Modules sur un anneau commutatif

Université de Nice
2006-07
Master 1 Mathématiques
GAE
Modules sur un anneau commutatif
1. Généralités
1.1. On considère un anneau commutatif A. Un module M sur l’anneau A (ou A-module) est un groupe
abélien (sa loi est notée + et l’élément neutre 0) qui a
de plus une action de l’anneau A avec les propriétés suivantes : pour a et b dans A, m et m0 dans M , on a a(m+
m0 ) = am + am0 , (a + b)m = am + bm, a(bm) = (ab)m et
1m = m. On vérifie alors que 0m = (0 + 0)m = 0m + 0m
et il s’ensuit que 0m = 0.
Une application f : M −→ N entre deux A-modules est
un morphisme de A-modules si f est A-linéaire, i.e.
si f est un morphisme de groupes abéliens et si pour tout
a de A et m de M on a f (am) = af (m) dans N .
Un sous-A-module N d’un A-module M est un sousgroupe stable par l’action de A. Le noyau et l’image
d’un morphisme de A-modules sont des sous-A-modules
de la source et du but du morphisme.
1.2. Module quotient. On considère un anneau A,
un A-module M et un sous-A-module N de M . Sur
le groupe quotient M/N on met une structure de Amodule : pour a dans A et m dans M on pose a m :=
am où m désigne la classe de m dans le quotient M/N
(vérifier les diverses compatibilités).
Exemple 1.2.1. Un idéal I d’un anneau A est un sousA module de A et le quotient A/I est aussi un A-module.
Théorème 1. (Propriété universelle du quotient.)
On considère un anneau A, un A-module M et un sousA-module N de M .
Un morphisme de A-modules f : M −→ W se factorise
par l’application quotient π : M −→ M/N si et seulement si ker f ⊃ N .
L’application obtenue g : M/N −→ W est injective si et
seulement si ker f = N et surjective si et seulement si f
est surjective.
Voici quatre séries d’exemples fondamentaux :
Exemple 1.1.1. Si k est un corps, les k-modules sont
les k-espaces vectoriels et les morphismes de k-modules
sont les applications k-linéaires.
M


yπ
&f
Exemple 1.1.2. La multiplication par un entier positif
g
M/N −→ W
dans Z est une addition itérée. Donc les Z-modules sont
les groupes abéliens et les morphismes de Z-modules sont Exemple 1.2.2. On considère un corps k, l’anneau de
polynômes k[T ] et un polynôme P unitaire de degré d
les morphismes de groupes abéliens.
dans k[T ],
Exemple 1.1.3. On considère un k-espace vectoriel E
P (T ) = T d + ad−1 T d−1 + . . . + a1 T + a0 .
et un endomorphisme u de L(E). Alors (E, u) a une
structure de k[T ]-module définie par : P x = P (u)(x) Le quotient k[T ]/(P (T )) est donc un k[T ]-module que
pour P dans k[T ] et v dans E.
l’on peut représenter par le k-espace vectoriel
Réciproquement, tout k[T ]-module est un espace vectoE := Vect(1, T, . . . , T d−1 )
riel muni d’un endomorphisme (l’action de T ).
Vérifier qu’un morphisme de k[T ]-modules f : (E, u) −→ muni de l’endomorphisme u de E induit par la multipli(F, v) est une application k-linéaire de E dans F telle que cation par T .
Quelle est la matrice de l’endomorphisme u dans la base
f ◦ u = v ◦ f.
(1, T, . . . , T d−1 ) ? Quel est le polynôme minimal de u ?
Exemple 1.1.4. Un idéal I d’un anneau A est un sous- Quel est son polynôme caractéristique ?
A module de A (noter que ce n’est pas un sous-anneau
1.3. Modules libres.
en général).
Exemple 1.3.1. Le A-module Ar . Pour j de 1 à r, on
On considère maintenant un morphisme d’anneaux ϕ : note e l’élément dont la j-ème coordonnée vaut 1 et les
j
A −→ B. Alors B est un A-module : pour a dans A et autres 0. Vérifier que tout élément x de Ar a une écriture
b dans B, a b := f (a)b. Mieux : tout B-module a une unique
r
structure de A-module.
X
x=
xi ei .
Exemple 1.1.5. Si k est un corps et A une k-algèbre,
i=1
les A-modules sont en particulier des k-espaces vectoriels Le système (e1 , . . . , er ) est donc un système générateur.
Pr
(noter le cas spécial où A est aussi un corps).
Il est aussi A-libre au sens suivant : si 0 = i=1 xi ei alors
2
tous les xi sont nuls. On l’appelle A-base canonique de
Ar .
Si f : Ar −→ As est un morphisme A-linéaire, il est
entièrement déterminé par la donnée des images des ei ,
i de 1 à r dans la base canonique de As , autrement dit
par sa matrice M dans les bases respectives de Ar et
As . La matrice M est un élément de Mr,s (A).
telle que tout élément x de L se décompose de manière
unique en
r
X
x=
xi ei
i=1
avec xi dans A. Pour cela il suffit que (e1 , . . . , er ) soit
une famille génératrice qui est aussi A-libre, i.e. telle
que l’élément 0 de L se décompose de manière unique
Théorème 2. On considère deux entiers naturels r et s, sur les (e1 , . . . , er ).
un anneau A non réduit à 0 et une application A-linéaire
Exemple 1.3.2. Dans Z, la famille (2) est Z-libre mais
f : Ar −→ As .
n’engendre pas Z.
(1) Si f est injective, alors r ≤ s.
Dans Z3 , la famille ((2, 3, 1), (−1, 1, 2)) est Z-libre, mais
(2) f est un isomorphisme de A-modules si et seule- ne peut pas être complétée en une Z-base de Z3 .
ment si r = s et le déterminant de la matrice de À quelle condition nécessaire et suffisante sur les entiers
f est inversible dans A.
n et m, la famille ((n, m)) de Z2 peut-elle être complétée
en une Z-base de Z2 ?
Démonstration. Supposons r > s et désignons par mi,j
(pour i de 1 à s et j de 1 à r) les coefficients de la matrice 1.4. Somme et somme directe. On considère deux
M de l’application f dans les bases canoniques de Ar et A-modules M et N . Le produit M × N est un groupe
As . Soit p la taille maximum d’un mineur non nul de la abélien et on le munit de la structure de A-module inmatrice M . Quitte à renuméroter les bases canoniques, duite par l’action suivante de A : pour tout a de A et tout
on peut supposer que le mineur ∆ construit sur les p couple (m, n) de M × N on pose a(m, n) := (am, an).
premières lignes et p premières colonnes n’est pas nul.
On note M ⊕ N le A-module ainsi obtenu. On l’appelle
Considérons alors, pour i de 1 à s, la matrice (p + 1) × la somme directe de M et N .
(p + 1) extraite de M en sélectionnant les termes situés Supposons maintenant que M et N sont des sous-modules
sur les colonnes 1, . . . , p, p + 1 et les lignes 1, . . . , p, i. Le d’un A-module W . La somme M +N est l’ensemble des
déterminant de cette matrice est nul par hypothèse. En éléments de W qui se décomposent en m+n avec m ∈ M
le développant
par rapport à sa dernière ligne, on obtient et n ∈ N . C’est un sous-A-module de W . Il est isomorphe
Pp+1
la relation j=1 (−1)j ∆j mi,j = 0 où ∆j est le mineur à M ⊕ N si et seulement si M ∩ N = {0} dans W .
de M construit sur les colonnes de numéro 1, . . . , p + 1
1.5. Modules de morphismes. On considère deux Asauf j et sur les lignes de numéro 1, . . . , p.
modules
M et N . L’ensemble des morphismes de A moOn en déduit l’égalité suivante
dules de M dans N est noté HomA (M, N ). Vérifier que
p+1
p+1
X
X
c’est un A-module.
f ( (−1)j ∆j ej ) =
(−1)j ∆j f (ej ) = 0.
j=1
j=1
1.6. Générateurs et relations. On considère un anPp+1
j
Le vecteur j=1 (−1) ∆j ej n’est pas nul puisque sa co- neau A, un A-module M et une partie S de M . Le sousA-module engendré par S est l’ensemble des combiordonnée sur ep+1 est le mineur ∆. L’application f n’est
naisons linéaires finies
donc pas injective.
X
Si f est un isomorphisme on a r = s. Désignons par M
ai mi .
et M 0 les matrices respectives de f et f −1 dans la base
i∈I,I fini
canonique de Ar . On a M M 0 = M 0 M = Ir . La matrice
où mi est dans M et ai dans A.
M est donc inversible dans Mr (A). Le déterminant étant
Un A-module M est dit de type fini s’il est engendré par
multiplicatif, on en déduit que det M det M̄ = 1 dans
une partie finie. Cela revient à dire qu’il existe un entier
A. Réciproquement, si det M est inversible dans A, la
naturel r et un morphisme surjectif de A-modules
formule
φ : Ar −→ M.
t
Com(M ) M = M t Com(M ) = det M Id
Le noyau du morphisme φ est un sous-A-module de Ar .
calcule un inverse dans Mr (A) de la matrice M .
C’est le module des relations entre les générateurs
de M . Plus précisément, si (g1 , . . . , gr ) est une famille
On dira qu’un A-module L est libre de rang r s’il existe génératrice de M et si (f1 , . . . , fr ) appartient à ker φ,
un isomorphisme de A-modules φ : Ar −→ L. La donnée alors
r
X
d’un tel isomorphisme équivaut à la donnée d’une Afi gi = 0 dans M.
base de L, i.e. d’une famille (e1 , . . . , er ) d’éléments de A
i=1
3
Une question importante : est-ce que le module des relations d’un module de type fini est lui-même de type
fini ? La réponse n’est pas toujours oui. Elle est positive
si A est un anneau principal et c’est l’objet du prochain
chapitre.
Un idéal de A est de type fini puisqu’on peut l’engendrer
par un seul élément.
Considérons un élément irréductible p de A et l’idéal
engendré (p). Un idéal (a) contient (p) si et seulement si
a divise p. Si (p) est distinct de (a) c’est que a est inversible. L’idéal (p) est donc maximal, par suite premier.
Considérons une suite croissante d’idéaux de A :
1.7. Modules noethériens. On dit qu’un A-module
M est noethérien si tout sous-A-module de M est un
I1 ⊂ I 2 ⊂ . . . ⊂ I n ⊂ . . .
A-module de type fini.
Le résultat principal concernant les A-modules noethé- La réunion ∪n≥1 In est un idéal de A, engendré par un
riens est le suivant :
élément a. Il existe donc un n0 tel que a ∈ In0 . La suite
Théorème 3. On considère un anneau noethérien A et (In )n stationne donc à partir de n0 .
Considérons maintenant un élément c de A non nul et
un A-module de type fini M . Alors M est noethérien.
non inversible. On lui associe un arbre binaire de la
Démonstration. Montrons d’abord par récurrence qu’un
manière suivante : si c est irréductible l’arbre J (c) a
A-module libre de rang fini est moethérien. S’il est de
un seul sommet c et pas d’arête. Sinon il existe deux
rang 0, il n’y a rien à montrer. Considérons alors un
éléments d et e eux-mêmes non nuls et non inversibles
n
entier n, n ≥ 1. On se donne un sous-A-module N de A
tels que c = de. L’arbre de c est alors obtenu en reliant
et on étudie le morphisme de A-modules ` qui associe
les racines des arbres J (d) et J (e) à c. On construit ainsi
à un élément de An sa dernière coordonnée. Si N ⊂
un arbre binaire de racine c qui a pour sommet des diker `, alors N est un sous-A-module de ker `, libre de
viseurs de c. À une branche de cet arbre correspond une
rang n−1, donc noethérien par hypothèse de récurrence.
suite croissante d’idéaux de A qui est donc stationnaire.
On en déduit que N est de type fini. Sinon, on choisit
On en déduit que l’arbre est fini. Les feuilles de l’arbre
des générateurs (f1 , . . . , fs ) de l’idéal `(N ) qui sont en
sont associés aux idéaux maximaux, donc aux facteurs
nombre fini puisque A est noethérien. On choisit ensuite
irréductibles de c.
des antécédents (g1 , . . . , gs ) de (f1 , . . . , fs ) par φ. Par
Conclusion : L’anneau A est factoriel.
hypothèse de récurrence, le module N ∩ ker ` est de type
fini. En concaténant une famille génératrice de N ∩ ker ` Remarque. La preuve du caractère stationnaire d’une
avec (g1 , . . . , gs ) on trouve une famille génératrice de N suite croissante d’idéaux (et donc celle de l’existence
(le vérifier).
d’une décomposition en facteurs irréductibles) s’étend à
Venons-en au cas général et considérons un A-module tout anneau noethérien.
M de type fini. Il existe donc un entier naturel n et
Théorème 6. Un sous-A-module d’un A-module libre
un morphisme surjectif φ : An −→ M . Le module An
de rang r est libre. Son rang s est au plus égal à r.
est noethérien. Considérons un sous-module N de M .
−1
n
L’image inverse φ (N ) est un sous-module de A donc Exemple. Les sous A-modules de A sont les idéaux.
de type fini. On en déduit que N est lui aussi de type Comme ils peuvent être engendrés par un élément, ils
fini.
sont de rang 1, sauf 0, de rang 0.
Démonstration. Considérons un A-module L, libre de
rang r, une A-base B = (e1 , . . . , er ) de L et un sousA désigne désormais un anneau principal, c’est-à-dire A-module M de L. Pour j de 1 à r, on désigne par L
j
un anneau intègre dans lequel tout idéal peut être en- le sous-A-module libre de L engendré par (e , . . . , e ) et
1
j
gendré par un seul élément. Un anneau euclidien est par M le sous-A-module de L intersection de M et L .
j
j
j
principal. Les anneaux Z et k[X] sont euclidiens donc La démonstration se fait par récurrence sur r. Pour r = 0
principaux.
il n’y a rien à prouver.
Une conséquence immédiate de la définition est :
Supposons maintenant r ≥ 1. Considérons la restriction
Théorème 4 (Bézout). Dans un anneau principal A à M de la r-ème application coordonnée
on considère deux éléments a et b premiers entre eux. Il
g : M −→ A
existe alors u et v dans A tels que ua + vb = 1.
x 7−→ xr .
Théorème 5. Un anneau principal est noethérien et
factoriel. Tout idéal premier non nul est un idéal maxi- Son noyau est le sous-A-module Mr−1 qui, par hypothèse
de récurrence, est libre de rang au plus égal à r − 1. Son
mal.
image est un idéal de A, qui est donc engendré par un
Démonstration. Remarquons d’abord que si a et b sont élément a . Si a = 0 c’est que M = M
r
r
r−1 et M est libre
deux éléments non nuls de A on a l’équivalence
de rang au plus égal à r − 1. Si ar n’est pas nul on choisit
a | b ⇐⇒ (b) ⊂ (a).
un élément z dans M tel que zr = ar (il y en a au moins
2. Modules sur un anneau principal
4
un) et on considère la somme directe Mr−1 ⊕ A avec le
morphisme
Mr−1 ⊕ A −→
(x, a) 7−→
M
x + az
Noter que ker f est un A-module libre de rang rgL − 1
(théorème 6).
De manière analogue, le morphisme
ϕ : A × (M ∩ ker f ) −→
(a, x) 7−→
M
ax1 + x.
qui est injectif et surjectif (le vérifier). Le A-module M
est isomorphe à Mr−1 ⊕ A libre de rang au plus égal à est aussi un isomorphisme et M ∩ ker f est un sous-Ar.
module de ker f libre de rang s−1. Si s = 1 on a terminé.
Sinon, par hypothèse de récurrence, on peut trouver une
Précisons le théorème précédent.
A-base B1 de ker f , une partie (e2 , . . . , es ) de B1 et des
Théorème 7. On considère un anneau principal A, un entiers a2 , . . . , as tels que (a2 e2 , . . . , as es ) est une A-base
A-module libre L de rang r et un sous-A-module M non de M ∩ ker f . On termine la preuve en prenant pour B
réduit à {0}. Il existe une A-base B de L, un entier s, la A-base obtenue en adjoignant e1 à B1 .
1 ≤ s ≤ r, des éléments e1 , . . . , es de B et des éléments Unicité. Le sous-A-module M est donc libre de type fini.
a1 , . . . , as non nuls dans A tels que
Se donner un tel A-module, c’est se donner une famille
(1) Les éléments (a1 e1 , . . . , as es ) forment une A-base génératrice V de t éléments de L. Leurs coordonnées dans
une base B0 de L sont les colonnes d’une matrice S de
de M .
Mr,t (A).
(2) Les ai sont ordonnés pour la relation de divisiL’existence d’une base B de L avec les propriétés du
bilité a1 | a2 | . . . | as .
théorème équivaut à l’existence
(3) La famille (a1 , . . . , as ) ne dépend que de la don(1) d’une matrice P inversible dans Mr (A) (la manée de M dans L. C’est la famille des facteurs
trice de passage de la base B à la base B0 ),
invariants de M dans L.
(2) d’une matrice Q de Mt,s (A) (la matrice des coLe quotient L/M est isomorphe au produit
ordonnées des vecteurs de la famille
Ar−s × A/(a1 ) × . . . × A/(as ).
(a1 e1 , . . . , as es ) sur la famille génératrice V),
Démonstration. Existence. La démonstration se fait par
récurrence sur le rang de M . On note L0 le A-module
HomA (L, A) des formes A-linéaires sur L. On remarque
que par restriction, toute forme f induit une forme de
M dans A. L’image f (M ) est aussi un idéal, contenu
dans f (L). Parmi tous les éléments de L0 , il en est dont
la restriction à M n’est pas identiquement nulle puisque
M n’est pas réduit à {0}. L’ensemble des idéaux f (M )
pour f dans HomA (L, A) est ordonné par l’inclusion. On
choisit un élément maximal dans cet ensemble, noté (a1 ).
C’est l’idéal f (M ) pour une forme non nulle. On choisit également un élément x1 de M tel que f (x1 ) = a1 .
Considérons une A-base B0 de L. Toute forme A-linéaire
sur L prend sur x1 une valeur qui est un multiple de
a1 (sinon (a1 ) ne serait pas maximal). Les formes coordonnées dans la base B0 ont cette propriété, ce qui
montre que les coordonnées de x1 dans la base B0 sont
divisibles par a1 . Il existe donc un élément e1 de L tel
que x1 = a1 e1 et f (e1 ) = 1.
Montrons que L est isomorphe à la somme directe A ⊕
ker f . Pour cela considérons le morphisme
(3) d’une matrice R de Mt,s (A) (la matrice des coordonnées des vecteurs de la famille V sur la base
(a1 e1 , . . . , as es )),
telles que le produit P SQ est la

a1 0
 0 a2

 ..
 .

P SQ = 
 0 0
 0 0

 .
 ..
0
0
matrice
···
..
.
0
0
..
.
···
as
0
..
.
···
0












Montrer que le pgcd des coefficients de S divise le pgcd
des coefficients de P S, puis qu’ils sont égaux. Montrer
la propriété analogue pour S et SQ (Remarquer que si
SQ = S 0 , alors S 0 R = S). Conclure que le plus petit des
invariants de S est le pgcd de ses coefficients.
Plus généralement, on se donne un entier n ≤ s, un sousensemble I de n éléments extraits de {1, . . . , r} et un sous
ensemble J à n éléments extraits de {1, . . . , s}. On note
SI la matrice n × s extraite de S et formée des lignes
φ : A ⊕ ker f −→ L
de S dont l’indice est dans I. On note QJ la matrice
(a, x) 7−→ ae1 + x.
s × n extraite de Q et formée des colonnes de Q dont
Il est injectif : si 0 = φ(a, x) = ae1 + x, on considère l’indice appartient à J. On considère alors le produit
f (ae1 + x) = a qui est donc nul et par suite x est nul.
BIJ = SI QJ dans Mn (A). Remarquer que toute colonne
Il est surjectif : soit y dans L et son image b par f . On du produit BIJ est combinaison linéaire des colonnes de
pose x = y − be1 et on vérifie que f (x) = f (y) − b est SI . En déduire que le déterminant det(BIJ ) appartient à
nul. Il s’ensuit que f (b, x) = y.
l’idéal engendré par les n×n mineurs de SI donc à l’idéal
5
engendré par les n × n mineurs de S. Montrer enfin que
l’idéal de A engendré par les n × n mineurs de S est égal
à l’idéal engendré par les n × n mineurs de SQ.
Formuler et montrer la propriété analogue pour S et P S
lorsque P est dans GL(s, A). Conclure que le n-ème invariant de S est le pgcd de ses n × n mineurs.