BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S

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1!
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Lycée Français d’Agadir
Terminales SA – SB 2016 - 2017
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BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL
MATHÉMATIQUES
SÉRIE S
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?9@==)?=).A=B@=9C=)D)E)>=9@=*)
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9F%(%G'F%H&)I")(')J'(JK('F#%J")'KFH#%GL"<)
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)
Ce!sujet!comporte!7!pages!numérotées!de!1!à!7.La!page!annexe!n°7!est!à!rendre!obligatoirement!avec!
la!copie.!Le!candidat!doit!traiter!quatre!exercices.!
Le!candidat!est!invité!à!faire!figurer!sur!la!copie!toute!trace!de!recherche,!même!incomplète!ou!non!
fructueuse,!qu’il!aura!développée.!Il!est!rappelé!que!la!qualité!de!la!rédaction,!la!clarté!et!la!précision!
des!raisonnements!entreront!pour!une!part!importante!dans!l’appréciation!des!copies.!
! !

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!
!
2!
Exercice 1 (commun à tous les candidats) 6 points
Soit!
f
!la!fonction!définie!et!dérivable!sur!l’intervalle!
0 ; +∞
⎡
⎣⎡ ⎣
!telle!que!:!!
!!!!!
f x
( )
=x
ex−x
!
B'#F%"),)
!!!Démontrer!que!la!fonction!
f
!est!positive!sur!
0 ; +∞
⎡
⎣⎡ ⎣
.!
B'#F%")+)
On!note!
Cf
!la!courbe!représentative!de!la!fonction!
f
!dans!un!repère!orthogonal!du!plan.!
La!courbe!
Cf
!est!représentée!en!annexe,!M)#"&I#")'N"J)(')JHO%".!
Soit!la!suite!
In
( )
!définie!pour!tout!entier!naturel!
n
!par!!
In=f x
( )
dx
0
n
∫
.!
On!ne!cherchera!pas!à!calculer!la!valeur!exacte!de!
In
!en!fonction!de!
n
.!
!
2P On!admet!que!pour!tout!réel!
x
!de!l’intervalle!
0 ; +∞
⎡
⎣⎡ ⎣
,!!
ex−x≥ex
2
.!
Montrer!que,!pour!tout!entier!naturel!
n
,!!
In≤2xe−xdx
0
n
∫
.!
0P Donner!une!interprétation!graphique!de!
I2
!en!hachurant!la!partie!qui!convient!sur!la!figure!1!de!l’annexe!M)
#"&I#"!'N"J)(')JHO%".!
On!donne!:!1!cm!
=0,5
!unité!sur!
Ox
( )
et!!1!cm!
=0,1
!unité!sur!
Oy
( )
.!Justifier!que!
I2≤24
!(en!cm2).!
!
B'#F%")-)
On!considère!l’algorithme!suivant!dans!lequel!les!variables!sont!:!!
!"!
K
!et!
i
!des!entiers!naturels,!
K
!étant!non!nul!;!
!"!
A,x et h
!des!réels.!
!
!
!
!
!
!
!
!
2P Reproduire!et!compléter!le!tableau!suivant,!en!faisant!fonctionner!cet!algorithme!pour!
K=4
.!Les!valeurs!
successives!de!
A
!seront!arrondies!au!millième.!
!
!
!
!
0P En!l’illustrant!sur!la!figure!2!de!l’annexe!M)#"&I#")'N"J)(')JHO%",!donner!une!interprétation!graphique!du!résultat!
affiché!par!cet!algorithme!pour!
K=8
.!
!
QP Que!donne!l’algorithme!lorsque!
K
devient!grand!?!

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!
!
3!
Exercice 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) 5 points
On!considère!deux!suites!de!nombres!
dn
( )
!et!
an
( )
!définies!par!
d0=300
,!
a0=450
!et,!pour!tout!entier!naturel!
n≥0
!
!!!!!
dn+1=1
2
dn+100
an+1=1
2
dn+1
2
an+70
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
!
2P Calculer!
d1
!et!
a1
.!
!
0P On!souhaite!écrire!un!algorithme!qui!permet!d’afficher!en!sortie!les!valeurs!de!
dn
!et!
an
!pour!une!valeur!entière!
de!
n
!entrée!par!l’utilisateur.!
L’algorithme!suivant!est!proposé!:!!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!a!/!Quels!nombres!obtient-on!en!sortie!de!l’algorithme!pour!
n=1
!?!!
!
!!!!!!!!Ces!résultats!sont-ils!cohérents!avec!ceux!obtenus!à!la!question!2P!!?!
!
!b!/!Expliquer!comment!corriger!cet!algorithme!pour!qu’il!affiche!les!résultats!souhaités.!
!
QP a!/!Pour!tout!entier!naturel!
n
,!on!pose!:!
en=dn−200
<)Montrer!que!la!suite!
en
( )
!est!géométrique.!
b!/!En!déduire!l’expression!de!
dn
!en!fonction!de!
n
.!
c!/!La!suite!
dn
( )
!est-elle!convergente!?!Justifier.!
!
EP On!admet!que!pour!tout!entier!naturel!
n
!:!!!
an=100n1
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
n
+110 1
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
n
+340
!.!
a!/!Montrer!que!,!pour!tout!entier!naturel!
n
!supérieur!ou!égal!à!3,!on!a!
2n2≥n+1
( )
2
.!
b!/!Montrer!par!récurrence!que!pour!tout!entier!
n
!supérieur!ou!égal!à!4,!!
2n≥n2
.!
c!/!En!déduire!que!pour!tout!entier!
n
!supérieur!ou!égale!à!4,!!!
0≤100n1
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
n
≤100
n
.!
d!/!Étudier!la!convergence!de!la!suite!
an
( )
.!
!

!"#$%&'(")*)+,-)+.,/-)012340125)6$")6,7/89:);)6<=.+,8>.7)
!
!
4!
!
Exercice 2 (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) 5 points
."G)O'#F%"G),)"F)+)GH&F)%&ILO"&I'&F"G<)
B'#F%"),)
On!considère!l’équation!suivantes!d’inconnues!
x
!et!
y
!entiers!relatifs!:!
!!!!!
7x−3y=1E
( )
!
2P Un!algorithme!incomplet!est!donné!ci-dessous.!Le!recopier!et!le!compléter!de!manière!à!ce!qu’il!donne!les!
solutions!entières!
x;y
( )
!de!l’équation!
E
( )
!vérifiant!:!
−5≤x≤10
!et!
−5≤y≤10
.!
!
!
!
!
!
!
!
!
0P a/!Déterminer!une!solution!particulière!de!l’équation!
E
( )
.!
b/!Déterminer!l’ensemble!des!couples!d’entiers!relatifs!solutions!de!l’équation!
E
( )
.!
c/!Déterminer!l’ensemble!des!couples!
x;y
( )
!d’entiers!relatifs!solutions!de!l’équation!
E
( )
!tels!que!
−5≤x≤10
!
!!!!!et!
−5≤y≤10
.!
B'#F%")+)
Le!plan!est!rapporté!à!un!repère!orthonormé!
O;
!
i;
!
j
( )
.!
On!considère!la!droite!
Δ
( )
d’équation!:!!!!
7x−3y−1=0
.!
On!définit!la!suite!
An
( )
!de!points!du!plan!de!coordonnées!
xn;yn
( )
!vérifiant!pour!tout!
n
!entier!naturel!:!
! ! !
x0=1
y0=2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
!! et!
xn+1=−13
2xn+3yn
yn+1=−35
2xn+8yn
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
!
2P On!note!
M
!la!matrice!
−13
2
3
−35
2
8
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!Pour!tout!entier!naturel!
n
,!on!pose!
Xn=xn
yn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
.!
a/!Montrer!que,!pour!tout!entier!naturel!
n
,!
Xn+1=MX n
.!
b/!Sans!justifier,!exprimer!pour!tout!entier!naturel!
n
,!
Xn
!en!fonction!de!
Mn
!et!
X0
.!
!
0P a/!On!considère!la!matrice!
P=−2−3
−5−7
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
.!
!!!!!Montrer!que!la!matrice!inverse!de!
P
,!notée!
P−1
,!est!définie!par!:!
P−1=7−3
−5 2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
.!
b/!Vérifier!que!
P−1MP
!est!une!matrice!diagonale!
D
!que!l’on!précisera.!
c/!Pour!tout!entier!naturel!
n
,!donner!
Dn
!sans!justification.!

!"#$%&'(")*)+,-)+.,/-)012340125)6$")6,7/89:);)6<=.+,8>.7)
!
!
5!
d/!Démontrer!par!récurrence!que,!pour!tout!entier!naturel!
n
,!
Mn=PDnP−1
!
!
QP On!admet!que!pour!tout!entier!naturel!
n
,!
Mn=
−14 +15
2n6−6 2n
−35 +35
2n15 −14 2n
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!
En!déduire!que,!pour!tout!entier!naturel!
n
,!une!expression!de!
xn
!et!
yn
!en!fonction!de!
n
.!
!
EP Montrer!que,!pour!tout!entier!naturel!
n
,!le!point
An
!appartient!à!la!droite!
Δ
( )
.!
!
Exercice 3 (commun à tous les candidats) 4 points
B'#F%"),)
Soit!
g
!la!fonction!numérique!de!la!variable!de!la!variable!réelle!
x
!définie!sur!
0 ; +∞
⎤
⎦⎡ ⎣
!par!:!
!!!!!!
g x
( )
=ln x
x2
!
2P Sa!courbe!représentative!
Cg
,!construite!dans!un!repère!orthogonal!est!donnée!ci-dessous!:!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
! Étudier!les!variations!de!la!fonction!
g
,!ses!limites!aux!bornes!de!son!ensemble!de!définition,!et!déterminer!la!!
!valeur!de!son!extrémum.!
!
0P Existe-t-il!des!tangentes!à!la!courbe!
Cg
!qui!contiennent!le!point!
O
,!origine!du!repère!?!Si!oui,!donner!leur!
équation.!
!
!
!
Exercice 4 (commun à tous les candidats) 5 points
Pour!chaque!affirmation,!dire!si!elle!est!vraie!ou!fausse!"&)RKGF%S%'&F)NHF#")#LOH&G".!Une!réponse!non!justifiée!ne!sera!pas!
prise!en!compte.!
2P On!considère!l’équation!
E
( )
!:!!!
z2−2cos
π
5
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟z+1=0
.!
,SS%#$'F%H&)2!:!
E
( )
!admet!deux!solutions!complexes!conjuguées!de!modules!égaux!à!1.!