Correction DS3

[Correction devoir surveillé 3 \
23 janvier 2013
EXERCICE 1 4 points
Le nénuphar
Dans cette exercice toute trace d’étude ou de recherche même non fructueuse sera
prise en compte dans l’évaluation.
Dans un lac, un nénuphar mesure 1
100 de la taille du lac. Chaque jour, sa taille double.
Dans combien de jours le lac sera trop petit pour héberger le nénuphar ?
On modélise la situation par une suite géométrique (un) de raison q=2 et de pre-
mier terme u0=1
100 .
un=2n
100 .
Pour résoudre notre problème on cherche les solutions de l’inéquation : un>1, qui
est successivement équivalente à :
2n
100 >1
2n>100
ln(2n)>ln(100)
nln(2) >ln(100)
n>ln(100)
ln(2) ≃6.64.
Donc entre le sixième et le septième jours, le lac sera trop petit pour le nénuphar.
Exercice 2 4 points
1. Résoudre dans Rles équation est inéquation suivantes :
a. ex+1=e2x−3
Cette équation est successivement équivalente à :
x+1=2x−3
4=x
b. ex+1>12.
Cette inéquation est successivement équivalente à :
ln¡ex+1¢>ln(12)
x+1>ln(12)
x>ln(12)−1.
L’ensemble Sdes solutions est S=]ln(12) −1 ; +∞[
2. Sans justification répondre aux questions suivantes :
a. Donner la dérivée de la fonction fdéfinie sur Rpar :
f(x)=ex2+1+x2.
La dérivée f′de la fonction fest définie sur Rpar :
f′(x)=2xex2+1+2x.
b. Donner une primitive de la fonction gdéfinie sur Rpar :
g(x)=2e3x+1.
Une primitive Gde la fonction gest définie sur Rpar :
G(x)=2
3e3x+1.

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco
c. Soit la fonction hdéfinie sur R∗par :
h(x)=ex+1+1
x2.
Déterminer les limites suivantes :
i. lim
x→ −∞
h(x)=0
ii. lim
x→ +∞
h(x)=+∞
iii. lim
x→0h(x)=+∞
Exercice 3 4 points
1. Résoudre l’équation 2X2−X−1=0.
On calcul de discriminant ∆=b2−4ac =(−1)2−4×2×(−1) =9.
Les solutions de cette équation sont alors données par :
x1=−b−p∆
2a=−(−1)−p9 2×2=−2 4=−1 2
et x2=−b+p∆
2a=1+3 4=1.
2. On souhaite résoudre l’équation (E) : 2e2x−ex−1=0. Pour cela on pose X=ex.
a. Vérifier que l’équation (E) s’écrit sous la forme (E′) : aX 2+bX +c=0, où
a,bet csont trois réels qu’on précisera.
L’équation (E) s’écrit : 2(ex)2−ex−1=0, en ayant posé X=exon déduit
qu’elle est équivalente à 2X2−X−1=0. D’où sous la forme (E′) : aX 2+
bX +c=0, avec a=2, b=−1 et c=−1.
b. Résoudre alors l’équation (E′).
Équation résolue à la question 1.
c. Résoudre les équations ex=1 et ex=−1
2.
ex=1 est équivalente à x=ln(1) c’est-à-dire x=0.
ex=−1
2n’admet pas de solutions car une exponentielle est toujours stric-
tement positive.
d. en déduire les solutions de l’équation (E).
On déduit que la solution de l’équation (E) est x=0.
Correction devoir surveillé n°3 223 janvier 2013

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco
Problème 8 points
Partie A : La courbe Cgci-dessous est la représentation graphique d’une fonction
gdéfinie et dérivable sur ]0 ; +∞[. Cette courbe passe par le point A(1 ; 3) et sa
tangente au point d’abscisse 1
2est parallèles à l’axe des abscisses.
1
2
3
4
5
6
7
0.5 1.0 1.5 2.0
Cg
A
B
1. a. À partir des informations sur Cg, donner les valeurs de g(1) et g′¡1
2¢.
g(1) =3 et g′¡1
2¢=0
b. Par lecture graphique, faire une conjecture sur le signe de g(x) pour tout
xde l’intervalle ]0 ; +∞[.
Graphiquement, on conjecture que pour tout xde l’intervalle ]0 ; +∞[,
g(x)>0.
2. On admet que la fonction gest définie sur ]0 ; +∞[ par g(x)=a+bln(x)+2x2.
En utilisant les résultats de 1.a., déterminer aet b.
g′(x)=b
x+2×2x=b x+4x.
g(1) =3
⇔a+bln(1)+2×12=3
⇔a+b×0=1
⇔a=1
g′µ1
2¶=0
⇔b
1
2+4×1
2=0
⇔2b+2=0
⇔2b= −2
⇔b=−1
Dans la suite, on vient de démontrer, que pour tout xde ]0 ; +∞[, g(x)=1−
ln(x)+2x2.
Correction devoir surveillé n°3 323 janvier 2013

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco
3. a. Calculer g′(x), puis étudier son signe pour tout xde l’intervalle ]0 ; +∞[.
g′(x)=−1
x+4x=−1+4x2 x=(2x−1)(2x+1) x.
Le signe de la dérivée g′est négatif sur ¤0 ; 1
2¤et positif sur £1 2;+∞£.
b. Dresser les tableau de variation de g(on ne demande pas les limites aux
bornes de l’intervalle de définition).
x
g′(x)
g(x)
01
2+∞
−0+
3
2+ln(2)
3
2+ln(2)
g¡1
2¢=1−ln¡1 2¢+2ס1 2¢2=1+ln(2)+2 4=3 2+ln(2) >0
c. Justifier alors la conjecture émise à la question 1.b..
D’après le tableau de variation, on constante que le minimum de cette
fonction est atteint lorsque x=1
2et est strictement positif ¡g¡1 2¢=3 2+ln(2)¢
Partie B : Soit la fonction fdéfinie sur ]0 ; +∞[ par :
f(x)=ln x
x+2x.
On appelle Cfsa courbe représentative dans un repère orthogonal d’unités gra-
phique 5 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
1. Déterminer les limites de faux bornes de son intervalle de définition. En don-
ner une interprétation graphique s’il y a lieu.
lim
x→0f(x)=−∞
Donc la droite d’équation x=0 est asymptote verticale à la courbe Cf.
lim
x→ +∞
f(x)=+∞
2. On désigne par f′la fonction dérivée de la fonction f.
Montrer que, pour tout xde ]0 ; +∞[, f′(x)=g(x)
x2.
f′(x)=
1
x×x−ln(x)×1
x2+2=1−ln(x) x2+2x2 x2=1−ln(x)+2x2 x2=g(x) x2.
3. a. À l’aide de vos résultats de la Partie A ? en déduire le signe de f′(x) pour
xde l’intervalle ]0 ; +∞[.
Dans la Partie A, on démontrer que pour tout xdans l’intervalle ]0 ; +∞[,
g(x) est toujours positive.
De plus, x7−→ x2est également positive. Donc la dérivée f′de la fonction
fest positive pour tout xdans l’intervalle ]0 ; +∞[.
b. Dresser le tableau de variation de f.
Correction devoir surveillé n°3 423 janvier 2013

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco
x
f′(x)
f(x)
0+∞
+
−∞
+∞+∞
4. a. Calculer f(1) et f′(1).
f(1) =ln(1)
1+2×1=2.
f′(1) =g(1)
12=3.
b. Construire la tangente à Cfau point d’abscisses 1, puis construire Cf.
1
2
3
4
5
−1
−2
1 2
Cf
y=3x−1
Correction devoir surveillé n°3 523 janvier 2013