Séquence 1 - Nombres entiers
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[email protected] 5ème – Cycle 4 i-mathematiques.com Séquence 1 – Nombres entiers En 5ème nous verrons quasiment toutes les compétences du cycle concernant les notions sur les nombres entiers. Il ne restera qu’une seule compétence à voir : • Décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers. Cette séquence permettra de (re)découvrir et travailler les notions suivantes : • • • • Maitriser le vocabulaire : Diviseur, Divisible, ……….. Mise en œuvre d’une division euclidienne. Utilisation des critères de divisibilité. Reconnaissance d’un nombre premier. Ce chapitre premier chapitre n’est pas difficile mais il nécessite un peu de pratique pour tout assimiler. Attention à bien apprendre les critères de divisibilité, ils vous seront utiles toute votre « vie scolaire » ! Cette partie concerne tout un pan vital des Mathématiques. L’arithmétique dont aujourd’hui ce cours traite est le fondement de nombreux développements … Imaginez seulement, toute la cryptographie moderne repose sur ces notions ! Et ce n’est qu’une petite partie de ce qui est envisageable avec l’arithmétique. I. Diviseurs d’un nombre entier. 1. En route vers la notion. • Parmi les nombres suivants, entourer ceux qui sont dans la table de 7 : 17 24 14 56 58 64 77 63 35 37 21 27 42 91 • On cherche à « décomposer » un nombre en un produit. Compléter les pointillés avec la bonne valeur. 6 × ...... = 18 • 5 × ...... = 40 8 × ...... = 56 Jouons au jeu de « Juniper Green ». Pour ce jeu à deux joueurs, il vous faut découper les grilles situées dans l’annexe de ce cours. Une fois les grilles découpées, suivez l’exemple et faites vos matchs ! Règle 1 : Chaque joueur, à tour de rôle, coche une case qui n’a pas encore été cochée. Règle 2 : A l’exception du premier coup, chaque joueur ne peut cocher une case que si son numéro est un diviseur ou un multiple de la case cochée au coup précédent. Règle 3 : Un joueur perd la partie lorsqu’il ne peut plus jouer en utilisant les règles précédentes. 1 [email protected] 5ème – Cycle 4 i-mathematiques.com Après quelques parties avec votre camarade, répondre aux questions suivantes : Le premier joueur démarre une nouvelle partie en cochant 12. Le second joueur coche alors le 6 en se disant qu’il est sûr de gagner. A-t-il raison ? ………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Est-il possible de choisir un nombre qui garantit au premier joueur de gagner ? ………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. Le cours. On dit qu’un nombre est un entier naturel s’il est entier …………………….. ou nul. Rappel : Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier naturel a par un nombre entier b différent de 0, c’est trouver deux nombres entiers naturels q et r tels que : a = b × q + r , avec 0 ≤ r < b Exemple : Effectuer la division euclidienne de 377 par 12. ………………………………….…………………………………………….……………………………………………………..…………………… ………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ……………………………………………….………………………………….…………………………………………………………..…………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………….………………………………….………………………………………………….……….………… Vérifier vos résultats à la calculatrice et compléter les égalités suivantes à l’aide de celle-ci : 597 = 13 × ...... + ....... 5897 = 22 × ...... + ....... 549 = 89 × ...... + ....... Soient a et b deux entiers naturels avec b ≠ 0 . Lorsque la division euclidienne de a par b donne un reste nul, on dit que : • a est un ………………………….. de b. • b est un ………………………….. de a. • ……. est divisible par ……. Exemple : La division euclidienne de 85 par 17 donne : 85 = 17 × ...... + ....... . Donner 3 phrases à l’aide de cette égalité : …………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….………………………………….…………………….. 2 [email protected] 5ème – Cycle 4 i-mathematiques.com Remarques : • 0 ne divise aucun nombre. Essayer de faire 17 : 0 sur votre calculatrice, le résultat sera sans appel ! Démonstration …………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….………………………………….…………………….. • Tout nombre est multiple de 1. Démonstration …………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….………………………………….…………………….. 3. Applications. Exercice 1 : Parmi les nombres entiers suivants, entourer ceux qui divisent 36. 1 2 4 5 6 7 9 12 18 24 36 72 360 Exercice 2 : Parmi les nombres entiers suivants, entourer ceux qui sont multiples de 14. 2 7 14 70 114 209 1414 Exercice 3 : Trouver un nombre entier supérieur à 20 qui soit multiple à la fois de 2 et 3 : ……………….. Trouver deux nombres entiers multiples de 4 et de 9 et inférieurs à 100 : ……………….. Trouver un nombre entier inférieur à 30, multiple de 4 et de 10 : ……………….. Exercice 4 : Un fleuriste reçoit une livraison de 95 dahlias. Avec tous ses dahlias, peut-il composer des bouquets de 5 dahlias ? Pourquoi ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….………………………………….…………………….. Exercice 5 : Un cuisinier a un lot de 75 crevettes. Il voudrait les répartir dans 14 assiettes, combien de crevettes peut-il mettre au maximum dans chaque assiette en sachant que leur nombre doit être le même dans chacune des assiettes. ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… 3 [email protected] II. i-mathematiques.com 5ème – Cycle 4 Critères de divisibilité. 1. En route vers la notion. Dans cette partie nous cherchons à établir des règles permettant d’affirmer qu’un nombre est divisible par un autre. Ces règles vous les connaissez déjà normalement ! • Compléter avec les nombres de votre choix le tableau suivant : Nombreaaaaaaa Somme de ses chiffres Nombre divisible par 3 ? (Oui / Non) Que remarque t-on quant à la somme des chiffres d’un nombre divisible par 3 ? ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….………………………………….…………………….. 2. Le cours. Critères de divisibilité : • Si un nombre se termine par 0, 2, 4, 6, 8 alors il est divisible par ……….. • Si la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 3 alors il est divisible par ……….. • Si les deux derniers chiffres d’un nombre entier forment un nombre divisible par 4, alors ce nombre est divisible par ……. • Si un nombre entier se termine par 0 ou 5, alors il est divisible par ……… • Si un nombre entier se termine par 0 alors il est divisible par ………. Exemples : Répondre par Vrai ou Faux, en justifiant, aux assertions suivantes : 75 est divisible par 3 : ………………………………………………….………………………………………………………….. 700 est divisible par 5 : ……………………………………………………………………………………………………………. 84 est divisible par 3 : ……………………………………………………………………………………………………………… 4 divise 92 : …………………………………………………………………………………………………………………………….. 569 est divisible par 9 : ……………………………………………………………………………………………………………. 9 765 est divisible par 9 : …………………………………………………………………………………………………………. 4 [email protected] 5ème – Cycle 4 i-mathematiques.com 3. Applications. Exercice 6 : Compléter le tableau suivant en indiquant si le nombre de gauche est divisible par le nombre du haut : 2 3 4 5 9 10 360 aaa aaaaa aa aa aaaaa aaa 456 aaa aaaaa aa 282 aaa aaaaa aa 46 221 aa aaaaa aaa 33 525 aaa aaaaa aa 6 288 Exercice 7 : Dans la série de nombres suivants, entourer en rouge les multiples de 2, en vert les multiples de 3 et en noir les multiples de 5. 5900 485 1548 452 123 584 Exercice 8 : Dans la série de nombres suivants, entourer en rouge les multiples de 4, en vert les multiples de 9 et en noir les multiples de 10. 2102 756 10200 295 898 207 Exercice 9 : Déterminer une valeur du chiffre * pour que le nombre 9*5* soit divisible par 2 et 3. …………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….………………………………….…………………….. Exercice 10 : Léa a oublié le code à quatre chiffres de la porte d’entrée de son immeuble. Elle sait que : Le chiffre des unités divise tous les nombres. Le chiffre des dizaines multiplié par le chiffre des milliers donne le chiffre des centaines. Le chiffre des milliers est impair. La somme des chiffres est 16. Aide Léa à trouver le bon code parmi les suivants : 9911 3625 3931 4822 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………….………………………………………………………………….………………………………………………….………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….………………………………………………………………….……………………….… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………….…………………. 5 [email protected] III. 5ème – Cycle 4 i-mathematiques.com Nombre premier. 1. En route vers la notion. A l’aide de la notion de diviseur nous pouvons maintenant étudier quelques nombres aux propriétés très particulières. Cherchons ceux qui ont le plus petit nombre de diviseurs c’est-à-dire …… ! Pour cela, on entoure 2 qui est la première valeur à répondre à ce critère et automatiquement on peut barrer tous les multiples de 2 car il admette 2, en plus, pour diviseur. On passe après au suivant. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Quelle particularité possèdent les 25 nombres entourés ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….………………………………….…………………….. 2. Le cours. Un nombre premier est un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et luimême. Exemples : 12 n’est pas un nombre premier : il admet 2 et 3 comme diviseurs. 11 est un nombre premier car il n’est divisible que par 1 et 7. Remarques : • 0 n’est pas premier. ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… • 1 n’est pas premier. ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… Il existe une infinité de nombres premiers, voici la liste des nombres premiers inférieurs à 50 : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 6 [email protected] i-mathematiques.com 5ème – Cycle 4 3. Applications. Exercice 11 : Le nombre 59 est-il premier ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………….………………………………………………………………….………………………………………………….………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….………………………………………………………………….……………………….… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………….…………………. Aide : Pour aller plus vite on peut juste tester la divisibilité de 59 par tous les nombres inférieurs à la moitié de 59 … Exercice 11 : Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. 103 est un nombre premier : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………….…………………. 97 n’est pas un nombre premier : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………….…………………. Le produit 8 × 24 est un nombre premier : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………….…………………. 125 est un nombre premier : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………….…………………. Tous les nombres impairs sont premiers : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………….…………………. Aucun nombre pair n’est premier : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………….…………………. La somme de deux nombres premiers est un nombre premier : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………….…………………. 7 [email protected] i-mathematiques.com ANNEXE 1. Jeu « Juniper Green ». 8 5ème – Cycle 4
