BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S

TerminaleS
BACBLANC2016-2017
MmeMAINGUY–M.ELBAGHLI
Lycée Français d’Agadir
Terminales SA – SB
2016 - 2017
BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL
MATHÉMATIQUES
SÉRIE S
DUREEDEL’EPREUVE:4HEURES
Utilisationdelacalculatriceautorisée.
Cesujetcomporte7pagesnumérotéesde1à7.Lapageannexen°7estàrendreobligatoirementavec
lacopie.Lecandidatdoittraiterquatreexercices.
Lecandidatestinvitéàfairefigurersurlacopietoutetracederecherche,mêmeincomplèteounon
fructueuse,qu’ilauradéveloppée.Ilestrappeléquelaqualitédelarédaction,laclartéetlaprécision
desraisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appréciationdescopies.
1
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MmeMAINGUY–M.ELBAGHLI
Exercice 1 (commun à tous les candidats)
6 points
Soit f lafonctiondéfinieetdérivablesurl’intervalle ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ telleque:
f ( x) =
x
e −x
x
PartieA
–Démontrerquelafonction f estpositivesur ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ .
PartieB
Onnote Cf lacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthogonalduplan.
Lacourbe Cf estreprésentéeenannexe,àrendreaveclacopie.
n
( )
()
Soitlasuite I n définiepourtoutentiernaturel n par I n = ∫ f x dx .
0
Onnechercherapasàcalculerlavaleurexactede I n enfonctionde n .
1)
Onadmetquepourtoutréel x del’intervalle ⎡⎣0 ; + ∞ ⎡⎣ , e x − x ≥
ex
.
2
n
Montrerque,pourtoutentiernaturel n , I n ≤ ∫ 2xe− x dx .
0
2)
Donneruneinterprétationgraphiquede I 2 enhachurantlapartiequiconvientsurlafigure1del’annexeà
rendreaveclacopie.
Ondonne:1cm = 0,5 unitésur Ox et1cm = 0,1 unitésur Oy .Justifierque I 2 ≤ 24 (encm2).
( )
( )
PartieC
Onconsidèrel’algorithmesuivantdanslequellesvariablessont:
" K et i desentiersnaturels, K étantnonnul;
" A , x et h desréels.
1)
Reproduireetcompléterletableausuivant,enfaisantfonctionnercetalgorithmepour K = 4 .Lesvaleurs
successivesde A serontarrondiesaumillième.
Enl’illustrantsurlafigure2del’annexeàrendreaveclacopie,donneruneinterprétationgraphiquedurésultat
affichéparcetalgorithmepour K = 8 .
3) Quedonnel’algorithmelorsque K devientgrand?
2)
2
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Exercice 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
5 points
( ) ( )
Onconsidèredeuxsuitesdenombres d n et an définiespar d0 = 300 , a0 = 450 et,pourtoutentiernaturel n ≥ 0 1)
⎧
1
⎪⎪ d n+1 = 2 d n + 100
⎨
⎪ a = 1 d + 1 a + 70
⎪⎩ n+1 2 n 2 n
Calculer d1 et a1 .
2) Onsouhaiteécrireunalgorithmequipermetd’afficherensortielesvaleursde d n et an pourunevaleurentière
de n entréeparl’utilisateur.
L’algorithmesuivantestproposé:
a/Quelsnombresobtient-onensortiedel’algorithmepour n = 1 ?
b/Expliquercommentcorrigercetalgorithmepourqu’ilaffichelesrésultatssouhaités.
Cesrésultatssont-ilscohérentsavecceuxobtenusàlaquestion1)?
3)
( )
a/Pourtoutentiernaturel n ,onpose: en = d n − 200 .Montrerquelasuite en estgéométrique.
b/Endéduirel’expressionde d n enfonctionde n .
( )
c/Lasuite d n est-elleconvergente?Justifier.
n
n
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
4) Onadmetquepourtoutentiernaturel n : an = 100n ⎜ ⎟ + 110 ⎜ ⎟ + 340 .
2
⎝ ⎠
⎝ 2⎠
(
)
2
a/Montrerque,pourtoutentiernaturel n supérieurouégalà3,ona 2n2 ≥ n + 1 .
b/Montrerparrécurrencequepourtoutentier n supérieurouégalà4, 2 n ≥ n2 .
n
⎛ 1 ⎞ 100
c/Endéduirequepourtoutentier n supérieurouégaleà4, 0 ≤ 100n ⎜ ⎟ ≤
.
n
⎝ 2⎠
( )
d/Étudierlaconvergencedelasuite an .
3
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Exercice 2 (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)
5 points
LespartiesAetBsontindépendantes.
PartieA
Onconsidèrel’équationsuivantesd’inconnues x et y entiersrelatifs:
1)
(E) 7x − 3y = 1
Unalgorithmeincompletestdonnéci-dessous.Lerecopieretlecompléterdemanièreàcequ’ildonneles
solutionsentières x ; y del’équation E vérifiant: −5 ≤ x ≤ 10 et −5 ≤ y ≤ 10 .
(
)
( )
2)
( )
a/Déterminerunesolutionparticulièredel’équation E .
( )
b/Déterminerl’ensembledescouplesd’entiersrelatifssolutionsdel’équation E .
(
)
( )
c/Déterminerl’ensembledescouples x ; y d’entiersrelatifssolutionsdel’équation E telsque −5 ≤ x ≤ 10 et −5 ≤ y ≤ 10 .
PartieB
! !
Leplanestrapportéàunrepèreorthonormé O ; i ; j .
(
)
( )
Onconsidèreladroite Δ d’équation: 7x − 3y − 1 = 0 .
( )
(
)
Ondéfinitlasuite An depointsduplandecoordonnées xn ; yn vérifiantpourtout n entiernaturel:
⎧⎪ x0 = 1
⎨
⎩⎪ y0 = 2
et
⎧
13
⎪⎪ xn+1 = − 2 xn + 3yn
⎨
⎪ y = − 35 x + 8y
n
⎪⎩ n+1
2 n
⎛ 13
⎞
3 ⎟
⎛ x ⎞
⎜ −
2
⎟ .Pourtoutentiernaturel n ,onpose X n = ⎜ n ⎟ .
1) Onnote M lamatrice ⎜
⎜⎝ yn ⎟⎠
⎜ 35
⎟
⎜ − 2 8 ⎟
⎝
⎠
a/Montrerque,pourtoutentiernaturel n , X n+1 = MX n .
b/Sansjustifier,exprimerpourtoutentiernaturel n , X n enfonctionde M n et X 0 .
2)
⎛ −2 −3 ⎞
a/Onconsidèrelamatrice P = ⎜
⎟ .
⎝ −5 −7 ⎠
⎛ 7 −3 ⎞
Montrerquelamatriceinversede P ,notée P −1 ,estdéfiniepar: P −1 = ⎜
⎟ .
⎝ −5 2 ⎠
b/Vérifierque P −1 MP estunematricediagonale D quel’onprécisera.
c/Pourtoutentiernaturel n ,donner D n sansjustification.
4
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d/Démontrerparrécurrenceque,pourtoutentiernaturel n , M n =
⎛
15
6
⎜ −14 + n 6 − n
2
2
n
3) Onadmetquepourtoutentiernaturel n , M = ⎜
⎜
35
14
⎜ −35 + n 15 − n
2
2
⎝
PD n P −1 ⎞
⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎠
Endéduireque,pourtoutentiernaturel n ,uneexpressionde xn et yn enfonctionde n .
4)
Montrerque,pourtoutentiernaturel n ,lepoint An appartientàladroite Δ .
( )
Exercice 3 (commun à tous les candidats)
4 points
PartieA
Soit g lafonctionnumériquedelavariabledelavariableréelle x définiesur ⎤⎦0 ; + ∞ ⎡⎣ par:
1)
g ( x) =
ln x
x2
Sacourbereprésentative Cg ,construitedansunrepèreorthogonalestdonnéeci-dessous:
Étudierlesvariationsdelafonction g ,seslimitesauxbornesdesonensemblededéfinition,etdéterminerla
valeurdesonextrémum.
2)
Existe-t-ildestangentesàlacourbe Cg quicontiennentlepoint O ,originedurepère?Sioui,donnerleur
équation.
Exercice 4 (commun à tous les candidats)
5 points
Pourchaqueaffirmation,diresielleestvraieoufausseenjustifiantvotreréponse.Uneréponsenonjustifiéeneserapas
priseencompte.
1)
⎛π⎞
Onconsidèrel’équation E : z 2 − 2cos ⎜ ⎟ z + 1 = 0 .
⎝ 5⎠
( )
( )
Affirmation1: E admetdeuxsolutionscomplexesconjuguéesdemoduleségauxà1.
5
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2)
( )
( )
Ondonnelesreprésentationsparamétriquesdedeuxdroites d et d ′ del’espace:
(d )
⎧ x = 1− t
⎪
⎨ y = −1+ t
⎪ z = 2 − 3t
⎩
(t ∈! ) ( ) ( )
(d′)
⎧
2
⎪ x = 3 + 2t ′
⎪
2
⎪
⎨ y = − − 2t ′
3
⎪
z
=
1+
6t ′
⎪
⎪
⎩
(t ′ ∈! ) Affirmation2:lesdroites d et d ′ sonconfondues.
3) Soit f unefonctiondéfinieetcontinuesur ⎡⎣ 0 ; 3⎤⎦ .
3
()
3
()
()
()
Affirmation3:si ∫ f t dt ≤ ∫ g t dt alorspourtout x ∈ ⎡⎣0 ; 3⎤⎦ ,ona: f x ≤ g x .
0
0
Unsaccontient700boulesnoireset300boulesblanches.Oneffectueuntiragede25boulesavecremise.
Affirmation4:Sionréaliseunarbredeprobabilitéreprésentantlasituation,ontrouveraexactement
300cheminscomportant2boulesblanches.
⎧α 1+ i = 1+ 3i
⎪
5) Affirmation5:l’uniquesolutiondusystème ⎨
−4 + 3i estégaleà 2 + i .
2
⎪iα =
i
⎩
4)
(
)
6
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NOM:…………………………………………………. Prénom:……………………………………………………..
Annexe de l’exercice 1
Figure 1
1cm2
Figure 2
7