Bac Blanc janvier 2015

Terminale S – non spé maths – Bac Blanc janvier 2015 – page 1/6
BACCALAUREAT
BLANC
Session janvier 2015
Série : S
Épreuve : Mathématiques ( candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité )
Durée de l'épreuve : 4 heures
MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE :
Calculatrice autorisée
Aucun échange de matériel autorisé
Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 6 pages numérotées 1/6 à 6/6

Terminale S – non spé maths – Bac Blanc janvier 2015 – page 2/6
Exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats
On considère la fonction  définie et dérivable sur l’ensemble  des nombres réels par :
On note  sa courbe représentative dans un repère orthonormé 
.
1. Soit  la fonction définie et dérivable sur l’ensemble  par :
a. Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction  sur  ( les limites
de  aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues ).
b. En déduire le signe de .
2. Déterminer la limite de  en puis la limite de  en .
3. On appelle  la dérivée de la fonction  sur .
Démontrer que, pour tout réel , 
4. En déduire le tableau de variation de la fonction  sur .
5. a. Démontrer que l’équation   admet une unique solution réelle  sur .
b. Démontrer que     .
6. a. Démontrer que la droite  d’équation      est tangente à la courbe  au point
d’abscisse 0.
b. Etudier la position relative de la courbe  et de la droite .

Terminale S – non spé maths – Bac Blanc janvier 2015 – page 3/6
Exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats
On note  l’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé 
.
On prendra comme unité  centimètres sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré ou à petits carreaux et complété au fur et
à mesure des questions.
On considère la fonction  qui à tout nombre complexe z associe  
1. Calculer l’image de    par la fonction .
2. Résoudre dans  l’équation  .
Ecrire sous forme trigonométrique les solutions de cette équation.
Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points  et  dont l’affixe est
solution de l’équation ( étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.
3. Soit  un nombre réel. On considère l’équation   d’inconnue .
Déterminer l’ensemble des valeurs de  pour lesquelles l’équation   admet deux
solutions complexes conjuguées.
4. Soit  un nombre complexe tel que      où  et  sont des nombres réels.
a. Montrer que :          .
b. On note  l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe  est telle que  soit un
nombre réel.
Montrer que  est la réunion de deux droites  et  dont on précisera les équations.
Compléter le graphique en traçant ces droites.

Terminale S – non spé maths – Bac Blanc janvier 2015 – page 4/6
Exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère la suite   définie par    et, pour tout entier naturel :
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a :     .
2. a. Etablir que, pour tout entier naturel, on a :
b. Déterminer le sens de variation de la suite  .
3. En déduire que la suite   converge.
Partie B
On considère la suite   définie par    et, pour tout entier naturel :
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. On considère l’algorithme suivant :
Entrée Soit un entier naturel non nul
Initialisation Affecter à la valeur 2
Traitement et sortie
POUR allant de 1 à
Afficher
FIN POUR
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour   .
Les valeurs de  seront arrondies au millième.
1 2 3
2. Pour   , on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
4 5 6 7 8 9 10 11 12
1,0083 0,9973 1,0009 0,9997 1,0001 0,99997
1,00001 0,999996 1,000001
Conjecturer le comportement de la suite   à l’infini.

Terminale S – non spé maths – Bac Blanc janvier 2015 – page 5/6
3. On admet que, pour tout entier naturel, on a :   .
On considère la suite   définie pour tout entier naturel , par :
a. Démontrer que la suite 
 est géométrique de raison 
b. Calculer  puis écrire  en fonction de .
4. On admet que, pour tout entier naturel, on a :   .
a. Montrer que, pour tout entier naturel, on a :
b. Déterminer la limite de la suite  .