Théorème de Pythagore

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Théorème de
Pythagore
CHAPITRE
Tom veut rejoindre l’école le plus rapidement
possible. Il doit traverser une rivière de 1mètre
de large. Où faut-il construire le pont pour avoir
le chemin le plus court entre la maison de Tom
et l’école du village ?
1 m
20 m
15 m
4 m
10 m
M
E
Bonus : Quelle est la longueur du chemin le
plus court ?
Énigme du chapitre.
— Caractériser le triangle rectangle par
l’égalité de Pythagore
— Calculer la longueur d’un côté d’un tri-
angle rectangle à partir de celles des
deux autres.
Objectifs du chapitre.

I/ Introduction : racines carrées d’un nombre positif
Activité A. Racines carrées
1. Calculer 52et (−5)2.
2. Quel est le nombre positif dont le carré est 25 ?
On dira que ce nombre est la racine carrée de 25 et est noté √25.
3. (a) Recopier et compléter le tableau suivant :
x6 1,5 5 1 0,7 25
x2
(b) En déduire les valeurs des nombres √36 ;√2,25 ;√25 ;√1;√0,49 ;√625.
4. On souhaite trouver la longueur AB, telle que AB2= 40.
(a) Calculer 62et 72.
(b) En déduire un encadrement de la longueur AB par deux entiers consécutifs.
(c) Avec la calculatrice, donner une valeur approchée au dixième près de la longueur AB.
Définition
Soit xun nombre positif.
Le nombre positif dont le carré est xest appelé la racine carré de xet se note √x.
Exemples
—√25 = 5
—√0,0121 = 0,11
—√40 '6,32
Faire les exercices 12 3 F

II/ Egalité de Pythagore
Activité B. À la découverte de l’égalité de Pythagore, TICE GeoGebra
Partie A : Conjecture
1. Construction de la figure
(a) Créer un segment [AB]
(b) Créer un point Cappartenant à cette droite.
(c) Créer les segments [AC]et [BC].
(d) Masquer la droite (AC)(cliquer sur le point vert à côté de bdans la partie « Algèbre »
(à gauche) du logiciel)
(e) Marquer l’angle [ BAC.
2. Vérifier bien, dans la fenêtre « Algèbre », que le segment [AB]correspond au segment a,
le segment [AC]au segment cet le segment [BC]au segment d.
3. Quelques calculs :
(a) Afficher la fenêtre tableur.
(b) Dans les cellules A1 et B1, entrer les titres BC2et BA2+AC2.
(c) Dans les cellules A2 et B2, entrer les calculs d2et a2+c2.
(d) Comparer les résultats dans les cellules A2 et B2.
4. Déplacer les points A,Bet Cet comparer les résultats affichés dans les cellules A2 et B2.
Que peut-on conjecturer ?
Partie B : Démonstration
La figure KLOP , représentée ci-dessous, est composée de deux triangles rectangles KLM et
MOP identiques dont les côtés mesurent a,bet c.
Les points L,Met Osont alignés.

c
b
a
c
a
b
L
M
O
K
P
1. En vous aidant de la propriété des angles dans un triangle rectangle, démontrer que l’angle
\
KMP est droit.
2. Démontrer que les droites (KL)et (P O)sont parallèles.
3. (a) Exprimer en fonction de aet bl’aire du trapèze KLOP
(b) Déterminer l’aire des triangles KLM,MOP et KMP en fonction des longueurs a,b
et c.
(c) En déduire une autre expression de l’aire du trapèze KLOP .
4. (a) Développer et réduire le produit (a+b)(a+b).
(b) En déduire que c2=a2+b2. Cette égalité est appelée l’égalité de Pythagore.
Propriété
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés.
Autrement dit, si le triangle ABC est rectangle en Aalors
BC2=AB2+AC2.
Définition
L’égalité BC2=AB2+AC2est appelée égalité de Pythagore.
Exemple
Soit MUR un triangle rectangle en Utel que MU = 10 cm et UR = 6 cm. On veut calculer la
longueur du côté [MR].

10 cm
6 cm
M U
R
On sait que le triangle MUR est rectangle en U.
Or, si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égale à la
somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés.
On a donc l’égalité : MR2=MU2+UR2.
D’où MR2= 102+ 62= 100 + 36 = 136.
On obtient MR =√136 cm, soit MR ≈11,7cm.
L’hypoténuse [MR]mesure environ 11,7cm.
Faire les exercices 4567F8F