
orbites de TC dans TC q(v) sont classifiées par les faces du polytope E(∆).
Démonstration.
P
Soit v = k zk ek , avec zk 6= 0 la décomposition de v par rapport à la
base hermitienne de V . Soit αk le poids de ek . On
supposer que les αk
P peut−(α
k ,X) k
∗
e et
engendrent t . Si X ∈ t, on a p = (exp iX)(v) = k zk e
P
2 −<2αk ,X> k
α
k |zk | e
m(q(p)) = P
k ,X>
2
−<2α
k |zk | e
appartient à l’intérieur de l’enveloppe convexe E(∆) des α k .
Il suffit donc de démontrer l’analogue projectif du lemme démontré auparavant.
Lemme 38 Soit αk des éléments de t∗ engendrant t∗ . Soient ck des constantes
strictement positives. Alors l’application P H : t → t∗ définie par
P
<αk ,X> k
α
k ck e
P H(X) = P
k ,X>
<α
k ck e
est un isomorphisme de t sur l’intérieur de l’enveloppe convexe des α k .
Démonstration.
Considérons t1 = t ⊕ R et α̃k = (αk , 1).
L’application
X
k
(X, t) →
ck e<α̃ ,(X,t)> α̃k
k
48
s’écrit
(X, t) 7→ (et (
X
ck e<α
k ,X>
αk ), et (
X
ck e<α
k ,X>
)).
k
k
C’est un isomorphisme
sur l’intérieur du cône engendré par α̃k . Donc pour
P
tout ξk , ξk > 0 avec
ξk = 1, il existe un et un seul X0 ∈ t et t0 ∈ R tel que
X
ck e<α
k ,X
0>
e t0 α k =
X
ξk α k ,
e t0 (
X
ck e<α
k ,X
0>
) = 1.
P
On en déduit que P H(X0 ) = k ξk αk
QED
Les autres assertions sont démontrées de même.
QED
Soit M̃ une sous-variété irréductible de V défini par des équations polynomiales homogènes :
M̃ = {z ∈ V ; Pk (z) = 0}.
La variété M̃ est donc un cône complexe dans V . On suppose M̃ stable par
l’action de T . Si M̃ est stable par l’action de T sur V , alors M̃ est stable par
l’action de TC .
On note M la variété projective associée. C’est un sous-ensemble fermé
T -stable de P (V ). Soit
Supp(M ) = ∪v∈M̃ Supp(v).
En raisonnant comme dans (16 fevrier), on a alors :
Proposition 39 L’ image de M par m est l’enveloppe convexe de Supp(M ).
Quelle
PN estkla variété des points fixes de l’action de T sur P (V ). Un point
v = k=1 zk e représente un point q(v) fixé par T , si tv est proportionel à v,
pour tout t. On écrit V = ⊕α V (α). On voit donc qu’un point est fixe, si et
seulement il est dans l’image d’un espace V (α), espace propre du poids α. Les
composantes connexes de P (V )T sont donc eux-mêmes des espace projectifs
P (V (α)). On voit que m(P (V )T ) est l’ensemble fini ∆ des poids de T dans
V.
Si M est un sous ensemble de P (V ) alors m(M T ) est un sous-ensemble
fini de ∆. Il est clair que m(M T ) est contenu dans Supp(M ). Ce n’est pas
vrai en général que l’ensemble m(M T ) coincide avec l’ensemble Supp(M ).
49
Par exemple, si on considère M̃ = {z1 z2 = z32 } stable par l’action à poids
2J , 2J 2 , (J 1 + J 2 ), le support est {2J 1 , 2J 2 , (J 1 + J 2 )}. Les points fixes dans
la variété projective associée M sont les images de (1, 0, 0), (0, 1, 0), mais
(0, 0, 1) n’est pas dans M . Donc l’ensemble m(M T ) est l’ensemble plus petit
{J 1 , J 2 }.
Par contre on a toujours le lemme suivant.
1
Lemme 40 Si x ∈ M se projette sur un sommet de E(Supp(M )), alors x
est fixé par T .
Démonstration. En effet, m(x) est dans l’intérieur relatif de m(TC x).
Il n’est donc extrémal que si Supp(x) est réduit à un seul élément.
QED
Attention, les points de m(M T ) ne sont pas tous extrémaux.
On peut donc énoncer le théorème de convexité pour une variété projective de la façon suivante ( qui ne dépend pas de la réalisation de M comme
variété projective).
Proposition 41 Soit M une sous-variété irréductible fermée de P (V ) stable
sous l’action d’un tore T . Alors l’image de M T par l’application moment est
un sous ensemble fini FM de points de t∗ . L’image de M par l’application
moment m est l’enveloppe convexe de FM .
16
Enoncé du théorème de convexité
Indépendamment, Atiyah et Guillemin-Sternberg ont démontré un théorème
de convexité pour les variétés hamiltoniennes.
Remarque : les deux théorèmes ont une intersection non vide : les variétés
projectives lisses, mais ni l’un ni l’autre ne sont des cas particuliers de l’autre.
En effet, en géométrie algébrique, on n’a imposé aucune condition de lissité
à nos ensembles algébriques.
Soit M une variété (C ∞ ) Hamiltonienne, avec une action d’un tore T .
Supposons M compacte. L’ensemble M T est une sous-variété fermée de M ,
qui a un nombre fini de composantes connexes :
M T = ∪a∈F MaT .
On a vu que µ était constante sur chacun des MaT . L’image de M T par
l’application µ consiste donc en un nombre fini de points µa = µ(MaT ).
50
Théorème 42 L’image de M par µ est l’enveloppe convexe des points µa .
Nous ne démontrerons pas ce théorème ici. En fait on a des théorèmes
plus généraux qu’on énoncera plus tard. Références, par exemple : Benoist,
page personelle, ecole normale supérieure.
17
Remarques
Pour le théorème de convexité, il est essentiel de travailler avec une application moment relative à une forme non dégénérée.
P
Par exemple, soit V = C2 avec sa 1-forme canonique α = 21 2k=1 xk dyk −
yk dxk . Soit
β = (kzk2 − 1)α.
Alors Ω = dβ est une 2-forme fermée.
Lemme 43 La forme Ω est non dégénérée, sauf sur kzk2 = 21 .
Démonstration. En effet, on choisit un vecteur e1 de longueur 1, et on
calcule Ω au point z = z1 e1 . On voit alors que Ωz = (|z1 |2 − 1)(dx1 ∧ dy1 +
dx2 ∧ dy2 + (x1 dx1 + y1 dy1 ) ∧ (x1 dy1 − y1 dx1 ). Donc Ωz = (2|z1 |2 − 1)dx1 ∧
dy1 + dx2 ∧ dy2 est non dégénérée, sauf pour 2|z|2 = 1.
QED
Cette variété est pre-hamiltonienne, pour l’action naturelle de S 1 × S 1
dans C2 avec application moment (|z|2 − 1)(|z1 |2 J 1 + |z2 |2 J 2 ).
Etudions son image par l’application moment. Il suffit de se renstreindre
aux sphères S(x) = |z1 |2 + |z2 |2 = x et de faire varier x. L’image de S(x) est
l’ensemble des points (x − 1)(t1 , t2 ), avec t1 > 0, t2 > 0, t1 + t2 = x. On voit
donc que l’image de C2 par l’application moment est ...
51
On peut rendre cet exemple compact comme on le verra plus tard et
obtenir par exemple les papillons xy ≥ 0 et |(x + y)| < K, avec une variété
compacte et une forme non dégénérée, sauf sur une surface.
52
Application moment et Orbites fermées pour
l’action d’un groupe réductif complexe.
15 Mars.
18
L’application moment et les orbites fermées
d’un groupe complexe réductif
Soit G un groupe complexe réductif. Alors G est la complexification de
son groupe compact maximal K.
Exemple : Le groupe U (n) = K a pour complexifié KC = GL(n, C). En
effet toute matrice Z à coeeficients complexes s’écrit Z = X + iY avec X, Y
(Z + Z ∗ ).
antihermitiennes : X = 12 (Z − Z ∗ ); B = −i
2
Considérons une action de G sur un espace vectoriel complexe V , c’està-dire un homomorphisme holomorphe de G dans GL(V ).
Par exemple : la représentation adjointe de SL(2, C) dans son algèbre
de Lie CH ⊕ CE ⊕ CF est donnée par g → Ad(g) ∈ GL(3, C) avec


¶
µ
(ad + bc) −ac bd
a
b
a2 −b2 
.
si g =
Ad(g) =  −2ab
c d
−2cd
−c2 d2
On utilisera souvent le ”unitary trick” ( la ”ruse compacte”) dûe à Hermann Weyl. Par exemple de la façon suivante. Soit C[V ]G l’algèbre des polynômes G-invariants. C’est la même chose que C[V ]K : en effet si P (kv) =
P (v) pour tout k ∈ K, ceci continue d’être vrai pour g ∈ KC = G, car
53
g → P (gv)−P (v) est holomorphe sur G. On a donc une opération de moyenne
qui projette C[V ] sur C[V ]G par intégration sur K.
Soit G un groupe de Lie réductif complexe agissant dans un espace vectoriel complexe.
A ADMETTRE : Les adhérences d’une orbite pour la topologie usuelle ou
la topologie de Zariski coincident. Les orbites de G dans V sont ouvertes dans
leur adhérence, pour la topologie de Zariski. Donc pour tout x ∈ Gv − Gv, la
dimension de Gx est strictement plus petite que celle de Gv. L’algèbre C[V ]G
est de type fini ( voir Michel Brion, Institut Joseph Fourier, Grenoble :page
personelle : Invariants et coinvariants des groupes réductifs).
Par définition même de la topologie de Zariski, si F1 et F2 sont deux
fermés disjoints, il existe un polynôme p qui vaut 0 sur F1 et 1 sur F2 . En
effet, notons Ji l’idéal des polynômes nuls sur Fi . D’après le null stellensatz,
on a J1 + J2 = C[V ], car sinon, on aurait un zéro commun qui serait dans
F1 ∩ F2 , on peut donc écrire 1 = p1 + p2 , et le polynome p = p1 répond à
notre demande. Si F1 et F2 sont G-invariants, alors il existe un polynôme
G-invariant P qui vaut 0 sur F1 et 1 sur F2 . En effet, appliquons la ruse
compacte : on choisit p comme ci-dessus et on moyenne par le groupe compact
maximal K de G.
Les polynômes G-invariants séparent donc les G-orbites fermées : soient
O1 et O2 deux orbites fermées distinctes, alors il existe P ∈ C[V ]G tel que
P (O1 ) = 1 et P (O2 ) = 0.
Corollaire 44 L’adhérence d’une orbite contient une unique orbite fermée.
Démonstration. Prenons une orbite de G dans Gv de dimension minimum. Elle est donc fermée. Elle est unique, car sur l’adhérence d’une orbite, un polynôme G-invariant est constant. Les polynômes G-invariants ne
peuvent donc distinguer les orbites de G contenues dans Gv.
QED
On introduit un peu de terminologie.
Définition 45 Soit v 6= 0 un vecteur non nul de V .
1) Le vecteur v est instable, si 0 est dans l’adhérence de l’orbite de v :
0 ∈ Gv.
2) Le vecteur v est semi-stable, si 0 ∈
/ Gv.
3)Le vecteur v est dit stable, si son orbite Gv est fermée.
54
4) On note N l’ensemble des vecteurs instables. On dit que N ∪ {0} est
le nil-cone de l’action.
4) On note Vss l’ensemble des vecteurs semi-stables de V .
5) On note Vs l’ensemble des vecteurs stables.
Soient q1 , q2 , ..., qk est un ensemble de générateurs de C[V ]G homogènes
de degré positif. Alors N ∪ {0} est l’ensemble des zéros des (q1 , q2 , ..., qk ).
L’ensemble Vss des vecteurs semi-stables est un ouvert de V . C’est l’ensemble
G
des points v tels qu’il existe q ∈ C[V ]G
+ avec q(v) 6= 0, où C[V ]+ est l’ensemble
des polynômes invariants sans termes constants.
La variété affine Y correspondante à l’algèbre de type fini C[V ]G est
notée V //G. Elle a comme points les homomorphismes de C[V ]G dans C,
c’est -à- dire les orbites fermées de G dans V . On dit que V //G est le quotient ”catégorique” de V par G. C’est un quotient de V par une relation
d’équivalence qui n’est pas l’action de G, mais une relation d’équivalence
élargie : v ≡ w s’il existe une courbe g(t) ∈ G tel que limt→∞ g(t)v =
limt→∞ g(t)w. On va voir que l’application moment va nous donner une description de cette variété comme un espace quotient par le groupe compact
maximal de G.
Soit K le sous groupe compact maximal de G. On choisit un produit
hermitien sur V invariant par K. Soit g = k⊕ik la décomposition de Cartan de
g. Un élément Y ∈ ik = p agit sur V par une transformation hermitienne avec
valeurs propres réelles. Soit v un vecteur de V . Il est clair que (exp tY )v → 0
lorsque t tend vers + l’infini, si et seulement si v est somme de vecteurs
propres pour Y ∈ p associés à des valeurs propres strictement négatives.
Théorème 46 ( Critère de Hilbert-Mumford)
Un point v est instable, si et seulement si il existe Y ∈ p tel que exp(tY )v
tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini.
Plus généralement, soit Gw l’unique orbite fermée dans l’adhérence de la
G-orbite de v, alors il existe un groupe à un paramètre g(t) = exp tY avec Y
dans p tel que limt→∞ g(t)v existe et est dans Gw.
Démonstration. Nous avons vu ceci pour les tores, d’après la classification des orbites ds l’adhérence. D’ailleurs dans ce cas, c’est vrai pour
toute orbite intermédiaire dans la fermeture de Gv. MAIS ATTENTION,
lorsque G n’est pas commutatif, ce n’est pas vrai, qu’on peut atteindre une
orbite Gu dans l’adhérence de Gv par limite d’une action d’un groupe à un
paramètres, si Gu n’est pas l’(unique) orbite fermée :
55
Exemple : On regarde la représentation de SL(2, C) dans les polynômes
de degré 3 en x, y, i.e.
µ
¶
a b
−1
(g · P )(x, y) = P (ax + by, cx + dy) si g =
.
c d
Si P = xy 2 , l’adhérence de l’orbite de P contient l’orbite de y 3 et {0}.
En effet, si
¶
µ
n n2
gn =
0 n−1
alors la limite de gn−1 (xy 2 ) existe et est y 3 . Par contre il n’existe aucun groupe
à un paramètre tel que g(t)(xy 2 ) tende vers un point de l’orbite de y 3 ( Vérifiez
). Par contre il est clair que si
µ t
¶
e
0
g(t) =
0 e−t
alors g(t)−1 .(xy 2 ) tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini.
Commençons la démonstration du critère de Hilbert-Mumford ( d’après
KRAFT). On utilise la décomposition G = KAK de G avec A = exp(it). Si
gn v tend vers w, on écrit gn = kn an kn0 , et en extrayant une suite convergente
des kn ∈ K on voit que an kn0 v tend vers une limite qui appartient à Gw.
Autrement dit l’orbite Gw intersecte TC Kv. D’après le cas du tore, il suffit
de démontrer que Gw intersecte ∪k∈K TC kv. En effet si gw appartient à TC kv,
alors d’après notre étude sur les tores, il existe X ∈ t tel que exp(itX)kv
tendent vers une limite, lorsque t tend vers + l’infini, qui appartient à l’orbite
TC gw. En apliquant la transformation k −1 , on voit que exp(itk −1 X)v tend
vers une limite lorsque t tend vers + l’infini, et que cette limite appartient
à l’orbite fermée Gw. Donc le critère de Hilbert-Mumford est réalisé car
Y = ik −1 X ∈ p.
Soit u = kv. Si TC u ne rencontre pas le fermé Gw, il existe alors un
polynome TC -invariant fu complexe tel que fu (Gw) = 0 et fu (u) = 1, car
les deux ensembles TC u et Gw sont des fermés TC -invariants qui ne s’intersectent pas. Raisonnons par l’absurde. Supposons que Gw n’intersecte pas
∪k∈K TC kv. Alors le compact Kv est recouvert par les ouverts Uu = {fu 6= 0}
où u varie dans Kv. On choisit alors
P un nombre fini d’ouverts Ua recouvrant
Kv. Considérons la fonction z 7→ a |fa (z)|2 . C’est une fonction réelle strictement positive sur Kv mais nulle sur Gw. Elle est TC invariante. Elle est
56
≥ ² sur Kv et donc ≥ ² sur TC Kv. On voit donc que TC Kv ne peut recontrer
Gw, contrairement à notre hypothèse.
QED
Corollaire 47 Un point y ∈ V est d’orbite fermée sous G si et seulement
si son orbite par tous les tores complexes TC de G, avec T tore de K, est
fermée.
Nous allons maintenant classifier les orbites fermées grâce à l’application
moment du compact maximal K de G.
On choisit un produit hermitien <, > sur V tel que K agisse sur V en
préservant le produit hermitien. Soit µ : V → k∗ l’application moment associée :
i
(µ(v), X) = < Xv, v > .
2
2
Si on considère la fonction kvk =< v, v >, l’application moment calcule la
dérivée de < v, v > sur l’orbite Gv de v. En effet, pour tout X ∈ k,
(4)
d
< (exp itX)v, (exp itX)v > |t=0 = 2i < Xv, v >= 4(µ(v), X).
dt
Proposition 48 Soit O une orbite fermée de G dans V et soit C(O) l’ensemble des points de O à distance minimum de 0. Alors C(O) = O ∩ µ−1 (0).
De plus l’ensemble C(O) est une K-orbite.
L’ensemble C(O) est appelée le coeur (”core” en anglais) de O.
Démonstration. Soit O une orbite fermée. Alors le coeur C(O) n’est
pas vide. L’équation (4) entraine que µ = 0 sur C(O). On a donc C(O) ⊂
O ∩ µ−1 (0).
Réciproquement, soit x ∈ µ−1 (0) ∩ O. Il faut montrer que x est dans le
coeur de O, c’est-à-dire que |gx| ≥ |x| pour tout g ∈ G. Comme G = P K, on
écrit g = exp Qk avec Q ∈ p = ik. Soit y = kx. Alors y est aussi dans µ−1 (0).
Soit y(t) = (exp tQ) · y. La transformation
Q est diagonalisable avec des
P
valeurs propres réelles αa . On écrit y = a ya où les ya 6= 0 sont des vecteurs
propres pour l’action de Q de valeurs
propres distinctes αa . Les
Pvecteurs ya
P
sont orthogonaux. On a y(t) = a eαa t ya , et φ(t) = ||y(t)||2 = a e2αa t |ya |2 .
On voit que φ(t) est une fonction convexe de t. Comme φ0 (0) = 0, on a
φ(t) ≥ φ(0) pour tout t. On a donc φ(1) = |gx|2 ≥ φ(0) = |y|2 = |x|2 .
Ceci prouve donc que si x ∈ µ−1 (0), alors x est dans C(O).P
De plus si y est
aussi dans C(O), on a φ(1) = φ(0). Mais ceci entraine que a e2αa t |ya |2 est
57
constante pour tout t ∈ [0, 1]. Mais alors αa = 0 pour tous les a et donc
gy = y = kx et C(O) est une K-orbite.
QED
Théorème 49 1)Si x ∈ µ−1 (0), l’orbite Gx est fermée.
2) Réciproquement, une orbite fermée Gx intersecte µ−1 (0).
3) Si x, y ∈ µ−1 (0) sont conjugués par G, alors ils sont conjugués par K.
Démonstration.
Montrons 1). Si x est dans le niveau zéro de l’application moment pour
K, ceci veut dire qu’elle est dans le niveau zéro de l’application moment pour
tout tore T de K. D’après notre étude de l’application moment pour un tore
complexe, alors l’orbite de x par TC est fermée. On applique alors le critère
de Hilbert- Mumford.
Les points 2) et 3) découlent de la Proposition 48 ci-dessus.
QED
L’espace topologique µ−1 (0)/K est en bijection avec l’ensemble des Gorbites fermées de G dans V . Il est donc muni d’une structure de variété
algébrique affine, son anneau de fonctions régulières étant C[V ]G . C’est la
réalisation ”concrète” du quotient catégorique V //G. comme quotient par
l’action du groupe K.
Exemple : Calculons l’application moment pour l’action adjointe de G =
KC dans kC .
On choisit comme produit hermitien h(X, Y ) = q(X, Y ) où q est − la
forme de Killing. On identifie k et k∗ par q. Alors l’application moment est
donnée par X + iY → −[X, Y ].
En effet : si A ∈∈ k, X, Y ∈ k, et Z = X + iY , on a
i
(µ(Z), A) = − ([A, X] + i[A, Y ], X − iY )) = −(A, [X, Y ])
2
Si X ∈ k, alors l’élément X est semi-simple ( adX diagonalisable avec
valeurs propres imaginaires pures). De même, si Y ∈ p, alors l’élément Y est
semi-simple ( adY est diagonalisable avec valeurs propres imaginaires pures).
Si donc X et Y commutent, X + iY est semi-simple.
On voit donc que toute orbite fermée est semi-simple. Réciproquement,
toute orbite semi-simple est fermée.
58
Proposition 50 Soit w ∈ µ−1 (0). Alors le stabilisateur G(w) est le complexifıé de K(w).
Démonstration. Soit g = exp Qk tel que gw = w. On introduit comme
précédemment u = kw, y(t) = exp(tQ)u et φ(t) = ky(t)k2 . Alors y(0) =
y(1) = kwk2 . On voit alors que Qu = 0, donc gu = u = w. Donc k(w) = w
et Qw = 0.
QED
La réciproque n’est pas vraie.
Par exemple le stabilisateur de xy 2 dans l’Exemple ci dessus est réduit à
1, mais l’orbite n’est pas fermée.
Considérons la restriction m de l’application moment à Σ(V ), la sphère
unité de V .
Proposition 51 Si 0 est une valeur régulière pour la restriction m de l’application moment à Σ(V ), alors toute orbite semi-stable est fermée. De plus
le stabilisateur de v ∈ Vss est fini.
Démonstration.
On sait que si 0 est une valeur régulière, alors m−1 (0) ⊂ Σ(V )libre .
Soit v ∈ Vss . On veut montrer que Gv est fermée. Sinon, il existe une
orbite fermée Gw dans Gv de dimension strictement plus petite que Gv.
On a w 6= 0, car v est semi-stable. On peut supposer w dans µ−1 (0). Le
stabilisateur de w dans G est la complexification de K(w). Voir lemme plus
loin. Il est non nul puisque la dimension de Gw est strictement inférieure à
celle de G. Il existe donc Y ∈ k tel que Y s’annule en w. En ramenant w dans
la sphère unité, ceci contredit le fait que le niveau 0 de m est contenu dans
Σ(V )libre .
QED
Proposition 52 Soit w ∈ µ−1 (0). Alors le stabilisateur G(w) est le complexifıé de K(w).
Démonstration. Soit g = exp Qk tel que gw = w. On introduit u = kw,
y(t) = exp(tQ)u et φ(t) = ky(t)k2 . Alors φ(0) = φ(1) = kwk2 . Comme la
fonction φ est convexe, elle est identiquement nulle. En l’écrivant, on voit
alors que Qu = 0, donc gu = u = w. Donc k(w) = w et Qw = 0.
QED
La réciproque n’est pas vraie.
Par exemple le stabilisateur de xy 2 , pour l’action de SL(2, C) est réduit
à 1, mais l’orbite n’est pas fermée.
59
Coupures symplectiques. Variétés toriques
Exposé de Olivier Guichard.
22 mars
60
1
61
2
62
3
63
4
64
5
65
6
66
7
67
8
68
9
69
10
70
Lemme de Poincaré. Image de la mesure de
Liouville et volumes des quotients.
29 Mars.
19
Lemme de Poincaré
Soit V un espace vectoriel réel de dimension n. Un ouvert U de V est dit
étoilé si U est stable par les homothéties x 7→ tx avec t ≤ 1. Nous démontrons
ici que toute forme différentielle sur U de degré k, (1 ≤ k ≤ n ) fermée est
exacte :
si dΩ = 0, alors Ω = dθ.
On obtient donc H ∗ (U ) = H 0 (U ) = R. Ce lemme est bien connu. Nous
le redémontrons, car nous voulons conserver les propriétés d’invariance : si
G est un groupe de Lie ( même pas compact) agissant linéairement sur V ,
conservant U , et si Ω est G-invariante, on veut résoudre Ω = dθ, avec θ une
forme différentielle G-invariante sur U .
Pn
k
Voici la méthode. On note un P
élément x ∈ V par x =
k=1 xk e . On
n
k
introduit le champ d’Euler E =
k=1 xk ∂ et l’opérateur d’homogénéité
correspondant L(E) qui, appliqué à une forme polynomiale vaut :
L(E)(xi11 xi22 . . . xinn dxj1 . . . dxjk ) = ( i1 +· · ·+in +k)(xi11 xi22 . . . xinn dxj1 . . . dxjk ).
On voit que seules les fonctions constantes sont dans le noyau de L(E). On
a la relation fondamentale de Cartan :
71
L(E) = d ◦ ι(E) + ι(E) ◦ d.
Si Ω ∈ Ak (U ), k ≥ 1, est fermée, on a donc
L(E)Ω = d ◦ ι(E)Ω.
Supposons qu’on trouve θ ∈ Ak−1 (U ) telle que
L(E)θ = ι(E)Ω.
Alors, on obtient
L(E)(Ω − dθ) = 0,
puisque L(E) commute à d. Mais L(E) est injectif sur Ak (U ) pour k ≥ 1.
On obtiendra donc
Ω = dθ.
Moralité : Il suffit de démontrer le lemme suivant.
Lemme 53 Soit U un ouvert étoilé de V . Soit α ∈ Ak−1 (U ) avec k > 0. Si
k = 1, α est une fonction sur U et on impose α(0) = 0.
A) Il existe θ ∈ Ak−1 (U ) telle que α = L(E)θ. Si k > 1, θ est unique. Si
k = 1, alors la solution est unique modulo une addition de fonction constante.
On normalise la solution, par θ(0) = 0.
B) Si G est un groupe de Lie agissant linéairement sur V , et si U est
G-invariant et α une forme G-invariante sur U , alors θ est G-invariante. Si
α est basique, alors θ est basique.
La partie B) de ce lemme est conséquence de l’unicité. En effet, si G agit
linéairement, l’action de g ∈ G sur A(U ) commute à L(E).
Avant de démontrer ce lemme, réécrivons la conséquence qui nous intéresse.
Soit Ω ∈ Ak (U ), avec k > 0. Alors ι(E)Ω est de degré k − 1. Si k = 1, alors
ι(E)Ω est une fonction nulle à l’origine.
Proposition 54 ( Lemme de Poincaré) Soit U un ouvert étoilé de V . Soit
Ω ∈ Ak (U ) (k > 0) une forme différentielle fermée sur U et soit θ ∈ Ak−1 (U )
l’unique forme différentielle de degré k − 1 telle que
ι(E)Ω = L(E)θ,
(et θ(0) = 0, si k = 1), alors Ω = dθ. Si U est G-invariant et Ω, G-invariante,
la forme θ est G-invariante. Si Ω est basique, θ est basique.
72
Nous établissons maintenant le lemme 53.
Démonstration. L équation α = L(E)?? se résout en calculant un
inverse de L(E) obtenu en intégrant : On note
F : Ak (U ) → Ak (U )
l’application donnée par
ϕdxj1 ∧ . . . ∧ dxjk →
µZ
1
ϕ(tx)t
0
k−1
¶
dt dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk .
Elle définit un ”inverse” de l’opérateur d’homogénéité L(E). Ici on suppose que, soit k ≥ 1, soit, lorsque k = 0, que ϕ s’annule en 0. L’application
F est bien définie, car l’ouvert U est étoilé.
Vérifions le d’abord pour un polynôme ϕ = xi11 . . . xinn . Si k = 0, on
suppose que ϕ s’annule en 0. On a donc toujours k + i1 + . . . + in > 0. On a
alors :
F (xi11 . . . xinn dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk )
¶
µZ 1
k−1 i1 +...+in
t t
dt xi11 . . . xinn dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk
=
0
=
1
xi1 . . . xinn dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk
k + i1 + . . . + i n 1
donc on a bien
L(E)F (ϕ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk ) = ϕ dxj1 ∧ . . . dxjk ,
si φ est un polynôme.
Vérifions plus généralement que L(E) ◦ F = F ◦ L(E) = Id sur Ak (U )
pour k ≥ 1. On écrit
Z 1 X
n
∂
+k)ϕ(tx)tk−1 dt)dxj1 ∧. . .∧dxjk ).
L(E)◦F (ϕ dxj1 ∧. . .∧dxjk ) = ( (
xi
∂x
i
0
i=1
Mais
(
n
X
i=1
xi
∂
d
+ k)ϕ(tx)tk−1 = (tk ϕ(tx)).
∂xi
dt
Donc puisque k ≥ 1
Z 1 X
Z 1
n
∂
d k
k−1
(
xi
+ k)ϕ(tx)t dt =
(t ϕ(tx)) = ϕ(x)
∂x
dt
i
0
0
i=1
73
et on a bien L(E) ◦ F = F ◦ L(E) = Id sur Ak (U ).
Enfin de même on vérifie que L(E), F laissent stable C0 (U ) = {ϕ ∈
C ∞ (U ), ϕ(0) = 0} et que L(E) ◦ F = F ◦ L(E) = Id sur C0 (U ) = {ϕ ∈
C ∞ (U ), ϕ(0) = 0}.
On obtient donc l’existence et l’unicité de la solution θ de l’équation
α = L(E)θ
en appliquant l’inverse. Car θ = F (α) est une solution. De plus deux solutions
différent par une constante.
Q.E.D.
Soit P une variété et V un espace vectoriel. Soit M = P × U où U est un
ouvert étoilé de V . On note p : M → P la première projection et i : P → M
l’injection par la section nulle. Si ν est une forme sur M , alors p∗ i∗ ν est une
forme sur M . Elle ne dépend que de la restriction de ν à P . En coordonnées
locales (p, x) ( p dans un ouvert de coordonnées pi , x ∈ U ), et avec notation
multi-indicielle), si
X
ν=
νI,A (p, x)dpI dxA ,
I,A
alors on a
p ∗ i∗ ν =
X
νI (p, 0)dpI .
I,A=∅
Soit G un groupe de Lie agissant sur P et linéairement sur V .
Lemme 55 (Lemme de Poincaré à paramètres)
A) Si ν est une k-forme fermée sur M , il existe une (k − 1)-forme θ sur
M , nulle sur P , telle que
ν = p∗ i∗ ν + dθ.
B) Si ν est G-invariante, on peut choisir θ G-invariante. Si ν est basique,
alors on peut choisir ν basique.
P
Démonstration. On note E le champ d’Euler partiel nk=1 xk ∂ k . On
note K = {α ∈ A(M ), i∗ α = 0}. Alors L(E) conserve K, et est inversible dans
K, avec la même formule que dans le paragraphe précédent pour l’inverse F ,
en considérant pi et dpk comme des paramètres : si
X
α=
ϕI,A (p, x)dpI dxA ,
I,A
74
avec |A| = k, on pose
F (α) =
X µZ
I,A
1
ϕI,A (p, tx)t
0
k−1
¶
dt dpI dxA .
C’est bien défini, car si k = 0, ϕI,∅ (p, 0) = 0
Si Ω ∈ A(M ), ι(E)Ω ∈ K.
Si Ω est fermée et si θ = F (ι(E)Ω), alors Ω − p∗ i∗ Ω = dθ. En effet les
deux membres appartiennent à K, on a L(E)(Ω − p∗ i∗ Ω) = L(E)Ω tandis
L(E)dθ = L(E)dF (ι(E)Ω) = dι(E)Ω = L(E)Ω car Ω est fermée.
Q.E.D.
Plus généralement, soit π : V → B un fibré vectoriel sur une variété B.
Soit U un voisinage étoilé de la section nulle.
Théorème 56 Soit α ∈ Ak (U) une forme différentielle fermée. Alors il
existe θ ∈ Ak−1 (U) telle que i∗ θ = 0 et que α − p∗ i∗ θ = dθ.
Si le fibré est G-équivariant, et si U est invariant et α est G-invariante,
on peut choisir θ G-invariante. Si α est basique, on peut choisir θ basique.
La démonstration est la même.
20
Variétés préhamiltoniennes et fibrations
Soit G un groupe de Lie opérant sur une variété P . Soit M = P ×
g la variété produit et µ la seconde projection. Nous allons étudier toutes
les structures préhamiltoniennes sur M dont l’application moment soit la
projection µ : P × g∗ → g∗ . Alors µ est une fibration et toutes les valeurs de
µ sont régulières.
Une condition nécessaire pour que µ soit l’application moment d’une
structure prehamiltonienne sur M est que G opère presque librement dans
les fibres de µ pour une valeur régulière. Il est donc nécessaire que G opère
presque librement dans P .
Soit G un groupe et P une G-variété sur laquelle G agit presque
P librement.
1
Soit Ek une base de g. Un élément θ ∈ (A (P ) ⊗ g) s’écrit θ = k θk Ek . On
dit que c’est une connexion si ι(EjP )θk = δjk et si θ ∈ (A1 (P ) ⊗ g)G .
Se donner une forme de connexion θ est la même chose que de se donner
une décomposition Tp P = Hp ⊕gp variant de manière C ∞ avec p et invariante :
Hgp = gHp . En effet, on spécifie Hp par Hp = {ξ, θ(ξ) = 0}. Alors θ est
complètement spécifiée sur Tp P et existe, car les vecteurs tangents (EkP )p
∗
75
sont linéairement indépendants en tout point p ∈ P . On dit que Hp est
l’espace tangent horizontal.
Lemme 57 Si G est compact et opère presque librement sur P , il existe une
1-forme de connexion θ.
En effet, on choisit une métrique G-invariante. On choisit Hp comme
l’orthogonal de gp .
Sur P × g∗ , on considère la 1-forme
X
λ = (f, θ) =
fk θ k .
k
On voit que l’application (µλ (m), X) = (λ, XM ) n’est autre que l’application µ : P × g∗ → g∗ . On a donc le :
Lemme 58 Soit θ une 1-forme de connexion sur P . Alors l’espace (M =
P × g∗ , µ, −d(f, θ)) est un espace prehamiltonien.
Soit Ω une autre 2-forme fermée sur M adaptée à µ. Alors, on voit que Ω+
d(f, θ) est une 2-forme basique fermée sur M . Remarquons que la restriction
de d(f, θ) à {f = 0} est nulle. En appliquant le lemme de Poincaré démontré
ci-dessus, on obtient la proposition suivante.
Proposition 59 ( Analogue faible du théorème de la forme normale).
Soit G un groupe de Lie (compact) agissant sur une variété P de facon
infinitésimalement libre. Soit M = P × g∗ et µ la seconde projection et p la
première projection. Soit θ une 1-forme de connexion θ ∈ (A1 (P ) ⊗ g)G , Ω0
une 2-forme basique fermée sur P et α une 1-forme basique sur P × g∗ , telle
que sa restriction i∗ α à P soit nulle. Alors
A)
Ω = p∗ Ω0 − d(f, θ) + dα
est une 2-forme fermée sur M adaptée à µ.
B) Toute 2-forme Ω adaptée à µ s’écrit ainsi, avec Ω0 = i∗ Ω, et α basique.
La démonstration étant basée sur le lemme de Poincaré, on peut remplacer
g par un voisinage étoilé de 0, et G invariant.
∗
76
21
Mesure image
Soit M un espace topologique. Si β est une mesure de Radon sur M
(forme linéaireR continue sur les fonctions continues à support compact), on
note (β, φ) = M φ(m)dβ(m). Soit µ : M → N une application continue . On
suppose µ propre, c’est à dire l’ image réciproque µ−1 (K) d’un compact K
Rest compacte. Si β est une mesure sur M , on note f∗ β la mesure (f∗ β, φ) =
φ(m)dβ(m).
M
Exemple bête : Si M est compacte et µ envoie M sur un point n de N ,
alors f∗ β = vol(M, β)δn où δn est la masse de Dirac en n.
Soit M une variété. Soit dm une densité C ∞ strictement positive sur
M (cela existe toujours,
par partition de l’unité). Si v(m) est une fonction
R
∞
C sur M , φ 7→ M φ(m)v(m)dm est une mesure, dite densité C ∞ . Soit
µ : M → N une fibration propre. Alors µ∗ (vdm) est aussi une densité C ∞
sur N . En effet, soit a ∈ N , U un voisinage assez petit de a de telle sorte
que l’ouvert µ−1 (U ) est difféomorphe à U × µ−1 (a), µ devenant la première
projection. On choisit une densité positive dp sur la variété P = µ−1 (a),
et une densité positive dn sur NR. On a donc v(m)dm = v(p, n)dpdn. Alors
µ∗ (vdm) = w(n)dn avec w(n) = P v(p, n)dn. En effet par définition, si φ est
à support dans U ,
Z
(µ∗ (vdm), φ) =
φ(µ(m))v(m)dm
µ−1 (U )
s’écrit
Z
U ×P
Z Z
φ(n)v(p, n)dndp = ( v(p, n)dp)φ(n)dn.
U
P
22
Mesure de Liouville
23
Volume des orbites coadjointes
24
Image de la mesure de Liouville
Nous supposons toujours notre groupe G compact. Soit (M, Ω, µ) une
variété préhamiltonienne. On suppose M de dimension paire n = 2` et
orientée. La formeR Ω` est alors une forme de degré maximal sur M . On
peut alors définir M φΩ` si φ est continue à support compact sur M . Plus
77
précisément, sur un ouvert U de coordonnées x1 , x2 , ..., xn , on a Ω` = v(x)dx1 ∧
dx2 · · · ∧ dxn où v(x) est une fonction C ∞ . Si dx1 ∧ dx2 · · · ∧ dxn est d’orientation positive et si φ est une fonction continue à support dans U , alors
Z
Z
`
φΩ =
φ(x)v(x)|dx|.
M
On note
1
(2π)`
U
Z
Ω`
=
φ
l!
M
Z
φ(m)dβ(m).
M
On dit que β est la mesure de Liouville.
Soit µ : M → g∗ l’application moment. On suppose µ propre. On choisit
df une mesure de Lebesgue sur g∗ . Le théorème suivant est tout à fait remarquable. Il a été découvert par Duistermaat et Heckman ( dans la situation
T -hamiltonienne).
Théorème 60 ( Duistermaat-Heckman) Soit µ : M → g∗ l’application moment pour une variété préhamiltonienne sous l’action d’un groupe compact.
On suppose µ propre. Supposons que 0 ∈ g∗ soit une valeur régulière. Alors
la mesure image µ∗ (dβ) de la mesure de Liouville par l’application moment
est une mesure sur g∗ , dont la densité est polynomiale sur la composante
connexe de l’ouvert des valeurs régulières contenant 0.
Exemple bête : Soit M = S 1 × R. On note les variables (θ, f ) ( ici
θ ∈ R est définie modulo 2π). Soit w(f ) une fonction C ∞ de f . Alors Ω =
w(f )dθ ∧ df est une 2-forme sur M invariante par rotations. La densité image
Ω
de 2π
est w(f )df , c’est-à-dire n’importe quelle densité C ∞ . Supposons que
(M, Ω, f ) soit préhamiltonienne. Ici f désigne aussi la projection (θ, f ) 7→ f .
La condition préhamiltonienne devient df = w(f )df , et donc w = 1. On voit
donc que la densité image de la mesure de Liouville est 1 × df .
Démonstration.
On se place au dessus de l’ouvert U composante connexe des valeurs
régulières. C’est un voisinage étoilé de 0 et G-invariant. Notre variété M
est P × U ( trivialisation G-équivariante à l’aide d’une connexion pour la
fibration M → U ). La variété P est compacte, car µ est propre.
Notons ΩP la restriction de Ω à P . C’est une forme basique sur P . D’après
la proposition 59, il existe une 1-forme basique α sur M nulle sur P , telle
que Ω = p∗ ΩP − d(f, θ) + dα. On écrit
F = p∗ ΩP − d(f, θ)
78
et Ft = p∗ ΩP − d(f, θ) + tdα. On a F1 = Ω, et Ft = F + tdα. Les formes Ft
sont fermées. On a ι(EkM )Ft = dfk .
Montrons que µ∗ (Ft` ) est indépendant de t. Soit φ une fonction C ∞ à
support compact contenu dans U , on a alors
Z
Z
d
`
`−1
(µ∗ (Ft ), φ) = `
((Ft ) dα)φ = −`( (Ft )`−1 α(dφ))
dt
M
M
par le théorème de Stokes.
P
Soit fk = (f, Ek ). On a dφ = k (∂k φ)dfk . Montrons que la forme (de
degré maximum) νk,t = (Ft )`−1 αdfk est nulle. Il suffit de montrer que ι(EkM )νk,t =
0, car le champ de vecteurs Ek ne s’annule pas sur M ( et c’est injectif, car on
opère en dimension maximale) Mais on a ι(EkM )(Ft )`−1 = (` − 1)(Ft )`−2 dfk ,
ι(Ek )α = 0, car α est basique, et ι(Ek )dfk = L(Ek )fk = 0 par G-invariance.
Donc
ι(EkM )((Ft )`−1 αdfk ) = (` − 1)(Ft )`−2 dfk ∧ α ∧ dfk = 0.
Nous avons prouvé l’indépendance en t de µ∗ (βt ). Il suffit de montrer
maintenant que µ∗ (β0 ) a une densité polynomiale sur g∗ .
On a F0 = (ΩP − fk dθk ) − θk dfk (convention d’Einstein pour les sommations). Soit df = df1 ∧ · · · ∧ dfn la mesure de Lebesgue de g∗ . Pour calculer la
F0`
F0`
1
densité de (2π)
` µ∗ ( `! ), il faut écrire `! = v(f, p)df où v(f, p) est une densité
C ∞ sur P dépendant de f . Notons vG = θ1 ∧· · ·∧θn et écrivons 2` = 2`0 +2n.
k
`0
1 (F0 )`
On voit que (2π)
= (ΩP −f`0 !dθk ) vG df car il faut prendre tous les termes
`
`!
en dfk . On voit donc que µ∗ β0 = v(f )df avec
Z
(ΩP − f k dθk )`0
1
v(f ) = (signe)
vG
(2π)` P
`0 !
qui dépend polynomialement de f ∈ g∗ . Le signe est un peu embêtant à
décrire, car il dépend des orientations choisies sur M . Dans le cas symplectique, l’orientation est choisie par Ω` qui est non dégénérée, de telle sorte que
la mesure de Liouville soit positive.
Q.E.D.
25
Densité de la mesure de Liouville et mesure des quotients
Nous interprétons géométriquement le polynome v(f ) qui apparait dans
cette magnifique formule.
79
On donne tout d’abord l’interprétation de v(0). On a
Z
1
Ω`P0
vG .
v(0) =
(2π)` P `0 !
Cette valeur ne dépend pas de la connexion choisie pour la fibration P →
P/G. C’est clair puisque c’est la valeur en 0 de µ∗ β. Cela se voit aussi de la
0
manière suivante. Si θ et θ 0 sont deux connexions, alors θ k −θ k est horizontale.
0
Comme ΩP est horizontale, on voit comme précédemment que Ω`P0 (vG − vG
)
est nulle, en appliquant l’opérateur injectif ι((E1 )P ) · · · ι((En )P ).
La valeur v(0) dépend de la mesure de Lebesgue choisie pour g∗ . C’est
donc v(0)df qui est vraiment indépendant de tout choix. C’est un élément
de Λmax g.
Supposons que G agisse librement sur P . On peut alors former la variété
Mred = P/G. La forme ΩP est basique. On l’identifie à une forme sur P/G
qu’on a dénoté Ωred . Alors
Z
0
1
Ω`red
(2π)`0 P/G `0 !
est par définition le volume de Mred .
Soit dg ∈ Λmax g. Alors dg détermine une mesure de Haar sur G.
Proposition 61 On a
< (v(0)df ), dg >= vol(G, dg)vol(Mred ).
Remarque. Dans le cadre symplectique, c’est la formule
vol(G, dg)vol(Mred ) =< µ∗ β, dg > .
Cette formule est fondamentale, elle permet de calculer les volumes réduits
à partir de µ∗ β.
Démonstration.
Il s’agit de montrer
que
R
R si α est une forme de degré maximal sur P/G,
on a vol(G, dg) P/G α = P αvP .
On peut supposer par partition de l’unité sur P/G que α est à support
dans un ouvert de trivialisation U du fibré P sur P/G. On peut donc supposer
P = U × G. L’action de G est par translation à gauche sur G. Soit E i la base
duale de Ei . Notons k i ∈ A1 (G) la forme invariante
P i,aà droite sur G telle que
i
i
i
i
k (exp ²Ek g) = δk . On voit alors que θ = k + a r (u, g)dua .
80
Comme α est de degré maximal sur U , on a α∧θ 1 ∧· · · θ n = α∧k 1 ∧· · ·∧k n .
On a donc séparé les variables u et g. La forme k 1 ∧ · · · ∧ k n de degré
maximal sur G est invariante, c’est donc la mesure de Haar dg et on obtient
la formule voulue
Q.E.D.
26
Pourquoi la valeur 0 ?
Parce que on peut toujours se ramener en 0. Soit Gf = G/G(f ) une
orbite coadjointe. Elle est munie de la forme de Kirillov Ωf . Son application
moment est l’injection if de Gf dans g∗ .
Soit (M, Ω, µ) un espace préhamiltonien. On forme l’espace préhamiltonien
M̃ (f ) = (M × Gf, Ω − Ωf ) avec application moment µ̃ = µ − i. Supposons que f soit une valeur régulière pour µ. Alors 0 est une valeur régulière
pour µ − i. On peut donc écrire près de Gf , µ∗ β = H(v)dv avec H(v)
une fonction C ∞ , définie près de Gf , et G-invariante. D’après le paragraphe
précédent, on écrit µ̃∗ β̃ = H̃(h)dh avec H̃(h) polynomiale près de 0, et on
a H̃(0)(dh, dg) = vol(G, dg)vol(M̃ (f )red ), où M̃ (f )red est l ’espace réduit de
M̃ (f ) pour la valeur 0, c’est-à-dire
M̃ (f )red = {(m, `), ` ∈ Gf, µ(m) = `}/G.
Montrons que l’espace réduit Mred,f = µ−1 (f )/G(f ) est isomorphe à M̃ (f )red .
Pour cela, on envoie m tel que µ(m) = f sur le point (m, f ). L’application
induit une surjection de µ−1 (f ) sur (M̃ (f ))red et par passage au quotient un
difféomorphisme de Mred,f sur M̃ (f )red . Les formes réduites se correspondent.
C’est clair. On a donc
H̃(0)(dh, dg) = vol(G, dg)vol(Mred,f ).
Nous calculons maintenant µ̃∗ β̃ en fonction de µ∗ β. En appliquant la
définition, on voit que si φ est une fonction à support compact sur g∗ , on a
Z Z
(µ̃∗ β̃, φ) =
φ(µ(m) − ξ)dβM (m)dkf (ξ)
m∈M,ξ∈Gf
où dβM (m) est la mesure de Liouville de M et dkf (ξ) la mesure de Liouville
de l’orbite coadjointe Gf .
81
Soit Θ la fonction sur g∗ définie par
Z
Θ(h) =
φ(h − ξ)dkf (ξ).
ξ∈Gf
On a donc
(µ̃∗ β̃, φ) = (µ∗ (β), Θ).
Nous supposons maintenant φ supportée près de 0. On écrit
Z
(µ̃∗ β̃, φ) =
H̃(h)φ(h)dh.
g∗
Soit χ une fonction C ∞ et G-invariante, égale à 1 près de Gf , telle que
la mesure χ(µ∗ (β)) soit C ∞ . On l’écrit b(h)dh, avec b(h) = χ(h)H(h). On a
b(f ) = H(f ). Si φ est à support assez petit, la fonction Θ est supportée près
de Gf . On a donc
¶
¶
µZ
Z µZ
Z
b(h + ξ)dkf (ξ) φ(h)dh.
φ(h − ξ)dkf (ξ) dh =
b(h)
(µ∗ (β), Θ) =
g∗
g∗
ξ∈Gf
ξ∈Gf
On obtient, pour h petit,
H̃(h) =
Z
H(h + ξ)dkf (ξ).
ξ∈Gf
En particulier pour h = 0, on obtient H̃(0) = vol(Gf )b(f ) = vol(Gf )H(f ).
On obtient donc la formule
Proposition 62
vol(G, dg)
27
Z
Mred,f
Ωmax
red,f = vol(G(f ))µ∗ (β)(f )(df, dg).
Comportement de µ∗(β)(f ).
Nous avons donné une formule pour la densité H(f ) près de f = 0.
On a
Z
1
(ΩP − f k dθk )`0 !
H(f ) = (signe)
vG .
(2π)` P
`0
De plus le polynome en f obtenu est de degré inférieur ou égal à `0 . Il se
peut que ce polynôme soit en effet de degré strictement inférieur.
82
Action d’un groupe réductif complexe sur
une variété projective. Théorème de
complexité de Kirwan-Mumford.
19 Avril
Soit G un groupe de Lie connexe réductif complexe agissant linéairement
dans un espace vectoriel complexe V . Soit C un cône algébrique irréductible
et G-invariant dans V . On choisit un sous-groupe compact maximal K de
G et une forme hermitienne < v, w > invariante par K. On note P (V )
l’espace projectif de V et q : V − {0} → P (V ) l’application quotient. On
note µ : V → k∗ l’application moment sur V et m : P (V ) → k∗ l’application
moment projective. Le but de ce cours est de décrire l’image de q(C) par
l’application moment m. On la notera encore m(C). C’est un sous-ensemble
K-invariant dans k∗ .
Rappelons les formules
(µ(v), X) = −i < Xv, v >,
m(v) =
µ(v)
.
|v|2
On note V ∗ l’espace vectoriel dual de V , et S(V ∗ ) l’algèbre symmétrique de
V ∗ . On identifie S(V ∗ ) à l’anneau des fonctions polynomiales sur V . On écrit
n
∗
S(V ∗ ) = ⊕∞
n=0 S (V ),
avec S n (V ∗ ) l’espace des polynômes homogènes de degré n. On note R(C)
l’anneau des fonctions régulières sur C. Par définition, un élément de R(C) est
la restriction à C d’une fonction polynomiale sur V . On appelle un élément
83
de R(C) une fonction polynomiale sur C. On écrit
n
R(C) = ⊕∞
n=0 R (C).
Soit T un tore maximal de K et t son algèbre de Lie. On choisit un
système de racines positives ∆+ . On décrit les sous-ensembles K-invariants
dans k∗ par leur intersection avec la chambre de Weyl antidominante t∗− , où
t∗− = {h ∈ t∗ , i(h, Hα ) ≤ 0}
pour toutes les racines positives α. En effet, si E est un ensemble K invariant,
on a E = K ·(E ∩t∗− ). On va donner une description de m(C)∩t∗− , en fonction
de la représentation de K dans R(C).
Soit K̂ l’ensemble des représentations irréductibles de K. Pour π ∈ K̂,
on note R(C)π le sous-ensemble de R(C) de type π. On a
R(C) = ⊕π∈K̂ R(C)π .
On dit qu’une représentation π apparaı̂t dans R(C), si R(C)π n’est pas
√nul.∗
On identifie l’ensemble T̂ des caractères de T avec le réseau P ⊂ −1t
des poids. Si Λ ∈ P , on note eΛ ∈ T̂ le caractère de T tel que eΛ (exp X) =
e(Λ,X) .
√
On note le plus haut poids d’une représentation π ∈ K̂ par Λ(π) ∈ −1t∗ .
On écrit Λ(π) = iλ(π), donc λ(π) ∈ t∗+ . On écrit Λn (C) pour l’ensemble des
plus hauts
des
π apparaissant dans Rn (C).
√ représentations
√ poids
∗
∗
Soit −1tQ ⊂ −1t l’ espace vectoriel rationnel engendré par tous les
poids de T . L’ensemble
Λn (C)
M (C) = ∪∞
n=0
n
√
∗
est contenu dans −1tQ .
Lemme 63 L’ensemble M (C) est un convexe (sur Q). C’est l’enveloppe convexe
d’un nombre fini de points.
Démonstration.
Comme R(C) est un anneau intègre, si Vλ intervient dans Rn (C), et
Vµ ∈ Rm (C), alors Vλ+µ apparait dans Rn+m (C). En effet, on multiplie deux
fonctions de plus haut poids λ et µ pour obtenir un élément non nul, annulé
par n+ et de poids λ + µ.
Soit Vλ apparaissant dans Rn (C) et Vµ apparaissant dans Rm (C). Soit p
µ
et q deux rationnels avec p + q = 1, et montrons que le point ν = p nλ + q m
84
est dans notre ensemble. On écrit p = P/N et q = Q/N avec P et Q entiers.
Alors N nmν = P mλ + Qnµ intervient dans RP mn+Qnm (C) = RN nm (C).
+
Si Pa est un ensemble de générateurs homogènes de R(C)n de poids Λa ,
intervenant dans Rna (C), alors VΛa apparait dans Rna (C). Si Vµ intervient
+
dans Rn (C), il existe un polynome P dans R(C)n , d’homogènéité P
n et de
poids µ. On
pa Λ a ,
P l’écrit grâce auµ générateurs Pa . On voit donc que µ =
avec n =
na . L’élément n est donc dans l’enveloppe convexe des éléments
Λa
de
M
(C).
na
+
Il S’agit donc de démontrer que R(C)n a un nombre fini de générateurs.
Modulo la proposition suivante, le lemme est donc démontré.
QED CONDITIONNEL
+
Nous démontrons maintenant que l’anneau R(C)n est un anneau de type
fini.
Attention Si un groupe réductif agit sur une variété algèbrique affine X,
l’anneau R(X)G est de type fini. Voir Brion Cours a Monastir. Par contre si
U est un groupe unipotent agissant linéairement dans un espace vectoriel U ,
alors S(V ∗ )U n’est pas en général de type fini : fameux contre-exemple de
Nagata au 14-eme problème de Hilbert , pour une action linéaire unipotente
de C13 sur V avec dim V = 32, plus récents action de C6 sur V de dimension
18 (R. Steinberg, 1997) )
Théorème 64 Soit G un groupe réductif agissant linéairement dans V . Si
+
X ⊂ V est un sous-ensemble fermé (algébrique ) G-stable, l’anneau R(X)n
est de type fini.
Démonstration.
On considère l’application (G × X) → X donnée par (g, x) 7→ gx. Alors si
P est une fonctionP
polynomiale de degré n sur X, P (g·x) peut s’écrire comme
une somme finie a (Ra (g)Φa (x) où Ra (g) sont des fonctions régulières sur
G coefficients de la représentations de G dans V .
Si P est U invariant, les fonctions Φa sont U -invariantes pour l’action à
gauche de G. Par ce procédé, on identifie R(X)U à (R(G × X)G×U où l’action
de G est déduite de l’action g0 · (g, x) = (gg0−1 , g0 x) et celle de u déduite de
u · (g, x) = (ug, x). L’application inverse est donnée par Φ(1, x). Il suffit
donc de démontrer que l’anneau R(G)U est de type fini. Toute fonction dans
R(G)U est de la forme (g −1 v, w) avec v dans un espace V de représentation
de G de dimension finie et avec v ∈ V et annulé par n+ . On décompose
V en représentations irréductibles VΛ . On écrit VΛ comme un quotient de
85
la représentation Vωk11 ⊗ · · · Vωkrr , le vecteur vΛ étant écrit comme image de
vωk11 ⊗ · · · vωkrr .
QED
√
Théorème 65 (Kirwan-Mumford) Le sous ensemble −1(m(C) ∩ t∗Q,− ) est
égal à −M (C).
Soit w0 l’élément de plus grande longueur de W . Le plus haut poids de
la représentation π ∗ est −w0 · Λ(π). On a donc
−w0 (M (C)) = S(C) := ∪n∈N ∪ν∈Sn (C)
ν
n
où ν parcourt le sous ensemble Sn (C) des poids dominants tels que Vν∗ intervienne dans Rn (C).
Le théorème de Kirwan-Mumford s’exprime donc aussi
√
−1(m(C) ∩ t∗Q,+ ) = S(C).
Exemple 1 : On considère C = V et G = GL(V ) avec son tore canonique.
Alors S m (V ∗ ) est une représentation irréductible de U (V ), et le plus haut
poids de la représentation S m (V ) est (m, 0, ..., 0). L’espace P (V ) est une
orbite sous K, et l’image par l’application moment de P (V ) est l’orbite du
point (1, 0, ..., 0).
Exemple 2
Soit VΛ la représentation irréductible de plus haut poids Λ avec Λ = iλ.
On considère la ligne CvΛ engendrée par le vecteur vΛ de plus haut poids Λ.
Lemme 66 1) L’orbite CΛ de G · (CvΛ ) est un cône fermé algébrique égal à
K · (CvΛ ).
2) L’image par m de vΛ est λ. La variété projective q(CΛ ) est difféomorphe
à Kλ, l’application moment devenant l’injection canonique Kλ ⊂ k∗ .
∗
3) L’anneau des fonctions régulières sur CΛ coincide avec ⊕∞
N =0 VN Λ .
Démonstration.
Soit n+ = ⊕α∈∆+ gα . Le vecteur vΛ est annulé par n+ .
1) Soit b = tC ⊕n+ . Soit B = exp b le sous-groupe de Borel de G déterminé
par ∆+ . Alors B·vΛ = C∗ vΛ . On a G = KB de sorte que G·(CvΛ ) = K·(CvΛ ).
2) Si X ∈ t, on a
−i < XvΛ , vΛ >
= λ(X).
|vΛ |2
86
Si X = Y + Y , avec Y ∈ n+ , on a < XvΛ , vΛ >=< Y vΛ , vΛ > + <
vΛ , Y vΛ >= 0. Donc m(vΛ ) = λ. L’image de q(CΛ ) = Kq(vΛ ) par l’application moment est donc un difféomorphisme sur Kλ.
3) Soit w−Λ ∈ VΛ∗ le vecteur de plus bas poids −Λ. C’est une forme linéaire
N
sur VΛ . Elle ne s’annule pas sur CΛ , car (w−Λ , vΛ ) = 1. La fonction w−Λ
est
N
N
∗
un élément non nul de R (CΛ ). On obtient VN λ ⊂ R (CΛ ).
Réciproquement soit Φ ∈ RN (CΛ ) un vecteur de plus bas poids. On a alors
Φ(n− x) = Φ(x) pour tout x ∈ GvΛ et n− ∈ N− . Mais alors Φ(vΛ ) est non
nul, car sinon Φ serait identiquement 0. On voit ensuite que le poids de Φ est
−N Λ en calculant ((exp(H)Φ)(vΛ ) = Φ((exp −H) · vΛ ) = Φ(e−<Λ,H> vΛ ) =
e−N <Λ,H> Φ(vΛ ).
QED
Dans cet exemple, on voit donc que S(CΛ ) = Λ, comme il se doit.
Remarque. L’orbite de G · (CvΛ ) est une variété algébrique fermée, dont
on peut décrire assez explicitement les équations (Kostant).
Enfin, indiquons une conséquence de ce théorème important.
Proposition 67 Soient Λ1 , Λ2 , Λ3 des poids dominants de t∗ et k1 , k2 , k3 ∈
K tels que k1 Λ1 + k2 Λ2 + k3 Λ3 = 0. Alors, il existe un entier N tel que
(V (N λ1 ) ⊗ V (N λ2 ) ⊗ V (N λ3 ))G soit non nul.
Démonstration.
Considérons l’espace VΛ1 ⊗ VΛ2 ⊗ VΛ3 . C’est un espace de représentation
irréductible pour G × G × G de plus haut poids (Λ1 , Λ2 , Λ3 ). On considère le
cône
CΛ1 ,Λ2 ,Λ3 = (G × G × G)(CvΛ1 ⊗ vΛ2 ⊗ vΛ3 ).
L’anneau des fonctions sur CΛ1 ,Λ2 ,Λ3 est l’anneau gradué
∗
R(CΛ1 ,Λ2 ,Λ3 ) = ⊕∞
N =0 V (N Λ1 , N Λ2 , N Λ3 ).
La variété projective associée q(CΛ1 ,Λ2 ,Λ3 ) ⊂ P (VΛ1 ⊗VΛ2 ⊗VΛ3 ) est difféomorphe
à la variété (Kλ1 ) × (Kλ2 ) × (Kλ3 ) et l’application moment sous l’action
diagonale de K devient m(X1 , X2 , X3 ) = X1 + X2 + X3 . D’après notre hypothèse, l’élément 0 est dans l’image m(CΛ1 ,Λ2 ,Λ3 ). D’après le théorème, il
existe N tel que 0 soit un poids dominant de la représentation diagonale de
G sur V (N Λ1 , N Λ2 , N Λ3 )∗ . Autrement dit, l’espace
(V (N λ1 ) ⊗ V (N λ2 ) ⊗ V (N λ3 ))G
est non nul.
87
QED
Remarque : Si les éléments w1 , w2 , w3 sont des éléments du groupe de
Weyl, alors c’est déjà
(V (Λ1 ) ⊗ V (Λ2 ) ⊗ V (Λ3 ))G
qui est non nul. Ceci est un théorème difficile dû indépendamment à Shrawan
Kumar et Olivier Matthieu.
Démontrons le théorème de Kirwan-Mumford.
Démonstration.
Montrons tout d’abord que si ξ = nλ avec Λ = iλ un poids dominant
d’une représentation apparaissant dans Rn (C), alors ξ = m(q(x)) pour un
x ∈ C − {0}.
Soit VΛ la représentation irréductible de G de plus haut poids Λ et vΛ
le vecteur de poids Λ. On considère l’espace Ṽ = V ⊕ VΛ muni de l’action
diagonale de G. On note un élément de Ṽ par (v, ξ) avec v ∈ V et ξ ∈ VΛ .
Comme la représentation π de plus haut poids Λ apparait dans R n (C), il
existe Q ∈ HomG (VΛ , Rn (C)). On peut le remonter en un élément encore
noté Q ∈ HomG (V, S n (V ∗ )). On note q la fonction sur Ṽ définie par q(v, ξ) =
Q(ξ)(v). C’est une fonction G-invariante et polynomiale sur Ṽ , homogène de
degré 1 pour la variable ξ et de degré n pour la variable v. De plus, pour
ξ 6= 0, Q(ξ) ne s’annule pas identiquement sur C. On considère l’action de
C∗ sur Ṽ définie par t · (v, ξ) = (tv, t−n ξ). Alors q est invariante sous l’action
de G × C∗ . On note µ̃ : Ṽ → k∗ ⊕ R, l’application moment pour cette action
de G × C∗ .
Soit x0 ∈ C un point où Q(vΛ )(x0 ) 6= 0. Considérons l’adhérence de
l’orbite de (x0 ⊕vΛ ) par G×C∗ . Alors il existe un point (x, v) dans l’adhérence
de (G × C∗ )(x0 ⊕ vΛ ) qui rencontre µ̃−1 (0). Comme q(vΛ , x0 ) 6= 0, et que q
est constant sur l’adhérence d’une orbite, alors on a v 6= 0 et x 6= 0.
L’élément v est dans l’adhérence de G(CvΛ ). Modulo conjugaison par K,
on peut supposer v = zvΛ . L’élément x appartient au cone fermé G-invariant
C. On a alors µ(x) + λ|zvΛ |2 = 0 et |x|2 − n|zvΛ |2 = 0. Donc m(x) = − nλ .
Réciproquement, soit ξ ∈ m(C) ∩ t∗Q,− . Montrons qu’il existe N tel que
√
− −1N ξ soit le plus haut poids d’une représentation Vπ intervenant dans
RN (C). On choisit tout d’abord n tel que −inξ soit un poids dominant Λ.
On construit Ṽ = V ⊕ VΛ avec une action de G × C∗ , C∗ agissant par
t · (v, ξ) = (tv, t−n ξ). On considère l’application moment µ̃. Soit v0 ∈ C
de norme 1 tel que µ(v0 ) = ξ. On choisit vΛ de norme 1 dans VΛ . On voit
88
√
que le point ( nv0 , vΛ ) est un zéro de l’application moment µ̃. Son orbite par
∗
G̃
G×C
√ est donc fermée et différente de (0, 0). Il existe q ∈ S(Ṽ ) qui vaut 1
sur ( nv0 , vΛ et 0 en (0, 0). Ce polynome n’a donc pas de terme constant. En
∗
tenant compte de l’action de C∗ , on a S(Ṽ )C = ⊕a S na (V ∗ ) ⊗ S a (V ∗ )Λ . On
voit donc qu’il existe a et Q ∈ S na (V ∗ ) ⊗ S a (VΛ∗ ) invariant par G et valant 1.
Considérons le cone C ⊕ CΛ . La restriction de q à ce cone n’est pas nul et
fournit un élément de (Rna (C) ⊗ (Vianξ ))G .
QED
89
Préquantification. Action, connexion,
moment.
Exposé de Laurent Thuillier
2 Mai
28
Connexion et courbure d’un fibré
Soit M une variété et V un fibré vectoriel sur M . Soit Γ(M, V) l’espace
des sections C ∞ de V. On note A(M, V) les sections (toujous C ∞ ) du fibré
ΛT ∗ M ⊗V. Si V = M ×V est trivial, alors A(M, V) = A(M )⊗V . En général,
sur un ouvert de trivialisation UA où V = UA × V , un élément s ∈ Γ(M, V)
s’écrit s = αk (x, dx) ⊗ vk , avec αk des formes différentielles sur UA et vk
des vecteurs de V . ( Convention d’Einstein pour les sommations implicites).
On peut multiplier un élément de A(M, V) par une forme différentielle α ∈
A(M ). On peut contracter un élément de A(M, V) par un champ de vecteurs.
Définition 68 Une connexion est un opérateur
∇ : C ∞ (M, V) → A1 (M, V)
90
qui vérifie la règle de Leibniz . Si s ∈ Γ(M, V) et f ∈ C ∞ (M ), alors
∇(f s) = df s + f ∇s.
On dit (écrit) indifféremment connexion, dérivée covariante, dérivation
covariante.
Si X est un champ de vecteurs sur M , on note ∇X l’opérateur ι(X)∇.
On l’appelle ∇X la dérivée covariante le long du champ de vecteurs X .
Attention, ∇X (f s) = (X · f )s + f ∇X f , comme le veut la régle de Leibniz,
mais
∇f X s = f ∇X s.
Deux connexions ∇0 et ∇1 sur le fibré vectoriel V diffèrent par une 1-forme
ω ∈ A1 (M, End(V)) :
∇1 s = ∇0 s + ωs, pour s ∈ Γ(M, V).
Si V = M × V est un fibré trivial, alors la dérivation extérieure d est une
dérivation covariante sur V. Donc toute connexion sur M × V s’écrit
(5)
∇s = ds + ωs,
pour une ω ∈ A1 (M, End(V)) = A1 (M ) ⊗ End(V ). On dit que ω est la
1-forme de la connexion ∇ dans la trivialisation donnée de V. On écrit
∇ = d + ω.
Si on change de trivialisation du fibré V := M × V par un changement de
cartes M × V → M × V de la forme (x, v) 7→ (x, g(x)v), avec g fonction
sur M à valeurs dans GL(V ), la forme représentative de ∇ dans la nouvelle
trivialisation du fibré V, s’écrit
ω 0 = gωg −1 + dgg −1 .
Lemme 69 On peut toujours trouver une connexion sur un fibré vectoriel
V.
Démonstration. Partitions de l’unité. En effet si φ0 et φ1 sont des
fonctions telles que φ0 + φ1 = 1 et ∇0 , ∇1 deux connexions, on voit que
φ0 ∇0 + φ1 ∇1 est encore une connexion.
QED
91
La courbure de la connexion ∇ est la 2-forme sur M à valeurs dans
End(V) définie par
F (X, Y ) = [∇X , ∇Y ] − ∇[X,Y ] ,
pour deux champs de vecteurs X et Y .
VERIFIER en utilisant la règle de Leibniz que F (X, Y ) est vraiment une
2-forme, c’est-à-dire que F (X, Y ) vérife F (f X, Y ) = f F (X, Y ), de même en
Y.
VERIFIER : Si V = M ×V est trivial et ∇ = d+ω, alors F est la 2-forme
à valeurs End(V ) définie par la formule
F = dω + ω.ω.
VERIFIER :
Si UA et UB sont deux ouverts de trivialisation du fibré, et si [x, v]A =
[x, gBA (x)v]B et ωA , ωB sont les 1-formes de la connexion ∇ respectivement
sur UA et UB , alors sur UA∩B , on a
gBA ωA − ωB gBA = dgBA .
Réciproquement, on peut reconstruire une connexion ∇ à partir de ces
formules qui assurent la cohérence des formules d’actions sur une section pour
l’opérateur global ∇.
La courbure de la connexion est représentée dans une carte UA par la
multiplication par la 2-forme à valeurs endomorphismes
ΩA = dωA + ωA · ωA
L’expression ωA désigne une matrice de 1-formes et par conséquent ωA ·ωA
n’est pas nul en général. Par contre si L est un fibré en droites, alors ωA est
juste une 1-forme, et ωA · ωA = ωA2 = 0.
Vérifier :
gBA ΩA = ΩB gBA
sur UA ∩ UB .
En particulier si L est un fibré en lignes, la courbure de L est une 2-forme
globale et fermée Ω. Sur un ouvert de trivialisation UA , on a Ω = dωA . Les 1formes ωA ne se recollent pas en général, car la relation de consistence s’écrit
ωA − ωB = d(”Log gBA ”). Mais dωA et dωB se recollent sur UA ∩ UB . Donc
en général, Ω n’est pas exacte.
92
Remarquons que la classe de cohomologie de la courbure Ω d’un fibré
linéaire L est indépendante de la connexion choisie. VERIFIER.
Par définition, on note
−Ω
c(L) = [
],
2iπ
et on appelle c(L) la ( première) classe de Chern du fibré L. Cette classe de
cohomologie provient d’un élément de la cohomologie de M à valeurs dans
Z. En particulier, son intégrale sur les deux cycles de M est un entier.
Example : Soit Ln le fibré sur P1 (C) défini par la relation d’équivalence
[z1 , z2 , v] ≡ [gz1 , gz2 , g n v] pour (z1 , z2 ) ∈ C2 − {0}, v ∈ C. La relation
d’équivalence est sous l’action d’un élément g ∈ C∗ .
On peut identifier le fibré L−1 au fibré tautologique : On associe à (z1 , z2 , v)
le vecteur v(z1 e1 + z2 e2 ) de C2 .
On note iA (z) = [z, 1] et iB (z) = [1, z]. L’image de C par iA est UA =
P1 − {Ce1 }. L’image de C par iB est UB = P1 − {Ce2 }. La 1-forme ν tel que
i∗A (ν) = dz est telle que i∗B (ν) = −z −2 dz. Le champ de vecteurs X sur P1 (C)
−1
∂
2 ∂
tel que i−1
A (X) = ∂z est donc tel que iB (X) = −z ∂z .
( En particulier, il y a trois sections holomorphes globales du fibré tangent)
On trivialise Ln au dessus de UA , UB en UA × C et UB × C par
φA (iA (z), v) = [(z, 1, v)],
φB (iB (z), v) = [(1, z, v)].
Le changement de cartes est donnée par φA (iA (z), v) = φB (iB (z −1 ), z −n v).
Les 1- formes ωA et ωB définie par
i∗A ωA = −n
zdz
1 + |z|2
i∗B ωB = −n
zdz
1 + |z|2
n
se recollent en une connexion ∇L , pour le fibré Ln .
Vérifions. Soit φ(z, z) une fonction sur C. La section s définie par s(i A (z)) =
n
[(z, 1), φ(z, z)] est telle que s(iB (z)) = [(1, z), z n φ(z −1 , z −1 )]. Donc ∇LX s est
la section
∂
z
S(iA (z)) = [z, 1, ( φ)(z, z) − n
φ(z, z)]
∂z
1 + |z|2
93
n
d’après la formule pour ∇L sur l’ouvert UA . Mais on a aussi
S(iB (z)) = [(1, z), −z 2
¢
∂ ¡
z
z 7→ z n φ(z −1 , z −1 ) + nz 2
z n φ(z −1 , z −1 )],
∂z
1 + |z|2
d’après la formule pour i∗B ωB
On a bien S(iA (z)) = S(iB (z −1 )), car
−z 2
∂
∂
(z 7→ z n φ(z −1 , z −1 )) = −nz n+1 φ(z −1 , z −1 ) + z n ( φ)(z −1 , z −1 ).
∂z
∂z
Donc
S(iB (z)) = [(1, z), −nz (n+1)
1
∂
φ(z −1 , z −1 ) + z n ( φ)(z −1 , z −1 )],
2
1 + |z|
∂z
qui est bien égal à S(iA (z −1 )).
n
La 1-forme de connexion de ∇L n’a pas de termes en dz . On dit alors
qu’elle est holomorphe, on verra plus loin pourquoi.
n
La courbure de ∇L , calculée sur UA , est la 2-forme
F =n
dzdz
.
(1 + |z|2 )2
C’est donc 2ni-fois la forme symplectique précédemment calculée par
réduction de la forme dx1 dy1 + dx2 dy2 .
La classe de Chern cn du fibré Ln est (en coordonnées iA (z))
On vérifie que
29
cn =
n dxdy
.
π (1 + |z|2 )
Z
cn = n.
P1 (C)
Connexions hermitiennes
On suppose le fibré vectoriel (complexe) V hermitien. En tout point x
de M , on a une forme hermitiennes qx sur l’espace tangent. On peut donc
associer à deux sections de V la fonction x 7→ qx (s1 (x), s2 (x)). On la note
< s1 , s2 >. On peut toujours trouver une structure hermitienne sur un fibré
V ( partitions de l’unité).
94
Définition 70 On dit que ∇ est une connexion hermitienne ( ou unitaire)
si, pour toutes sections s1 et s2 de V,
d < s1 , s2 >=< ∇s1 , s2 > + < s1 , ∇s2 > .
Example : Les fibrés Ln sur P1 (C) sont des fibrés naturellement hermitiens. Par exemple, on a un isomorphisme du fibré L−1 avec le fibré tautologique qui est naturellement hermitien.
On pose
||(z1 , z2 , v)||2 = (|z1 |2 + |z2 |2 )−n |v|2 .
On a bien
||(gz1 , gz2 , g n v)||2 = ||(z1 , z2 , v)||2
pour tout g ∈ C∗ .
n
La connexion ∇L définie plus haut est unitaire. Il suffit de le vérifier sur
les cartes. Si s1 et s2 sont deux fonctions, il faut vérifier par exemple sur UA :
n
d((1 + |z|2 )−n s1 (z)s2 (z)) =< (∇L s1 ), s2 > + < s1 , (∇Ln s2 ) > .
n
Ceci impose l’ équation : ( on écrit ∇ au lieu de ∇L )
³
´
´
∂ ³
(1 + |z|2 )−n s1 (z)s2 (z) = (1 + |z|2 )−n (∇ ∂ s1 )s2 + s1 (∇ ∂ s2 ) ,
∂z
∂z
∂z
qu’on vérifie sans problème.
Une trivialisation hermitienne d’un fibré V en unions d’ouverts UA ×V est
une trivialisation telle que qx soit constante et égale à une forme hermitienne
donnée sur V . Les changements de cartes UA × V 7→ UB × V sont alors
donnés par des fonctions gBA sur UA ∩ UB à valeurs dans les endomorphismes
unitaires de V . Dans une telle trivialisation, ∇ = d + ωA où ωA est une 1forme à valeurs endomorphismes antihermitiens. C’est uniquement dans une
telle trivialisation. Si L est un fibré en lignes, cela veut dire que les formes
de connexions sont des formes imaginaires pures.
Exemple : Pour trivialiser le fibré Ln , de façon à ce que la norme devienne constante, il faut définir ψA (iA (z), v) = [z, 1, (1 + |z|2 )n/2 v], et de
même ψB (iB (z), v) = [z, 1, (1 + |z|2 )n/2 v]. Dans cette nouvelle trivialisation,
les changement de cartes s’écrivent
ψA (iA (z), v) = ψB (iB (z −1 ), hBA (z)v)
95
z −n
avec hBA (z) = ( |z|
) qui est bien une fonction sur z 6= 0 à valeurs dans le
cercle unité. Dans cette trivialisation, la connexion devient d + ωA0 et on a
i∗A ωA0 = i∗A ωA − d(Log(1 + |z|2 )−n/2 . On a donc
i∗A ωA0 =
n zdz − zdz
2 (1 + |z|2 )
qui est bien une forme à valeurs imaginaires pures.
Soit E un fibré holomorphe sur une variété complexe M . Supposons
d’autre part que E soit munie d’une structure hermitienne. Alors on a deux
sortes de trivialisation de E. Une trivialisation avec produit scalaire constant
et changements de cartes unitaires. Dans cette trivialisation, une connexion
hermitienne sera à valeurs endomorphismes antihermitiens.
D’autre part, on a une trivialisation de E en tant que fibré holomorphe.
Dans ce cas les changements de cartes sont des fonctions holomorphes sur
A ∩ B à valeurs dans GL(N, C). L’opérateur ∂ est donc bien défini. Il envoie
une section s sur sa dérivée ξs pour ξ vecteur tangent antiholomorphe. On
dit que ∇ est une connexion holomorphe, si ∇ coincide avec ∂ sur la partie antiholomorphe de l’espace tangent. C’est-à-dire dans une trivialisation
holomorphe, on n’a pas de composante de ω en dz.
On rappelle
Proposition 71 ( Connexion de Bott)
si V → M est un fibré hermitien et holomorphe sur une variété complexe
M , il existe une et une seule connexion hermitienne et holomorphe sur V.
30
Fibrés en lignes et variétés préhamiltoniennes
Soit M une variété différentiable et L → M un fibré en lignes complexes.
On suppose que G compact agit sur M et sur L. Alors il existe sur L une
structure hermitienne G-invariante.
Théorème 72 (Kostant)
1) On peut choisir une connexion hermitienne G-invariante sur L. On
désigne par F la courbure de cette connexion.
2) La 2-forme Ω = iF munit M d’une structure de variété présymplectique.
3) Soit L la représentation de g sur les sections de L. On peut l’écrire
L(X) = ∇X + i(µ, X)
96
avec µ : M → g∗ .
Alors µ est l’application moment de l’action de G sur la variété présymplectique
M.
Démonstration.
1) L’existence d’une connexion hermitienne ∇0 est assurée par partition
de l’unité. Pour rendre cette connexion G-invariante on la moyennise par
l’action de G compact :
Z
∇=
g · ∇0 dg.
G
2) La connexion étant hermitienne, la courbure F de la connexion est de
la forme iΩ, où Ω est une 2-forme fermée G-invariante.
On voit que l’opérateur différentiel d’ordre au plus 1 L(X)−∇X commute
avec la multiplication par les fonctions, c’est donc un opérateur d’ordre 0, et il
s’écrit donc sous la forme iµ(X), où µ(X) est une fonction sur M dépendant
linéairement de X.
3). Pour que µ soit l’application moment, il faut montrer dµ(X) = ι(XM )Ω.
La connexion ∇ étant G-invariante, on a pour tout X ∈ g∗ , et tout champ
de vecteurs ξ ∈ Γ(M, T M ) :
[L(X), ∇ξ ] = ∇[ XM , ξ].
Donc
(∇X + iµ(X))∇ξ − ∇ξ (∇X + iµ(X)) = ∇[X,ξ] ,
d’où
F (X, ξ) = iµ(X))∇ξ − i∇ξ µ(X))
En appliquant la règle de Leibniz, on trouve
iF (X, ξ) = d(µ(X))(ξ).
On obtient ι(XM )Ω = dµ(X),
ainsi l’action de G sur M est pré-hamiltonienne, avec µ comme moment.
QED
97
31
La connexion canonique sur l’espace projectif
Soit V un espace vectoriel complexe de dimension (r + 1), munie de l’action de GL(V ). On choisit une forme hermitienne . Soit e1 , ..., er+1 une base
orthonormale. Soit K = U (V ) le groupe compact maximal d’algèbre de Lie
k. L’espace k est l’espace des matrices antihermitiennes. Soit µ : V → k∗
l’application moment
(µ(v), X) = −i < Xv, v >
pour X ∈ k et v ∈ V . On note
(m(v), X) = −i
< Xv, v >
.
< v, v >
On notera aussi pour X ∈ k, la fonction v → (m(v), X) de v ∈ V par m(X).
On note q la projection V − {0} → P (V ). On note aussi q(x) par [x].
L’espace P (V ) est recouvert par les r +1-cartes Ui , images des ouverts zi 6= 0.
Soit a ∈ Z. On regarde le fibré La sur P (V ) défini par
La = {[x, z]; x ∈ V, z ∈ C; [x, z] = [tx, ta z], pour tout t ∈ C∗ .}
Remarquons que le fibré tautologique est le fibré L−1 , car on envoie [x, z]
sur le point zx.
L’espace Γa des sections C ∞ du fibré La s’identifie avec l’espace des fonctions Φ(x), C ∞ définies sur V − {0}, et telles que Φ(tx) = ta Φ(x), pour tout
t ∈ C∗ . Une fonction dans Γa définit une section du fibré La par x 7→ [x, Φ(x)].
(Ici Φ(x) est une fonction de z1 , ..., zr+1 , z 1 , ..., z r+1 .)
L’espace des sections holomorphes de ce fibré est non nul si et seulement
si a ≥ 0. Dans ce cas c’est l’espace S a (V ∗ ). En effet, une fonction homogène
P (z1 , z2 , ..., zr+1 ) de degré a sur V , holomorphe en r + 1 variables ( donc
en deux variables ou plus) est forcément définie partout et est un polynôme
homogène de degré a ≥ 0. Réciproquement, un polynôme homogène de degré
a définit une section holomorphe du fibré La par [z] 7→ [z, P (z)].
En particulier le fibré L, dual du fibré tautologique, a un espace de sections holomorphes de dimension r + 1 ( isomorphe à V ∗ ).
Nous désirons construire une connexion sur les fibrés La . On note L(X)
l’action de X ∈ k sur les fonctions sur V . Comme K agit de facon linéaire,
l’action L(X) préserve chaque espace Γa .
98
Lemme 73 Soit X ∈ k, et soit XP le champ de vecteurs induit sur l’espace
projectif. Il existe une connexion unique ∇a telle que
∇XP φ = (L(X) + iam(X))φ
si φ est une section du fibré La (espace identifié à Γa ).
C’est un cas particulier de la connexion de Kostant.
Démonstration.
Si φ est une fonction dans Γa , et X ∈ k, on voit que x 7→ (L(X)φ)(x) est
dans Γa , ainsi que x 7→ m(X)(x)φ(x). Si on écrit pour X ∈ k∗ ,
∇0X = L(X) + iam(X)
on voit que l’opérateur vérifie la règle de Leibniz : (∇0X )(f φ) = (X · f )φ +
f ∇0X φ.
Soit v un vecteur tangent à q(x). Comme P (V ) est homogène sous U (V ),
ce champ peut être représenté sous la forme XP . Mais ATTENTION, il peut
être représenté de plusieures facons ainsi. L’addition de µ(X) est là pour
corriger.
Soit x0 ∈ V et soit X ∈ k tel que XP soit nul en q(x0 ). Donc le groupe à un
paramètre engendré par X laisse stable la droite Cx0 . Autrement dit, x0 est
un vecteur propre pour l’action de X sur V . Comme X est anti-hermitienne,
il existe α ∈ R, tel que Xx0 = iαx0 . Si φ ∈ Γa , on a donc
(L(X)φ)(x0 ) =
On a d’autre part
−i
d
φ(e−itα x0 )|t=0 = −iaαφ(x0 ).
dt
< Xx0 , x0 >
= iα.
< x0 , x0 >
Donc on a bien , si XP s’annule en x0 , (∇0XP φ)(x0 ) = 0 pour tout φ ∈ Γa .
QED
On considère la 1-forme ω sur Cr+1 − {0} définie par :
ω=
1 X
(
zk dzk ).
|z|2 k
Ecrivons la connexion ∇a en cartes. On définit si : Ui → V par si (q(z)) =
z
. On considère ωi = s∗i ω. C’est une 1-forme sur l’ouvert Ui . On trivialise L
zi
grâce à la section non nulle z 7→< z, ei > sur Ui .
99
Lemme 74 Dans cette trivialisation, on a sur l’ouvert Ui
∇ = d + ωi .
Il faut donc montrer que pour tout X ∈ k, on a
Démonstration.
∇XP zi = (s∗i ω, XP )zi .
On a
∇XP < z, ei >= − < Xz, ei > +
< Xz, z >< z, ei >
.
< z, z >
Maintenant si X ∈ k, on a si (exp tXz) =
A l’ordre t2 = 0, ceci vaut :
exp tXz
.
<exp(tX)z,ei >
z
Xz
z
z + tXz
= +t
− t 2 < Xz, ei > .
−1
zi
zi
zi
zi (1 + tzi < Xz, ei >)
On obtient donc
(si )∗ (XP ) =
Xz
z
z
+ ²(
− 2 < Xz, ei >).
zi
zi
zi
Donc (s∗i ω, XP )zi =
|zi |2 X
z
< Xz, ea > < z, ea >
< ea , > (
−
< Xz, ei >)zi
< z, z > a
zi
zi
zi2
=
< Xz, z >
< z, ei > − < Xz, ei >
< z, z >
QED
On en déduit :
Proposition 75 La première classe de Chern du fibré L−1 est égale à la
réduction de la forme
1 X
2
dxk ∧ dyk .
2π
P
Il est donc logique de prendre Ω = 2 k dxk ∧ dyk sur V .
100
Quotient de Kirwan-Mumford et sections
holomorphes G-invariantes
9 Mai
32
Quotient de Mumford
Soit V un espace vectoriel complexe. Soit L → P (V ) le fibré en lignes
sur P (V ) dont l’espace de sections holomorphes est V ∗ . Soit G ⊂ GL(V ) un
sous groupe réductif complexe de GL(V ). Soit C un cône algébrique stable par
G. L’espace des fonctions polynomiales sur C est un anneau gradué R(C) =
n
⊕∞
n=0 R (C). On considère M = P (C) comme sous-variété algébrique de P (V ).
Le fibré L se restreint en un fibré holomorphe sur M . L’espace H 0 (M, Ln )
des sections holomorphes du fibré Ln s’identifie à l’espace Rn (C).
On considère
n
G
R(C)G = ⊕∞
n=0 R (C) .
On désire interpréter cet anneau comme
0
n
⊕∞
n=0 H (X, N )
où X est elle-même une variété algèbrique et N un fibré en droites holomorphe sur X. Par définition X = M um(M, L) sera le quotient de Mumford
de M (relativement à L) et le fibré N sera noté L//G.
On introduit un peu de définitions.
Soit Css l’ensemble des points semi-stables de C. C’est un ouvert de C
stable par C∗ . On rappelle qu’un point x ∈ V est semi-stable, si 0 n’est pas
101
dans l’adhérence de Gx. C’est aussi caractérisé par le fait qu’il existe un
polynome G-invariant de degré d’homogénéité strictement positif et non nul
en x.
Définition 76 On note Mss = q(Css ) l’ouvert des points semi-stables de M .
( ceci dépend de la réalisation de M comme variété projective et du groupe
G.)
On préfère donc énoncer la définition de Mss sous forme plus intrinsèque
sous la forme suivante. Soit M une variété projective munie d’une action d’un
groupe complexe réductif G. Soit L → M un fibré en droites G-équivariant
sur M . On dit qu’un point est L-semi-stable, s’il existe un entier m > 0 et
une section G-invariante de Lm telle que s(x) 6= 0.
Exemple 1
L’action de t ∈ C∗ sur C2 est donnée par t(z1 , z2 ) = (tz1 , t−1 z2 ). Alors
tous les points de P1 (C) sont L-semi-stables sauf les deux pôles. La section
en question est z1 z2 qui est une section de L2 .
Définition 77 Soit v un point semi-stable de V . Soit Gvs l’unique orbite
fermée dans l’adhérence de Gv. On dit que deux points semi-stables v et v 0
de Vss sont projectivement équivalents si Gvs = aGvs0 pour a ∈ C∗ . On écrit
R̃ pour cette relation d’équivalence.
Définition 78 Le quotient de Mumford M//G de la variété projective M =
P (C) par G est l’ensemble des classes d’équivalence Css /R̃.
Exemple
Considérons le cône défini par l’équation homogène u1 u4 = u2 u3 muni de
l’action de C∗ définie par
t(u1 , u2 , u3 , u4 ) = (tu1 , u2 , u3 , t−1 u4 ).
L’ouvert des points semi-stables pour cette action sur C est la réunion
des ouverts u2 6= 0, u3 6= 0 de C. De plus, l’application (u1 , u2 , u3 , u4 ) →
(u2 , u3 )/C∗ paramètre l’espace Css /TC C∗ . On voit donc que l’espace Css /TC C∗
est la variété P1 (C).
Montrons que M//G est elle-même munie d’une structure de variété
algébrique . En effet, soit P1 , P2 , ..., Pr un ensemble de générateurs homogènes
de S(V ∗ )G , de degré n1 , n2 , ..., nr . Soit φ : V → Cr l’application φ(v) =
(P1 (v), ..., Pr (v)). Alors l’image de C par φ est un sous ensemble fermé Z de
102
Cr . En effet c’est un ensemble compact, modulo l’action de C∗ sur Cr définie
par
t(q1 , ..., qr ) = (tn1 q1 , ..., tnr qr ),
si t ∈ C∗ et q1 , q2 , ..., qr ∈ Cr . Cette action laisse stable l’ensemble Z. La
variété Z − {0}/C∗ est une variété compacte algébrique. On peut donc la
réaliser comme variété projective.
Lemme 79 L’ensemble M//G = Css /R̃ est isomorphe comme ensemble à
Z − {0}/C∗ .
Démonstration.
On a une application de Css /R̃ dans (Z − 0)/C∗ . Comme les polynômes
invariants séparent les orbites fermées, on voit que c’est un isomorphisme.
QED
Considérons la variété M//G. On peut la réaliser comme un ”vrai” espace
quotient.
Comme d’habitude, on considère K un sous-groupe compact maximal de
G, une forme hermitienne K-invariante, etc...
Proposition 80 Soit m : P (V ) → k∗ l’application moment. On définit
Mred = (m−1 (0) ∩ M )/K. Alors M//G est isomorphe à Mred .
Démonstration.
C’est clair, puisque (m−1 (0) ∩ M )/K paramètre les orbites fermées de G
dans C rencontrant la sphère unité de V .
QED
Proposition 81 Supposons K agissant infinitésimalement librement dans
m−1 (0)∩M . Alors toutes les orbites semi-stables dans C sont fermées. De plus
G agit infinitésimalement librement dans Mss . On a alors M//G = Mss /G.
Démonstration.
Soit w un point de V . Si X ∈ g laisse stable q(w), alors Xw = αw,
avec α ∈ C. Mais si w est semi-stable, on a α = 0, car sinon 0 serait dans
l’adhérence de (exp CX) · w = C∗ w. Donc X appartient au stabilisateur
infinitésimal de w.
Nous raisonnons par l’absurde pour montrer que toutes les orbites semistables dans C sont fermées. Soit donc v ∈ C un point semi-stable dont
l’orbite n’est pas fermée. Soit Gw l’orbite fermée contenue dans Gv. On peut
supposer que w est tel que µ(w) = 0. La dimension de Gw est strictement
plus petite que celle de Gv. Il existe donc X ∈ g tel que Xw = 0. Il faut voir
103
que le stabilisateur de w est le complexifié de son stabilisateur dans K. Dans
ce cas, il existera X ∈ k tel que Xw = 0. Par homothétie, on voit donc qu’il
existe w0 ∈ µ−1 (0) ∩ C, non nul. Ceci est en contradiction avec le fait que K
agit infinitésimalement librement dans m−1 (0) ∩ M .
C’est le lemme suivant, qu’on recommence à démontrer.
Proposition 82 Soit w ∈ µ−1 (0). Alors le stabilisateur G(w) est le complexifıé de K(w).
Démonstration.
Soit g = exp Qk tel que gw =
Pw. On introduit u = kw, y(t) = exp(tQ)u
2
et φ(t) = ky(t)k . On écrit u =
ui où les ui sont orthogonaux et associées
à des valeurs
propres
réelles
α
de
la matrice hermitienne Q. On a alors
i
P 2αi t 2
φ(t) = i e |ui | .
On a étudié la fonction φ(t). Elle est convexe, et sa dérivée s’annulle en
t = 0, car u = kw est dans µ−1 (0). Comme φ(0) = φ(1) = kwk2 , on voit
donc que φ(t) est constante et que les αi sont donc tous nuls. On a alors que
Qu = 0, donc gu = u = w. Donc k(w) = w et Qw = 0.
QED
QED
Attention : le stabilisateur d’un point w ∈ V peut être réductif et l’orbite
non fermée. Par exemple le stabilisateur de xy 2 , pour l’action de SL(2, C)
est réduit à 1, mais l’orbite n’est pas fermée. On ne peut donc caractéiser les
orbites fermées par leur stabilisateur.
Théorème 83 (Mumford)
Supposons P (C) une variété lisse. Soit φ une fonction rationelle homogène
de degré k ≥ 0 définie sur l’ouvert Css . Si φ est G-invariante, alors φ est
la restriction à Css d’un polynôme G-invariant et homogène de degré k.
En particulier, c’est un espace de dimension finie.
Remarque
Il est nécessaire que φ soit G-invariante, pour s’étendre. En effet, considérons
de nouveau l’ Exemple 1
L’ouvert des points semi-stables est C∗ × C∗ .
Les fonctions z1k+1 /z2 sont homogènes de degré k sur Vss .
Par contre il existe une et une seule fonction invariante de degré 2k, c’est
la fonction (z1 z2 )k .
Démonstration.
104
On considère le fermé Σ ∩ C où Σ est la sphère unité de V . C’est un
ensemble lisse. Il suffit de montrer que φ est bornée au voisinage de tout
point x de C. En effet, φ = P/Q et si φ restait bornée, alors Q ne peut avoir
de poles.
On considère le sous-ensemble F = µ−1 (0)∩Σ∩C. C’est un sous-ensemble
compact fermé contenu dans le domaine de définition de φ.
Montrons que la valeur de φ sur Css ∩ Σ est toujours inférieure à M ax =
M axφ|F . En effet, si v ∈ Css ∩ Σ, il existe g ∈ G tel que w = gv ∈ µ−1 (0).
Mais alors φ(v) = φ(w).
D’autre part, la norme de w est inférieure à celle de v. Il existe donc t > 1
tel que w = twt avec tw ∈ µ−1 (0) ∩ C ∩ Σ. On obtient donc φ(w) = t−k φ(tw)
et ceci est inférieur à M ax.
QED
On énonce ainsi le théorème : La quantification commute à la réduction.
En effet, si M = P (C) est lisse, ainsi que M//G, alors on a le théorème
(H 0 (M, O(L)))G = H 0 (M//G, O(L//G)).
Ce théorème est fondamental.
Il a été récemment démontré dans le cadre purement symplectique (
Meinrenken-Sjamaar).
Dans le cadre algébrique, Teleman et Braverman ont récemment démontré
qu’il était vrai à toutes les étapes en cohomoloie :
(H i (M, O(L)))G = H i (M//G, O(L//G)).
105

Variétés hamiltoniennes et Application moment. - IMJ-PRG

Documents connexes

Produits

Soutien

Variétés hamiltoniennes et Application moment. - IMJ-PRG

Documents connexes

Ajouter ce document à la (aux) collections

Ajouter ce document à enregistré

Suggérez-nous comment améliorer StudyLib