CORRIGE CCP TSI 2011 PROBLEME 1 MICROPHONES 1 partie

CORRIGE CCP TSI 2011
PROBLEME 1 MICROPHONES
1ère SDUWLHpWXGHG¶XQFRQGHQVDWHXU
I.1 Soit le plan infini chargé xOy.
'
,
&
:/; est un vecteur donc il appartient aux plans de symétrie des charges (M,Aë
,
,
,
,
,
&
,Aí
,
,
,
&
;et ( M, Aì
,
,
,
,
&
áAí
,
,
,
&
) :
'
,
&
:/;L':TáUáV;Aí
,
,
,
&
Les charges sont invariantes par translation selon Ox et Oy donc E ne dépend ni de x, ni de y
'
,
,
,
&
:/;L'í:V;Aí
,
,
,
&
Le plan z=0 est un plan de symétrie des charges donc Ez(z) = - Ez(-z).
I.2 Eq de Maxwell-Gauss div('
,
&
:/;; = 
"Ú
= 0 en tout point hors du plan xOy
Donc ×¾
×í = 0 : le champ est uniforme GHSDUWHWG¶DXWUHGXSODQ] 
2QFRQVLGqUHXQF\OLQGUHG¶D[H]¶]GHUD\RQ5VHWURXYDQWHQWUHOHVSODQV]HW±z ( z>0).
Le théorème de Gauss donne : ð'
,
&
Öìß ä@5
,
,
,
,
&
= Ez(z) SR2 ± Ez(-z) SR2 = 2 Ez(z) SR2 = VSR2/H0
'¶R•SRXU]!'
,
&
:/; = 
6"Ú
QV
,
,
,
&
 ; Pour z <0, '
,
&
:/; = Fê
tóKQí
,
,
,
,
&
.
z
'
,
&
:V;
x y
- '
,
&
:V;
I.3 en z = 0 : la distribution doit être traitée comme une distribution volumique uniforme, sur une
épaisseur très faible ; le plan z=0 est un plan de symétrie des charges, donc le champ en un point de ce
plan doit appartenir à ce plan. Il est donc nul.
I.4 '
,
&
:/;LFCN=@:8;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
LF×Ï
×í Aí
,
,
,
&
Avec la convention V(z=0) = 0 : z>0, V:/; = Fê
tóKV ; Pour z <0, V:/; = ê
tóKV
E(z) V(z)
z
z
I.6 en appliquant le théorème de superposition
Pour z < FØ
6 : '
,
&
(M) = '5
,
,
,
,
&
:/;E'6
,
,
,
,
&
:/; =[ - (¢
6«e
¢
6«e
@Qí
,
,
,
,
&
 r
,
&
z
Pour FØ
6 < z < Ø
6 : '
,
&
(M) = '5
,
,
,
,
&
:/;E'6
,
,
,
,
&
:/; =[ (P
t‘¢
6«e
@Aí
,
,
,
&
"Ú
Qí
,
,
,
,
&
'
,
&
(M)
Pour z > Ø
6 d : '
,
&
(M) = '5
,
,
,
,
&
:/;E'6
,
,
,
,
&
:/; =[ (ê
tóK
6"Ú
@Aí
,
,
,
&
 r
,
&
I.7 entre les armatures V:/; = ê
óKV
ddp U = V(e/2) ± V(-e/2) = P‡
‘
norme de E |E| = U/e

I.8 U = 10 V, e = 10 µm E = 106 V/m il y a un grand risque de claquage du condensateur
I.9 V = U
W U = Uc
«eW capacité C = U Y = «eW c AN : C = 10-10 F
I.10 DHQVLWpYROXPLTXHG¶pQHUJLHpOHFWULTXHZe = «eI~
6 = U~ 6«eW~
I.11 Equation de Maxwell-Ampère NKP:$;
,
,
,
,
&
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
= µo & + Hoµo
ªI
,
,
&
ªr
Entre les armatures : la densité de courant est nulle, ªI
,
,
&
ªrQ¶HVWSDVQXO, donc 
,
,
&
Q¶HVWSDVQXO
I.12 soit (S) le GLVTXHG¶D[H2]GHUD\RQUGpOLPLWpSDUOHFHUFOH&.
ï$
,
&
:¼; .dlQF
,
,
,
,
&
= ðNKP:$;
,
,
,
,
&
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
:Ì;. dSQí
,
,
,
,
,
&
G¶R•%U]Sr = Hoµo
ªI
ªr Sr²
En utilisant les résultats précédents : B(r,z) = FJ‘”
t bU
br
I.13 DHQVLWpYROXPLTXHG¶pQHUJLHPDJQpWLTXHZm = F~
6œe
 = œep~
<W~( bU br )2
I.14 les effets magnétiques sont négligeables devant les effets électriques ssi wm <<we
Soit, quel que soit r : Á‘”~
z~Z²Q² << U~
6«eW~ œ Á‘W
z ~Z²Q² << U~
6«eW~ œ HoµoSZ² << 4 œZ<<c/¾5
I.15 AN Z<< 1010 rad/s
Les fréquences audibles étant comprises entre 20 et 20 000 Hz, les effets magnétiques seront toujours
négligeables.
I.16 i i = Cbs
br puissance : P = u.i =
b:-
.Gs.;
br
u
I.17 Energie électrique totale emmagasinée dans le condensateur : We = ½ C u² = U~
6G = cU~
6«eW = we e S
,9DULDWLRQG¶pQHUJLHpOHFWURVWDWLTXHjFKDUJHFRQVWDQWH : dWe = U~
6«eW GH )GHG¶R•) U~
6«eW
/DIRUFHH[HUFpHSDUO¶RSpUDWHXUGRLWFRPSHQVHUO¶DWWUDFWLRQpOHFWURVWDWLTXHHQWUHOHVGHX[armatures, en
norme F = Fa /HYHFWHXUIRUFHH[HUFpVXUO¶DUPDWXUHVXSpULHXUHHVW_
,
,
,
,
&
= - U~
6«eW Qí
,
,
,
,
&
.
,FKDPSFUppSDUO¶DUPDWXUHLQIVXUO¶DUPDWXUHVXS : '*
,
,
,
&
= F
t‘—x
,
,
,
,
&
/¶DUPDWXUHVXSSRUWHODFKDUJH4HWHVWGRQFVRXPLVHjODIRUFH4'*
,
,
,
&
: on retrouve bien la même
expression pour _
,
,
,
,
&
.

2ème Partie Microphone électrostatique
Q(t) -Q(t)
onde
y
0 e
Pa + p(t) Pa
y(t)
I.20 Force électrique exercée par armature droite sur armature gauche
c
,
,
,
,
&
= :Ue>o;~
6«eW Qì
,
,
,
,
&
= Ue~
6«eW Qì
,
,
,
,
&
+ Ueäo
«eW Qì
,
,
,
,
&
/HSUHPLHUWHUPHFRUUHVSRQGjODIRUFHFRQVWDQWHH[HUFpHORUVTXHO¶DUPDWXUHJDXFKHHVWDXUHSRVHOOHHVW
compensée par un dispositif non représenté : seul le deuxième terme sera conservé.
,IRUFHGHSUHVVLRQVXELHSDUO¶DUPDWXUHJDXFKH : ˆn
,
,
,
&
= [Pa + p(t) - Pa ] S Qì
,
,
,
,
&
= p(t) S Qì
,
,
,
,
&
I.22 PFD projeté sur Oy mU7 = - ky - aU6 + Ueäo
«eW + p(t) S (1)
I.23 Microphone au repos : m = Uec
«eW quand y = 0 et i = 0
Lorsque le microphone vibre, sa capacité est : C = «eW
c?w:r;
I.24 i(t) = bU
br = bo
br car i(t) est le courant de charge du condensateur.
m = U
G + R i(t) = :Ue>o;:c?w; «eW + R bo br
I.25 HQVLPSOLILDQWO¶pTXDWLRQSUpFpGHQWH : Ue
«eW y(t) = R i(t) + q/ Co = Ri(t) + 5
Ge
ì‹:–;†– (2)
I.26 en notation complexe (1) devient : m:ŒX;6 ›$= - k ›$ - a jñ›$ + Ue
«eW “$+ ’$S
'¶R•<àU
$
$
$
$
$
$
=
n
%W>Meä §
£eO`¡
Ý
I.27 en notation complexe (2) devient ›$ = «eW
U,
 <Ø
$
$
$
§
I.28 en combinant (1) et (2) : k
$
$
$
$
$
‘
r <Ø
$
$
$
§ =
n
%W>Meä §
£eO`¡
Ý
Après calculs : § = WI,
h©^[
$
$
$
$
^c
$
$
$
$
$
?A,
.
`¡
 ’$ avec E0 = Ue
«eW
/¶DPSOLWXGHGXFRXUDQWGpSHQGGHODIUpTXHQFHGHODVXUSUHVVLRQ
Pour supprimer cette dépendance on choisit R >> 5
Ge© soit <Ø
$
$
$
= R ; k>>aZ et mñ~ , soit <à
$
$
$
$
= k/jZ
et kR >> ¾,
.
: on a alors ǧ = WI,
iV  ’$ : le rapport i/p est bien indépendant de la fréquence.

3ème Partie Microphone électrodynamique
I.30 Lorsque la membrane bouge, la bobine conductrice est mobile dans un champ magnétique :
DSSDULWLRQG¶XQHIHPLQGXLWHHWG¶XQFRXUDQWLQGXLWFLUFXLWIHUPp Cas de Lorentz
Force élémentaire de Laplace : †ˆP
,
,
,
,
,
&
= i †Ž
,
,
,
&
^ 
,
,
&
= i.dl—˜
,
,
,
,
&
.B —p
,
,
,
&
= - i dl.B —x
,
,
,
,
&
Résultante de la force de Laplace sur la bobine : P
,
,
,
,
&
= - i 2Nƒ.B —x
,
,
,
,
&
I.31Champ électromoteur dans la bobine : k
,
,
,
,
,
&
= ˜
,
&
^ 
,
,
&
= V6—x
,
,
,
,
&
^ B —p
,
,
,
&
= V6.B —˜
,
,
,
,
&
Fem induite e = ïk
,
,
,
,
,
&
ä †Ž
,
,
,
&
= ïV6ä—˜
,
,
,
,
&
. dl—˜
,
,
,
,
&
= V62Nƒ.B
Loi des mailles e = R i(t) + L bg
br (3)
I.32 Force de pression : n
,
,
,
,
&
= [-(Pa + p(t)) + Pa ] S Qì
,
,
,
,
&
= - p(t) S Qí
,
,
,
,
&
I.33 PFD projeté sur Oz mV7 = - kz - ÚV6 - i 2Nƒ.B - p(t) S (4)
I.34 en notation complexe : ŒX V§2Nƒ.B = (R + ŒX;ǧ = c
$
$
$
ǧ (3)
I.34 en notation complexe m (jZ)² V§ = - kV§ ± >ŒXV§ ± $2Nƒ.B - ’$ S (4)
'¶R•kœ
$
$
$
$
$
= - n:r;
$
$
$
$
$
$
W>(§6 _RäF
h©
I.36 en éliminant z des deux équations complexes : - n:r;
$
$
$
$
$
$
W>(§6 _RäF
h©^c
$
$
$
$
$
ŒX 2Nƒ.B = c
$
$
$
ǧ
'¶R• : ǧ = ?6 _RäFW
^[
$
$
$
$
^c
$
$
$
$
$
>:6 _RäF;. ’$
,O¶DPSOLWXGHGXFRXUDQWGpSHQGGHla fréquence.
Pour que cela ne soit pas le cas on choisira R >> LZ , E >> mZ et E >> k/Z sur la gamme de fréquence
utilisée, on aura alors : ǧ = ?6 _RäFW
V’>:6 _RäF;. ’$

PROBLEME II SISMOGRAPHE HORIZONTAL
1ère partie : Référentiels non galiléens
II.1 Les directions des axes O2x2 O2y2 O2z2 sont fixes par rapport aux axes O1x1 O1y1 O1z1.
On choisit souvent O2x2// O1x1 , O2y2// O1y1 , O2z2// O1z1
Les dérivées des vecteurs sont égales dans (R1) et (R2) FDULOVVRQWHQWUDQVODWLRQO¶XQSDUUDSSRUWjO¶DXWUH
5
,
,
,
&
= 8:/45;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
= bS-Q
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
br )R1
6
,
,
,
,
&
= 8:/46;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
= bS.Q
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
br )R2 =bS.Q
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
br )R1LbS.S-
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
br EbS-Q
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
br = - 8:1645;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
+ 8:/45;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
'¶R•5
,
,
,
&
L6
,
,
,
,
&
+ 8:1645;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
De même ƒ5
,
,
,
&
Lƒ6
,
,
,
,
&
+ =:1645;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
II.2 les accélérations sont égales lorsque =:1645;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
est nulle, càd quand O2 a un mvt rectiligne et
uniforme dans (R1) : (R1) est alors en translation rectiligne et uniforme par rapport à (R2)
II.3 (R1) est galiléen VLOHSULQFLSHG¶LQHUWLHV¶applique dans ce référentiel cad ssi tout point matériel isolé
( ou pseudo-isolé) a un mouvement rectiligne et uniforme dans (R1).
Exemples, dans un ordre décroissant du caractère galiléen : Copernic, Kepler, géocentrique, terrestre : ces
UpIpUHQWLHOVSHXYHQWrWUHFRQVLGpUpVFRPPHJDOLOpHQVVLRQSHXWQpJOLJHUO¶HIIHWGHVIRUFHVG¶LQHUWLH
(expériences de durée « courte »), si on peut considérer leur mouvement comme rectiligne et uniforme
dans le référentiel « immédiatement plus galiléen » que celui considéré .
soit un point matériel isolé, en mvt dans (R1) galiléen, on a alors ƒ5
,
,
,
&
Lr
,
&
,
donc ƒ6
,
,
,
,
&
Lr
,
&
si la condition de II.2 est remplie
comme ce résultat est vérifié par tout point matériel isolé, (R2) est galiléen.
,,VLODFRQGLWLRQGH,,Q¶HVWSDVUHPSOLH : 
,
&
= m ƒ5
,
,
,
&
= m [ƒ6
,
,
,
,
&
+ =:1645;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
]
Si le point M est isolé, soit 
,
&
Lr
,
&
, alors ƒ6
,
,
,
,
&
= - =:1645;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
Mr
,
&
, (R2Q¶HVWSDVJDOLOpHQ
Dans (R2ODUHODWLRQIRQGDPHQWDOHGHODG\QDPLTXHV¶pFULWDORUVPƒ6
,
,
,
,
&
= 
,
,
&
- =:1645;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
On pose 
,
&
ie = -m =:1645;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
&
IRUFHG¶LQHUWLHG¶HQWUDvQHPHQW
2ème partie : Sismographe horizontal
—x
,
,
,
,
&
O
V
C& QF
,
,
,
,
&
Qå
,
,
,
,
&
Që
,
,
,
,
&
II.5 Actions mécaniques sur la barre quand le sol ne vibre pas :
Poids mC& appliqué en G de moment /
,
,
&
O = - ½ L mgsin(à) Qí
,
,
,
,
&
Liaison en O, de moment nul en projection sur Oz car sans frottement