1 Introduction
1.1 Problème
Étant donnée une équation f(x, y) = 0 (la fonction est implicite), peut-on écrire de façon explicite y
en fonction de xou xen fonction de y?
y=ϕ(x)ou x=ψ(y)
De façon équivalente, est-ce que l’ensemble des solutions S={f(x, y) = 0}est un graphe ?
S={(x, ϕ(x)) |x∈U}ou S={(ψ(y), y)|y∈V}
1.2 Exemples
On considère la fonction f:R2→Rdéfinie
par f(x, y) = x2+y2−r, (x, y)∈R2
Soit S={(x, y)∈R2|f(x, y)=0}
1. si r > 0,S=C((0,0),√r)
2. si r= 0,S= (0,0)
3. si r < 0,S=∅
On considère maintenant le cas r > 0. Soit (x0, y0)∈S.
– Si y0>0
alors y=√r−x2,x∈]−√r, √r[.
S+={(x, √r−x2)|x∈]−√r, √r[} S,
donc Sest, au voisinage de (x0, y0),
"localement" un graphe de la forme
{(x, ϕ(x)) |x∈U}.
−√r√r
y=√r−x2
– Si y0<0
S−={(x, −√r−x2)|x∈]−√r, √r[} S,
donc Sest, au voisinage de (x0, y0),
le graphe de la fonction f:x7→ −√r−x2.
−√r√r
y=−√r−x2
– Si y0=0=⇒x0=√rou x=−√r.
– Si x0=√ralors x=pr−y2
avec y∈]−√r, √r[=⇒ψ(y) = pr−y2.
– Si x0=−√ralors x=−pr−y2
avec y∈]−√r, √r[=⇒ψ(y) = −pr−y2.
Donc Ss’écrit, au voisinage de (±√r, 0) comme
un graphe d’une fonction de la forme x=ψ(y).
−√r
√r
ψ(y) = −pr−y2
ψ(y) = pr−y2
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