CORRIGE CCP TSI 2011 PROBLEME 1 MICROPHONES 1 partie

CORRIGE
CCP TSI 2011
PROBLEME 1 MICROPHONES
1ère SDUWLH pWXGH G¶XQ FRQGHQVDWHXU
I.1 Soit le plan infini chargé xOy.
Aì A,,,&)
',& :/; est un vecteur donc il appartient aux plans de symétrie des charges (M,A,,,,,&,A
ë ,,,&;
í et ( M, ,,,,&á
í :
',& :/; L ':Tá Uá V;A,,,&í
Les charges sont invariantes par translation selon Ox et Oy donc E ne dépend ni de x, ni de y
,,,&
' :/; L 'í :V;A
,,,&í
Le plan z=0 est un plan de symétrie des charges donc Ez(z) = - Ez(-z).
I.2 Eq de Maxwell-Gauss div(',& :/;; =
Donc
×¾
×í
"Ú
= 0 en tout point hors du plan xOy
= 0 : le champ est uniforme GH SDUW HW G¶DXWUH GX SODQ ]
2Q FRQVLGqUH XQ F\OLQGUH G¶D[H ]¶]F GH UD\RQ 5F VH WURXYDQW HQWUH OHV SODQV ] HW ±z ( z>0).
,,,,& = Ez(z) SR2 ± Ez(-z) SR2 = 2 Ez(z) SR2 = V SR2/H0
Le théorème de Gauss donne : ð ',& ä @5
'¶R• SRXU ]! F ',& :/; =
Q
,,,&
6"Ú V
Öìß
;
z
x
Pour z <0, ',& :/; = F
ê
Q
,,,,&.
tóK í
',& :V;
y
- ',& :V;
I.3 en z = 0 : la distribution doit être traitée comme une distribution volumique uniforme, sur une
épaisseur très faible ; le plan z=0 est un plan de symétrie des charges, donc le champ en un point de ce
plan doit appartenir à ce plan. Il est donc nul.
,,,,,,,,,,,,,,,,,,& L F ×Ï ,,,&
I.4 ',& :/; L FCN=@:8;
Aí
×í
Avec la convention V(z=0) = 0 : z>0, V:/; = F
E(z)
ê
V
tóK
;
Pour z <0, V:/; =
ê
V
tóK
V(z)
z
z
I.6 en appliquant le théorème de superposition
Pour z < F
Pour F
Pour z >
Ø
Ø
6
,,,,&5 :/; E ,,,,&
: ',& (M) = '
'6 :/; =[ - (
<z<
6
Ø
6
Ø
6
6«e
,,,,&5 :/; E ,,,,&
: ',& (M) = '
'6 :/; =[ (
,,,,&5 :/; E '
,,,,&6 :/; =[ (
d : ',& (M) = '
I.7 entre les armatures V:/; =
ddp U = V(e/2) ± V(-e/2) =
norme de E
¢
|E| = U/e
P‡
‘
ê
V
óK
ê
C
tóK
C
B
P
C
t ‘
EB
¢
6«e
6"Ú
B
,&
r
C@ Q
,,,,&í
¢
6«e
C@ A,,,&í
C@ ,,,&
Aí
,r&
z
"Ú
Qí
,,,,&
',& (M)
E = 106 V/m
I.8 U = 10 V, e = 10 µm
I.9
V=
U
W
U=
Uc
il y a un grand risque de claquage du condensateur
U
capacité C =
«e W
I.10 DHQVLWp YROXPLTXH G¶pQHUJLH pOHFWULTXH Ze =
«e I~
Y
=
6
=
«e W
AN : C = 10-10 F
c
U~
6«e W~
,&
,,,,,,,,,,,,,,&
,,,,& = µo & + Hoµ oªI
I.11 Equation de Maxwell-Ampère NKP:$;
Entre les armatures : la densité de courant est nulle,
ªr
,&
ªI
Q¶HVW SDV QXO, donc ,& Q¶HVW SDV QXO
ªr
I.12 soit (S) le GLVTXH G¶D[H 2]F GH UD\RQ UF GpOLPLWp SDU OH FHUFOH B&C.
ªI
,,,,,,,,,,,,,,&
,,,,&
,& .dlQ
,,,,&
Qí G¶R• %BUF]C Sr = Hoµ o Sr²
ï:¼; $
F = ð:Ì; NKP:$;. dS,,,,,&
En utilisant les résultats précédents : B(r,z) = F
J‘ ” bU
t br
I.13 DHQVLWp YROXPLTXH G¶pQHUJLH PDJQpWLTXH Zm =
F~
6œe
ªr
=
œe p~ bU 2
( )
<W~ br
I.14 les effets magnétiques sont négligeables devant les effets électriques ssi wm <<we
Soit, quel que soit r :
Á‘ ”~
z ~
Z²Q² <<
U~
6«e W~
œ
Á‘ W
z
~
Z²Q² <<
U~
6«e W~
œ Hoµ oS Z² << 4 œ Z<<c/¾5
I.15 AN Z << 1010 rad/s
Les fréquences audibles étant comprises entre 20 et 20 000 Hz, les effets magnétiques seront toujours
négligeables.
I.16
i
i=C
bs
br
puissance : P = u.i =
.
b: G s. ;
br
u
I.17 Energie électrique totale emmagasinée dans le condensateur : We = ½ C u² =
,
9DULDWLRQ G¶pQHUJLH pOHFWURVWDWLTXH j FKDUJH FRQVWDQWH : dWe =
U~
6«e W
GH
U~
6G
=
c U~
6«e W
= we e S
) GH G¶R• )
U~
6«e W
/D IRUFH H[HUFpH SDU O¶RSpUDWHXU GRLW FRPSHQVHU O¶DWWUDFWLRQ pOHFWURVWDWLTXH HQWUH OHV GHX[ armatures, en
norme F = Fa
,
/H YHFWHXU IRUFH H[HUFp VXU O¶DUPDWXUH VXSpULHXUH HVW ,,,,&_ = -
FKDPS FUpp SDU O¶DUPDWXUH LQI VXU O¶DUPDWXUH VXS : ,,,&
'* = F
—
,,,,&
t ‘ x
U~
6«e W
Q
,,,,&.
í
,,,&* : on retrouve bien la même
/¶DUPDWXUH VXS SRUWH OD FKDUJH 4 HW HVW GRQF VRXPLVH j OD IRUFH 4'
expression pour ,,,,&_ .
2ème Partie
Microphone électrostatique
Q(t)
-Q(t)
onde
y
0
Pa + p(t)
e
Pa
y(t)
I.20 Force électrique exercée par armature droite sur armature gauche
,,,,&c =
:Ue >o;~
Q
,,,,&
ì =
6«e W
Ue ~
6«e W
Ue äo
Q
,,,,&
ì+
«e W
,,,,&
Qì
/H SUHPLHU WHUPH FRUUHVSRQG j OD IRUFH FRQVWDQWH H[HUFpH ORUVTXH O¶DUPDWXUH JDXFKH HVW DX UHSRVF HOOH HVW
compensée par un dispositif non représenté : seul le deuxième terme sera conservé.
,
IRUFH GH SUHVVLRQ VXELH SDU O¶DUPDWXUH JDXFKH : ˆ,,,&n = [Pa + p(t) - Pa ] S ,,,,&
Qì = p(t) S ,,,,&
Qì
I.22 PFD projeté sur Oy
mU7 = - ky - aU6 +
I.23 Microphone au repos :
Ue c
=
m
«e W
Ue äo
«e W
quand y = 0 et i = 0
Lorsque le microphone vibre, sa capacité est : C =
I.24
i(t) =
m
=
bU
br
U
G
=
bo
br
+ p(t) S (1)
«e W
c?w:r;
car i(t) est le courant de charge du condensateur.
+ R i(t) =
:Ue > o;:c?w;
«e W
+R
I.25 HQ VLPSOLILDQW O¶pTXDWLRQ SUpFpGHQWH :
bo
br
Ue
«e W
y(t) = R i(t) + q/ Co = Ri(t) +
I.26 en notation complexe (1) devient : m:ŒX;6 ›$ = - k ›$ - a jñ ›$ +
'¶R•
$$$$$$
<à U =
% W>
n
«e W
Ge
ì ‹:–;†–
(2)
“$ + ’$ S
Me ä §
£e O`¡
Ý
I.27 en notation complexe (2) devient ›$ =
$$$$$
k
I.28 en combinant (1) et (2) :
Après calculs : § =
Ue
5
WI,
A
^c ? ,
h© $^$$[$$$$$$
.
’$
‘
r
«e W
U,
$$$Ø § =
<
$$$
<Ø §
% W>
n
avec E0 =
Me ä §
£e O`¡
Ý
Ue
«e W
`¡
/¶DPSOLWXGH GX FRXUDQW GpSHQG GH OD IUpTXHQFH GH OD VXUSUHVVLRQ
5
Pour supprimer cette dépendance on choisit R >>
soit $$$
<Ø = R ; k>>aZ et mñ~ , soit $$$$
<à = k/jZ
et kR >>
¾,.
Ge ©
: on a alors
ǧ =
WI,
iV
’$ : le rapport i/p est bien indépendant de la fréquence.
3ème Partie
Microphone électrodynamique
I.30 Lorsque la membrane bouge, la bobine conductrice est mobile dans un champ magnétique :
DSSDULWLRQ G¶XQH IHP LQGXLWH HW G¶XQ FRXUDQW LQGXLW BFLUFXLW IHUPpC Cas de Lorentz
†Ž ^ ,& = i.dl—
,,,,&.B
,,,&
—p = - i dl.B ,,,,&
—x
Force élémentaire de Laplace : ,,,,,&
†ˆP = i ,,,&
˜
Résultante de la force de Laplace sur la bobine : ,,,,&P = - i 2Nƒ
.B —
,,,,&x
I.31Champ électromoteur dans la bobine : ,,,,,&
,& ^ ,& = V6 —
,,,,&x ^ B ,,,&
—p = V6 .B —
,,,,&˜
k= ˜
,,,&
—˜ . dl—
,,,,&˜ = V6 2Nƒ
Fem induite e = ï ,,,,,&
k ä †Ž = ï V6 ä ,,,,&
Loi des mailles e = R i(t) + L
bg
br
.B
(3)
I.32 Force de pression : ,,,,&n = [-(Pa + p(t)) + Pa ] S ,,,,&
Qì = - p(t) S ,,,,&
Qí
I.33
mV7 = - kz - ÚV6 - i 2Nƒ
PFD projeté sur Oz
I.34 en notation complexe : ŒX V§ 2Nƒ
$$$$$$ W>(§ 6 _ R äF
n:r;
'¶R• $$$$$
kœ = h©
I.36 en éliminant z des deux équations complexes : ? 6 _ R äFW
^[ ^c > : 6 _ R äF;.
,
(4)
.B = (R + ŒFX; ǧ = $$$c ǧ (3)
m (jZ)² V§ = - kV§ ± >ŒX V§ ± $2Nƒ
I.34 en notation complexe
'¶R• : ǧ = $$$$$$$$$
.B - p(t) S
’$
.B - ’$ S
(4)
$$$$$$
n:r; W>(§ 6 _ R äF
ŒX
$$$$$
h©^
c
2Nƒ
.B = $$$c ǧ
O¶DPSOLWXGH GX FRXUDQW GpSHQG GH la fréquence.
Pour que cela ne soit pas le cas on choisira R >> LZ , E >> mZ et E >> k/Z sur la gamme de fréquence
utilisée, on aura alors : ǧ =
? 6 _ R äFW
V ’> : 6 _ R äF;.
’$
PROBLEME II
SISMOGRAPHE HORIZONTAL
1ère partie : Référentiels non galiléens
II.1 Les directions des axes O2x2 O2y2 O2z2 sont fixes par rapport aux axes O1x1 O1y1 O1z1.
On choisit souvent O2x2// O1x1 , O2y2// O1y1 , O2z2// O1z1
Les dérivées des vecteurs sont égales dans (R1) et (R2) FDU LOV VRQW HQ WUDQVODWLRQ O¶XQ SDU UDSSRUW j O¶DXWUH
,,,,,,,,,,&
b S- Q
,,,&5 = ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
8:/ 45 ; =
)R1
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
,,,,&6 = 8:/
46 ; =
br
b ,,,,,,,,,,&
S. Q
br
,,,,,,,,,,&
bS
.Q
)R2 =
br
)R1L
b ,,,,,,,,,,,&
S. Sbr
E
b ,,,,,,,,,,&
S- Q
br
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
= - ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
8:16 45 ; + 8:/
45 ;
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
'¶R• ,,,&5 L ,,,,&6 + 8:1
6 45 ;
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
De même ,,,&
ƒ5 L ,,,,&
ƒ6 + =:1
6 45 ;
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
II.2 les accélérations sont égales lorsque =:1
6 45 ; est nulle, càd quand O2 a un mvt rectiligne et
uniforme dans (R1) : (R1) est alors en translation rectiligne et uniforme par rapport à (R2)
II.3 (R1) est galiléen VL OH SULQFLSH G¶LQHUWLH V¶applique dans ce référentiel cad ssi tout point matériel isolé
( ou pseudo-isolé) a un mouvement rectiligne et uniforme dans (R1).
Exemples, dans un ordre décroissant du caractère galiléen : Copernic, Kepler, géocentrique, terrestre : ces
UpIpUHQWLHOV SHXYHQW rWUH FRQVLGpUpV FRPPH JDOLOpHQV VL RQ SHXW QpJOLJHU O¶HIIHW GHV IRUFHV G¶LQHUWLH
(expériences de durée « courte »), si on peut considérer leur mouvement comme rectiligne et uniforme
dans le référentiel « immédiatement plus galiléen » que celui considéré .
soit un point matériel isolé, en mvt dans (R1) galiléen, on a alors ,,,&
ƒ5 L ,&
r,
,
&
donc ,,,,&
ƒ6 L r si la condition de II.2 est remplie
comme ce résultat est vérifié par tout point matériel isolé, (R2) est galiléen.
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
ƒ5 = m [ƒ,,,,&6 + =:1
,, VL OD FRQGLWLRQ GH ,, Q¶HVW SDV UHPSOLH : ,& = m ,,,&
6 45 ; ]
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
,&
Si le point M est isolé, soit ,& L ,r&, alors ,,,,&
ƒ6 = - =:1
6 45 ; M r , (R2C Q¶HVW SDV JDOLOpHQ
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
Dans (R2C OD UHODWLRQ IRQGDPHQWDOH GH OD G\QDPLTXH V¶pFULW DORUV P ƒ,,,,&6 = ,,&- =:1
6 45 ;
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,&
On pose ,&ie = -m =:1
6 45 ; IRUFH G¶LQHUWLH G¶HQWUDvQHPHQW
2ème partie : Sismographe horizontal
—
,,,,&x
V
C&
O
,,,,&
QF
Q
,,,,&å
,,,,&ë
Q
II.5 Actions mécaniques sur la barre quand le sol ne vibre pas :
,,& O = - ½ L mgsin(à) Q
Poids mC& appliqué en G de moment /
,,,,&í
Liaison en O, de moment nul en projection sur Oz car sans frottement
Frottements de moment résistant - D à6 ,,,,&
Qí
$ O¶pTXLOLEUH OD VRPPH GHV PRPHQWV HVW QXOOH GRQF VLQBà) = 0.
/¶pTXLOLEUH stable correspond à à= 0.
,, /D EDUUH HVW HQ URWDWLRQ DXWRXU G¶XQ D[H IL[H GDQV XQ UpIpUHQWLHO JDOLOpHQ
/H WK GX PRPHQW FLQpWLTXH SURMHWp VXU O¶D[H 2] V¶pFULW : J à7 = 1/3 m L² à7 = - ½ L mgsin(à; - D à6
7e
7‘
pour de petits angles : 1/3 m L² à7 = - ½ L mg à - D à6 soit à7 E
à6 E à
kP.
6P
Energie cinétique GH OD EDUUH HQ URWDWLRQ DXWRXU G¶XQ D[H IL[H (c = ½ J à6 ²
bIY
= (- ½ L mgsin(à; - a à6 ) à6
Théorème de la puissance cinétique :
br
on obtient bien la même équation.
,, OD VROXWLRQ JpQpUDOH GH O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH HVW GH OD IRUPH H[SBUWC
U YpULILH O¶pTXDWLRQ FDUDFWpULVWLTXH Uð E
le discriminant est ¿ = (
7‘
kP.
;² -
:e
7‘
kP.
”E
7e
6P
P
soit Ù = § ¥‰ •6 F7
7
6
régime critique ¿ = 0
soit Ù < § ¥‰ •6 F7
7
6
régime pseudo-périodique ¿ < 0
régime apériodique ¿ > 0
soit Ù > § ¥‰ •6 F7
7
6
&¶HVW HQ UpJLPH FULWLTXH que OH UHWRXU j OD SRVLWLRQ G¶pTXLOLEUH HVW OH SOXV UDSLGH.
II.8 soit un petit élément de barre, sa masse est : dm =
k
P
dr
,,,,,,&
,,,,&v ,
,O HVW VRXPLV j OD IRUFH G¶LQHUWLH G¶HQWUDvQHPHQW †ˆ
(c = - dm a(t) —
GH PRPHQW SDU UDSSRUW j O¶D[H Oz :
k
,,,,,,&
,,,,&x = [ r ,,,&
—p ^ (- dm a(t) ,,,,&)
—v ]. —
,,,,&x = r dr a(t) cos(à;
d/ ie = [ ,,,,,,& ^ †ˆ
(c ]. —
•
P
0RPHQW UpVXOWDQW SDU UDSSRUW j O¶D[H 2] : Mie = ì ” †” ƒ:–; …‘•:E; = ½ m L a(t) cos(E)
F
Le moment de la force résultante - m a(t) ,,,,&
—v appliquée en G est :
,,,,,&
A ^(- m a(t) —
,,,,&)
,,,,&x , on retrouve le même résultat.
v = ½ m L a(t) cos(E) —
II.9 Théorème du moment cinétique projeté sur Oz, dans le référentiel lié au bâti :
J à7 = 1/3 m L² à7 = - ½ L mgsin(à; - D à6 E ½ m L a(t) cos(E)
$ O¶pquilibre tan T a/g , soit T a/g dans le cas des petites oscillations (pas dit dans énoncé)
II.10 En régime sinusoïdal permanent, en notation complexe, dans le cas des petites oscillations :
[ - 1/3 m L² Z² + j D Z E ½ L mg @ ৠ= ½ m L ao e(jZt) G¶R• To ejI =
Ô
. Ú
Ò
:§@ A > h¥Å . 7;. ;
.
'¶R• To =
,,
_e
.
/
e > P©.
) = - 2 arctan (¥tFX6 u‰)
II. 12 fréquences faibles : Z << §
7Ú
6Å
II.13 fréquences élevées : Z >> §
7Ú
6Å
To =
To =
_e
e
_e
.
P©.
/
avec
_e
©.
TXL HVW O¶DPSOLWXGH GX GpSODFHPHQW GX VRO .