Théorème d`Inversion Locale

Théorème d’Inversion Locale
Azière Hélène, Forestier Jérôme & Saisnith Viraphone
30 mars 2012
Table des matières
1 Introduction 2
1.1 Problème ........................................... 2
1.2 Exemples ........................................... 2
1.3 Difféomorphisme (ou changement de variables) ...................... 3
2 Le théorème d’inversion locale 4
2.1 Théorème ........................................... 4
2.2 Démonstration ........................................ 4
2.3 Corollaires du théorème d’inversion locale ......................... 6
2.3.1 Théorème des fonctions implicites .......................... 6
2.3.2 Théorème d’inversion globale ............................ 6
3 Applications 7
3.1 Passage en coordonnées polaires ............................... 7
3.2 Exercice ............................................ 7
3.2.1 Énoncé ........................................ 7
3.2.2 Corrigé ........................................ 7
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1 Introduction
1.1 Problème
Étant donnée une équation f(x, y) = 0 (la fonction est implicite), peut-on écrire de façon explicite y
en fonction de xou xen fonction de y?
y=ϕ(x)ou x=ψ(y)
De façon équivalente, est-ce que l’ensemble des solutions S={f(x, y) = 0}est un graphe ?
S={(x, ϕ(x)) |x∈U}ou S={(ψ(y), y)|y∈V}
1.2 Exemples
On considère la fonction f:R2→Rdéfinie
par f(x, y) = x2+y2−r, (x, y)∈R2
Soit S={(x, y)∈R2|f(x, y)=0}
1. si r > 0,S=C((0,0),√r)
2. si r= 0,S= (0,0)
3. si r < 0,S=∅
On considère maintenant le cas r > 0. Soit (x0, y0)∈S.
– Si y0>0
alors y=√r−x2,x∈]−√r, √r[.
S+={(x, √r−x2)|x∈]−√r, √r[} S,
donc Sest, au voisinage de (x0, y0),
"localement" un graphe de la forme
{(x, ϕ(x)) |x∈U}.
−√r√r
y=√r−x2
– Si y0<0
S−={(x, −√r−x2)|x∈]−√r, √r[} S,
donc Sest, au voisinage de (x0, y0),
le graphe de la fonction f:x7→ −√r−x2.
−√r√r
y=−√r−x2
– Si y0=0=⇒x0=√rou x=−√r.
– Si x0=√ralors x=pr−y2
avec y∈]−√r, √r[=⇒ψ(y) = pr−y2.
– Si x0=−√ralors x=−pr−y2
avec y∈]−√r, √r[=⇒ψ(y) = −pr−y2.
Donc Ss’écrit, au voisinage de (±√r, 0) comme
un graphe d’une fonction de la forme x=ψ(y).
−√r
√r
ψ(y) = −pr−y2
ψ(y) = pr−y2
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1.3 Difféomorphisme (ou changement de variables)
Définition 1. Une application f:U→V, avec U∈E,V∈F, où Eet Fsont des espaces vectoriels
normés, est un difféomorphisme de classe Cr,r≥1si
1. fest bijective
2. fet f−1sont de classe Cr
Exemple : Soit fune application de R2dans R2définie par f(x, y) = (ex−ey, x +y).
Afin de déterminer si fest un C1-difféomorphisme, il est nécessaire de calculer la matrice Jacobienne
de f:
Jf(x, y) = ex−ey
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- Il est clair que les dérivées partielles sont continues sur R2
- Pour montrer l’injectivité de f, il faut trouver les couples (x, y)tels que f(x, y) = f(a, b).
Soit : (ex−ey=ea−eb
x+y=a+b⇐⇒ (0 = e2x−ex(ea−eb)−ea+b y=a+b−x(1)
En appliquant le changement de variable X=ex, on obtient l’équation du second degré suivante :
X2−X(ea−eb)−ea+b= 0
Les solutions de cette équation sont : X=−ebet X=ea. Or X > 0, on peut donc conclure qu’il
existe une unique solution à l’équation (1).
On conclut donc que fest injective.
- Enfin det(Jf(x, y)) = ex+ey6= 0. D’où l’inversibilité de la Jacobienne sur R2.
Conclusion : À la fin de ces trois étapes on a le résultat espéré, c’est à dire fest un C1-difféomorphisme.
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2 Le théorème d’inversion locale
2.1 Théorème
Théorème 1. Soient Eet Fdeux espaces de Banach Soit f:U→Fde classe Cr(r>1) et a∈U
Si Df(a)∈Isom(E, F )alors ∃Ua⊂Ucontient atel que :
f|Ua:Ua→f(Ua)soit un difféomorphisme de classe Cr.
2.2 Démonstration
1re étape : Simplification.
On se ramène à : a= 0,f0(a)=0,Df(a) = IdRn
et on remplace fpar :
˜
f:x→[Df(a)]−1(f(x−a)−f(a)) telle que :
(˜
f(0) = 0
D˜ f(0) = [Df(a)]−1◦Df(a) = IdRn
2eétape : "Application du théorème du point fixe pour montrer l’existence de l’inverse".
On a l’équation :
y=˜ f(x)⇔x= (x+y−˜ f(x)) ⇔gy(x) = x
avec gy(x) = x+y−˜ f(x). Donc xest solution de y=˜ f(x)si et seulement si xest un
point fixe de gy.
On va montrer que gyest contractante : calculons
kgy(x)−gy(x0)k=k(x−x0)−(˜ f(x)−˜ f(x0))k
En y= 0, on a g0(x) = x−˜ f(x). En particulier
Dg0(0) = IdRn−D˜ f(0) = IdRn−IdRn= 0.
Comme g0est C1, alors il existe δ > 0tel que :
kxk ≤ δ=⇒ kDg0(x)k ≤ 1
2.
En appliquant l’inégalité des accroissements finis on obtient, pour tout x, x0∈B(0, δ):
kg0(x)−g0(x0)k ≤ 1
2kx−x0k.
Dans le cas général, pour tout yet pour tout x, x0∈B(0, δ), on obtient :
kgy(x)−gy(x0)k=k(x−x0)−(˜ f(x)−˜ f(x0))k=kg0(x)−g0(x0)k
≤1
2kx−x0k.
En particulier, kgy(x)−gy(0)k=kgy(x)−yk ≤ 1
2kxk,∀x∈B(0, δ)
=⇒ kgy(x)k ≤ kyk+1
2kxk≤kyk+δ 2si kyk ≤ δ 2
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gy:B(0, δ)−→ B(0, δ)est contractante sur l’espace complet B(0, δ)
x7−→ gy(x) = x+y−˜ f(x)
D’après le théorème du point fixe, ∃!x∈B(0, δ)tel que gy(x) = x⇔ ∃!x∈B(0, δ)tel que
y=˜ f(x)
En résumé, pour tout y∈B(0,δ
2), il existe un unique x∈B(0, δ)tel que y=˜
f(x)c’est à
dire que : ˜
f:B(0, δ)−→ B(0, δ/2) ∩˜ f−1(B(0, δ/2)) est bijective.
3eétape : Continuité de l’inverse.
Soient y1, y2∈B(0,δ
2), alors il existe x1, x2∈B(0, δ)tels que
˜
f−1(y1) = x1et ˜ f−1(y2) = x2
k˜ f−1(y1)−˜ f−1(y2)k=kx1−x2k≤k˜ f(x1)−˜ f(x2)k+kg0(x1)−g0(x2)k
≤ k˜ f(x1)−˜ f(x2)k+1
2kx1−x2k.
On en déduit que kx1−x2k ≤ 2k˜ f(x1−˜ f(x2)k
Et en inversant ˜ fon obtient : k˜ f−1(y1)−˜ f−1(y2)k ≤ 2ky1−y2k
Ce qui permet de conclure que ˜ f−1est bien continue.
4eétape : Différentiabilité de ˜ f.
Soit y0∈B(0,δ
2). Posons ∆ = k˜
f−1(y)−˜ f−1(y0)−D˜ f−1(y0)(y−y0)k
ky−y0k
Quitte à prendre un δ > 0plus petit, on peut supposer que pour tout x∈B(0, δ),[D˜ f(x)]−1
existe.
∆ = kx−x0−[D˜
f(x0)]−1(˜ f(x)−˜ f(x0))k
k˜ f(x)−˜ f(x0)k
=kx−x0k
k˜ f(x)−˜ f(x0)k×k[D˜
f(x0)]−1(x−x0)−˜ f(x)−˜ f(x0)k
kx−x0k
≤kx−x0k
k˜ f(x)−˜ f(x0)k× k[D˜
f(x0)]−1k × k[D˜
f(x0)](x−x0)−˜ f(x)−˜ f(x0)k
kx−x0k
Dans cette équation on a : kx−x0k
k˜ f(x)−˜ f(x0)k≤2et k[D˜
f(x0)]−1k ≤ M
De plus, ˜ fest différentiable, d’où : k[D˜
f(x0)](x−x0)−˜ f(x)−˜ f(x0)k
kx−x0ktend vers 0quand
xtend vers x0.
En conclusion, l’application x7−→ [D˜ f(x0)]−1est continue, ce qui implique qu’il existe
M≥0tel que k[D˜ f(x)]−1k ≤ M, ∀x∈B(0, δ)
5eétape : ˜ fest de classe Cr.
D˜ f−1(g)=[D˜ f(˜ f−1(y))]−1=⇒D˜ f−1=Inv ◦D˜ f◦˜ f−1.
Comme ˜ fest de classe Cr,Inv est de classe C+∞et ˜ f−1différentiable =⇒D˜ fest continue
=⇒˜ f−1est de classe Cr=⇒ ··· =⇒˜ f−1est de classe Cr.
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