Les nombres

2010-2011
Guylaine Faubert
Enseignante en mathématique et
informatique au secondaire
© Le petit relais scolaire. (gfaubert)
-1-
2010-2011
MULTIPLICATION OU LA DIVISION PAR 10
- 22 -
A
ADDITION
ARBRE DE FACTEURS
ARRONDIR UN NOMBRE
-6- 12 -6-
N
NOMBRE À VIRGULE
NOMBRE CARRÉ
- 14 - 14 - 12 - 14 - 14 - 14 - 14 -4- 19 - 16 -4- 15 - 12 -4-4-5- 19 -
NOMBRE COMPOSÉ
C
CALCULER LE POURCENTAGE
- 26 COMMUTATIVITÉ
- 6 -, - 7 - 25 CONVERSION FRACTION – DÉCIMAL – POURCENTAGE
NOMBRE DÉCIMAL
NOMBRE FRACTIONNAIRE
NOMBRE IMPAIR
NOMBRE PAIR
NOMBRES ENTIERS
NOMBRES FRACTIONNAIRES
NOMBRES INVERSES
NOMBRES NATURELS
D
NOMBRES OPPOSÉS
DÉCIMAUX
DÉCOMPOSITION D’UN NOMBRE
DÉNOMINATEUR
DISTRIBUTIVITÉ
DIVISEURS
DIVISIBILITÉ DES NOMBRES
DIVISION
- 22 -5- 19 - 7 -, - 8 - 11 - 10 -8-
E
NOMBRES PREMIERS
NOMBRES RATIONNELS
NOMBRES RÉELS
NOTATION EXPONENTIELLE
NUMÉRATEUR
O
- 22 - 20 -7-
OPÉRATIONS SUR LES DÉCIMAUX
OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS
EXPOSANT
-5-
OPPOSÉE
P
F
- 12 - 11 - 12 - 22 - 18 - 18 - 16 - 18 - 19 -
FACTEUR PREMIER
FACTEURS
FORME EXPONENTIELLE
FRACTION DÉCIMALE
FRACTION UNITAIRE
FRACTIONS
FRACTIONS ÉQUIVALENTES
FRACTIONS ÉQUIVALENTES
FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES
PROPRIÉTÉS IMPORTANTES DES NOMBRES 0 ET
PUISSANCE
-3-4-4-6- 17 -
MULTIPLICATION
© Le petit relais scolaire. (gfaubert)
-3-3-
R
RÈGLE DU CARACTÈRE DE DIVISIBILITÉ
RÉSOLUTION DE PROBLÈME
- 10 - 27 -
S
M
MULTIPLES
1
- 13 - 25 -9- 24 - 14 -5-
Q
QU’EST-CE QU’UN CHIFFRE? :
QU’EST-CE QU’UN NOMBRE? :
L
LA POSITION D’UN CHIFFRE :
LA VALEUR DE POSITION :
LES ENSEMBLES DE NOMBRE.
LES OPÉRATIONS
LES OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES ENTIERS
PGCD
POURCENTAGES
PPCM
PRIORITÉS D’OPÉRATION
-9-7-
SOUSTRACTION
-7-
-2-
2010-2011
Les nombres
Position et valeur de position
Qu’est-ce qu’un chiffre? :
Les chiffres sont les symboles (dessins) utilisés pour écrire les nombres. Dans notre
système de numérotation en base de dix, il y en a 10.
{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
Qu’est-ce qu’un nombre? :
C’est lorsque les chiffres sont assemblés (placés) pour former une quantité, une
grandeur, une position, etc.
On utilise des unités ou des noms comme km, kl, kg, …; 4 chats, 5,00$, ½ pommes,
…, millième, centième, …
La position d’un chiffre :
La position d’un chiffre dans un nombre est la place qu’occupe ce chiffre dans le
nombre. Le tableau suivant te donne quelques exemples de position :
Millions
Mille
c
c
c
Décimaux
( fractions)
Unités
c
m
e
d
e
d
e
d
d
e
i
n
i
n
i
n
i
i
n
l
t
z
u
t
z
u
t
z
u
x
t
l
a
a
n
a
a
n
a
a
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
è
è
è
n
n
t
n
n
t
n
n
t
m
m
m
e
e
é
e
e
é
e
e
é
e
e
e
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Exemple : 123 456, 789
1
est à la position des centaines de mille (u×100000)
2
est à la position des dizaines de mille (u×10000)
6
,
3
4
5
7
8
9
est à la position des unités (u)
La virgule indique le début de la fraction
décimale.
dixièmes ( u / 10)
centièmes ( u / 100)
millièmes ( u / 1000)
est à la position des unités de mille (u×1000)
est à la position des centaines (u×100)
est à la position des dizaines (u×10)
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-3-
2010-2011
La valeur de position :
C’est la quantité d’unités que vaut un chiffre suivant sa position dans un nombre.
Exemple : 123 456, 789
1
Vaut 100 000 =
1× 10 5
,
Vaut 20 000 =
2 × 10 4
7
Vaut 3 000
=
3× 10 3
8
Vaut 400
=
4 × 10 2
9
5
Vaut 50
=
6
Vaut 6
=
2
3
4
La virgule indique le début des décimaux ou
fractions
Vaut
7
Vaut
8
Vaut
9
10
= 0,7
100
= 0,08
1000
= 0,009
5 × 10
6 × 10 0
Les ensembles de nombre.
Il existe plusieurs types de nombres qui peuvent être classés dans différents
ensembles. Voici quelques symboles et noms à connaître.
N : Nombres naturels
N* : Nombres naturels positifs
{0,1,2,3,…}
{1,2,3,…}
Z : Nombres entiers : nombres naturels et leurs opposés {…,-2,-1,0,1,2,…}
On peut parler de nombres entiers positifs et de nombres entiers négatifs.
0 n’est ni négatif, ni positif.
Q : Nombres rationnels. N et Z plus
les fractions et les nombres décimaux
ayant une période.
R : Nombres réels : L’ensemble de
tous les nombres.
N* ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
où
⊂ → signifie ... «Inclu» dans ...
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-4-
2010-2011
Décomposition d’un nombre
Voici 3 façons de décomposer un nombre :
Exemple : 654 321
1) Notation ordinaire
600 000 + 50 000 + 4 000 + 300 + 20 + 1
2) Notation développée :
(6×100 000) + (5×10 000) + ( 4×1 000) + (3×100) + (2×10) + (1×1)
ou
(6×10×10×10×10×10) + (5×10×10×10×10) + ( 4×10×10×10) + (3×10×10) + (2×10) +
(1×1)
3) Notation exponentielle (scientifique) qui découle de la 2e partie de la
notation développée :
(6 × 10 5 ) + (5 × 10 4 ) + ( 4 × 10 3 ) + (3 × 10 2 ) + (2 × 101 ) + (1 × 10 0 )
Exposant et puissance :
La notation exponentielle, nous permet d’écrire de très grand et de très petit
nombre de façon abrégée. L’exposant dans la notation exponentielle nous indique
le nombre de fois qu’un nombre doit être multiplié par lui-même. Il est écrit en
petits caractères et se place à la hauteur de l’apostrophe.
Exemple : 5 4
Exposant
5
Base
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4
Égale
=
Égale
5×5×5×5
Base
multipliée par
elle-même 4
fois
=
625
Puissance
-5-
2010-2011
Arrondir un nombre
Arrondir un nombre est une méthode d’estimation (à peu près).
Pour arrondir un nombre, tu dois :
1- Regarder le chiffre qui est à droite de la position demandée.
2- Si ce chiffre est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors le chiffre à la position demandée ne
change pas. Tous les chiffres suivants la position demandée deviennent des
0.
3- Si ce chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors le chiffre à la position demandée
augmente de 1. Tous les chiffres suivants la position demandée deviennent
des 0.
Exemples :
3456 arrondi à l’unité de mille près = 3 000
3765 arrondi à l’unité de mille près = 4 000
323 arrondi à la centaine près = 300
383 arrondi à la centaine près = 400
24 arrondi à la dizaine près = 20
49 arrondi à la dizaine près = 50
23,42 arrondi au dixième près = 23,40
23,19 arrondi au dixième près = 23,20
Les opérations
Addition : ajouter un nombre à un autre.
Plus
5
Terme
+
Égale
9
Terme
=
14
Somme
Une propriété de l’addition : la Commutativité
o Exemple : 5 + 9 = 9 + 4
Addition en colonne :
Exemple :
248 521 + 34 938 + 915 = n
a) Aligner les chiffres en fonction de leur valeur de position.
b) Additionner par colonne en commençant par les unités.
Lorsque la somme donne un nombre avec une dizaine, reporté le
chiffre de la dizaine au haut de la colonne précédente. (la ligne
grisée pour la retenue)
© Le petit relais scolaire. (gfaubert)
1
2
1
2 4 8 5 2 1
3 4 9 3 8
9 1 5
2 8 4 3 7 4
-6-
2010-2011
Soustraction : retrancher un nombre à un autre.
Moins
9
-
Égale
4
Terme
=
5
Terme
Différence
La soustraction est l’opération opposée de l’addition.
9 − 4 = 9 + (− 4)
• Exemple :
5=5
La soustraction avec la droite numérique.
Soustraction en colonne :
Exemple :
45 007 – 34 938 = n
a) Aligner les chiffres en fonction de leur valeur de position.
b) Soustraire par colonne en commençant par les unités.
Emprunter sur les chiffres des colonnes précédentes si le 1er
terme est plus petit que le 2e terme. Laisse les traces de tes
démarches d’emprunts et d’ajouts.
4
3
4 9 9
5 0 0 17
4 9 3 8
1
0
0
6
9
Multiplication : Remplace l’addition de plusieurs nombres identiques.
Exemple : 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45 ↔ 5 × 9 = 45
Fois
5
×
Facteur et
multiplicande
Égale
9
=
Facteur et
multiplicateur
45
Produit
Une propriété de la multiplication : la Commutativité:
o Exemple : 5 × 9 = 9 × 5
Une autre propriété de la multiplication lorsque nous avons des
parenthèses : la Distributivité:
•
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Exemple
5 × (9 + 2) = (5 × 9) + (5 × 2)
5 × (11) = (45) + (10)
55 = 55
-7-
2010-2011
Multiplication en colonne :
Exemple : 236 × 127 = n
2
1
4
2 3 6
1 2 7
a) Aligner les chiffres en fonction de leur valeur de position.
b) On commence la multiplication avec les unités du
multiplicateur (7).
c) J’utilise la retenue lorsque mes produits sont supérieurs à 9.
c) En dernier lieu, j’additionne en colonne.
1
1 6 5 2
4 7 2
2 3 6
2 9 9 7 2
Division : Partager une certaine quantité en parties égales ou chercher combien de
fois un nombre est contenu dans un autre.
Diviser
63
Égale
÷
Dividende
9
=
Diviseur
7
Quotient
Une propriété de la division : la Distributivité
642 ÷ 2 = (600 + 40 + 2 ) ÷ 2
o Exemple :
321 = (600 ÷ 2 ) + (40 ÷ 2 ) + (2 ÷ 2 )
321 = 300 + 20 + 1
321 = 321
Division en colonne :
Exemple : 5540 ÷22 = n
5
-(22x0)
-(22x2)
-(22x5)
-(22x1)
-(22x8)
-(22x1)
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0
5
4
1
1
5
4
0
2
2
251,81…
Ou reste 18
4
1
1
0
0
4
2
1
1
2
8
7
1
6
4
2
1
2
8
-8-
2010-2011
Les multiples d'un nombre
Un nombre est un multiple d'un autre s'il le contient 0, 1 ou plusieurs fois.
*** 0 est un multiple de tous les nombres
Lorsque je divise le multiple par un diviseur, il n’y aura jamais de reste.
Exemple :
Des multiples
de 4
Des multiples
de 12
0
4
8
12
16
20
4x0
4x1
4x2
4x3
4x4
4x5
...
60
Les 6 premiers multiples de
12
0
12
24
36
48
Les 6 premiers multiples de 4
12x0 12x1 12x2 12x3 12x4 12x5
...
Lorsqu’un nombre (ici, 12) est un multiple de deux ou plusieurs nombres, on dit
qu’il est un multiple commun à ces nombres.
PPCM
Le plus petit commun multiple de 2 ou plusieurs nombres.
0 est toujours exclu des multiples communs.
Le PPCM nous aide à résoudre certains
problèmes, à comparer, additionner ou
soustraire des fractions.
Exemples :
Le PPCM de 3 et 4
3:
3
6
9
12
4:
4
8
12
16
15
Le PPCM est 12
Le PPCM de 54 et 72
PPCM
54
72
2
÷2= 27
÷2= 36
3
÷3= 9
÷3= 12
3
÷3= 3
÷3= 4
3
÷3= 1
4
2
1
÷2= 2
2
1
÷2= 1
2×3×3×3×2×2=216
2×2×54=216
3×72=216
Donc 216 est le PPCM de 54 et 72
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-9-
2010-2011
Divisibilité des nombres
Divisible
par
Règle du caractère de
divisibilité
Exemples et justification
Exemple :
Par
Si son dernier chiffre est pair.
318 est divisible par 2, parce que 8, le
dernier chiffre, est pair.
Exemple:
Par
Si la somme des chiffres est divisible
318 est divisible par 3, parce que
par 3.
Par
Si le nombre formé des 2 derniers
chiffres est divisible par 4.
3+1+8=12, 12 est divisible par 3.
Exemple:
19736 est divisible par 4, parce que
36 est divisible par 4.
Exemple:
Par
Si le dernier chiffre est 0 ou 5.
1045 est divisible par 5, parce que le
dernier chiffre est 5.
Exemple:
9144 est divisible par 6, parce que le
dernier chiffre, 4, est pair, donc
divisible par 2 et 9+1+4+4=18, 18 est
divisible par 3.
Par
S'il est divisible par 2 et par 3.
Par
Si le nombre formé par les 3 derniers
5328 est divisible par 8, parce que
chiffres est divisible par 8.
Par
Si la somme des ses chiffres est
divisible par 9.
Exemple:
328 / 8 = 41.
Exemple:
Exemple:
Par
0
378 est divisible par 9, parce que
3+7+8=18, 18 est divisible par 9.
Si son dernier chiffre est 0.
53400 est divisible par 0, parce que
son dernier chiffre est 0.
Exemple:
Par
324 est divisible par 12, parce que
Si le nombre est divisible par 3 et 4. 3+2+4 = 9, 9 est divisible par 3 et 24,
les 2 derniers chiffres, est divisible
par 4.
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- 10 -
2010-2011
Le test ultime 1 425 600 est divisible par
2
parce que 0 est un nombre pair;
3
parce que 1+4+2+5+6+0+0=18 qui est divisible par 3;
4
5
parce que 00 est divisible par 4;
parce que le dernier chiffre est 0;
6
parce que le nombre est divisible par 2 et 3;
8
parce que 600/8=150;
9
parce que 1+4+2+5+6+0+0=18 qui est divisible par 9;
10
parce que le dernier chiffre est 0;
12 parce que le nombre est divisible par 3 et 4.
Les diviseurs
Chaque fois que je cherche toutes les façons de partager un nombre en parties
égales, je suis à la recherche des diviseurs d’un nombre.
Les diviseurs entiers sont les diviseurs qui sont supérieurs à 0.
Ces diviseurs, lorsqu’on les place en position de les multiplier, on les appellera des
facteurs.
Exemple : 99 ÷ 11 = 9 donc 9 et 11 sont des diviseurs de 99.
9 × 11 = 99 ici, 9 et 11 sont des facteurs de 99.
Les diviseurs communs de nombres (ou facteurs communs de nombres)
C’est un nombre qui est un diviseur de plusieurs nombres.
Exemple
2 est un diviseur commun et un facteur commun de 6 et 12
5 est un diviseur commun ou facteur commun de 5, 135,
1035
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- 11 -
2010-2011
Arbre de facteurs
En premier lieu, il nous faut connaître ce qu’est un facteur premier.
C’EST un nombre supérieur ou égal à 2 qui possèdent exactement 2 diviseurs : 1 et
lui-même. Ces nombres sont appelés des nombres premiers.
Exemples : 2 → ses diviseurs 1 et 2
19 → ses diviseurs 1 et 19
Voici les nombres premiers plus petits que 100 :
2
31
73
3
37
79
5
41
83
7
43
89
11
47
97
13
53
17
59
19
61
23
67
29
71
À l’opposé, si un nombre possède plus que ces deux facteurs, on l’appellera un
nombre composé.
Exemple : 20 → ses diviseurs 1, 2, 4, 5, 10 et 20
Tu utilises l’arbre de facteurs afin de te permettre de trouver tous les facteurs
premiers et ainsi pouvoir transformer les nombres sous une forme exponentielle.
Exemple :
Arbre de facteurs de 60
Ici, la forme exponentielle serait 2²x3x5
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- 12 -
2010-2011
PGCD
Le plus grand commun diviseur t’aidera à résoudre certains problèmes ou à
réduire des fractions.
a) Tu peux trouver tous les facteurs de chacun des nombres et trouver ceux qui sont
en communs en procédant de la façon suivante :
Exemple :
Trouver le PGCD de 54 et 72
54:
2 x
72:
2
3
x
3
x
3
18 entre 3 fois
Le PGCD est donc le résultat de
2x3x3=18
x
2
x
2
x
3
x
3
18 entre 2x2 donc 4 fois
b) Tu peux procéder un peu comme le PPCM, mais tu t’arrêtes lorsque tu ne trouves
plus de diviseurs communs.
Exemple :
Trouver le PGCD de 54 et 72
PPCM
54
72
2
÷2= 27
÷2= 36
3
÷3= 9
÷3= 12
3
÷3= 3
÷3= 4
2×3×3=18
18×3=216
18×4=216
Donc 18 est le Pgcd de 54 et 72
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- 13 -
2010-2011
Vocabulaire sur les différents types de nombres
Nombre à virgule : Nombre décimal
Nombre carré : nombre ayant 2 facteurs identiques. Ex. {1,4,9,16,…}
Nombre décimal : Un nombre dont le nombre de chiffres après la virgule est fini.
Il peut s’écrire sous la forme fractionnaire où le dénominateur est une puissance de
10.
5
= 5 ÷ 4 = 1,25 nb décimal limité
4
5
Exemple : = 5 ÷ 3 = 1,666.... nb périodique
3
=
1, 6
Nombre fractionnaire : Nombre composé d’un nombre entier accompagné d’une
1
fraction. Exemple : 6 1 , 300 , − 3 2 5
8
4
Nombre impair : les nombres entiers (positifs ou négatifs) qui ne sont pas des
multiples de 2. {…,-5,-3,-1, 1, 3, 5, …}
Nombre pair : un nombre entier multiple de 2. {…,-4,-2, 0, 2,4,…}
***Quelques propriétés importantes des nombres 0 et 1***
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- 14 -
2010-2011
ZÉRO – 0
a) 0 est l'élément neutre dans l'addition.
Exemples
31 + 0 = 31
-0,25 + 0 = -0,25
0 + 2/3 = 2/3
x+0=x
b) 0 est la somme de deux nombres opposés.
Exemples
(-5) + 5 = 0
4/5 - 4/5 = 0
8+-8=0
a + (- a) = 0
c) Tout nombre exposant 0 est égal à 1.
Exemples
2° = 1
(½)° = 1
(-25)° = 1
b° = 1
d) 0 est l'élément absorbant dans la multiplication, c'est-à-dire que tout
nombre multiplié par 0 donne 0.
Exemples
243 × 0 = 0
4¼×0=0
-43,159 × 0 = 0
n×0=0
e) La division par 0 n'est pas définie en mathématique.
Exemples
2 est impossible
0
½ divisé par 0 est
impossible
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- 15 -
2010-2011
UN – 1
a) 1 est l'élément neutre dans la multiplication.
Exemples
1 × 15 = 15
3½ × 1 = 3½
-43,15 × 1 = -43,15
cx1=c
b) 1 est le produit de 2 nombres inverses.
Exemples
3 × 1/3 = 1
4/9 × 9/4 = 1
-3 × -1/3 = 1
y × 1/y = 1,
où y n'est pas égal à 0.
c) 1 engendre toutes les fractions équivalentes.
=
=
2
3
2
×1
×
3
=
Exemples
=
=
4
4
3
×1
×
15
20
5
3
10
3
×1
×
10
= −
6
3
= −
2
4
=
2
= −
=
=
5
=
10
10
30
100
a
b
×1
a 9
×
b 9
9a
9b
d) 1 est le résultat de tout nombre exposant 0.
Exemples
2° = 1
( ½ )° = 1
( -25 )° = 1
b° = 1
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- 16 -
2010-2011
Les opérations sur les nombres entiers (+ et -)
Addition
Exemples
a. Si les 2 nombres sont positifs, la réponse sera positive.
2+3=5
b. Si les 2 nombres sont négatifs, la réponse sera positive.
(-2) + (-3) = -5
c. Si un des nombres est négatif : soustraire les 2 nombres même
s’ils sont reliés par une addition; le plus grand moins le plus
petit; le signe de la réponse sera le signe du nombre ayant la plus
grande valeur absolue.
4 + (-9) =
Réponse est négative
9-4 = 5
Donc -5
Soustraction
8 − (− 3) = 8 + (+ 3) = 11
Nous pouvons soustraire un nombre en effectuant l’addition de
l’opposé du nombre à soustraire. Il suffit de suivre les règles de
l’addition par la suite.
8 − (3) = 8 + (− 3) = 5
-5 − 3 = −5 + (− 3) = −8
Multiplication
(− 3) • (− 2 ) = 6
a. Si les deux nombres sont de même signe, multiplier les 2
valeurs absolues et donner une réponse positive.
(− 4) × (5) = −20
b. Si les deux nombres sont de signes opposés, multiplier et
donner une réponse négative.
(7 )(− 10) = −70
Contrairement à l’addition le signe de la réponse ne correspond pas au signe du nombre ayant la
plus grande valeur absolue.
Division
a. Si les nombres sont de signes identiques, diviser les valeurs absolues et mettre le signe positif
devant la réponse.
b. Si les nombres sont de signes opposés, diviser les 2 valeurs absolues et mettre le signe négatif
devant la réponse.
Attention! Contrairement à l’addition le signe de la réponse ne correspond pas au signe du nombre
ayant la plus grande valeur absolue.
(− 30)
(5) = − 30 5 = −6
© Le petit relais scolaire. (gfaubert)
(− 22)
(− 2 ) = 22 2 = 11
(70)
(− 10) = − 70 10 = −7
- 17 -
2010-2011
Les fractions
Une fraction, c’est le résultat d’une comparaison de 2 quantités. On peut aussi
nommer cette comparaison un rapport.
Exemples :
a) Deux filles à lunettes dans un groupe de 30 filles. b) 1 carreau bleu : 9 carreaux 1 :9 ou
2 : 3 ou 2 3
1
9
Une fraction, c’est aussi une autre forme de division.
Ex. 50 barres de chocolats à partager entre 5 personnes.
50 ÷ 5 =
50
= 10 chocolats par personne
5
Fraction unitaire : Le numérateur et le dénominateur sont identiques. Cette
fraction sera utilisée pour la recherche de fractions équivalentes, fractions
irréductibles, …
Le quotient donne 1.
Exemple
1
= 1 ÷1 = 1
1
23
= 23 ÷ 23 = 1
23
Fractions équivalentes : Des fractions qui représentent la même quantité.
Exemples :
1 2 4
= =
3 6 12
1
3
2
6
1 2
× ⇒
3 2
2 2
× ⇒
6 2
© Le petit relais scolaire. (gfaubert)
1 2 4
= =
2 4 8
4
12
4
12
- 18 -
2010-2011
Fractions irréductibles
Une fraction sera irréductible si le numérateur et le dénominateur n’ont aucun
diviseur en commun. (Nous pouvons utiliser le PGCD)
Exemples :
108
2×2×3×3×3
36×3 3
=
144
2×2×2×2×3×3 36×4 4
PGCD = 2×2×3×3 = 36
108 3
=
144 4
Nombres fractionnaires
Une fraction dont le numérateur est supérieur au dénominateur. Exemple :
115 − 20
,
10
3
Pour transformer une telle fraction en nombre fractionnaire, il s’agit de trouver
le nombre de fraction unitaire inclus dans la fraction et inscrire le reste sous forme
de fraction irréductible ou réduite.
115 (11× 10) + 5
5
1
=
Exemple :
= 11 = 11
10
10
10
2
Transformer un nombre fractionnaire en fraction.
1
3 1 15 1 16
Exemple : 5 = 5 × + = + =
3
3 3 3 3 3
4
−4
=−
8
8
4
4
Nombre rationnels négatifs Exemple : 4 ÷ −8 =
=−
−8
8
−4 4
− 4 ÷ −8 =
=
−8 8
− 4 ÷8 =
Mêmes règles pour les signes que pour la division de nombre entiers.
© Le petit relais scolaire. (gfaubert)
- 19 -
2010-2011
Réduire ou transformer des fractions ayant le même dénominateur.
Nous utiliserons cette façon de faire pour nous aider à comparer des fractions entres
elles.
Exemple :
2
6
et
2×7
6× 7
14
42
?
Trouver le PPCM de 6 et 14
3
14
PPCM
6
14
2
÷2= 3
÷2= 7
3
÷3= 1
7
7
1
÷7= 1
2×3×7=42
6×7=42
14×3=42
3× 3
14 × 3
9
⟩
42
Donc 42 est le PPCM de 6 et 14
Les quatre opérations sur les fractions
Addition
Exemples
a) On s’assure que les nombres fractionnaires sont sous la
forme de fraction.
1 3 31 3
5 + =
+
6 4 6 4
b) On trouve le PPCM des dénominateurs.
Le PPCM est 12
c) On transforme les fractions de façon qu’elles aient le même
dénominateur.
=
62 9
+
12 12
d) On additionne les numérateurs. Lorsque la réponse nous
donne une fraction avec un numérateur supérieur au
dénominateur, il faut transformer la réponse en nombre
fractionnaire.
=
71
11
=5
12
12
Soustraction
Pour la soustraction, ce seront les mêmes étapes que pour
l’addition. Attention aux règles des signes.
© Le petit relais scolaire. (gfaubert)
1 3
−5 +
6 4
31 3
=− +
6 4
62 9
=− +
12 12
53
=−
12
- 20 -
2010-2011
Multiplication
a) Transformer les nombres fractionnaires en fraction.
1 3
5 ×
6 4
31 3
= ×
6 4
b) Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux.
=
31 × 3
6× 4
c) Réduire la réponse et/ou transformer en nombre
fractionnaire, si nécessaire.
=
93
21
=3
24
24
Division
a) Transformer les nombres fractionnaires en fraction.
1 3 31 3
5 ÷ =
÷
6 4 6 4
b) Transformer la division en multiplication de l’inverse.
=
31 4
×
6 3
c) Procéder comme une multiplication.
=
31 × 24 124
16
8
=
=6 =6
6×3
18
18
9
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- 21 -
2010-2011
Les décimaux
Un nombre décimal est un nombre formé de deux parties séparées par une virgule :
une partie entière et une partie décimale. Ça correspond à une fraction décimale.
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est un multiple de 10 :
10, 100, 1000, …
Exemples :
1
1
= 0,1
= 0,01
10
100
1
= 0,001 …
1000
3 15 15 × 25 375
=
=
375 a 3 centaines donc 3 entiers et 75 centièmes donc
=
4 4
4 × 25 100
0,75.
3
-77,07
= -(77 entiers + 7
= - 77 7
100
100
)
(en nb fractionnaire)
Préfixe et
suffixe
Il entre 100 cm dans un mètre
donc il nous faudra diviser par
100.
12
= 0,12
100
→ alors 12,73 donnera 0,1273
hecto
déca
mètre
Exemple :
Prenons 12,73 cm à convertir
en mètre.
kilo
km
hm
dam
gramme
Très souvent utilisées lorsqu’on
veut convertir des unités ou
transformer des fractions
décimales en nombres
décimaux.
kg
hg
litre
La multiplication ou la division par 10
kl

déci
centi
milli
m
dm
cm
mm
dag
g
dg
cg
mg
hl
dal
l
dl
cl
ml
1
10
100
1000
10000
10000
0
10000
00
0,000
001
0,000
01
0,000
1
0,001
0,01
0,1
1
Exemple : Prenons maintenant 12,73 cm à convertir en millimètre.
Il y a 10 mm dans 1 cm, alors les 12 cm donneront 12 × 10 = 120 mm donc notre
réponse complète sera de 127,3 mm.
Les quatre opérations sur les décimaux
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- 22 -
2010-2011
Addition
Exemples
0,75 + 0,875
= 0,750 + 0,875
= 1,625
On s’assure que les nombres décimaux aient le même nombre
de chiffre après la virgule. Ensuite, on additionne comme avec
les nombres naturels, mais il ne faut pas oublier la virgule à la
réponse.
Soustraction
Fais attention aux signes, voir la soustraction avec les nombres
naturels.
Ensuite, tu procèdes comme pour l’addition.
0,75 − 0,875
= 0,750 − 0,875
= −0,125
Multiplication
Pour ce qui est des signes, suivre les mêmes règles que pour les entiers.
On les multiplie comme s’ils étaient des entiers pour ensuite mettre la virgule à la
position appropriée.
3,4 × 1, 2 →
2,125 × 3,1 →
34 × 12 = 408
dixième × dixième = centième
donc
2125 × 31 = 65875
millième × dixième = dix millième
408
= 4,08
100
=
65875
= 6,5875
10000
Division
Premièrement, suivre la règle des signes des entiers.
On doit s’assurer d’avoir le même nombre de décimaux
après la virgule des 2 nombres, pour ensuite les diviser
sans la virgule comme deux nombres naturels.
2,5 ÷ 1,25
= 2,50 ÷ 1, 25
= 250 ÷ 125
=2
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- 23 -
2010-2011
Priorités d’opération
1.
2.
3.
4.
L’intérieur des parenthèses.
Les exposants.
Les multiplications et les divisions en débutant par la gauche.
Les additions et les soustractions en débutant par la gauche.
Quelques exemples :
40 ÷ 5 • 2 + 4 ÷ 2 2 = 40 ÷ 5 • 2 + 4 ÷ 4 → l' exposant
= 8 • 2 + 4 ÷ 4 → la division
= 16 + 4 ÷ 4 → la multiplica tion
= 16 + 1 → la division
= 17 → l' addition
4 + 2(3 + 7 ) = 4 + 2(10) → la parenthèse
= 4 + 20 → la multiplica tion
= 24 → l' addition
− 3 × [5 × (2 + 4 ) + −2] + −8
= −3 × [5 × (6 ) + (− 2 )] + −8 parenthèses
= −3 × [30 + (− 2 )] + −8
= −3 × [28] + −8
multiplication
parenthèses
= -84 + -8
multiplication
= -92
soustraction
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- 24 -
2010-2011
Les Pourcentages
Le pourcentage est un rapport ou une fraction sur 100.
Conversion fraction – décimal – pourcentage.
Fraction en pourcentage
Convertir les fractions en fraction décimale sur 100.
Où procéder à une division.
Exemple :
28
= 28%
100
3
30
=
= 30%
10 100
5 5 × 12,5 52,5
=
=
= 52,5%
8 8 × 12,5 100
2
66,666...
= 2 ÷ 3 = 0,66666... ≈
→ 66,67%
3
100
Décimal en pourcentage
Premièrement, convertir le nombre décimal en fraction décimal.
Ensuite, trouver la fraction décimale sur 100.
452
452 ÷ 10 45,2
=
= 45,2%
=
1000 1000 ÷ 10 100
1875
1875 ÷ 100 18,75
0,1875 =
=
=
= 18,75%
10000 10000 ÷ 100 100
Exemple :
1,25 1,25 × 100 125
1,25 =
=
=
= 125%
1
1 × 100
100
2
2 × 10
20
0,2 =
=
=
= 20%
10 10 × 10 100
0,452 =
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- 25 -
2010-2011
Pourcentage en fraction et en décimal
15
3
15
=
→
= 0,15
100 20
100
123
Exemple : 123% =
→ 1,23
100
0,12 0,12 × 100
12
0,12% =
=
=
= 0,0012
100 100 × 100 10000
15% =
Pour calculer le pourcentage d’une quantité :
-
On transforme le pourcentage en fraction décimale ou en notation décimale ;
On multiplie cette fraction ou ce nombre décimal par la quantité.
20% de 400$ =
Exemple :
20 400 20 4 80
×
=
× =
= 80$
100 1
1 1 1
= 0,2 × 400 = 80$
=
Cas particuliers :
L’entier (100%)
Le 100% d’un nombre sera le nombre lui-même. Exemple : 100% de 2300 =
2300
© Le petit relais scolaire. (gfaubert)
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2010-2011
Résolution de problème
Pour comprendre l’énoncé d’un problème, il faut prendre le temps de bien lire et même
relire avant de commencer à travailler le problème.
Il faut, ensuite :
1. Repérer les données (très souvent numériques) et les associer à l’information (unités,
quantité de, …).
L’énoncé
J’avais 10$ d’argent de poche. J’ai acheté 3 cornets de crème glacée à 2$ chacun, 0,25$ de
pourboire inclus. Combien me reste-t-il d’argent?
Souligner et ou surligner
J’avais 10$ d’argent de poche. J’ai acheté 3 cornets de crème glacée à 2$ chacun, 0,25$ de
pourboire inclus. Combien me reste-t-il d’argent?
2. Identifier ce que l’on cherche, la résultante exigée. Ressortir les informations et les
ordonnées.
Données
10$
3
2$
0,25$
Informations
Argent de poche
Cornets achetés
Prix par cornet
Pourboire inclus (donnée superflue)
Je cherche : Le montant d’argent restant.
3. Identifier en mots et/ou en formule ce qu’on doit faire.
$ Restant = argent de poche – argent dépensé
4. Faire les calculs avec une chaîne d’opérations.
$ restant = 10$ - (3 cornets × 2$ )
= 10$ - 6$ pour les cornets
= 4$
5. Très bien inscrire la réponse, sans oublier les unités.
Réponse : 4$ d’argent restant
© Le petit relais scolaire. (gfaubert)
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