Algèbre Cours 12 [3ex] Extension de corps

Algèbre Cours 12
Extension de corps
18 décembre 2009

Définition
Définition Extension de corps. Soit kun corps. Une
extension de kest une k-algèbre (K,i)où Kest un corps
c’est-à-dire un couple où Kest un corps et iun morphisme
d’anneaux unitaires.

Définition
Définition Extension de corps. Soit kun corps. Une
extension de kest une k-algèbre (K,i)où Kest un corps
c’est-à-dire un couple où Kest un corps et iun morphisme
d’anneaux unitaires.
Exemple C(ou plutôt (C,i)avec i:x7→ x1C) est un extension
de corps de R.
R(T)est une extension de corps de R.

Définition
Définition Extension de corps. Soit kun corps. Une
extension de kest une k-algèbre (K,i)où Kest un corps
c’est-à-dire un couple où Kest un corps et iun morphisme
d’anneaux unitaires.
Exemple C(ou plutôt (C,i)avec i:x7→ x1C) est un extension
de corps de R.
R(T)est une extension de corps de R.
Remarque Le morphisme iest injectif et permet d’identifier kà
un sous-corps de K.
On peut munir Kd’une structure de k-espace vectoriel. Comment ?
La dimension de Ksur kest noté [K:k]. D’une manière générale,
dans ce cours, si Eest un k-espace vectoriel, on note
[E:k] = dimkE
.

Proposition Base télescopique. Soient Kune extension de
ket Eun K-espace vectoriel. On a alors
[E:k] = [E:K][K:k]