FICHE : SUITES RÉELLES

Lycée Blaise Pascal
TSI 1 année
F ICHE : S UITES RÉELLES
4 techniques de calcul de limites
•
•
•
•
Par factorisation par les termes dominants
Par multiplication par la quantité conjuguée
Par utilisation du théorème de la limite séquentielle et par usage des limites usuelles.
En utilisant les équivalents.
Théorème d’opérations sur les limites
Critère de divergence d’une suite
Soit (u n ) une suite réelle. On suppose qu’il existe deux suites extraites u ϕ(n) et u ϕ̃(n) telles que :
H1
u ϕ(n) −−−−−−→ a ∈ R.
H2
u ϕ̃(n) −−−−−−→ ã ∈ R.
H3
a 6= ã
n→+∞
n→+∞
alors (u n ) est divergente.
Soit (u n ) et (v n ) des suites convergeant respectivement vers l et l ".
Théorème de la limite monotone
•
|u n | −−−−−−→ |l |
n→+∞
•
∀λ,µ ∈ R,
λu n + µv n −−−−−−→ λl + µl ′
n→+∞
•
u n v n −−−−−−→ l l ′
Soit (u n ) une suite réelle. On suppose que :
H1
(u n ) est croissante.
H2
Si (u n ) est majorée par un réel A ∈ R
alors (u n ) converge vers une limite finie l ∈ R et l É A.
n→+∞
• Si l ′ 6= 0, on peut supposer qu’à partir d’un certain rang N, les termes de la suite (v n ) sont non nuls. Alors la suite
( v1 )nÊN est bien définie et de plus :
n
1
1
−−−−−−→ .
v n n→+∞ l
l
un
−−−−−−→ .
v n n→+∞ l ′
Suites adjacentes
Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles. On dit que (u n ) et (v n ) sont adjacentes lorsque :
H1
(u n ) est croissante
H2
(v n ) est décroissante
H3
v n − u n −−−−−−→ 0
n→+∞
Ces deux suites sont convergentes et convergent vers la même limite l ∈ R. De plus :
∀n ∈ N,
un É l É vn
Théorème des gendarmes
On considère trois suites : (u n ), (v n ) et (w n ) . On suppose que :
H1
v n É u n É w n à partir d’un certain rang.
H2
Les deux suites encadrantes (v n ) et (w n ) convergent vers une même limite l
alors la suite (u n ) converge vers l .
De même, si :
H1
v n É u n à partir d’un certain rang.
H2
lim v n = +∞
alors lim u n = +∞.
Théorème de la limite séquentielle
Soient f : I → R et a ∈ Ī. Soit une suite (u n ) de points de I. Soit l ∈ l¯. On suppose que :
H1
u n −−−−−−→ a
H2
f (x) −−−−→ l
n→+∞
x→a
alors f (u n ) −−−−−−→ l .
n→+∞
Convergence d’une suite géométrique
Soit (u n ) la suite géométrique de raison a ∈ R et de premier terme 1 : ∀n,
un = an .
Alors :
an cn


diverge si a É −1



0 si a ∈ ]−1,1[
a n −−−−−−→
1 si a = 1
n→+∞ 



+∞ si a > 1
bn
an
∼
c n n→+∞ d n
— Soit (u n ) et (v n ) deux suites et α ∈ R. Si les expressions u nα et v nα ont un sens à partir d’un certain rang, alors :
Définition : Soient (u n ) et (v n ) deux suites. On dit que (u n ) est négligeable devant (v n ) lorsqu’il existe une suite (εn )
convergent vers 0 et un rang N ∈ N tels que :
u n = εn v n
Si tel est le cas, on note :
un =
o
n→+∞
(v n )
Proposition : Soit (u n ) et (v n ) deux suites. On suppose que (v n ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang. Alors :
un =
o
n→+∞
(v n )
un
−−−−−−→ 0
v n n→+∞
⇐⇒
bn dn
Si de plus (c n ) et (d n ) ne s’annulent pas à partir d’un certain rang :
Suites négligeable devant une autre
∀n Ê N
∼
n→+∞
un
∼
n→+∞
vn
=⇒
α
un
∼ vα
n→+∞ n
Par contre, il ne faut pas :
— Sommer des équivalents.
— Composer des équivalents. En particulier, il ne faut par :
— Prendre des logarithmes d’équivalents.
— Prendre des exponentielles d’équivalents.
Équivalents usuels
Soit (u n ) une suite telle que
Croissances comparées
u n −−−−−−→ 0
Soient a > 1, α > 0 et β > 0 alors :
(ln n)β =
o
n→+∞
¡ α¢
n
n→+∞
nα =
o
n→+∞
¡ n¢
a
an =
o
n→+∞
(n!)
n! =
o
n→+∞
¡ n¢
n
alors :
1
sinu n
2
tan u n
Suites équivalentes
Définition : Soient (u n ) et (v n ) deux suites. On dit que (u n ) est équivalente à (v n ) lorsqu’il existe une suite (αn )
convergent vers 1 et un rang N ∈ N tels que :
∀n Ê N
u n = αn v n
3
Si tel est le cas, on note :
un
∼
n→+∞
un
4
[1 − cos u n ]
∼
un
5
¤
£ u
e n −1
6
£
¤
(1 + u n )α − 1
n→+∞
ln (1 + u n )
∼
n→+∞
un
∼
n→+∞
vn
⇐⇒
un
−−−−−−→ 1
v n n→+∞
αu n
(α ∈ R∗ ).
Soient I un intervalle de R
(, f : I → R et a ∈ I. On suppose que I est un intervalle stable par f . On considère la suite
u0 = a
1. Si u 0 É f (u 0 ) alors (u n ) est croissante.
— Soit (an ), (bn ), (c n ), (d n ) des suites telles que :
n→+∞
∼
n→+∞
∀n ∈ N, u n+1 = f (u n )
• Si f est croissante sur I alors (u n ) est monotone et :
Opérations sur les équivalents
∼
un
Suites définies par récurrence
récurrente (u n ) construite par
an
∼
n→+∞
vn
Proposition : Soient (u n ) et (v n ) deux suites. On suppose que (v n ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang. Alors :
un
2
un
∼
n→+∞ 2
∼
n→+∞
2. Si u 0 Ê f (u 0 ) alors (u n ) est décroissante.
bn
et
cn
∼
n→+∞
dn
• Si f est décroissante sur I alors (u n ) a ses deux sous suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) monotones et de sens contraire.