Exercice 2 - Le Web Pedagogique

Niveau : Seconde
Lycée Joubert/Ancenis
2016/2017
Equations de droites / Exercices en classe
Corrigés
ED1
Exercice 1 : De la forme cartésienne à la forme réduite et vice-versa
1) Écrire chacune des équations de droites suivantes sous forme d’équation réduite.
a) 5x –y + 4 = 0  -y = -5x – 4  y = 5x + 4
1
b) 3y – 1 = 0  3y = 1  y = 3
c) 3x + y –1 = 0  y = -3x + 1
d) 6x – 3y + 12 = 0  -3y = -6x – 12  y = 2x + 4
3
2
e) 3x + 7y + 2 = 0  7y = -3x – 2  y = -7 x - 7
f) –4x + 2y = 3  2y = 4x + 3  y = 2x + 1,5
Exercice 2 : Identifier
Soit (d) la droite d’équation réduite y = Error! x – 2. Parmi les équations suivantes, lesquelles sont aussi une
équation de (d) ?
1
a) x = 4y + 2  x - 2 = 4y  y = 4 x - 0,5 donc ce n’est pas une équation de (d)
1
b) x – 4y – 2 = 0  x - 2 = 4y  y = 4 x - 0,5 donc ce n’est pas une équation de (d)
c) x = 8 Ce n’est pas une équation de (d)
1
d) –x + 4y +8 = 0  4y = x – 8  y = 4 x - 2 donc c’est une équation de (d)
e) Error! x – 2y = 4
1
1
x - 4 = 2y  y = 4 x - 2 donc c’est une équation de (d)
2
ED2
Equations de droites / Exercices en classe - Corrigés
1
Exercice 1 : Coefficient directeur et équation réduite d’une droite
Pour chacune des droites représentées, trouver le coefficient directeur puis donner l’équation réduite de la droite.
Pour chacune des droites représentées, trouver le coefficient directeur puis donner l’équation réduite de la droite.
D1
D2
D3
D4
∆𝑦
3
∆𝑦
−2
D1 : m = ∆𝑥 = 2 soit m = 1,5 ; on lit p = -2 et donc l’équation réduite de D1 est y = 1,5x – 2
D2 : m = ∆𝑥 =
4
∆𝑦
2
∆𝑦
4
soit m = -0,5 ; on lit p = 6 et donc l’équation réduite de D2 est y = -0,5x + 6
D3 : m = ∆𝑥 = 2 soit m = 1 ; on lit p = 3 et donc l’équation réduite de D3 est y = x + 3
D4 : m = ∆𝑥 = 2 soit m = 2 ; on lit p = -1 et donc l’équation réduite de D4 est y = 2x - 1
ED3
Equations de droites / Exercices en classe - Corrigés
2
Exercice 1 : Tracer des droites
Dans chaque cas, tracer dans le repère les deux droites dont l’équation est donnée
D1 : y = 3 – 2x
D2 : x = – 4
d : y +5 = 0
d’ : 2x − 3y = 3
1
1
O
D3 : 2x +5 = 0
D4 : 3x + y = 0
1
O
D5 : 10x + y = 20
D6 : x − y – 5 = 0
1
5
O
1
1
O
1
Exercice 2 : Ensemble de solutions
1) Dans un repère, représenter l’ensemble des solutions de l’équation : y = 3x – 5
C’est la droite D1 d’équation y = 3x – 5
1
O
1
2) Dans un repère, représenter l’ensemble des solutions de l’équation : 2x + 4y – 6 = 0
C’est la droite D2 d’équation réduite y = -0,5x + 1,5
1
O
1
3) Dans un repère, représenter l’ensemble des solutions du système d’équations : { y = 2x ;y = 5 – x
Equations de droites / Exercices en classe - Corrigés
3
Il faut tracer les deux droites d’équation y = 2x et y = 5 – x. L’ensemble des solutions est alors le point
d’intersection des 2 droites.
1
O
1
On trouve graphiquement un point I de coordonnées (1,7 ; 3,3)
5
Une résolution par le calcul donnerait I(3 ;
10
3
)
4) Dans un repère, représenter l’ensemble des solutions du système d’équations : {
3𝑥 − 𝑦 − 3 = 0
𝑥 = −2
Il faut tracer les deux droites d’équation y = 3x – 3 et x = -2 . L’ensemble des solutions est alors le
point d’intersection des 2 droites.
2
O
1
On trouve graphiquement un point I de coordonnées (-2 ; -9)
ED4
Exercice 1 : Les droites D et D’sont-elles parallèle ou sécantes ?
a) D : y = 2x – 1 et D’: y = 3x – 1
Coefficients directeurs : m = 2 pour D et m’ = 3 pour D’. Donc m  m’ et D et D’ sont sécantes.
b) D : y = -4x + 5 et D’ : y = -4x + 1
Coefficients directeurs : m = -4 pour D et m’ = -4 pour D’. Donc m = m’ et D et D’ sont parallèles.
2
c) D : y = 5x – 3 et D’ : y = 0,4x + 2
2
Coefficients directeurs : m = 5 pour D et m’ = 0,4 pour D’. Donc m = m’ et D et D’ sont parallèles.
d) D : y = 3 et D’ : y = 3x
Equations de droites / Exercices en classe - Corrigés
4
Coefficients directeurs : m = 0 pour D et m’ = 3 pour D’. Donc m  m’ et D et D’ sont sécantes.
e) D : y =
2𝑥+3
2
et D’ : y = x – 4
D a pour équation y = x + 1,5
Coefficients directeurs : m = 1 pour D et m’ = 1 pour D’. Donc m = m’ et D et D’ sont parallèles.
f) D : 2x – 3y = 2 et D’ : y = 1,5x + 5
Coefficients directeurs : m = 2 pour D et m’ = 1,5 pour D’. Donc m  m’ et D et D’ sont sécantes.
Exercice 2 :
Déterminer l’équation de la parallèle D’ à la droite D d’équation y = 3x + 4, passant par le point A (–2 ; 5).
D’ étant parallèle à D, elle a le même coefficient directeur que D soit m’ = 3.
D’ a donc une équation réduite de la forme y = 3x + p avec p l’ordonnée à l’origine de la droite.
D’ passant par A(-2 ; 5) on a : 5 = 3  (-2) + p et donc 5 = -6 + p et p = 11.
D’ a pour équation y = 3x + 11
ED5
Exercice 1 : Les points A, B et C sont-ils alignés ?
a) A(2 ; 5) ; B(3 ; 7) et C(-1 ; -1)
Méthode 1 : On calcule les coefficients directeurs de (AB) et de (AC) puis on les compare. S’ils sont égaux
les points sont alignés, s’ils sont différents alors les points ne sont pas alignés.
𝑦𝐵−𝑦𝐴
m(AB) = 𝑥𝐵−𝑥𝐴 =
7−5
3−2
𝑦𝐶−𝑦𝐴
= 2 et m(AC) = 𝑥𝐶−𝑥𝐴 =
−1−5
−1−2
=2
m(AB) = m(AC) et donc les points A, B et C sont alignés.
b) A(-3 ; -3) ; B(8 ; 0) et C(12 ; 1)
Méthode 2 : On détermine l’équation réduite de (AB) puis on teste l’appartenance à la droite (AB) du point
C.
𝑦𝐵−𝑦𝐴
m(AB) = 𝑥𝐵−𝑥𝐴 =
0−(−3)
8−(−3)
3
3
= 11 donc (AB) a pour équation y = 11x + p
3
24
B appartient à la droite (AB) donc : 0 = 11 × 8 + p et donc p = - 11 donc (AB) a pour équation réduite :
3
y = 11x -
24
3
3
24
3
24
Pour x = 12 on a : 11x - 11 = 11×12 - 11 =
12
11
 1 et donc C  (AB)
Les points A, B et C ne sont donc pas alignés.
c) A(-1 ; 4) ; B(5 ; 2) et C(1 ;
10
3
)
Equations de droites / Exercices en classe - Corrigés
5
Méthode 2 : On détermine l’équation réduite de (AB) puis on teste l’appartenance à la droite (AB) du point
C.
𝑦𝐵−𝑦𝐴
m(AB) = 𝑥𝐵−𝑥𝐴 =
2−4
5−(−1)
=
−2
6
=
−1
3
1
donc (AB) a pour équation y = - 3 x + p
1
5
B appartient à la droite (AB) donc : 2 = - 3 × 5 + p et donc p = 2 + 3 =
1
y=-3x+
11
3
donc (AB) a pour équation réduite :
11
3
1
Pour x = 1 on a : - 3 x +
11
3
1
=-3×1+
11
3
=
10
3
et donc C  (AB)
Les points A, B et C sont alignés.
Exercice 2 :
1) On donne les équations de trois droites : (d1) : y = 6x – 5
; (d2) : x − 2y = − 1
;
(d3) : x = 3
Pour chacun des points suivants, dire s’il appartient ou non à chacune de ces droites (justifier)
Pour le point A (3 ; 2) : 6  3 – 5 = 13 et A  (d1) ; 3 – 2 × 2 = -1 et A  (d2) ; xA = 3 et A  (d3)
Pour le point B (3 ; 13) : 6  3 – 5 = 13 et B  (d1) ; 3 – 2 × 2 = -1 et B  (d2) ; xA = 3 et B  (d3)
Pour le point C (5 ; 3) : 6  3 – 5 = 13 et C  (d1) ; 3 – 2 × 2 = -1 et C  (d2) ; xA = 3 et C  (d3)
Pour le point D (0 ; -5) : 6  3 – 5 = 13 et D  (d1) ; 3 – 2 × 2 = -1 et D  (d2) ; xA = 3 et D  (d3)
Pour le point E (1 ; 1) : 6  3 – 5 = 13 et E  (d1) ; 3 – 2 × 2 = -1 et E  (d2) ; xA = 3 et E  (d3)
ED6
Exercice 1 : 1) On donne d :
y = Error! x + 3 et d’ : y = 3x – 4
a) Justifier que les droites d et d’ sont sécantes
d a pour coefficient directeur Error! tandis que d’ a pour coefficient directeur 3. Ces 2 droites n’ont pas le même
coefficient directeur et sont donc sécantes.
b) Déterminer algébriquement les coordonnées du point d’intersection des droites d et d’
I(x ; y) ∈ d ∩ d’ ⇔ {𝑦 = Error! 𝑥 + 3
𝑦 = 3𝑥 – 4
On a alors Error! x + 3 = 3x – 4 ⇔ 2x + 9 = 9x – 12
Error! x + 3 = 3x – 4 ⇔ 2x – 9x = - 12 - 9
Error! x + 3 = 3x – 4 ⇔ – 7x = -21
Error! x + 3 = 3x – 4 ⇔ x =
21
7
=3
2
On a alors y = 3 × 3 + 3 = 5 ou encore y = 3 × 3 – 4 = 5
Equations de droites / Exercices en classe - Corrigés
6
Conclusion : I(3 ; 5)
Exercice 2 : Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites D : 2x + y – 1 = 0
et D’ : x = y – 5
On met tout d’abord D et D’ sous la forme d’une équation réduite :
D : y = -2x + 1 et D’ : y = x + 5
D et D’ n’ont pas le même coefficient directeur et se coupent donc en un point I(x ; y)
𝑦 = −2x + 1
𝑦 = 𝑥+5
I(x ; y) ∈ D ∩ D’ ⇔ {
On a alors -2x + 1 = x + 5 ⇔ -2x - x = 5 – 1
Error! x + 3 = 3x – 4 ⇔ -3x = 4
Error! x + 3 = 3x – 4 ⇔ x = -
4
3
4
On a alors y = -2 × (- 3) + 1 =
4
Conclusion : I(- 3 ;
11
3
11
3
4
ou encore y = - 3 + 5 =
11
3
)
Exercice 3 : Dans un repère on donne les droites d1 : 2x – 3y = 0 ; d2 : y = Error! x – 10 ; d3 : y = 2
d4 : x = –1
Déterminer par le calcul les coordonnées des points A, B, C et D
2
La droite d1 a pour équation réduite : y = x
3
Le point A est le point d’intersection des droites d1 et d2
A(x ; y) ∈ d1 ∩ d2 ⇔ {
On a alors
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
𝑦 =
2
3
𝑥
𝑦 = Error! 𝑥 – 10
𝑥 = Error! 𝑥 – 10
2
3
𝑥 = Error! 𝑥 – 10 ⇔ 3 𝑥 - 2 𝑥 = -10
5
𝑥 = Error! 𝑥 – 10 ⇔ - 6 𝑥 = -10
6
𝑥 = Error! 𝑥 – 10 ⇔ 𝑥 = -10 ×(- 5)
𝑥 = Error! 𝑥 – 10 ⇔ 𝑥 = 12
On a donc 𝑦 =
2
3
× 12 = 8 ou encore 𝑦 = Error! × 12 – 10 = 8
Conclusion : A(12 ; 8)
Le point B est le point d’intersection des droites d1 et d3
Equations de droites / Exercices en classe - Corrigés
7
B(x ; y) ∈ d1 ∩ d3 ⇔ {
On a alors
2
3
2
3
𝑦 = 23 𝑥
𝑦 =2
𝑥=2
3
𝑥 = 2 ⇔ 𝑥 =2 × 2 = 3
On vérifie que 𝑦 =
2
3
×3=2
Conclusion : B(3 ; 2)
Le point C est le point d’intersection des droites d2 et d4
C(x ; y) ∈ d2 ∩ d4 ⇔ {𝑦 = Error! 𝑥 – 10
𝑥 = −1
𝑦 = Error! × (-1 ) – 10 = -11,5
Conclusion : C(-1 ; -11,5)
Le point D est le point d’intersection des droites d3 et d4
A(x ; y) ∈ d3 ∩ d4 ⇔ {𝑦 = Error! 𝑥 – 10
𝑦= 2
On a alors 2 = Error! 𝑥 – 10
2 = Error! 𝑥 – 10 ⇔ 4 = 3x -20
2 = Error! 𝑥 – 10 ⇔ 4 + 20 = 3x
2 = Error! 𝑥 – 10 ⇔ 24 = 3x
2 = Error! 𝑥 – 10 ⇔ x = 8
Conclusion : A(8 ; 2)
Equations de droites / Exercices en classe - Corrigés
8