Suites et séries numériques

Suites et séries numériques
MP Lycée Clemenceau
Table des matières
I
II
Suites réelles ou complexes
1) Quelques rappels . . . . . . . . .
a) Généralités . . . . . . . . .
b) Convergence et limite . . .
c) Relations de comparaisons
2) Compléments . . . . . . . . . . .
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2
2
2
2
4
4
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Séries de nombres réels ou complexes
1) Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . .
3) Séries à termes réels positifs . . . . . . . .
4) Séries quelconques . . . . . . . . . . . . .
5) Sommation des relations de comparaisons
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5
. 5
. 6
. 7
. 10
. 11
III Familles sommables
12
1) Dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2) Familles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3) Séries doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
Suites réelles ou complexes
I
2
Suites réelles ou complexes
1)
a)
MP 2015-16
Quelques rappels
Généralités
Une suite définie sur un ensemble est une application de IN dans cet ensemble.
Définition I - 1 : Majoration
Soit (un )n∈IN une suite réelle,
i) on dit que cette suite est majorée si : ∃M ∈ IR /
∀n ∈ IN, un ≤ M
ii) on dit que cette suite est minorée si : ∃m ∈ IR /
∀n ∈ IN, m ≤ un
iii) la suite est bornée si elle est majorée et minorée.
Proposition I - 1 :
Une suite réelle est bornée si et seulement si la valeur absolue de la suite est majorée.
Définition I - 2 : Cas complexe
Une suite complexe est bornée si la suite des modules des termes de la suite est majorée.
Définition I - 3 : Suites extraites
Soit U = (un )n∈IN une suite d’éléments de K. On appelle suite extraite de U toute suite V = (vn )n∈IN
telle qu’il existe une application ϕ de IN dans IN strictement croissante et telle que ∀n ∈ IN, vn = uϕ(n) .
b)
Convergence et limite
Définition I - 4 : Convergence
Soit U = (un )n∈IN une suite d’éléments de K. On dit que cette suite est convergente s’il existe ` ∈ K tel
que
∀ε > 0 ∃n0 ∈ IN / ∀n > n0 |un − `| 6 ε
Propriété I - 1 : Limite
Si la suite (un )n∈IN est convergente alors, avec la notation de la définition, ` est unique et est appelée
limite (finie) de la suite.
Propriété I - 2 :
Toute suite convergente est bornée.
Propriété I - 3 :
Toute suite de nombres réels convergent vers un nombre strictement positif est minorée par un nombre
strictement positif à partir d’un certain rang.
Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.
1)
Quelques rappels
MP 2015-16
3
Proposition I - 2 : Structure de l’ensemble des suites convergentes
L’ensemble des suites réelles ou complexes convergentes est un K-espace vectoriel.
De plus l’application qui à une suite associe sa limite est une application linéaire.
L’ensemble des suites réelles ou complexes convergentes est aussi un anneau.
On dit que c’est une K-algèbre.
Définition I - 5 : Limite infinie
Une suite (un )n∈IN diverge vers plus l’infini (resp. moins l’infini) ou a pour limite +∞ (resp. −∞ ) si
∀A ∈ IR, ∃n0 ∈ IN
/
resp. ∀A ∈ IR, ∃n0 ∈ IN
n > n0 ⇒ un > A
/
n > n0 ⇒ un 6 A
Notation :
Dans le cas d’une suite convergente vers ` ∈ IR ou d’une suite divergente vers ` = ±∞, on note, pour
` ∈ IR, un → `.
Propriété I - 4 : Limites de suites extraites
Si U est une suite admettant une limite ` ∈ IR alors toute suite extraite admet ` comme limite.
Remarque : pratique
on peut utiliser cette propriété pour montrer qu’une suite est divergente (ou n’a pas de limite) en exhibant une
suite extraite divergente ou deux suites extraites n’ayant pas la même limite.
Théorème I - 1 : limites par encadrement
Soient U = (un )n∈IN , V = (vn )n∈IN et W = (wn )n∈IN trois suites réelles vérifiant :
∀n ∈ IN
un 6 vn 6 wn
On a alors les résultats suivants
1) si U et W convergent vers une même limite (finie) alors V converge aussi vers cette limite.
2) si U diverge vers +∞ alors V et W également.
3) si W diverge vers −∞ alors U et V également.
Théorème I - 2 : de la limite monotone
Toute suite réelle monotone possède une limite dans IR.
Autrement dit : toute suite monotone bornée est convergente, toute suite monotone non bornée diverge
vers ±∞.
Définition I - 6 : Suites adjacentes
Deux suites réelles U = (un )n∈IN et V = (vn )n∈IN sont dites adjacentes si
– l’une est croissante et l’autre décroissante
– la différence des deux est une suite convergente vers 0.
Remarque : inégalité
A l’aide de la définition on a : si U est croissante et V décroissante alors ∀n ∈ IN, un 6 vn . Dans le cas
contraire on aurait une contradiction avec la convergence vers 0 du fait de la monotonie.
2)
Compléments
MP 2015-16
4
Théorème I - 3 :
Deux suites adjacentes convergent et ont même limite.
c)
Relations de comparaisons
Définition I - 7 :
Soit α = (αn )n∈IN une suite de KIN .
Soit U = (un )n∈IN une suite de KIN . On a les définitions suivantes :
– domination : U est dominée par α s’il existe A ∈ IR∗+ tel que, à partir d’un certain rang |un | 6 A|αn |.
On note alors un = O (αn ) (lire ”grand O” de ..)
– prépondérance ou négligeabilité : U est négligeable devant α si pour tout ε > 0, à partir d’un
certain rang, |un | 6 ε|αn |.
On note alors un = o (αn ) (lire ”petit o” de ..)
– équivalence : U est équivalente à α si un − αn = o (αn ), ou (ce qui revient au même) un − αn = o (un ).
On note alors un ∼ αn .
Remarque : autres formulations
Par la définition des différentes notions sur les suites on peut donner les définitions suivantes :
• U est dominée par α s’il existe une suite bornée (βn )n∈IN telle qu’à partir d’un certain range un = βn αn .
• U est négligeable devant α s’il existe une suite (βn )n∈IN convergeant vers 0 telle qu’à partir d’un certain
range un = βn αn .
• U est équivalente à α s’il existe une suite (βn )n∈IN convergeant vers 1 telle qu’à partir d’un certain range
un = βn αn .
Remarque : α non nulle à partir d’un certain rang
De part les définitions des différentes propriétés
sur les suites on peut aussi dire :
• U est dominée par α si la suite αunn est bornée.
• U est négligeable devant α si la suite αunn est convergente vers 0.
• U est équivalente à α si la suite αunn est convergente vers 1.
Exemple : Si un = O(1) cela signifie que la suite est bornée.
Si un = o(1) cela signifie que la suite converge vers 0.
Propriété I - 5 : Suites équivalentes
Deux suites réelles équivalentes ont même signe à partir d’un certain rang.
Deux suites équivalentes ont même comportement asymptotique.
Exemple : à connaitre
Formule de Stirling :
n! ∼
2)
√
2πn
n n
e
Compléments
Définition I - 8 : Valeurs d’adhérence
Définition : on appelle valeur d’adhérence d’une suite d’éléments de K, tout élément de K limite d’une
suite extraite de cette suite.
Exemple : -1 et 1 sont les deux valeurs d’adhérence de la suite ((−1)n )n∈IN .
Propriété I - 6 :
une suite convergente admet sa limite pour unique valeur d’adhérence.
Séries de nombres réels ou complexes
MP 2015-16
5
NB : le théorème de Bolzano-Weierstrass peut s’énoncer ainsi : dans IR ou C, toute suite bornée admet au
moins une valeur d’adhérence.
II
1)
Séries de nombres réels ou complexes
Rappels
Définition II - 1 : Série formelle
Soit (un )n∈IN une suite de nombres réels ou complexes. On appelle série de terme général un la suite
n
X
(Sn )n∈IN définie par Sn =
un .
k=0
Le terme de cette X
suite est appelé somme partielle de la série.
P
On note
un ou
un cette série.
n>0
Définition
II - 2 : Série convergente
P
Soit
un une série, on dit que la série est convergente si la suite des sommes partielles converge.
On note alors
+∞
n
X
X
un = lim
un
n=0
n→+∞
k=0
la limite de la suite et on dit que c’est la somme de la série.
+∞
P
Si on note S cette limite, S − Sn =
uk est appelé reste d’orde n.
k=n+1
Une série qui n’est pas convergente est dite divergente.
Remarque : convergence et reste
D’après la définition on a directement que le reste d’une série convergente est une suite qui converge vers 0
Proposition
P II - 1 :
Si la série
un converge alors la suite (un )n∈IN converge vers 0.
Remarque : importante
la condition lim un = 0 est donc une condition nécessaire mais loins d’être suffisante. Il suffit de regarder la
n→+∞
série harmonique.
Lorsque suite (un )n∈IN ne converge pas vers 0 on dit que la série est grossièrement divergente.
Proposition II - 2 : Espaces des séries convergentes
L’ensemble des séries convergentes est un espace vectoriel.
De plus l’application qui à une série associe sa somme est linéaire.
Propriété II - 1 :
Une série à termes complexes converge si et seulement si la série des parties réelles et la série des parties
imaginaires convergent.
Démonstration : Cela vient directement de la propriété sur les suites.
Propriété
- 2 : Série géométrique
P II
La série
z n avec z ∈ C est convergente si et seulement si |z| < 1
1
.
De plus sa somme est alors
1−z
2)
Séries alternées
MP 2015-16
6
Démonstration : Lorsque z = 1 la suite est constante et la série clairement divergente (grossièrement).
On suppose z 6= 1.
n
n
X
X
1 − z n+1
Par propriété des suites géométriques on a Sn =
uk = u0
.
z k = u0
1−z
k=0
k=0
+∞
X
1
On obtient alors le résultat et de plus
zn =
1−z
n=0
Propriété II - 3 : Suite-série
P
Soit (un )n∈IN une suite d’éléments de K. On a que la suite (un )n∈IN et la série (un+1 − un ) ont même
nature.
2)
Séries alternées
Définition II - 3 :
P
On appelle série alternée toute série réelle
un telle la suite ((−1)n un )n∈IN est de signe constant.
Théorème II - 1 : Critère spécial
des séries alternées ou critère de Leibniz
P
On considère une série alternée
un .
P
Si la suite (|un |)n∈IN est décroissante et convergente vers 0 alors la série
un est convergente.
3)
Séries à termes réels positifs
MP 2015-16
7
Propriété
II - 4 : Majoration du reste
P
Soit
un une série alternée convergente. Si on note L sa somme on a
∀n ∈ IN
3)
|L − Sn | ≤ |un+1 |
Séries à termes réels positifs
Dans cette partie on ne considère que des séries à termes réels et positifs.
Théorème II - 2P
: Convergence
Pour qu’une série
un de nombres réels positifs converge, il faut et il suffit que la suite des sommes
partielles soit majorée.
De plus on a
+∞
X
un = lim Sn = sup Sn
n=0
n→+∞
n∈IN
Démonstration : Soit (un )n∈IN une suite de réels à termes positifs. On note Sn =
n
X
uk . On a alors
k=0
Sn+1 − Sn = un+1 ≥ 0
La suite des sommes partielles est donc croissante.
Par propriété des suites réelles monotones, la suite converge si et seulement si elle est majorée. De plus sa limite
est égale à la borne supérieure de ses termes.
Définition II - 4 :
On appelle série de Riemann toute série de la forme
X 1
avec α ∈ IR
nα
3)
Séries à termes réels positifs
MP 2015-16
8
Propriété II - 5 : Convergence
X 1
La série de Riemann
est convergente si α > 1.
nα
Elle diverge si α ≤ 1
Démonstration :
Théorème II - 3 :
Soient (u
Pn )n∈IN et (αn )n∈IN deux suites
P de nombres réels positifs telles que un = O (αn ). On a alors, si
la série
αn converge alors la série
un converge aussi.
Démonstration : Par hypothèse il existe un réel M strictemtent positif tel que pour tout n (ou pour n assez
grand) un ≤ M αn . On a donc
n
n
X
X
uk ≤ M
αk
k=0
Si on suppose que la série
P
k=0
αn converge, alors pour tout entier n on a
n
X
uk ≤ M
k=0
La suite
n
P
k=0
n
X
αk ≤ M
k=0
+∞
X
αk
k=0
uk
est donc majorée, et par suite elle converge.
n∈IN
Corollaire II - 1 :
Si un ∼ vn alors les séries ont même nature.
Corollaire II - 2 : Application pratique (critère de Riemann)
1. si une suite (un )n∈IN vérifie un = O
2. si une suite (un )n∈IN vérifie
1
nα
1
nα
avec α > 1 alors elle est convergente.
= O (un ) avec α ≤ 1 alors elle est divergente
Proposition II - 3 :
Soient (un )n∈IN et (vn )n∈IN deux suites de réels strictement positifs.
un+1
vn+1
On suppose qu’il existe n0 ∈ IN tel que ∀n ≥ n0
≤
un
vn
Alors :
P
P
1) si la série
un diverge alors
vn diverge
P
P
2) si la série
vn converge alors
un converge et de plus pour n ≥ n0
+∞
X
k=n+1
uk ≤
+∞
un X
vk
vn
k=n+1
Démonstration : Il suffit de faire le produit d’inégalité pour obtenir (ou par récurrence)
un
vn
≤
un0
vn0
3)
Séries à termes réels positifs
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9
Corollaire II - 3 :
Soit (un )n∈IN une suite de réels strictement positifs
P
un+1
≤ k, alors la série
un converge et
un
1) S’il existe k ∈ ]0, 1[ et n0 ∈ IN tels que pour tout n ≥ n0
pour tout n ≥ n0
+∞
X
0 ≤ Rn =
uk ≤
k=n+1
k.un
1−k
P
un+1
2) S’il existe n0 ∈ IN tels que pour tout n ≥ n0
≥ 1 alors la série
un diverge (grossièrement)
un
Démonstration :
1) Cela consiste à comparer la suite à une suite géométrique de raison k
2) La suite est alors croissante et ne peut converger vers 0
Théorème II - 4 : Règle de D’Alembert
un+1
S’il existe λ tel que lim
= λ alors :
n→+∞ un
P
a) si λ < 1 la série
un converge
b) si λ > 1 la série diverge
c) si λ = 1, on ne peut rien dire.
Démonstration :
un+1
a) si λ < 1, on considère k tel que λ < k < 1. comme lim
= λ, on peut trouver n0 tel que pour n > n0
n→+∞ un
un+1
< k (penser k = λ + ε )
un
un+1
b) si λ > 1, alors on peut trouver n0 tel que pour n > n0
> 1 (penser 1 = l − ε )
un
P 1
P1
c) exemples :
n2 converge alors que
n diverge.
Théorème II - 5 : Comparaison série-intégrale
Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, +∞[ et positive.
On suppose de Zplus que f est décroissante.
n
On pose wn =
f (t) dt − f (n) pour n ≥ a + 1.
Xn−1
Alors la série
wn est convergente
Démonstration : On a
N
X
k=n0
wk =
N
X
Z
!
k
f (t) dt − f (k)
Z
k−1
k=n0
N
f (t) dt −
=
n0
or comme f est décroissante, on a
f (k) ≤ f (t) ≤ f (k − 1)
d’où
Z
k
f (k) ≤
f (t) ≤ f (k − 1)
k−1
et donc
0
≤
0
≤
wk ≤ f (k − 1) − f (k)
N
X
k=n0
wk ≤ f (n0 ) − f (N ) ≤ f (n0 )
N
X
k=n0
f (k)
4)
4)
Séries quelconques
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10
Séries quelconques
Définition II - 5 : Absolue convergence
X
X
Une série
un est dite absolument convergente si la série
|un | est convergente.
Théorème II - 6 :
toute série X
absolument convergente est convergente.
De plus si
un est une telle série, on a
+∞ +∞
X X
un ≤
|un |
n=0
n=0
Démonstration : On va commencer
P par le cas réel.
Soit (un )n∈IN telle que la série
un est absolument convergente. On définie alors deux suites (vn )n∈IN et
(wn )n∈IN par :
un si un ≥ 0
0 si un ≥ 0
∀n ∈ IN
vn =
wn =
0 si un ≤ 0
−un si un ≤ 0
P
|un | est
Les deux suites sont alors à P
termes positifs.
De plus elles sont majorées par (|un |) , comme la série
P
convergente, les deux séries
vn et P wn sont aussi convergentes.
De plus un = vn − wn , donc la série
un , par propriété algébrique, est aussi convergente.
L’inégalité recherchée vient de l’inégalité triangulaire des sommes partielles.
Dans le cas où la suite est
P complexe,
P il suffit d’écrire un = an + ibn . Comme on a |an | ≤ |un | et |bn | ≤ |un | , on
en déduit que les séries
a
et
bn sont absolument convergente et donc convergentes.
n
P
Par propriété la série
un est alors convergente.
Proposition II - 4 : Série exponentielle
X zn
Pour tout nombre complexe z, la série
est absolument convergente.
n!
n
+∞
P z
Par définition on a exp (z) =
.
n=0 n!
Démonstration : par la règle de d’Alembert
Définition II - 6 : Produit de Cauchy
On appelle produit de Cauchy de deux séries
P
un et
P
vn la série
P
wn définie par wn =
n
P
uk vn−k
k=0
Théorème P
II - 7 : P
Convergence
P
Si les séries
un et
vn sont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy
wn l’est aussi.
+∞
+∞
+∞
X
X
X
De plus dans ce cas
wn =
un
vn
n=0
n=0
n=0
Démonstration : On considère des séries à termes positifs
En écrivant les sommes partielles Un , Vn et Wn , on a Wn ≤ Un Vn ≤ W2n
La première inégalité donne la convergence
Puis la seconde la double inégalité
5)
5)
Sommation des relations de comparaisons
MP 2015-16
11
Sommation des relations de comparaisons
Théorème II - 8 : Séries divergentes
X
Soit
αn une série à termes réels positifs divergente.
1) Si
2) Si
X
X
un est une série à termes complexes telle que un = O (αn ) alors
un est une série à termes complexes telle que un = o (αn ) alors
n
X
n
X
uk = O
k=0
n
X
k=0
n
X
k=0
k=0
uk = o
!
αn .
!
αn .
X
X
3) Si
un est une série réelle à termes positifs telle que un ∼ αn alors la série
un diverge et
n
n
X
X
uk ∼
αk .
k=0
k=0
Théorème II - 9 : Séries convergentes
X
Soit
αn une série à termes réels positifs convergente.
1) Si
X
un est une série à termes complexes telle que un = O (αn ) alors
+∞
X
uk = O
k=n+1
2) Si
X
un est une série à termes complexes telle que un = o (αn ) alors
+∞
X
k=n+1
uk = o
!
+∞
X
αn .
k=n+1
+∞
X
!
αn .
k=n+1
X
X
3) Si
un est une série réelle à termes positifs telle que un ∼ αn alors la série
un converge et
+∞
+∞
X
X
αk .
uk ∼
k=n+1
k=n+1
Familles sommables
III
1)
MP 2015-16
12
Familles sommables
Dénombrabilité
Définition III - 1 : Rappel : ensemble fini
Un ensemble est fini s’il est vide ou s’il existe un entier n non nul et une bijection de E dans [[1, n]].
n est alors le cardinal de l’ensemble.
Le cardinal de l’ensemble vide est 0.
Définition III - 2 : Dénombrable
On dit qu’un ensemble E non vide est dénombrable si il existe une bijection de IN vers E.
Un ensemble est au plus dénombrable lorsqu’il est fini ou dénombrable.
Propriété III - 1 : Parties de IN
Les parties de IN sont au plus dénombrables.
Plus exactement une partie de IN est finie ou, sinon, il existe une unique bijection strictement croissante
de IN dans cette partie.
Démonstration : Soit A une partie de IN.
• Si A est finie alors elle est au plus dénombrable.
Supposons A infini. Comme l’ensemble vide est considéré fini de cardinal 0, A est non vide.
Comme A est une partie non vide de IN elle contient un plus petit élément qu’on note a0 .
On considère alors A1 = A \ {a0 }. Cette partie de IN est non vide car sinon A serait fini. On peut alors
considérer son plus petit élément a1 .
On construit donc la suite des éléments de A de la façon suivante :
– On suppose avoir construit les n premiers éléments a0 , a1 ,.., an−1 qui vérifient :
a0 < a1 < .. < an−1
et
∀a ∈ A, a > an−1
On pose alors An = A \ {a0 , .., an−1 }.
An est alors une partie de IN non vide, sinon A serait finie. On pose alors an = min An .
La suite ainsi construite définit une injection strictement croissante de IN dans A.
– Montrons que cette application (définissant la suite) est surjective.
Par récurrence immédiate (comme toute application strictement croissante de IN dans lui même) on
a, pour tout n ∈ IN, an > n. Soit p ∈ A, on a donc ap > p et donc p 6∈ Ap . On en déduit que
p ∈ {a0 , .., ap−1 }.
Conclusion l’application n 7→ an est bien surjective dans A. Cette application est donc bien une bijection
strictement croissante de IN dans A. D’où A est dénombrable.
• Montrons maintenant que cette application est bien unique.
Soit ψ une autre bijection strictement croissante de IN dans A. Par monotonie et construction des An on
montre que ψ(n) = min An et on obtient l’identification avec l’application précédente.
1)
Dénombrabilité
MP 2015-16
13
Corollaire III - 1 :
Un ensemble est au plus dénombrable s’il est en bijection avec une partie de IN.
Ou encore, E est au plus dénombrable si et seulement si il existe un injection de E dans IN, ou encore
si et seulement si il existe une surjection de IN dans E.
Démonstration :
Propriété III - 2 :
Tout sous ensemble d’un ensemble dénombrable est dénombrable
Proposition III - 1 : IN × IN
L’ensemble IN × IN est dénombrable.
Démonstration : Il suffit, par exemple, de considérer l’application (p, q) 7→ 2p (2q + 1) − 1. Celle-ci est une
bijection de IN × IN dans IN.
Proposition III - 2 : Produit cartésien fini d’ensembles dénombrables
Le produit cartésien fini d’ensembles dénombrable est dénombrable.
Démonstration : Si E et F sont deux ensembles dénombrables ils sont en bijection avec IN. On peut donc
construire une bijection de E × F dans IN × IN qui est lui même en bijection avec IN.
Il suffit alors de faire une récurrence sur le nombre d’ensemble.
Proposition III - 3 : Réunion
Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.
Démonstration : (non exigible)
Le cas de la réunion finie d’ensembles finis a été vu en sup. On peut supposer, à bijection près, que la famille
des ensembles est indexée par IN, c’est à dire qu’on considère la famille F = (Ep )p∈IN .
Pour chaque ensemble Ep de cette famille il existe une surjection ϕp de IN dans Ep . On considère alors l’application de IN × IN dans F qui à (n, m) associe ϕn (m). Celle-ci est surjective donc F est au plus dénombrable.
1)
Dénombrabilité
MP 2015-16
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Proposition III - 4 : Z, Q
Les ensembles Z et Q sont dénombrables.
Démonstration : Une preuve pour Z consiste à utiliser l’application qui à n associe n/2 si n est pair (ou nul)
ou −(n + 1)/2 si n est impair.
On démontre aisément que cette application est bien bijective et donc Z est dénombrable.
On en déduit que Z × IN∗ est dénombrable. L’application de Z × IN∗ dans Q qui à (p, q) associe pq est
surjective, donc Q est dénombrable.
IN
Proposition III - 5 : {0, 1}
L’ensemble des applications de IN dans {0, 1} n’est pas dénombrable.
Démonstration :
On fait une démonstration par l’absurde.
IN
On suppose que {0, 1} est dénombrable, c’est à dire qu’il existe une suite (ϕn )n∈IN telle que tout élément
IN
de {0, 1} est un élément de cette suite. On considère alors l’application ϕ de IN dans {0, 1} qui à n associe
1 − ϕn (n). Il n’existe alors aucun n tel que ϕ = ϕn . Ceci contredit l’hypothèse.
Corollaire III - 2 : IR
l’ensemble [0, 1] n’est pas dénombrable et par suite IR n’est pas dénombrable.
Démonstration : (non exigible)
+∞
X
an
. Cette application est correcn+1
2
n=0
tement définie car les termes de la série sont majorés par les termes d’une série géométrique convergente. De
+∞
+∞
X
X
an
1
plus
6
= 1.
n+1
n+1
2
2
n=0
n=0
Cette application est surjective : ...
Elle n’est cependant pas injective car l’image de (0, 0, 0, 1, 1, ...) est identique à celle de (0, 0, 1, 0, 0, ...).
On considère alors Ω l’ensemble des suites stationnaires égale à 1 à partir d’un certain rang. Cet ensemble est
dénombrable car union dénombrable d’ensembles finis (une suite stationnaire à partir du rang n est caractérisée
par ses n premiers termes).
IN
On note alors Ω0 = {0, 1} \ Ω .
L’application définit alors une bijection de Ω0 dans [0, 1[. Si ce dernier est dénombrable alors Ω0 aussi et par
IN
union, {0, 1} aussi, ce qui est absurde.
On considère l’application de {0, 1}
IN
dans [0, 1] qui à (an )n∈IN associe
2)
Familles sommables
2)
MP 2015-16
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Familles sommables
Définition III - 3 : Sommabilité dans le cas positif
On considère une famille (ui )i∈I de réels positifs, indexée par I X
ensemble dénombrable.
La famille (ui )i∈I est dite sommable si l’ensemble des sommes
ui où J décrit l’ensemble des parties
i∈J
finies de I, est majoré ; dans ce cas, la somme de la famille (ui )i∈I est la borne supérieure de l’ensemble
précédent.
Si la famille (ui )i∈I n’est pas sommable,
Xsa somme est +∞.
Dans tous les cas, la somme est notée
ui .
i∈I
Remarque :
On a donc, pour avoir la sommabilité, l’existence de M ∈ IR∗+ tel que pour tout ensemble J fini inclus dans I,
X
on a
ui 6 M .
i∈J
(
)
X
L’ensemble a ∈ IR+ /∃J ⊂ I, fini , a =
ui est donc non vide majoré. Il admet donc une borne supérieure
i∈J
qu’on note S.
Par définition (ou caractérisation de la borne supérieure) on a donc :
X
∀ε > 0 ∃J ⊂ I finie telle que S − ε 6
ui 6 S
i∈J
Or,
X comme
Xles éléments de la famille sont positifs, on a, pour toute partie finie K de I contenant J,
ui 6
ui .
i∈J
i∈K
On en déduit que, pour tout K ⊂ I fini contenant J, S − ε 6
X
ui 6 S.
i∈K
Dans le cas où S = +∞ on écrit ∀S 0 ∃J ⊂ I finie telle que ∀K ⊂ I contenant J, S 0 6
X
ui .
i∈K
Remarque : Sous famille
Toute sous-famille sommable est sommable .
Proposition III - 6 : Comparaison
Soient (ui )i∈I et (vi )i∈I deux familles de réels positifs indexées par le même ensemble I dénombrable. On
suppose qu’il existe λ > 0 tel que ∀i ∈ I ui 6 λvi . Si (vi )i∈I est sommable alors (ui )i∈I aussi et de plus
X
X
ui 6 λ
vi .
i∈I
i∈I
Proposition III - 7 : Somme
Soient (ui )i∈I et (vi )i∈I deux familles de réels positifs indexées par le même ensemble I dénombrable. Si
ces deux familles sont sommables alors la famille (ui + vi )i∈I est aussi sommable.
X
X
X
De plus on a
ui + vi =
ui +
vi .
i∈I
i∈I
i∈I
Démonstration : En notant
S1 et S2 les sommes respectives des deux familles, on utilise la remarque pour
X
obtenir S1 + S2 − 2ε 6
(ui + vi ) 6 S1 + S2 .
i∈K
2)
Familles sommables
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Théorème III - 1 : Sommation par paquets
si (In )n∈IN est une partition de I et (ui )i∈I une famille de réels positifs, alors la famille (ui )i∈I est
sommable si et seulement si :
a) Pour tout entier n la famille (ui )i∈In est finie ou sommable.
!
X X
ui converge.
b) La série
n
i∈In
Dans ce cas :
X
ui =
i∈I
!
+∞
X
X
i=0
i∈In
ui
Démonstration : HP
Remarque :
Dans le cas ou la famille n’est pas sommable, l’une des sommes est infinie ou la série est divergente. L’écriture
finale reste correcte avec pour valeur +∞.
Définition III - 4 : Famille sommable de complexes
Soit (ui )i∈I une famille de complexes indexée par un ensemble dénombrable I. On dit que cette famille
est sommable si la famille (|ui |)i∈I l’est.
Proposition III - 8 :
−
a) Soit (ui )i∈I une famille de réels. Pour tout i ∈ I on pose u+
= min {−ui , 0}.
i = max{ui , 0} et u
i
+
−
La famille (ui )i∈I est sommable si et seulement si les familles ui i∈I et ui i∈I le sont.
b) Soit (ui )i∈I une famille de complexes, cette famille est sommable si et seulement si les familles
(<(ui ))i∈I et (=(ui ))i∈I le sont.
Démonstration :
a) Par simple majoration et utilisation de la somme de deux familles sommables.
b) on utilise |<(z)| 6 |z| 6 |<(z)| + |=(z)|.
On en déduit la définition cohérente des sommes :
Définition III - 5 : Sommes
a) Si la famille de réels (ui )i∈I est sommable, on pose
X
ui =
i∈I
b) Si la suite de complexes (ui )i∈I est sommable, on pose
X
u+
i −
i∈I
X
i∈I
ui =
X
u−
i .
i∈I
X
i∈I
<(ui ) + i
X
=(ui ).
i∈I
Propriété III - 3 : Espaces des familles sommables
L’ensemble des familles indexées par un ensemble I dénombrable et qui sont sommables, est un espace
vectoriel noté `1 (I).
De plus l’application qui à une famille associe sa somme est linéaire.
2)
Familles sommables
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Proposition III - 9 : Inégalité triangulaire
Dans le cas d’une famille sommable (ui )i∈I on a
X X
|ui |
ui 6
i∈I
i∈I
Démonstration : Dans le cas réel c’est immédiat par l’inégalité triangulaire sur les sommes finies ou en utilisant
la proposition II-6
X
Dans le cas complexe : on pose
un = reiθ . On a alors
n∈I
!
X X
X
X
X −iθ −iθ
−iθ
ui e ui e
un =
=<
ui e
=
< ui e−iθ 6
n∈I
n∈I
n∈I
n∈I
n∈I
Proposition III - 10 : Dirichlet : cas où I = IN
X
Si la série
un est absolument convergente alors est commutativement convergente. C’est-à-dire que
X
pour toute permutation σ de IN la série
uσ(n) est aussi absolument convergente et sa somme est
indépendante de σ/
Démonstration : La série
étant absolument convergente elle est convergente. On en déduit que pour tout
+∞
X
un 6 ε.
ε > 0 il existe N tel que n=N +1
Soit m ∈ IN tel que [[0, N ]] ⊂ σ ([[0, m]]). On a alors
m
m
m
+∞
X
X
X
X
uk −
uσ(k) 6
|uk | 6
|uk |
k=0
k=0
k=N +1
k=N +1
Corollaire III - 3 :
Une suite d’éléments de C est sommable si et seulement si sa série est absolument convergente. De la
somme ne dépend pas de l’ordre de sommation.
max(J)
Démonstration : Pour J fini
X
i∈J
|ui | 6
X
|un | 6
n=0
+∞
X
|un |.
n=0
Pour la réciproque on prend J = [[0, n]].
Théorème III - 2 : Sommation par paquets
si (In )n∈IN est une partition de I et (ui )i∈I une famille de complexes sommable alors :
a) Pour tout entier n la famille (ui )i∈In est finie ou sommable.
!
X X
b) La série
ui converge absolument.
n
i∈In
On a de plus :
X
i∈I
ui =
!
+∞
X
X
i=0
i∈In
ui
Démonstration : HP
On vérifiera l’hypothèse de sommabilité en appliquant le théorème de sommation par paquets à la famille
(|ui |)i∈I
3)
Séries doubles
3)
MP 2015-16
18
Séries doubles
C’est une application de la sommation par paquets.
Théorème III - 3 : Tonelli discret
La famille (am,n )(m,n)∈IN2 de réels positifs est sommable si et seulement si :
X
a) pour tout n, la série
am,n converge
!
+∞
X X
b) la série
un,m converge.
m=0
Si tel est le cas
+∞
X
+∞
X
n=0
m=0
!
un,m
=
+∞
X
+∞
X
m=0
n=0
!
un,m
Théorème III - 4 : Fubini discret
Si la famille (am,n )(m,n)∈IN2 de nombres complexes est sommable, alors :
+∞
X
+∞
X
n=0
m=0
!
un,m
=
+∞
X
+∞
X
m=0
n=0
!
un,m
Toutes les séries sont absolument convergentes.
On vérifie l’hypothèse de sommabilité en appliquant l’énoncé précédent à la famille (|am,n |)(m,n)∈IN2 .