TerminaleS BACBLANC2016-2017 MmeMAINGUY–M.ELBAGHLI Lycée Français d’Agadir Terminales SA – SB 2016 - 2017 BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S DUREEDEL’EPREUVE:4HEURES Utilisationdelacalculatriceautorisée. Cesujetcomporte7pagesnumérotéesde1à7.Lapageannexen°7estàrendreobligatoirementavec lacopie.Lecandidatdoittraiterquatreexercices. Lecandidatestinvitéàfairefigurersurlacopietoutetracederecherche,mêmeincomplèteounon fructueuse,qu’ilauradéveloppée.Ilestrappeléquelaqualitédelarédaction,laclartéetlaprécision desraisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appréciationdescopies. 1 TerminaleS BACBLANC2016-2017 MmeMAINGUY–M.ELBAGHLI Exercice 1 (commun à tous les candidats) 6 points Soit f lafonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ telleque: f ( x) = x e −x x PartieA Démontrerquelafonction f estpositivesur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ . PartieB Onnote Cf lacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthogonalduplan. Lacourbe Cf estreprésentéeenannexe,àrendreaveclacopie. n ( ) () Soitlasuite I n définiepourtoutentiernaturel n par I n = ∫ f x dx . 0 Onnechercherapasàcalculerlavaleurexactede I n enfonctionde n . 1) Onadmetquepourtoutréel x del’intervalle ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ , e x − x ≥ ex . 2 n Montrerque,pourtoutentiernaturel n , I n ≤ ∫ 2xe− x dx . 0 2) Donneruneinterprétationgraphiquede I 2 enhachurantlapartiequiconvientsurlafigure1del’annexeà rendreaveclacopie. Ondonne:1cm = 0,5 unitésur Ox et1cm = 0,1 unitésur Oy .Justifierque I 2 ≤ 24 (encm2). ( ) ( ) PartieC Onconsidèrel’algorithmesuivantdanslequellesvariablessont: " K et i desentiersnaturels, K étantnonnul; " A , x et h desréels. 1) Reproduireetcompléterletableausuivant,enfaisantfonctionnercetalgorithmepour K = 4 .Lesvaleurs successivesde A serontarrondiesaumillième. Enl’illustrantsurlafigure2del’annexeàrendreaveclacopie,donneruneinterprétationgraphiquedurésultat affichéparcetalgorithmepour K = 8 . 3) Quedonnel’algorithmelorsque K devientgrand? 2) 2 TerminaleS BACBLANC2016-2017 MmeMAINGUY–M.ELBAGHLI Exercice 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) 5 points ( ) ( ) Onconsidèredeuxsuitesdenombres d n et an définiespar d0 = 300 , a0 = 450 et,pourtoutentiernaturel n ≥ 0 1) ⎧ 1 ⎪⎪ d n+1 = 2 d n + 100 ⎨ ⎪ a = 1 d + 1 a + 70 ⎪⎩ n+1 2 n 2 n Calculer d1 et a1 . 2) Onsouhaiteécrireunalgorithmequipermetd’afficherensortielesvaleursde d n et an pourunevaleurentière de n entréeparl’utilisateur. L’algorithmesuivantestproposé: a/Quelsnombresobtient-onensortiedel’algorithmepour n = 1 ? b/Expliquercommentcorrigercetalgorithmepourqu’ilaffichelesrésultatssouhaités. Cesrésultatssont-ilscohérentsavecceuxobtenusàlaquestion1)? 3) ( ) a/Pourtoutentiernaturel n ,onpose: en = d n − 200 .Montrerquelasuite en estgéométrique. b/Endéduirel’expressionde d n enfonctionde n . ( ) c/Lasuite d n est-elleconvergente?Justifier. n n ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 4) Onadmetquepourtoutentiernaturel n : an = 100n ⎜ ⎟ + 110 ⎜ ⎟ + 340 . 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ( ) 2 a/Montrerque,pourtoutentiernaturel n supérieurouégalà3,ona 2n2 ≥ n + 1 . b/Montrerparrécurrencequepourtoutentier n supérieurouégalà4, 2 n ≥ n2 . n ⎛ 1 ⎞ 100 c/Endéduirequepourtoutentier n supérieurouégaleà4, 0 ≤ 100n ⎜ ⎟ ≤ . n ⎝ 2⎠ ( ) d/Étudierlaconvergencedelasuite an . 3 TerminaleS BACBLANC2016-2017 MmeMAINGUY–M.ELBAGHLI Exercice 2 (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) 5 points LespartiesAetBsontindépendantes. PartieA Onconsidèrel’équationsuivantesd’inconnues x et y entiersrelatifs: 1) (E) 7x − 3y = 1 Unalgorithmeincompletestdonnéci-dessous.Lerecopieretlecompléterdemanièreàcequ’ildonneles solutionsentières x ; y del’équation E vérifiant: −5 ≤ x ≤ 10 et −5 ≤ y ≤ 10 . ( ) ( ) 2) ( ) a/Déterminerunesolutionparticulièredel’équation E . ( ) b/Déterminerl’ensembledescouplesd’entiersrelatifssolutionsdel’équation E . ( ) ( ) c/Déterminerl’ensembledescouples x ; y d’entiersrelatifssolutionsdel’équation E telsque −5 ≤ x ≤ 10 et −5 ≤ y ≤ 10 . PartieB ! ! Leplanestrapportéàunrepèreorthonormé O ; i ; j . ( ) ( ) Onconsidèreladroite Δ d’équation: 7x − 3y − 1 = 0 . ( ) ( ) Ondéfinitlasuite An depointsduplandecoordonnées xn ; yn vérifiantpourtout n entiernaturel: ⎧⎪ x0 = 1 ⎨ ⎩⎪ y0 = 2 et ⎧ 13 ⎪⎪ xn+1 = − 2 xn + 3yn ⎨ ⎪ y = − 35 x + 8y n ⎪⎩ n+1 2 n ⎛ 13 ⎞ 3 ⎟ ⎛ x ⎞ ⎜ − 2 ⎟ .Pourtoutentiernaturel n ,onpose X n = ⎜ n ⎟ . 1) Onnote M lamatrice ⎜ ⎜⎝ yn ⎟⎠ ⎜ 35 ⎟ ⎜ − 2 8 ⎟ ⎝ ⎠ a/Montrerque,pourtoutentiernaturel n , X n+1 = MX n . b/Sansjustifier,exprimerpourtoutentiernaturel n , X n enfonctionde M n et X 0 . 2) ⎛ −2 −3 ⎞ a/Onconsidèrelamatrice P = ⎜ ⎟ . ⎝ −5 −7 ⎠ ⎛ 7 −3 ⎞ Montrerquelamatriceinversede P ,notée P −1 ,estdéfiniepar: P −1 = ⎜ ⎟ . ⎝ −5 2 ⎠ b/Vérifierque P −1 MP estunematricediagonale D quel’onprécisera. c/Pourtoutentiernaturel n ,donner D n sansjustification. 4 TerminaleS BACBLANC2016-2017 MmeMAINGUY–M.ELBAGHLI d/Démontrerparrécurrenceque,pourtoutentiernaturel n , M n = ⎛ 15 6 ⎜ −14 + n 6 − n 2 2 n 3) Onadmetquepourtoutentiernaturel n , M = ⎜ ⎜ 35 14 ⎜ −35 + n 15 − n 2 2 ⎝ PD n P −1 ⎞ ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ ⎠ Endéduireque,pourtoutentiernaturel n ,uneexpressionde xn et yn enfonctionde n . 4) Montrerque,pourtoutentiernaturel n ,lepoint An appartientàladroite Δ . ( ) Exercice 3 (commun à tous les candidats) 4 points PartieA Soit g lafonctionnumériquedelavariabledelavariableréelle x définiesur ⎤⎦0 ; + ∞ ⎡⎣ par: 1) g ( x) = ln x x2 Sacourbereprésentative Cg ,construitedansunrepèreorthogonalestdonnéeci-dessous: Étudierlesvariationsdelafonction g ,seslimitesauxbornesdesonensemblededéfinition,etdéterminerla valeurdesonextrémum. 2) Existe-t-ildestangentesàlacourbe Cg quicontiennentlepoint O ,originedurepère?Sioui,donnerleur équation. Exercice 4 (commun à tous les candidats) 5 points Pourchaqueaffirmation,diresielleestvraieoufausseenjustifiantvotreréponse.Uneréponsenonjustifiéeneserapas priseencompte. 1) ⎛π⎞ Onconsidèrel’équation E : z 2 − 2cos ⎜ ⎟ z + 1 = 0 . ⎝ 5⎠ ( ) ( ) Affirmation1: E admetdeuxsolutionscomplexesconjuguéesdemoduleségauxà1. 5 TerminaleS BACBLANC2016-2017 MmeMAINGUY–M.ELBAGHLI 2) ( ) ( ) Ondonnelesreprésentationsparamétriquesdedeuxdroites d et d ′ del’espace: (d ) ⎧ x = 1− t ⎪ ⎨ y = −1+ t ⎪ z = 2 − 3t ⎩ (t ∈! ) ( ) ( ) (d′) ⎧ 2 ⎪ x = 3 + 2t ′ ⎪ 2 ⎪ ⎨ y = − − 2t ′ 3 ⎪ z = 1+ 6t ′ ⎪ ⎪ ⎩ (t ′ ∈! ) Affirmation2:lesdroites d et d ′ sonconfondues. 3) Soit f unefonctiondéfinieetcontinuesur ⎡⎣ 0 ; 3⎤⎦ . 3 () 3 () () () Affirmation3:si ∫ f t dt ≤ ∫ g t dt alorspourtout x ∈ ⎡⎣0 ; 3⎤⎦ ,ona: f x ≤ g x . 0 0 Unsaccontient700boulesnoireset300boulesblanches.Oneffectueuntiragede25boulesavecremise. Affirmation4:Sionréaliseunarbredeprobabilitéreprésentantlasituation,ontrouveraexactement 300cheminscomportant2boulesblanches. ⎧α 1+ i = 1+ 3i ⎪ 5) Affirmation5:l’uniquesolutiondusystème ⎨ −4 + 3i estégaleà 2 + i . 2 ⎪iα = i ⎩ 4) ( ) 6 TerminaleS BACBLANC2016-2017 MmeMAINGUY–M.ELBAGHLI NOM:…………………………………………………. Prénom:…………………………………………………….. Annexe de l’exercice 1 Figure 1 1cm2 Figure 2 7