Quasicristaux et mesures presque-périodiques

Ensembles de Meyer Approximation diophantienne Ensembles “coupe et projection” Mesures presque-périodiques Figure de dif
Quasicristaux et mesures
presque-périodiques
Claire Delplancke
Sous la direction d’Yves Meyer
24 juin 2010
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Qu’est-ce qu’un quasicristal ?
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Ensembles de Meyer
Approximation diophantienne
Ensembles “coupe et projection”
Mesures presque-périodiques
Figure de diffraction
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Un réseau est un sous-groupe de Rn à quotient compact. On
peut l’écrire sous la forme Λ = A(Zn ) où A est une matrice
inversible de Rn .
La propriété de sous-groupe peut s’écrire Λ − Λ ⊂ Λ.
Soit Λ un sous-ensemble de Rn
• Λ est uniformément discret si ∃ R1 > 0 tel que toute
boule de rayon R1 contienne au plus un point de Λ.
• Λ est relativement dense si ∃ R2 > 0 tel que toute boule
de rayon R2 contienne au moins un point de Λ.
• Λ est un ensemble de Delone s’il vérifie les deux
propriétés précédentes.
Première notion de quasicristal
Un ensemble de Meyer est un ensemble de Delone Λ tel qu’il
existe un ensemble fini F ⊂ Rn tel que Λ − Λ ⊂ Λ + F .
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Soit Λ ⊂ Rn et e ∈ (0, 2). Son e-dual est Λ∗e :
Λ∗e = {τ ; | exp(iτλ) − 1| ≤ e, λ ∈ Λ}
Si Λ est le réseau A(Zn ) et si e ∈ (0, 1) , alors
Λ∗e = Λ0∗ = (2π )n (det A)Ã−1 (Zn )
où Ã la transposée de la comatrice de A. Le dual de Λ∗e est Λ.
Théorème
Un ensemble Λ est un ensemble de Meyer si et seulement si il
satisfait aux deux conditions suivantes :
(2.1) Λ est un ensemble de Delone
(2.2) Pour tout e compris entre 0 et 1, Λ∗e est un ensemble de
Delone.
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Tout ensemble Λ de Rn vérifie évidemment (Λ∗e )∗e ⊃ Λ.
Seconde notion de quasicristal
Un ensemble Λ de Rn est un quasicristal au sens de
l’approximation diophantienne s’il vérifie les trois conditions
suivantes :
(3.1) Λ est un ensemble de Delone
(3.2) ∀e ∈ (0, 1), Λ∗e est un ensemble de Delone.
(3.3) ∀e ∈ (0, 1), l’e-dual de Λ∗e est égal à Λ.
Les quasicristaux au sens de l’approximation diophantienne
sont des ensembles de Meyer, mais la réciproque est fausse.
Contre-exemple : si
√
Λ = Z ∪ {Z + 2}
Alors
(Λ∗e )∗e = Z ∪ {Z +
√
2} ∪ {Z −
√
2}
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Soit Γ un réseau de Rn × Rm et p1 , p2 les projections sur Rn et
sur Rm . On suppose que p1 : Γ → p1 (Γ) ⊂ Rn est injective et
que p2 (Γ) est un sous-groupe dense de Rm .
Troisième notion de quasicristal
Soit K ⊂ Rm un ensemble compact, Riemann-intégrable et
d’intérieur non vide.
L’ensemble modèle ou “coupe et projection” Λ défini par Γ
et K est :
Λ (Γ, K ) = {λ = p1 (γ) ; γ ∈ Γ, p2 (γ) ∈ K }
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Supposons de plus que K est convexe et symétrique par
rapport à 0. On définit le dual de K par
K ∗ = {z ; |z · y | ≤ 1, y ∈ K }.
Soit e ∈ (0, 1) et θ tel que 2 sin(θ/2) = e, 0 < θ < π/2.
Théorème
Soit Γ et K comme ci-dessus. Alors le e-dual de l’ensemble
modèle défini par Γ et K est l’ensemble modèle défini par
Γ∗ et θK ∗ :
Λ∗e = {λ = p1 (γ∗ ) ; γ∗ ∈ Γ∗ , p2 (γ∗ ) ∈ θK ∗ }
et le e-dual de Λ∗e est Λ.
Un ensemble “coupe et projection” est un quasicristal au sens
de l’approximation diophantienne, mais la réciproque est
fausse. Contre-exemple :
√
√
Λ = Z ∪ {Z + 2} ∪ {Z − 2}
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La formule de Poisson en dimension 1 s’écrit
(µ =
∑ δn ) ⇒ (µ̂ = 2π ∑
n ∈Z
δn )
n∈2πZ
Soit Λ un ensemble “coupe et projection” défini par Γ et K :
Λ = {λ = p1 (γ) ; γ ∈ Γ, p2 (γ) ∈ K }. Soit ϕ une fonction de
Rm nulle en-dehors de K .
Théorème
Soit µ la somme de masses de Dirac sur Λ :
µ=
∑
γ∈Γ, p2 (γ)∈K
ϕ(p2 (γ))δp1 (γ)
Alors sa transformée de Fourier est
µ̂ =
(2π )n
vol (Γ)
∑∗ ϕ̂(p2 (γ∗ )) δp (γ∗ )
Γ
1
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Soit f une fonction de Rn et e > 0. Les τ vérifiant (a) sont les
e-presque-périodes de f :
∀x ∈ Rn , |f (x + τ ) − f (x )| ≤ e
(a)
La fonction f est presque-périodique au sens de Bohr si pour
tout e > 0, l’ensemble de ses e-presque-périodes est
relativement dense dans Rn .
Une mesure de Rn est presque-périodique si ∀f ∈ Cc (Rn ), la
convolée µ ∗ f est presque-périodique.
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Théorème
Soit Λ un ensemble “coupe et projection” et ϕ ∈ Cc (Rn ) telle
0
que | ϕ(x )| ≤ 1+|xC|2n+1 et | ϕ̂(χ)| ≤ 1+|χC|2n+1 .
Soit
µ=
∑ ϕ(p2 (γ))δp1 (γ)
γ∈Γ, p2 (γ)∈K
Alors µ et µ̂ sont des mesures de Radon presque-périodiques.
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Soit Λ un ensemble modélisant un métal et soit µ la somme de
masses de Dirac sur Λ :
µ=
∑
λ∈Λ
δλ
La figure de diffraction du métal est modélisée par la
transformée de Fourier de µ̂. Si
µ̂ =
∑
λ∗ ∈Λ∗
aλ∗ δλ∗ + νcontinue
on observe des pics lumineux d’intensité proportionnelle à
|aλ∗ |2 . La figure de diffraction est essentiellement discrète.
Quatrième notion de quasicristal
En cristallographie, Λ est un cristal apériodique si sa figure
de diffraction est essentiellement discrète.
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Soit Λ soit un ensemble “coupe et projection” (Γ,K). On
suppose p1 : Γ → p1 (Γ) ⊂Rn injective, p2 (Γ) dense dans Rm ,
p2 : Γ → p2 (Γ) ⊂ Rm injective, et p1 (Γ) dense dans Rn . Soit
∑
µ=
γ∈Γ, p2 (γ)∈K
Alors
µ̂ =
(2π )n
vol (Γ)
δp1 (γ)
∑∗ 1K (p2 (γ∗ ))δp (γ∗ )
Γ
1
Les pics lumineux apparaissent à chaque point θ de
Θ = {p1 (γ∗ ) ; γ∗ ∈ Γ∗ }, dense dans Rn : absurde ?
Soit s la sensibilité de l’appareil de détection. Les pics lumineux
apparaissent en réalité à chaque point θ de
0
Θs = {p1 (γ∗ ) ; γ∗ ∈ Γ∗ , |p2 (γ∗ )| ∈ B (0, sC
n+1 )}.
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On n’observe pas le quasicristal infini Λ, auquel est associé
µ = ∑λ∈Λ δλ ,
mais un échantillon ΛR = Λ ∩ B (0, R ), auquel est associé
µR = ∑λ∈ΛR δλ = µ · 1B (0,R ) .
La transformée de Fourier de µR est
µ̂R = µ̂ ∗ 1̂B (0,R ) = µ̂ ∗
sin Rx
x
Théorème
µ̂R (x ) =
∑∗
y ∈Λ
sin R (x − y )
* µ̂ = 2π ∑ δy
R
y ∈Λ∗
Cette convergence s’effectue au sens des distributions. Elle n’a
pas lieu au sens des mesures. Effet sur la figure de diffraction ?
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