Correction du devoir surveillé 1 Questions préalables : On sait que λ

Correction du devoir surveillé 1
Questions préalables :
v
λ
1) On sait que λ = f et que L = 2
T
1
donc 2L =
v
f
v
f = 2L .
T
Or v = √µ d’où f = 2L × √µ.
2) f (mi0) = 41,2Hz ; L0 = 1,05 m.
v (mi0) = 2 L f (mi0) = 2x1,05x41,2 = 86,5 ms-1.
On suppose que la corde de l’octobasse a la même masse linéique et la même tension que la corde du
mi0 de la contrebasse donc la vitesse v(mi0) = v (do-1) (la vitesse ne dépend que de T et µ ).
1
On a f(do-1) = 2L
1
−1
× v (𝑑𝑜−1 ) = 2L
−1
1
× v (𝑚𝑖−0 ) donc L-1 = 2f(do
−1 )
× v (𝑚𝑖−0 )
1
Ainsi L-1 = 2×16,3 × 86,5 = 2,65 m.
Pour faire un do-1 avec une corde de même masse linéique et même tension que la corde du mi0, il faut
une corde de 2,65 m. Hors sur l’octobasse de 4 m la taille des cordes est de 2,18 m. Le luthier est
confronté à la difficulté suivante : la corde est trop longue pour l’instrument, il doit donc trouver une
autre solution : changer les caractéristiques de la corde.
Problème :
- Le luthier veut installer une corde sur l’octobasse qui fasse un do-1 et un ré -1. Le do-1 est la note la
plus grave, elle est produite par la corde à vide. Pour produire le ré-1 avec cette même corde, le
luthier doit installer un doigt métallique qui réduit la longueur de la corde.
On sait que L-1 = 2,18 m et que f(do-1) =
1
2L−1
× v (𝑑𝑜−1 )
v (do-1) = 2 L-1 f (do-1)
v (do-1) = 2 x 2,18 x 16,3 = 71,1 ms-1.
L-1 (ré) =
1
2f(ré−1 )
× v (𝑑𝑜−1 ) =
1
×
2×18,3
71,1 = 1,94 m
2,18-1.94 = 0,24 m
Pour faire un ré -1 il faut placer un doigt qui appuie sur la corde à 24 cm de l’extrémité de la corde.
-
Pour que la code puisse faire le do-1 et qu’elle ne soit pas trop longue, le luthier doit modifier la tension
T et/ou la masse linéique µ de la corde.
On sait que la vitesse sur la corde du mi0 de la contrebasse est de 86,5 ms-1 et que la vitesse sur la corde
do-1 de l’octobasse est de 71,1 ms-1.
Le luthier doit changer les caractéristiques de la corde de manière à diminuer la vitesse de propagation
T
µ
de l’onde, or v = √ .
a) Le luthier peut donc pour diminuer v garder la masse linéique constante et diminuer T.
V(mi0) 2= T/µ et V(do-1) 2= T’/µ
T’ / T = V(do-1) 2/ V(mi0) 2 = 0,67.
On doit avoir T’ = 0,67x T.
b) Le luthier peut donc pour diminuer v augmenter la masse linéique constante et garder T constante.
V(mi0) 2= T/µ et V(do-1) 2= T/µ’
µ / µ’ = V(do-1) 2/ V(mi0) 2 = 0,67.
On doit avoir µ’ = µ/0, 67 = 1,49 µ.
c) Le luthier peut donc pour diminuer v augmenter la masse linéique constante et diminuer T.