Séquence 1 - Nombres entiers

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ème
– Cycle 4
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En 5
ème
nous verrons quasiment toutes les compétences du cycle concernant les notions sur les
nombres entiers. Il ne restera qu’une seule compétence à voir :
• Décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers.
Cette séquence permettra de (re)découvrir et travailler les notions suivantes :
• Maitriser le vocabulaire : Diviseur, Divisible, ………..
• Mise en œuvre d’une division euclidienne.
• Utilisation des critères de divisibilité.
• Reconnaissance d’un nombre premier.
Ce chapitre premier chapitre n’est pas difficile mais il nécessite un peu de pratique pour tout assimiler.
Attention à bien apprendre les critères de divisibilité, ils vous seront utiles toute votre « vie scolaire » !
Cette partie concerne tout un pan vital des Mathématiques. L’arithmétique dont aujourd’hui ce cours
traite est le fondement de nombreux développements … Imaginez seulement, toute la cryptographie
moderne repose sur ces notions ! Et ce n’est qu’une petite partie de ce qui est envisageable avec
l’arithmétique.
I. Diviseurs d’un nombre entier.
1. En route vers la notion.
• Parmi les nombres suivants, entourer ceux qui sont dans la table de 7 :
17 24 14 56 58 64 77
63 35 37 21 27 42 91
• On cherche à « décomposer » un nombre en un produit. Compléter les pointillés avec la bonne
valeur.
6 ...... 18× = 5 ...... 40× = 8 ...... 56× =
• Jouons au jeu de « Juniper Green ».
Pour ce jeu à deux joueurs, il vous faut découper les grilles situées dans l’annexe de ce cours. Une fois
les grilles découpées, suivez l’exemple et faites vos matchs !
 Règle 1 : Chaque joueur, à tour de rôle, coche une case qui n’a pas encore été cochée.
 Règle 2 : A l’exception du premier coup, chaque joueur ne peut cocher une case que si son
numéro est un diviseur ou un multiple de la case cochée au coup précédent.
 Règle 3 : Un joueur perd la partie lorsqu’il ne peut plus jouer en utilisant les règles
précédentes.
Séquence 1
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Après quelques parties avec votre camarade, répondre aux questions suivantes :
Le premier joueur démarre une nouvelle partie en cochant 12. Le second joueur coche alors le 6 en se
disant qu’il est sûr de gagner. A-t-il raison ?
………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Est-il possible de choisir un nombre qui garantit au premier joueur de gagner ?
………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. Le cours.
On dit qu’un nombre est un entier naturel s’il est entier
……………………..
ou nul.
Rappel :
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier naturel a par un nombre entier b différent de 0,
c’est trouver deux nombres entiers naturels q et r tels que :
a b q r
= × +
, avec
0
r b
≤ <
Exemple :
Effectuer la division euclidienne de 377 par 12.
………………………………….…………………………………………….……………………………………………………..……………………
………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
……………………………………………….………………………………….…………………………………………………………..……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………….………………………………….………………………………………………….……….…………
Vérifier vos résultats à la calculatrice et compléter les égalités suivantes à l’aide de celle-ci :
597 13 ...... .......
= × +
5897 22 ...... .......
= × +
549 89 ...... .......
= × +
Soient a et b deux entiers naturels avec
0
b
≠
.
Lorsque la division euclidienne de a par b donne un reste nul, on dit que :
• a est un ………………………….. de b.
• b est un ………………………….. de a.
• ……. est divisible par …….
Exemple :
La division euclidienne de 85 par 17 donne :
85 17 ...... .......
= × +
. Donner 3 phrases à l’aide de cette
égalité :
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….………………………………….……………………..

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Remarques :
• 0 ne divise aucun nombre. Essayer de faire 17 : 0 sur votre calculatrice, le résultat sera sans
appel !
Démonstration
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….………………………………….……………………..
• Tout nombre est multiple de 1.
Démonstration
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….………………………………….……………………..
3. Applications.
Exercice 1 :
Parmi les nombres entiers suivants, entourer ceux qui divisent 36.
1 2 4 5 6 7 9 12 18 24 36 72 360
Exercice 2 :
Parmi les nombres entiers suivants, entourer ceux qui sont multiples de 14.
2 7 14 70 114 209 1414
Exercice 3 :
Trouver un nombre entier supérieur à 20 qui soit multiple à la fois de 2 et 3 : ………………..
Trouver deux nombres entiers multiples de 4 et de 9 et inférieurs à 100 : ………………..
Trouver un nombre entier inférieur à 30, multiple de 4 et de 10 : ………………..
Exercice 4 :
Un fleuriste reçoit une livraison de 95 dahlias. Avec tous ses dahlias, peut-il composer des bouquets
de 5 dahlias ? Pourquoi ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….………………………………….……………………..
Exercice 5 :
Un cuisinier a un lot de 75 crevettes. Il voudrait les répartir dans 14 assiettes, combien de crevettes
peut-il mettre au maximum dans chaque assiette en sachant que leur nombre doit être le même dans
chacune des assiettes. ?
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II. Critères de divisibilité.
1. En route vers la notion.
Dans cette partie nous cherchons à établir des règles permettant d’affirmer qu’un nombre est divisible
par un autre. Ces règles vous les connaissez déjà normalement !
• Compléter avec les nombres de votre choix le tableau suivant :
Nombre
aaaaaaa
Somme de ses chiffres
Nombre divisible par 3
? (Oui / Non)
Que remarque t-on quant à la somme des chiffres d’un nombre divisible par 3 ?
………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….………………………………….……………………..
2. Le cours.
Critères de
divisibilité
:
• Si un nombre se termine par 0, 2, 4, 6, 8 alors il est divisible par ………..
• Si la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 3 alors il est divisible par ………..
• Si les deux derniers chiffres d’un nombre entier forment un nombre divisible par 4, alors ce
nombre est divisible par …….
• Si un nombre entier se termine par 0 ou 5, alors il est divisible par ………
• Si un nombre entier se termine par 0 alors il est divisible par ……….
Exemples :
Répondre par Vrai ou Faux, en justifiant, aux assertions suivantes :
 75 est divisible par 3 : ………………………………………………….…………………………………………………………..
 700 est divisible par 5 : …………………………………………………………………………………………………………….
 84 est divisible par 3 : ………………………………………………………………………………………………………………
 4 divise 92 : ……………………………………………………………………………………………………………………………..
 569 est divisible par 9 : …………………………………………………………………………………………………………….
 9 765 est divisible par 9 : ………………………………………………………………………………………………………….

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3. Applications.
Exercice 6 :
Compléter le tableau suivant en indiquant si le nombre de gauche est divisible par le nombre du haut :
2
3
4
5
9
10
360
aaa
aaaaa
aa
aa
aaaaa
aaa
456
aaa
aaaaa
aa
282
aaa
aaaaa
aa
46 221
aa
aaaaa
aaa
33 525
aaa
aaaaa
aa
6 288
Exercice 7 :
Dans la série de nombres suivants, entourer en rouge les multiples de 2, en vert les multiples de 3 et
en noir les multiples de 5.
5900 485 1548 452 123 584
Exercice 8 :
Dans la série de nombres suivants, entourer en rouge les multiples de 4, en vert les multiples de 9 et
en noir les multiples de 10.
2102 756 10200 295 898 207
Exercice 9 :
Déterminer une valeur du chiffre * pour que le nombre 9*5* soit divisible par 2 et 3.
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Exercice 10 :
Léa a oublié le code à quatre chiffres de la porte d’entrée de son immeuble. Elle sait que :
 Le chiffre des unités divise tous les nombres.
 Le chiffre des dizaines multiplié par le chiffre des milliers donne le chiffre des centaines.
 Le chiffre des milliers est impair.
 La somme des chiffres est 16.
Aide Léa à trouver le bon code parmi les suivants :
9911 3625 3931 4822
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