Devoir surveillé n°5 : Loi binomiale, second degré

Devoir surveillé n°5 : Loi binomiale, second degré
EXERCICE 1 (13 points)
PARTIE A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le
fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles
provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les événements suivants :
– événement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
– événement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
– événement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».
1. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
...
...
2.
...
S
...
S
...
S
...
S
A
B
a. Décrire par une phrase l’événement B ∩ S puis calculer sa probabilité.
b. Montrer que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est
égale à 0, 88.
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même infructueuse, sera valorisée.
On constate que la boîte prélevée ne présente pas de traces de pesticides. Quelle est la probabilité
que cette boîte provienne du fournisseur B ?
On pourra s’aider de l’arbre ci-dessous :
A
S
B
A
S
B
PARTIE B
Le gérant d’un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce
dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes
avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans
trace de pesticides.
Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis à 10−3 près.
1. Justifier avec soins que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les
paramètres.
2. Combien de boîtes sans trace de pesticides peut-on espérer ?
3. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides puis que 9 boîtes soient
sans trace de pesticides.
4. Calculer la probabilité qu’au moins 9 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
5. Calculer le nombre de boîtes qu’il faudrait acheter afin que la probabilité qu’au moins une boîte
contienne des traces de pesticides soit supérieur ou égale à 0,999.
EXERCICE 2 (5 points)
2
2
2
1. Soit la fonction f (x) = 2( x − 1)(x 2 + x − 1) − ( x − 1)(x 2 + 2x) + x − 1.
3
3
3
2
a. A l’aide d’une factorisation, montrer que f (x) = ( x − 1)(x 2 − 1).
3
b. Donner alors le tableau de signes de la fonction f sur l’intervalle ] − ∞; +∞[.
2. Soit f (x) = x 3 + x 2 −11x +10. A l’aide de la méthode d’identification, déterminer les nombres réels
a, b et c tels que f (x) = (x − 2)(ax 2 + bx + c).
EXERCICE 3 (2 points)
On considère l’algorithme :
A et C sont des entiers naturels,
C prend la valeur 0
Répéter 9 fois
A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.
Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1
Fin Si
Fin répéter
Afficher C.
Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.