Corrigé de l`examen de Mécanique des fluides appliquée du 19 mai

UNIVERSITE DE LILLE 1 - SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Licence 3 Mécanique - Parcours GM
Corrigé de l’examen de Mécanique des fluides appliquée
du 19 mai 2015
Exercice 1 : Écoulements visqueux
Q1) La force de frottement par unité de surface est donnée par :
τ=µdu
dy =µ(A−2By).
A la paroi la vitesse s’annule, c’est-à-dire pour y= 0 et y=D, avec D= 10−1m. Le gradient transversal
de la vitesse axiale est positif pour y= 0 et négatif pour y=D. Pour calculer la valeur de la force par unité
de surface τ0qui s’applique sur les parois, il faut prendre la valeur absolue de du/dy. La valeur absolue de
τ0est d’ailleurs la même sur chaque paroi, on a :
τ0=µA = 4 ·10−1Pa.
Q2) Pour y=y∗= 2 cm nous avons :
τ=µ(A−2By)|y=y∗= 2.4·10−1Pa.
Q3) La surface totale du tube est :
S=πDL,
où D= 0.1m et L= 3 ·103m. Donc, la force de frottement est :
F=τ0S'377 N.
Exercice 2 : Couche limite
Q1) Le nombre de Reynolds de chaque lame est :
RL=V L
ν= 4 ·104,
avec V= 30 m/s et L= 2 ·10−2m.
La couche limite est donc laminaire.
Q2) Le coefficient de frottement moyen est donné par :
Cx=1.328
√RL
= 6.64 ·10−3.
La force de frottement sur chaque face de la lame est égale à :
F=CxρS V2
2= 14.95 ·10−4N,
1

avec S=L2= 4 ·10−4m2.
Q3) Pour une maille comprenant 4 faces, par conséquent, l’ensemble des forces de frottement est :
Ftot = 4F= 59.8·10−4N.
Q4) Pour un écoulement laminaire stationnaire, le bilan des forces sur un volume parallélépipédique est
donné par :
S∆p=Ftot
soit :
∆p=4F
S= 15 Pa.
Q5) Le même résultat peut aussi être obtenu en écrivant que l’énergie perdue par unité de temps ∆p qv
(où qv=V S est le débit) est égale au travail FtotVde la force pendant le même temps :
∆p qv= 4F V
et, donc :
∆p=4F
S= 15 Pa.
Exercice 3 : Pertes de charge
Q1) Calcul du nombre de Reynolds Re =UD
ν.
Le débit est : qv=50
3600 m3/s = 13.9·10−3m3/s.
Sachant que la vitesse moyenne est U=qv
πD2/4, où Dest le diamètre de la conduite, et que la viscosité
cinématique est ν=µ/ρ, on obtient :
Re =qv
πD2
4
D
µ
ρ
=4qvρ
πDµ = 840.
L’écoulement est donc en régime laminaire (Re < Rec).
Q2) En régime laminaire, le coefficient de perte de charge linéaire en conduite est Λ = 64
Re. D’autre part,
par définition :
Λ = ∆p
ρU2
2
D
L,
où Lest la longueur de la conduite. Donc, on a :
∆p=ρU2
2ΛL D=ρU2 2
64
Re
L
D=32 Dνρ L DU
et, en utilisant l’expression du débit :
∆p= 32µL
D2
qv
πD2
4
=128µLqv
πD4.
2

Avec les valeurs fournies pour les différentes quantités on obtient finalement :
∆p= 113 ·105Pa = 113 bar.
Q3) La puissance nécessaire est :
W=qv∆p=128µLq2
v
πD4.
On peut mettre cette formule sous une forme qui ne contient pas le diamètre, en utilisant qv=πD2U
4:
W= 8πµLU2.
Avec U=4qv
πD2= 1.77 m/s, on a :
W= 157 kW.
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