Quasicristaux et mesures presque-périodiques

Ensembles de Meyer Approximation diophantienne Ensembles “coupe et projection” Mesures presque-périodiques Figure de diffraction
Quasicristaux et mesures
presque-périodiques
Claire Delplancke
Sous la direction d’Yves Meyer
24 juin 2010
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Ensembles de Meyer Approximation diophantienne Ensembles “coupe et projection” Mesures presque-périodiques Figure de diffraction
Qu’est-ce qu’un quasicristal ?
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Ensembles de Meyer
Approximation diophantienne
Ensembles “coupe et projection”
Mesures presque-périodiques
Figure de diffraction
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Un réseau est un sous-groupe de Rnà quotient compact. On
peut l’écrire sous la forme Λ=A(Zn)où A est une matrice
inversible de Rn.
La propriété de sous-groupe peut s’écrire Λ−Λ⊂Λ.
Soit Λun sous-ensemble de Rn
•Λest uniformément discret si ∃R1>0 tel que toute
boule de rayon R1contienne au plus un point de Λ.
•Λest relativement dense si ∃R2>0 tel que toute boule
de rayon R2contienne au moins un point de Λ.
•Λest un ensemble de Delone s’il vérifie les deux
propriétés précédentes.
Première notion de quasicristal
Un ensemble de Meyer est un ensemble de Delone Λtel qu’il
existe un ensemble fini F⊂Rntel que Λ−Λ⊂Λ+F.
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Soit Λ⊂Rnet e∈(0,2). Son e-dual est Λ∗
e:
Λ∗
e={τ;|exp(iτλ)−1| ≤ e,λ∈Λ}
Si Λest le réseau A(Zn)et si e∈(0,1), alors
Λ∗
e=Λ∗
0= (2π)n(det A)˜
A−1(Zn)
où ˜ Ala transposée de la comatrice de A. Le dual de Λ∗
eest Λ.
Théorème
Un ensemble Λest un ensemble de Meyer si et seulement si il
satisfait aux deux conditions suivantes :
(2.1) Λest un ensemble de Delone
(2.2) Pour tout ecompris entre 0 et 1, Λ∗
eest un ensemble de
Delone.
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