CORRIGES DES EXERCICES

CORRIGES DES EXERCICES
H
En utilisant la définition, démontrer que : si a divise b, alors a 2 divise b 2.
Si a divise b, alors il existe un entier q tel que b = a×q. Par suite, b2 = a2×q2 et comme q2 est un
entier, ce ci prouve que a 2 divise b 2.
I
VRAI OU FAUX ? Si a|b et c|b alors ac|b.
C'est faux ! Pour justifier, il suffit d'exhiber un contre-exemple :
4|36 et 6|36 mais 4×6 = 24 ne divise pas 36.
J
Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 7 n − 3 n est divisible par 4.
On peut utiliser une identité remarquable :
• Pour n entier supérieur ou égal à 2 :
7 n − 3 n = (7 – 3)(7n−1 + 7n−2×3 + … + 7×3n−2 + 3n−1) = 4×(7n−1 + 7n−2×3 + … + 7×3n−2 + 3n−1)
entier
donc 7 n − 3 n est divisible par 4.
• Pour n = 1 : 7 n − 3 n = 7 – 3 = 4 qui est bien divisible par 4.
• Pour n = 0 : 7 n − 3 n = 1 – 1 = 0 qui est bien divisible par 4.
Dans tous les cas, 7 n − 3 n est divisible par 4.
1)
Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4.
Deux nombres impairs consécutifs peuvent s'écrire 2n + 1 et 2n + 3 (pensez aussi à 2n – 1 et 2n + 1)
2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4 = 4(n + 1). Puisque n + 1 est un entier, ceci prouve que la somme est
divisible par 4.
1!
Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 5n + 9 et 2n + 3, il ne peut prendre que
deux valeurs que l’on précisera.
Si un entier naturel d divise à la fois 5n + 9 et 2n + 3, alors d divise toute combinaison linéaire à
coefficients entiers de ces deux nombres, donc d divise, entre autres :
2(5n + 9) – 5(2n + 3) = 10n + 18 – 10n – 15 = 3.
3 n’a que deux diviseurs positifs : 1 et 3 donc d ne peut prendre que ces deux valeurs.
1@
Comment choisir l’entier naturel n pour que n divise n + 8 ?
Si n divise n + 8, étant donné qu’il divise aussi n, alors il divise toute combinaison linéaire à
coefficients entiers de ces deux nombres ; entre autres n divise 1(n + 8) – 8n = 8.
Réciproquement, si n divise 8, sachant qu’il divise aussi n, alors n divise leur somme : n + 8.
Bilan : n | n + 8 ⇔ n | 8. Il y a donc quatre valeurs possibles pour n : 1, 2, 4 et 8.
1#
Déterminer les entiers relatifs n tels que n – 4 divise n + 2.
Si n – 4 divise n + 2, étant donné qu’il divise aussi n – 4, alors il divise la différence de ces deux
nombres : (n + 2) – (n – 4) = 6.
Réciproquement, si n – 4 divise 6, sachant qu’il divise n – 4, alors n divise la somme de ces deux
nombres : 6 + n – 4 = n + 2.
Bilan : n – 4 | n + 2 ⇔ n – 4 | 6 ⇔ n – 4 ∈ {−6 ; −3 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6}
n – 4 | n + 2 ⇔ n ∈ {−2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10}
1$
Quelles sont les valeurs que peut prendre un diviseur relatif commun à 5n – 3 et 2n – 3, où n
désigne un entier relatif ?
Tout diviseur d commun à 5n – 3 et 2n – 3 divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers
de ces deux nombres, donc d divise, entre autres : 2(5n – 3) – 5(2n – 3) = 10n – 6 – 10n + 15 = 9.
d ne peut donc prendre que 6 valeurs : −9, −3, −1, 1, 3 et 9.
ARITHMÉTIQUE
1
P.G. 2007/2008
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1%
Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 2n2 +7n + 3 est divisible par 2n + 1.
On peut déterminer deux réels a et b tels que ∀x∈R 2x2 +7x + 3 = (2x + 1)(ax + b).
Pour tout réel x, on a : (2x + 1)(ax + b) = 2ax2 + 2bx + ax + b = 2ax2 + (2b + a)x + b.
 2a = 2
a = 1
a = 1


Par identification, 2b + a = 7 ⇔ 6 + 1 = 7 ⇔ 
d’où 2n2 +7n + 3 = (2n + 1)(n + 3).
=
3
b

b = 3
b = 3


n + 3 est un entier puisque n est entier ; cela prouve que 2n2 + 7n + 3 est divisible par 2n + 1.
2@
Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, le nombre n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6.
On procède par disjonction des cas, en remarquant qu’un entier, dans la division par 6, a six restes
possibles : 0, 1, 2, 3, 4 et 5 d’où six cas :
• ou bien n = 6q,
alors n(n + 1)(n + 5) = 6q(n + 1)(n + 5) et comme q(n + 1)(n + 5) est un entier, n(n + 1)(n + 5)
est bien divisible par 6
• ou bien n = 6q + 1,
alors n(n + 1)(n + 5) = n(n + 1)(6q + 1 + 5) = n(n + 1)(6q + 6) = 6n(n + 1)(q + 1) et comme
n(n + 1)(q + 1) est un entier, n(n + 1)(n + 5) est bien divisible par 6
• ou bien n = 6q + 2, alors
n(n + 1)(n + 5) = (6q + 2)(6q + 2 + 1)(n + 5) = (6q + 2)(6q + 3)(n + 5) = 6(3q + 1)(2q + 1)(n +
5) et comme (3q + 1)(2q + 1)(n + 5) est un entier, n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6
• ou bien n = 6q + 3, alors
n(n + 1)(n + 5) = (6q + 3)(6q + 3 + 1)(n + 5) = (6q + 2)(6q + 4)(n + 5) = 6(3q + 1)(3q + 2)(n + 5)
et comme (3q + 1)(3q + 2)(n + 5) est un entier, n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6
• ou bien n = 6q + 4, alors
n(n + 1)(n + 5) = (6q + 4)(n + 1)(6q + 4 + 5) = (6q + 4)(n + 1)(6q + 9) = 6(3q + 2)(n + 1)(2q + 3)
et comme (3q + 2)(n + 1)(2q + 3) est un entier, n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6
• ou bien n = 6q + 5, alors
n(n + 1)(n + 5) = n(6q + 5 + 1)(n + 5) = n(6q + 6)(n + 5) = 6n(q + 1)(n + 5)
et
comme
n(q + 1)(n + 5) est un entier, n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6
Bilan : dans tous les cas, n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6.
2#
x et y désignent des entiers naturels avec x > y.
a. Démontrer que si x 2 y − xy 2 = 6, alors xy et x − y divisent 6.
Il suffit de remarquer que x 2 y − xy 2 = 6 s’écrit aussi xy(x − y) = 6.
Puisque x – y est entier, xy divise 6 et puisque xy est entier, x – y divise 6.
b. Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x 2 y − xy 2 = 6.
x, y et x – y étant entiers naturels,
 xy = 1
 xy = 2
 xy = 3
 xy = 6
xy ( x − y ) = 6 ⇔ 
ou 
ou 
ou 
x − y = 6 x − y = 3 x − y = 2 x − y = 1
( y + 6) y = 1 ( y + 3) y = 2 ( y + 2) y = 3 ( y + 1) y = 6
xy ( x − y ) = 6 ⇔ 
ou 
ou 
ou 
x = y + 6
x = y + 3
x = y + 2
x = y +1
L’égalité (y + 6)y = 1 est impossible car y > 0 donc y + 6 > 6 et ne peut donc diviser 1.
L’égalité (y + 3)y = 2 est impossible car y + 3 > 3 et ne peut donc diviser 2.
Il reste finalement :
y =1 y = 2
xy ( x − y ) = 6 ⇔ 
ou 
x = 3 x = 3
ARITHMÉTIQUE
2
P.G. 2007/2008
CORRIGES DES EXERCICES
2$
Montrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, le nombre 3 n+3 – 4 4n+2 est divisible par 11.
Initialisation : La propriété 11 divise 3n+3 − 44n+2 est vraie pour n = 0 car 30+3 − 44×0+2 = 11,
11 divise bien 30+3 − 44×0+2.
Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque.
Commençons par remarquer que :
3(n+1)+3 − 44(n+1)+2 = 3n+3×31 − 44n+2×44 = 3n+3×3 − 44n+2×256 = 3n+3×3 − 44n+2×(253+3) donc
3(n+1)+3 − 44(n+1)+2 = (3n+3 − 44n+2)×3 − 44n+2×253
Si 11 divise 3n+3 − 44n+2, alors 11 divise (3n+3 − 44n+2)×3 − 44n+2×253
comme combinaison linéaire à coefficients entiers de nombres divisibles par 11.
donc 11 divise 3(n+1)+3 − 44(n+1)+2.
Conclusion : La propriété 11 divise 3n+3 − 44n+2 est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de n =
0. Le principe de récurrence permet d’affirmer qu’elle est vraie pour tout entier n à partir de 0.
2%
1. Établir, par récurrence que :
a. pour tout entier naturel n, n 3 – n est un multiple de 3.
Initialisation : La propriété 3 divise n 3 – n est vraie pour n = 0 car 03 − 0 = 0,
3 divise bien 03 − 0.
Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque.
Commençons par remarquer que :
(n+1)3 – (n+1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 – n – 1 = n3 – n + 3n2 + 3n = (n3 – n) + 3(n2 + n)
Si 3 divise n 3 – n, alors 3 divise (n3 – n) + 3(n2 + n) comme somme de nombres
divisibles par 3, donc 3 divise (n+1)3 – (n+1).
Conclusion : La propriété 3 divise n 3 – n est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de
n = 0. Le principe de récurrence permet d’affirmer qu’elle est vraie pour tout entier n à
partir de 0.
b. pour tout entier naturel n, n 7 – n est un multiple de 7.
Initialisation : La propriété 7 divise n 7 – n est vraie pour n = 0 car 07 − 0 = 0,
7 divise bien 07 − 0.
Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque.
Commençons par remarquer que :
(n+1)7 – (n+1) = n7 + 7n6 + 21n5 + 35n4 + 35n3 + 21n2 + 7n + 1 – n – 1
(n+1)7 – (n+1) = (n7 – n) + 7(n6 + 3n5 + 5n4 + 5n3 + 3n2 + n)
Si 7 divise n 7 – n, alors 7 divise (n7 – n) + 7(n6 + 3n5 + 5n4 + 5n3 + 3n2 + n) comme
somme de nombres divisibles par 7, donc 7 divise (n+1)7 – (n+1).
Conclusion : La propriété 7 divise n 7 – n est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de
n = 0. Le principe de récurrence permet d’affirmer qu’elle est vraie pour tout entier n à
partir de 0.
2. Est-ce que, pour tout entier naturel n, n 4 – n est un multiple de 4 ?
Non puisque, pour n = 2, n4 – n = 16 – 2 = 14 qui n’est pas divisible par 4.
ARITHMÉTIQUE
3
P.G. 2007/2008
CORRIGES DES EXERCICES
2^
On se propose de démontrer que
2 est irrationnel.
Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que
2=
p
p
avec
fraction irréductible.
q
q
a. Montrer que p2 = 2q2 ; en déduire que p est pair.
p2
p
alors 2 = 2 d’où p 2 = 2q 2 . q étant un entier, 2q2 est divisible par 2 c'est-à-dire
q
q
2
pair donc p est pair et comme un nombre et son carré sont de même parité, p est pair.
Si
2=
b. En déduire alors que q est pair, puis conclure.
Puisque p est pair, il existe un entier k tel que p = 2k d’où (2k )2 = 2q 2 , c'est-à-dire 4k 2 = 2q 2 .
En simplifiant par 2 : q 2 = 2k 2 . On en déduit, de la même manière qu’au a. que q est pair.
p
serait
C’est là que réside l’impossibilité : p et q étant tous les deux pairs, la fraction
q
simplifiable par 2, ce qui est contraire à l’hypothèse :
L’hypothèse
2=
p
fraction irréductible.
q
p
p
avec
fraction irréductible est donc fausse.
q
q
2 est irrationnel.
3$
On note q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. Déterminer q sachant
que q et r ne changent pas lorsqu'on augmente a de 52 et b de 4
 a = bq + r
0 £ r < b

La dernière condition est forcément vérifiée dès que la seconde l’est.

 a + 52 = (b + 4)q + r
0 £ r < b + 4
a = bq + r
a = bq + r
a = bq + r
a = bq + r




⇔ 0 £ r < b
⇔ 0 £ r < b ⇔ 0 £ r < b
0 £ r < b
a + 52 = (b + 4)q + r
bq + r + 52 = bq + 4q + r
52 = 4q
13 = q




q est donc égal à 13.
3%
Déterminer les entiers a et b dont la différence est 538, et tels que le quotient et le reste de la
division euclidienne de a par b sont respectivement 13 et 22.
a − b = 538
a = b + 538
 a = b + 538
 a = 581




a = b × 13 + 22 ⇔ b + 538 = 13b + 22 ⇔ 516 = 12b ⇔  43 = b
0 £ 22 < b
22 < b
 22 < b
 22 < 43




Les entiers cherchés sont donc 581 et 43.
3^
Montrer que, si l'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division euclidienne par un même
naturel k non nul, le quotient est inchangé et le reste est multiplié par k.
 a = bq + r
. En multipliant les deux membres par un entier k strictement positif, il vient :

0 £ r < b
 ka = kb × q + kr
ce qui prouve que dans la division de ka par kb, le quotient est q (il n’a donc pas

0 £ kr < kb
changé) et le reste est kr (il a donc été multiplié par k).
ARITHMÉTIQUE
4
P.G. 2007/2008
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3&
On désigne par a un entier naturel non nul.
Montrer que le reste de la division euclidienne de [a2 + (a – 1)2]2 par 4a2 est (2a – 1)2.
2
 a 2 + (a − 1) 2  − (2a − 1) 2 =  a 2 + (a − 1)2 + (2a − 1)   a 2 + (a − 1)2 − (2a − 1) 





2
(
)
 a 2 + (a − 1)2  − (2a − 1) 2 = 2a 2 × 2a 2 − 4a + 2 = 2a 2 × 2 ( a − 1)2 = 4a 2 × ( a − 1)2 donc


2
 a 2 + (a − 1)2  = 4a 2 × ( a − 1)2 + (2a − 1) 2


Il ne reste plus qu’à remarquer que puisque a ≥ 1, 2a – 1 ≥ 1 ≥ 0 et comme on a 2a – 1 < 2a,
0 ≤ 2a – 1 < 2a donc 0 ≤ (2a – 1)2 < 4a2. Ceci prouve que dans la division euclidienne de
2
 a 2 + (a − 1) 2  par 4a 2 , le quotient est ( a − 1)2 et le reste (2a − 1)2 .


3*
On sait que 5n + 7 = 5(n + 1) + 2.
Peut-on en déduire que 2 est le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par 5 ?
On sait que 0 ≤ 2 < 5 donc 2 est bien le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par 5.
Peut-on en déduire que 2 est le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par n + 1 ?
Malheureusement, si n = 0 ou n = 1 on n’a pas 2 < n + 1. Dans ces deux cas, 2 ne peut pas être le
reste.
3(
a et b sont deux entiers naturels. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient n’est pas nul.
Montrer que a est supérieur au double du reste.
 a = bq + r
Puisque le quotient n’est pas nul, q ≥ 1 donc bq ≥ b et par suite bq + r ≥ b + r et

0 £ r < b
comme r < b, r + r < b + r c'est-à-dire 2r < b + r d’où bq + r > 2r, c'est-à-dire a > 2r.
4&
Soit n un entier naturel.
a. Trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de 5n par 13.
Pour n = 0 :
50 = 1.
50 ≡ 1 [13]
Le reste est 1.
1
1
Pour n = 1 :
5 = 5.
5 ≡ 5 [13]
Le reste est 5.
Pour n = 2 :
52 = 25.
52 ≡ 12 [13] Le reste est 12.
53 ≡ −5 [13]
53 ≡ 8 [13]
Pour n = 3 :
puisque 52 ≡ −1 [13],
3
4
Pour n = 4 :
puisque 5 ≡ −5 [13],
5 ≡ −25 [13] 54 ≡ 1 [13]
Le reste est 8.
Le reste est 1.
On retrouve le premier reste obtenu. Montrons que la suite des restes est périodique de période 4.
∀n∈N 5n+ 4 = 5n × 54 or 54 ≡ 1 [13] donc 5n+4 ≡ 5n [13] ce qui prouve que 5n+4 et 5n ont
le même reste dans la division par 13. La suite des restes est bien périodique de période 4.
Il ne reste plus qu’à exploiter cette périodicité : un entier n s’écrivant ou bien 4q, ou bien
4q + 1 ou bien 4q + 2, ou bien 4q + 3, on a
• si n = 4q, alors le reste est le même que celui de 50, c'est-à-dire 1.
• si n = 4q + 1, alors le reste est le même que celui de 51, c'est-à-dire 5.
• si n = 4q + 2, alors le reste est le même que celui de 52, c'est-à-dire 12.
• si n = 4q + 3, alors le reste est le même que celui de 53, c'est-à-dire 8.
b. En déduire que 19811981 − 5 est divisible par 13.
Commençons par effectuer la division euclidienne de 1981 par 13 : 1981 = 13×152 + 5.
On a donc 1981 ≡ 5 [13] d’où 19811981 ≡ 51981 [13]
Il ne reste plus qu’à utiliser le résultat du a. en cherchant si 1981 est de la forme 4q, 4q + 1,
4q + 2 ou 4q + 3.
Nous allons donc diviser 1981 par 4 : 1981 = 4×495 + 1.
Le reste de la division de 51981 par 13 est donc 5. 51981 ≡ 5 [13].
Par suite, 19811981 ≡ 5 [13], d’où 19811981 – 5 ≡ 0 [13], c'est-à-dire que 19811981 − 5 est
divisible par 13.
ARITHMÉTIQUE
5
P.G. 2007/2008
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c. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 184n−1
est divisible par 13.
Remarquons tout d’abord que 31 ≡ 5 [13] et 18 ≡ 5 [13].
314 n+1 ≡ 54 n+1 ≡ 5 [13] d’après le a. et 184 n−1 ≡ 54 n−1 [13]
En utilisant la périodicité, 54 n−1 ≡ 54 n−1+4 [13], d’où 54 n−1 ≡ 54 n+3 ≡ 8 [13]
Par suite, 314n+1 + 184n−1 ≡ 5 + 8 ≡ 13 ≡ 0 [13], ce qui prouve que N est divisible par 13.
4*
a. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel n le reste de la division de 3n par 7.
Pour n = 0 :
Pour n = 1 :
Pour n = 2 :
Pour n = 3 :
Pour n = 4 :
Pour n = 5 :
Pour n = 6 :
30 = 1.
30 ≡ 1 [7]
1
3 = 3.
31 ≡ 3 [7]
2
3 = 9.
32 ≡ 2 [7]
33 = 27.
33 ≡ 6 [7]
3
puisque 3 ≡ −1 [7],
puisque 34 ≡ 4 [7],
puisque 35 ≡ 5 [7],
Le reste est 1.
Le reste est 3.
Le reste est 2.
Le reste est 6.
34 ≡ −3 [7]
35 ≡ 12 [7]
36 ≡ 15 [7]
34 ≡ 4 [7]
35 ≡ 5 [7]
36 ≡ 1 [7]
Le reste est 4.
Le reste est 5.
Le reste est 1.
On retrouve le premier reste obtenu. Montrons que la suite des restes est périodique de période 6.
∀n∈N 3n+ 6 = 3n × 36 or 36 ≡ 1 [7] donc 3n+6 ≡ 3n [7] ce qui prouve que 3n+6 et 3n ont le
même reste dans la division par 7. La suite des restes est bien périodique de période 6.
•
•
•
•
•
•
si n = 6q, alors le reste est le même que celui de 30, c'est-à-dire 1.
si n = 6q + 1, alors le reste est le même que celui de 31, c'est-à-dire 3.
si n = 6q + 2, alors le reste est le même que celui de 32, c'est-à-dire 2.
si n = 6q + 3, alors le reste est le même que celui de 33, c'est-à-dire 6.
si n = 6q + 4, alors le reste est le même que celui de 34, c'est-à-dire 4.
si n = 6q + 5, alors le reste est le même que celui de 35, c'est-à-dire 5.
b. Déterminer le reste de la division par 7 du nombre A = 2243325 + 1179154.
2243 = 7×320 + 3 et 1179 = 7×168 + 3 donc 2243 ≡ 3 [7] et 1179 ≡ 3 [7] d’où
2243325 ≡ 3325 [7] or 325 = 6×54 + 1 d’où 2243325 ≡ 3325 ≡ 3 [7] d’après le a.
1179325 ≡ 3325 [7] d’où 1179325 ≡ 3 [7].
A ≡ 3 + 3 [7]. Le reste de la division par 7 de A est donc 6.
4(
a. Déterminer les restes de la division par 13 des différentes puissances de 3 à exposants entiers
naturels.
Pour n = 0 :
Pour n = 1 :
Pour n = 2 :
Pour n = 3 :
30 = 1.
31 = 3.
32 = 9.
33 = 27.
30 ≡ 1
31 ≡ 3
32 ≡ 9
33 ≡ 1
[13]
[13]
[13]
[13]
Le reste est 1.
Le reste est 3.
Le reste est 9.
Le reste est 1.
On retrouve le premier reste obtenu. Montrons que la suite des restes est périodique de période 3.
∀n∈N 3n+3 = 3n × 33 or 33 ≡ 1 [13] donc 3n+3 ≡ 3n [13] ce qui prouve que 3n+3 et 3n ont
le même reste dans la division par 13. La suite des restes est bien périodique de période 3.
• si n = 3q, alors le reste est le même que celui de 30, c'est-à-dire 1.
• si n = 3q + 1, alors le reste est le même que celui de 31, c'est-à-dire 3.
• si n = 3q + 2, alors le reste est le même que celui de 32, c'est-à-dire 9.
b. Déterminer les entiers naturels n tels que An = 3n + 32n + 33n soit divisible par 13.
Commençons par remarquer que 32n = (3n)2 et que 33n = (3n)3.
• si n = 3q, alors 3n ≡ 1 [13], 32n ≡ 12 ≡ 1 [13] et 33n ≡ 13 ≡ 1 [13] donc A ≡ 3 [13].
Le reste de la division de A par 13 est 3. A n’est pas divisible par 13.
• si n = 3q+1, alors 3n ≡ 3 [13], 32n ≡ 32 ≡ 9 [13] et 33n ≡ 33 ≡ 27 ≡ 1 [13]
donc A ≡ 13 ≡ 0 [13]. Le reste de la division de A par 13 est 0. A est divisible par 13.
ARITHMÉTIQUE
6
P.G. 2007/2008
CORRIGES DES EXERCICES
• si n = 3q + 2, alors 3n ≡ 9 [13], 32n ≡ 92 ≡ 81 ≡ 3 [13] et 33n ≡ 27 ≡ 1 [13]
donc A ≡ 13 ≡ 0 [13]. Le reste de la division de A par 13 est 0. A est divisible par 13.
Finalement, A est divisible par 13 si n n’est pas multiple de 3.
5)
Soit x un entier relatif.
a. Déterminer le reste de la division euclidienne de x3 par 9, en discutant suivant les valeurs de x.
• ou bien x = 3q, alors x3 = 27q3 = 9×3q3. Le reste est 0.
• ou bien x = 3q + 1, alors x3 = 27q3 + 27q2 + 9q + 1= 9×(3q3+3q2+q) + 1. Le reste est 1.
• ou bien x = 3q + 2, alors x3 = 27q3 + 54q2 + 36q + 8= 9×(3q3+6q2+4q) + 8. Le reste est 8.
En déduire que, pour tout entier relatif x, on a :
x3 ≡ 0 [9] ⇔ x ≡ 0 [3], x3 ≡ 1 [9] ⇔ x ≡ 1 [3] et x3 ≡ 8 [9] ⇔ x ≡ 2 [3].
Evident d’après ce qui précède puisqu’on a effectué une étude exhaustive.
b. On considère trois entiers relatifs x, y et z tels que x3 + y3 + z3 soit divisible par 9. Démontrer que
l’un des nombres x, y et z est divisible par 3.
On peut procéder par contraposition : si aucun des nombres x, y, z n’est divisible par 3, alors
les cubes de ces trois nombres sont congrus soit à 1, soit à 8 modulo 9.
Aucune des sommes 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 8, 1 + 8 + 8 et 8 + 8 + 8 n’est divisible par 9 donc
x3 + y3 + z3 n’est pas divisible par 9.
5%
Le nombre 257 est-il premier ?
Pour le savoir, on divise 257 par les nombres premiers inférieurs ou égaux à 257 ≈ 16,03 :
257 n’est pas divisible par 2 puisqu’il est impair
257 n’est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres : 2 + 5 + 7 = 14 ne l’est pas
257 n’est pas divisible par 5 car il n’est terminé, ni par 0, ni par 5
257 n’est pas divisible par 7 car 257 = 7×36 + 5
257 n’est pas divisible par 11 car 257 = 11×23 + 4
257 n’est pas divisible par 13 car 257 = 13×19 + 10
Puisqu’il n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à 257 ≈ 16,03 ,
257 est un nombre premier.
Même question pour 319.
Pour le savoir, on divise 319 par les nombres premiers inférieurs ou égaux à 319 ≈ 17,86 :
319 n’est pas divisible par 2 puisqu’il est impair
319 n’est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres : 3 + 1 + 9 = 13 ne l’est pas
319 n’est pas divisible par 5 car il n’est terminé, ni par 0, ni par 5
319 n’est pas divisible par 7 car 319 = 7×45 + 4
319 est divisible par 11 car 319 = 11×29
Puisqu’il est divisible par un autre nombre positif que 1 et lui-même, 319 n’est pas premier.
5^
Décomposer 300 en facteurs premiers. Même question avec 2007.
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
5
2007
669
223
1
300 = 22×31×52
ARITHMÉTIQUE
et
7
3
3
223
2007 = 32×2231.
P.G. 2007/2008
CORRIGES DES EXERCICES
5&
Déterminer le nombre de diviseurs positifs du nombre 675.
On décompose tout d’abord 675 en facteurs premiers : 675 = 33×52.
Par suite, 675 a exactement (3+1)×(2+1) = 12 diviseurs positifs.
6&
Déterminer le PGCD de 1750 et 1960 après avoir décomposé ces deux nombres en facteurs
premiers.
1750 = 21×53×71 et 1960 = 23×51×72 donc PGCD(1750 ; 1960) = 21×51×71 = 70
6*
n désigne un entier naturel non nul. Si le PGCD de n et de 5 est 3, déterminer le PGCD de 2n2 et
10n.
Il est impossible que le PGCD de n et 5 soit 3 puisque 3 ne divise pas 5 !
C’était un piège du P..F S…..E B…U !
6(
Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour
5x + y et 9x + 2y.
Soit d un diviseur positif commun à 5x + y et 9x + 2y.
d divise donc 2×(5x + y) − 1×(9x + 2y) = x et −9×(5x + y) + 5×(9x + 2y) = y.
Si x et y sont premiers entre eux, leur seul diviseur positif commun est 1, donc d = 1.
Puisque d ne peut prendre que la valeur 1, 5x + y et 9x + 2y sont premiers entre eux.
7)
n désigne un entier naturel.
a. Montrer que PGCD(n2 + 5n + 7 ; n + 1) = PGCD(n + 1 ; 3).
Il suffit de montrer qu’il existe deux entiers a et b tels que n2 + 5n + 7 = (n + 1)(an + b) + 3.
∀n∈N (n + 1)(an + b) + 3 = an 2 + bn + an + b + 3 = an 2 + (b + a)n + (b + 3)
a = 1
a = 1
a = 1


Par identification, b + a = 5 ⇔ b = 4
⇔ 
b = 4


b + 3 = 7
4 + 3 = 7
∀n∈N n 2 + 5n + 7 = (n + 1)(n + 4) + 3
On utilise ensuite le théorème : si quatre entiers a, b, c et d vérifient a = b×c + d,
alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; d)
Puisque ∀n∈N n 2 + 5n + 7 = (n + 1)( n + 4) + 3 , PGCD(n2 + 5n + 7 ; n + 1) = PGCD(n + 1 ; 3).
b. En déduire les entiers n pour lesquels n2 + 5n + 7 et n + 1 sont premiers entre eux.
n2 + 5n + 7 et n + 1 sont premiers entre eux ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
PGCD(n2 + 5n + 7 ; n + 1) = 1
PGCD(n + 1 ; 3) = 1
n + 1 et 3 premiers entre eux
n + 1 non divisible par 3
n + 1 ≡ 1 [3] ou n + 1 ≡ 2 [3]
n ≡ 0 [3] ou n ≡ 1 [3]
Les solutions sont donc les entiers de la forme : 3q ou 3q + 1 (q∈N)
ARITHMÉTIQUE
8
P.G. 2007/2008
CORRIGES DES EXERCICES
8$
Partie A – Question de cours
1. Enoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
Théorème de Bézout : Deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si : il existe deux
entiers u et v tels que au + bv = 1.
Théorème de Gauss : Soit a, b et c trois entiers. Si l’entier a divise le produit bc et est premier
avec b, alors a divise c.
2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Si a est premier avec b, alors, d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que
au + bv = 1. En multipliant par c, on a : auc + bcv = c.
a divise bc par hypothèse et a divise a (tout entier non nul se divise lui-même et a n’est pas nul
puisqu’il divise bc).
Par théorème, a divise donc toute combinaison linéaire à coefficients entiers de ces deux nombres.
Entre autres, a divise donc auc + bcv, c'est-à-dire c.
Partie B
 n ≡ 13 (19)
Il s'agit de résoudre dans ! le système (S) 
.
 n ≡ 6 (12)
1. Démontrer qu'il existe un couple (u ; v) d'entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple).
19 et 12 étant premiers entre eux, d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs u et
v tels que 19u + 12v = 1.
Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13×12v + 6×19u est une solution de (S).
N = 13×12v + 6×19u = 13×(1 − 19u) + 6×19u = 13 + 19×(6u − 13u) = 13 − 19×7u.
19 ≡ 0 (19) donc 19×7u ≡ 0 (19) et N ≡ 13 (19).
De même, N = 13×12v + 6×19u = 13×12v + 6×(1 − 12v) = 6 + 12×(13v − 6v) = 6 + 12×7v.
12 ≡ 0 (12) donc 12×7v ≡ 0 (12) et N ≡ 6 (12).
n ≡ n0 (19)
.
2. a. Soit n0 une solution de (S). Vérifier que le système (S) équivaut à : 
n ≡ n0 (12)
n0 ≡ 13 (19)
n ≡ n0 (19)
n ≡ 13 (19)
donc 
Comme n0 est solution de (S), 
⇔ 
n ≡ 6 (12)
n0 ≡ 6 (12)
n ≡ n0 (12)
n ≡ n0 (19)
équivaut à : n ≡ n0 (12 × 19) .
b. Démontrer que le système 
n ≡ n0 (12)
n ≡ n0 (19)
, alors n − n0 est divisible par 12 et par 19. Puisque 12 et 19 sont premiers
• Si 
n ≡ n0 (12)
entre eux, n − n0 est divisible par 12×19 donc n ≡ n0 (12 × 19) .
• Réciproquement, si n ≡ n0 (12 × 19) , alors
3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l'équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N
correspondante.
On peut appliquer l’algorithme d’Euclide :
19 = 12×1 + 7 d’où : 7 = 19 − 12
12 = 7×1 + 5 d’où : 5 = 12 − 7 = 12 − (19 − 12) = 12×2 − 19
7 = 5×1 + 2
d’où : 2 = 7 − 5 = 19 − 12 − (12×2 − 19) = 19×2 − 12×3
5 = 2×2 + 1
d’où : 1 = 5 − 2×2 = 12×2 − 19 − 2×(19×2 − 12×3) = 19×(−5) + 12×8
Une solution est donc le couple : (u ; v) = (−5 ; 8).
ARITHMÉTIQUE
9
P.G. 2007/2008
CORRIGES DES EXERCICES
b. Déterminer l'ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2.b.).
D’après le 1, une solution de (S) est n0 = 13×12v + 6×19u = 13×12×8 + 6×19×(−5) = 678.
D’après le 2. a et b, (S) équivaut à n ≡ n0 (12 × 19) donc les solutions de (S) sont les entiers n
qui vérifient n ≡ 678 (228) , c'est-à-dire qui s’écrivent 678 + k.228, avec k∈Z.
4. Un entier naturel n est tel que lorsqu'on le divise par 12, le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19,
le reste est 13.
On divise n par 228 = 12×19. Quel est le reste r de cette division ?
Cela revient à dire que n est solution de (S), donc n ≡ 678 (228) et comme la division euclidienne
de 678 par 228 est 678 = 228×2 + 222, le reste de la division de n par 228 est 222.
8%
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une
démonstration de la réponse choisie.
Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Proposition 1 : "pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n – 1".
VRAI ! On peut utiliser les identités remarquables, un raisonnement par récurrence ou les
congruences :
( )
∀n∈N 22 n − 1 = 22
n
− 1 = 4n − 1 or 4 ≡ 1 (modulo 3) donc ∀n∈N 4n ≡ 1 (modulo3)
d’où ∀n∈N 4n − 1 ≡ 0 (modulo3) c'est-à-dire 4n − 1 divisible par 3.
2. Proposition 2 : "si un entier relatif x est solution de l'équation x2 + x ∫ 0 (modulo 6) alors
x ∫ 0 (modulo 3)".
FAUX ! Il suffit d’exhiber un contre-exemple :
pour x = 2, x2 + x = 6 donc x2 + x ≡ 0 (modulo 6) et pourtant 2 n’est pas congru à 0 modulo 3.
3. Proposition 3 : "l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x ; y) solutions de l'équation 12x – 5y = 3
est l'ensemble des couples (4 + 10k ; 9 + 24k) où k ŒZ".
FAUX ! Il suffit d’exhiber un contre-exemple :
le couple (x ; y) = (9 ; 21) est solution de l’équation (puisque 12×9 − 5×21 = 3) et 9 ne s’écrit pas
sous la forme 4 + 10k car 9 = 4 + 10k ⇔ 5 = 10k , ce qui est impossible puisque 10 ne divise pas 5.
En réalité, la formule (4 + 10k ; 9 + 24k) donne bien des solutions de l’équation mais pas toutes.
Plus précisément, elle en donne une sur deux car une bonne formule aurait été (4 + 5k ; 9 + 12k),
d’où l’idée du contre-exemple en prenant k impair.
4. Proposition 4 : "il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et
PPCM (a ; b) – PGCD (a ; b) = 1".
VRAI ! Posons D = PGCD(a ; b). Par théorème, il existe deux entiers a' et b' premiers entre eux
tels que a = Da' et b = Db'.
Posons M = PPCM (a ; b).
ab Da 'Db '
Puisque PPCM (a ; b) × PGCD (a ; b) = a × b, M =
=
= Da ' b ' .
D
D
D = 1
D = 1
⇔ 
PPCM(a ; b) − PGCD(a ; b) = 1 ⇔ Da ' b '− D = 1 ⇔ D(a ' b '− 1) = 1 ⇔ 
a ' b '− 1 = 1
a ' b ' = 2
D = 1
a = 1

PPCM(a ; b) − PGCD(a ; b) = 1 ⇔ a ' = 1 ⇔ 
b = 2

b ' = 2
ARITHMÉTIQUE
10
(compte tenu du fait que a < b)
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CORRIGES DES EXERCICES
5. Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture
bca en base dix.
Proposition 5 : "si l'entier M est divisible par 27 alors l'entier M – N est aussi divisible par 27".
M = 100a + 10b + c donc M ≡ −8a + 10b + c [27]
(100 = 4×27 – 8)
N = 100b + 10c + a donc N ≡ −8b + 10c + a [27]
Si M est divisible par 27, alors M ≡ 0 [27] , −8a + 10b + c ≡ 0 [27] , c ≡ 8a − 10b [27]
Il ne reste plus qu’à remplacer : N ≡ −8b + 10(8a – 10b) + a [27], N ≡ −108b + 81a [27]
Or 108 = 4×27 et 81 = 3×27 donc N ≡ 0 [27], c'est-à-dire que N est divisible par 27.
On en déduit aussitôt que M – N est divisible par 27 (et plus généralement toute combinaison
linéaire à coefficients entiers de M et N est divisible par 27).
ARITHMÉTIQUE
11
P.G. 2007/2008