Suites et séries numériques

Suites et s´eries num´eriques
MP Lyc´ee Clemenceau
Table des mati`eres
I Suites r´eelles ou complexes 2
1) Quelques rappels ............................................... 2
a) G´en´eralit´es ............................................... 2
b) Convergence et limite ......................................... 2
c) Relations de comparaisons ...................................... 4
2) Compl´ements ................................................. 4
II S´eries de nombres r´eels ou complexes 5
1) Rappels .................................................... 5
2) S´eries altern´ees ................................................ 6
3) S´eries `a termes r´eels positifs ......................................... 7
4) S´eries quelconques .............................................. 10
5) Sommation des relations de comparaisons ................................. 11
III Familles sommables 12
1) D´enombrabilit´e ................................................ 12
2) Familles sommables ............................................. 15
3) S´eries doubles ................................................. 18
1

Suites r´eelles ou complexes MP 2015-16 2
I Suites r´eelles ou complexes
1) Quelques rappels
a) G´en´eralit´es
Une suite d´efinie sur un ensemble est une application de IN dans cet ensemble.
D´efinition I - 1 : Majoration
Soit (un)n∈IN une suite r´eelle,
i) on dit que cette suite est major´ee si : ∃M∈IR /∀n∈IN, un≤M
ii) on dit que cette suite est minor´ee si : ∃m∈IR /∀n∈IN, m ≤un
iii) la suite est born´ee si elle est major´ee et minor´ee.
Proposition I - 1 :
Une suite r´eelle est born´ee si et seulement si la valeur absolue de la suite est major´ee.
D´efinition I - 2 : Cas complexe
Une suite complexe est born´ee si la suite des modules des termes de la suite est major´ee.
D´efinition I - 3 : Suites extraites
Soit U= (un)n∈IN une suite d’´el´ements de K. On appelle suite extraite de Utoute suite V= (vn)n∈IN
telle qu’il existe une application ϕde IN dans IN strictement croissante et telle que ∀n∈IN, vn=uϕ(n).
b) Convergence et limite
D´efinition I - 4 : Convergence
Soit U= (un)n∈IN une suite d’´el´ements de K. On dit que cette suite est convergente s’il existe `∈Ktel
que
∀ε > 0∃n0∈IN /∀n>n0|un−`|6ε
Propri´et´e I - 1 : Limite
Si la suite (un)n∈IN est convergente alors, avec la notation de la d´efinition, `est unique et est appel´ee
limite (finie) de la suite.
Propri´et´e I - 2 :
Toute suite convergente est born´ee.
Propri´et´e I - 3 :
Toute suite de nombres r´eels convergent vers un nombre strictement positif est minor´ee par un nombre
strictement positif `a partir d’un certain rang.
Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.

1) Quelques rappels MP 2015-16 3
Proposition I - 2 : Structure de l’ensemble des suites convergentes
L’ensemble des suites r´eelles ou complexes convergentes est un K-espace vectoriel.
De plus l’application qui `a une suite associe sa limite est une application lin´eaire.
L’ensemble des suites r´eelles ou complexes convergentes est aussi un anneau.
On dit que c’est une K-alg`ebre.
D´efinition I - 5 : Limite infinie
Une suite (un)n∈IN diverge vers plus l’infini (resp. moins l’infini) ou a pour limite +∞(resp. −∞ ) si
∀A∈IR,∃n0∈IN / n > n0⇒un>A
resp. ∀A∈IR,∃n0∈IN / n > n0⇒un6A
Notation :
Dans le cas d’une suite convergente vers `∈IR ou d’une suite divergente vers `=±∞, on note, pour
`∈IR, un→`.
Propri´et´e I - 4 : Limites de suites extraites
Si Uest une suite admettant une limite `∈IR alors toute suite extraite admet `comme limite.
Remarque : pratique
on peut utiliser cette propri´et´e pour montrer qu’une suite est divergente (ou n’a pas de limite) en exhibant une
suite extraite divergente ou deux suites extraites n’ayant pas la mˆeme limite.
Th´eor`eme I - 1 : limites par encadrement
Soient U= (un)n∈IN,V= (vn)n∈IN et W= (wn)n∈IN trois suites r´eelles v´erifiant :
∀n∈IN un6vn6wn
On a alors les r´esultats suivants
1) si Uet Wconvergent vers une mˆeme limite (finie) alors Vconverge aussi vers cette limite.
2) si Udiverge vers +∞alors Vet W´egalement.
3) si Wdiverge vers −∞ alors Uet V´egalement.
Th´eor`eme I - 2 : de la limite monotone
Toute suite r´eelle monotone poss`ede une limite dans IR.
Autrement dit : toute suite monotone born´ee est convergente, toute suite monotone non born´ee diverge
vers ±∞.
D´efinition I - 6 : Suites adjacentes
Deux suites r´eelles U= (un)n∈IN et V= (vn)n∈IN sont dites adjacentes si
– l’une est croissante et l’autre d´ecroissante
– la diff´erence des deux est une suite convergente vers 0.
Remarque : in´egalit´e
A l’aide de la d´efinition on a : si Uest croissante et Vd´ecroissante alors ∀n∈IN, un6vn. Dans le cas
contraire on aurait une contradiction avec la convergence vers 0du fait de la monotonie.

2) Compl´ements MP 2015-16 4
Th´eor`eme I - 3 :
Deux suites adjacentes convergent et ont mˆeme limite.
c) Relations de comparaisons
D´efinition I - 7 :
Soit α= (αn)n∈IN une suite de KIN.
Soit U= (un)n∈IN une suite de KIN. On a les d´efinitions suivantes :
–domination :Uest domin´ee par αs’il existe A∈IR∗
+tel que, `a partir d’un certain rang |un|6A|αn|.
On note alors un=O(αn) (lire ”grand O” de ..)
–pr´epond´erance ou n´egligeabilit´e :Uest n´egligeable devant αsi pour tout ε > 0, `a partir d’un
certain rang, |un|6ε|αn|.
On note alors un=o(αn) (lire ”petit o” de ..)
–´equivalence :Uest ´equivalente `a αsi un−αn=o(αn), ou (ce qui revient au mˆeme) un−αn=o(un).
On note alors un∼αn.
Remarque : autres formulations
Par la d´efinition des diff´erentes notions sur les suites on peut donner les d´efinitions suivantes :
•Uest domin´ee par αs’il existe une suite born´ee (βn)n∈IN telle qu’`a partir d’un certain range un=βnαn.
•Uest n´egligeable devant αs’il existe une suite (βn)n∈IN convergeant vers 0 telle qu’`a partir d’un certain
range un=βnαn.
•Uest ´equivalente `a αs’il existe une suite (βn)n∈IN convergeant vers 1 telle qu’`a partir d’un certain range
un=βnαn.
Remarque : αnon nulle `a partir d’un certain rang
De part les d´efinitions des diff´erentes propri´et´es sur les suites on peut aussi dire :
•Uest domin´ee par αsi la suite un
αnest born´ee.
•Uest n´egligeable devant αsi la suite un
αnest convergente vers 0.
•Uest ´equivalente `a αsi la suite un
αnest convergente vers 1.
Exemple : Si un=O(1) cela signifie que la suite est born´ee.
Si un=o(1) cela signifie que la suite converge vers 0.
Propri´et´e I - 5 : Suites ´equivalentes
Deux suites r´eelles ´equivalentes ont mˆeme signe `a partir d’un certain rang.
Deux suites ´equivalentes ont mˆeme comportement asymptotique.
Exemple : `a connaitre
Formule de Stirling :
n!∼√2πn n
en
2) Compl´ements
D´efinition I - 8 : Valeurs d’adh´erence
D´efinition : on appelle valeur d’adh´erence d’une suite d’´el´ements de K, tout ´el´ement de Klimite d’une
suite extraite de cette suite.
Exemple : -1 et 1 sont les deux valeurs d’adh´erence de la suite ((−1)n)n∈IN.
Propri´et´e I - 6 :
une suite convergente admet sa limite pour unique valeur d’adh´erence.

S´eries de nombres r´eels ou complexes MP 2015-16 5
NB : le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass peut s’´enoncer ainsi : dans IR ou C, toute suite born´ee admet au
moins une valeur d’adh´erence.
II S´eries de nombres r´eels ou complexes
1) Rappels
D´efinition II - 1 : S´erie formelle
Soit (un)n∈IN une suite de nombres r´eels ou complexes. On appelle s´erie de terme g´en´eral unla suite
(Sn)n∈IN d´efinie par Sn=
n
X
k=0
un.
Le terme de cette suite est appel´e somme partielle de la s´erie.
On note Punou X
n>0
uncette s´erie.
D´efinition II - 2 : S´erie convergente
Soit Punune s´erie, on dit que la s´erie est convergente si la suite des sommes partielles converge.
On note alors +∞
X
n=0
un= lim
n→+∞
n
X
k=0
un
la limite de la suite et on dit que c’est la somme de la s´erie.
Si on note Scette limite, S−Sn=
+∞
P
k=n+1
ukest appel´e reste d’orde n.
Une s´erie qui n’est pas convergente est dite divergente.
Remarque : convergence et reste
D’apr`es la d´efinition on a directement que le reste d’une s´erie convergente est une suite qui converge vers 0
Proposition II - 1 :
Si la s´erie Punconverge alors la suite (un)n∈IN converge vers 0.
Remarque : importante
la condition lim
n→+∞un= 0 est donc une condition n´ecessaire mais loins d’ˆetre suffisante. Il suffit de regarder la
s´erie harmonique.
Lorsque suite (un)n∈IN ne converge pas vers 0 on dit que la s´erie est grossi`erement divergente.
Proposition II - 2 : Espaces des s´eries convergentes
L’ensemble des s´eries convergentes est un espace vectoriel.
De plus l’application qui `a une s´erie associe sa somme est lin´eaire.
Propri´et´e II - 1 :
Une s´erie `a termes complexes converge si et seulement si la s´erie des parties r´eelles et la s´erie des parties
imaginaires convergent.
D´emonstration : Cela vient directement de la propri´et´e sur les suites.
Propri´et´e II - 2 : S´erie g´eom´etrique
La s´erie Pznavec z∈Cest convergente si et seulement si |z|<1
De plus sa somme est alors 1
1−z.