Théorème de Pythagore

CHAPITRE
Théorème de
Pythagore
Objectifs du chapitre.
Énigme du chapitre.
Tom veut rejoindre l’école le plus rapidement
possible. Il doit traverser une rivière de 1 mètre
de large. Où faut-il construire le pont pour avoir
le chemin le plus court entre la maison de Tom
et l’école du village ?
M
10 m
6
20 m
15 m
1m
4m
E
Bonus : Quelle est la longueur du chemin le
plus court ?
— Caractériser le triangle rectangle par
l’égalité de Pythagore
— Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des
deux autres.
I/ Introduction : racines carrées d’un nombre positif
Activité A. Racines carrées
1. Calculer 52 et (−5)2 .
2. Quel est le nombre positif dont le carré est 25 ?
√
On dira que ce nombre est la racine carrée de 25 et est noté 25.
3. (a) Recopier et compléter le tableau suivant :
x
x2
6
(b) En déduire les valeurs des nombres
1,5
5 1
0,7
25
√
√
√ √
√
√
36 ; 2,25 ; 25 ; 1 ; 0,49 ; 625.
4. On souhaite trouver la longueur AB, telle que AB 2 = 40.
(a) Calculer 62 et 72 .
(b) En déduire un encadrement de la longueur AB par deux entiers consécutifs.
(c) Avec la calculatrice, donner une valeur approchée au dixième près de la longueur AB.
Définition
Soit x un nombre positif.
√
Le nombre positif dont le carré est x est appelé la racine carré de x et se note x.
Exemples
√
— √25 = 5
— √0,0121 = 0,11
— 40 ' 6,32
Faire les exercices 1 2 3 F
II/ Egalité de Pythagore
Activité B. À la découverte de l’égalité de Pythagore, TICE GeoGebra
Partie A : Conjecture
1. Construction de la figure
(a)
Créer un segment [AB]
(b)
Créer un point C appartenant à cette droite.
(c)
Créer les segments [AC] et [BC].
(d) Masquer la droite (AC) (cliquer sur le point vert à côté de b dans la partie « Algèbre »
(à gauche) du logiciel)
(e)
[
Marquer l’angle BAC.
2. Vérifier bien, dans la fenêtre « Algèbre », que le segment [AB] correspond au segment a,
le segment [AC] au segment c et le segment [BC] au segment d.
3. Quelques calculs :
(a) Afficher la fenêtre tableur.
(b) Dans les cellules A1 et B1, entrer les titres BC 2 et BA2 + AC 2 .
(c) Dans les cellules A2 et B2, entrer les calculs d 2 et a2 + c 2 .
(d) Comparer les résultats dans les cellules A2 et B2.
4. Déplacer les points A, B et C et comparer les résultats affichés dans les cellules A2 et B2.
Que peut-on conjecturer ?
Partie B : Démonstration
La figure KLOP , représentée ci-dessous, est composée de deux triangles rectangles KLM et
MOP identiques dont les côtés mesurent a, b et c.
Les points L, M et O sont alignés.
P
K
c
c
a
b
L
O
b
M
a
1. En vous aidant de la propriété des angles dans un triangle rectangle, démontrer que l’angle
\ est droit.
KMP
2. Démontrer que les droites (KL) et (P O) sont parallèles.
3. (a) Exprimer en fonction de a et b l’aire du trapèze KLOP
(b) Déterminer l’aire des triangles KLM, MOP et KMP en fonction des longueurs a, b
et c.
(c) En déduire une autre expression de l’aire du trapèze KLOP .
4. (a) Développer et réduire le produit (a + b)(a + b).
(b) En déduire que c 2 = a2 + b2 . Cette égalité est appelée l’égalité de Pythagore.
Propriété
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés.
Autrement dit, si le triangle ABC est rectangle en A alors
BC 2 = AB 2 + AC 2 .
Définition
L’égalité BC 2 = AB 2 + AC 2 est appelée égalité de Pythagore.
Exemple
Soit MUR un triangle rectangle en U tel que MU = 10 cm et UR = 6 cm. On veut calculer la
longueur du côté [MR].
R
6 cm
M
U
10 cm
On sait que le triangle MUR est rectangle en U.
Or, si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égale à la
somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés.
On a donc l’égalité : MR2 = MU 2 + UR2 .
D’où MR2 = 102 + 62 = 100 + 36 = 136.
√
On obtient MR = 136 cm, soit MR ≈ 11,7 cm.
L’hypoténuse [MR] mesure environ 11,7 cm.
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III/ Triangle rectangle ?
1) Démontrer qu’un triangle est rectangle
Activité C. Démontrer qu’un triangle est rectangle
Soit un triangle ABC tel que AB = 7,4 cm ; AC = 2,4 cm et BC = 7 cm.
1. Construire le triangle ABC.
2. Quel est le côté le plus long dans ce triangle ?
3. Écrire l’égalité de Pythagore que doivent vérifier les côtés du triangle pour qu’il soit rectangle.
4. (a) Calculer AB 2 , AC 2 et BC 2 .
(b) Vérifier si l’égalité de Pythagore énoncée à la question 3 est vraie dans ce triangle.
5. Conclure sur la nature du triangle ABC.
Propriété
Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des longueurs des
deux autres côtés.
Autrement dit, si, dans un triangle ABC, on a :
BC 2 = AB 2 + AC 2
alors le triangle ABC est rectangle en A.
Remarque
Les propriétés de la section II et III-1) sont réciproques l’une de l’autre
Exemple
Soit ABC un triangle tel que BC = 17 cm, AB = 15 cm et AC = 8 cm.
On veut vérifier si ce triangle est rectangle.
D’une part :
D’autre part :
BC 2 = 172
= 289.
AB 2 + AC 2 = 152 + 82
= 225 + 64
= 289.
Donc BC 2 = AB 2 + AC 2 .
L’égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle ABC est rectangle en A.
2) Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle
Activité D. Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle
Soit un triangle DEF tel que DE = 5,5 cm ; DF = 4,7 cm et EF = 7,3 cm.
1. Construire le triangle DEF . Quelle semble être sa nature ?
2. Quel est le côté le plus long dans ce triangle ?
3. Écrire l’égalité de Pythagore que doivent vérifier les côtés du triangle pour qu’il soit rectangle.
4. (a) Calculer DE 2 , DF 2 et EF 2 .
(b) En déduire que l’égalité de Pythagore énoncée à la question 3 n’est pas vraie dans ce
triangle.
5. Conclure sur la nature du triangle DEF .
Propriété
Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés
des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.
Autrement dit, si, dans un triangle ABC tel que [BC] est le plus grand côté, on a :
BC 2 6= AB 2 + AC 2
alors le triangle ABC n’est pas rectangle.
Exemple
Soit le triangle ABC tel que BC = 6 cm, AB = 5 cm et AC = 3 cm.
On veut vérifier si ce triangle est rectangle.
D’une part :
D’autre part :
BC 2 = 62
AB 2 + AC 2 = 52 + 32
= 36.
= 25 + 9
= 34
Donc : BC 2 6= AB 2 + AC 2 .
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, donc le triangle ABC n’est pas rectangle.
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Problèmes :
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