Modules sur un anneau commutatif

Universit´ e de Nice Master 1 Math´ ematiques
2006-07 GAE
Modules sur un anneau commutatif
1. G´ en´ eralit´ es
1.1. On consid`ere un anneau commutatif A. Un mo-
dule Msur l’anneau A(ou A-module) est un groupe
ab´elien (sa loi est not´ee + et l’´el´ement neutre 0) qui a
de plus une action de l’anneau Aavec les propri´et´es sui-
vantes : pour aet bdans A,met m0dans M, on a a(m+
m0) = am+am0, (a+b)m=am+bm,a(bm) = (ab)met
1m=m. On v´erifie alors que 0m= (0 + 0)m= 0m+ 0m
et il s’ensuit que 0m= 0.
Une application f:M−→ Nentre deux A-modules est
un morphisme de A-modules si fest A-lin´eaire,i.e.
si fest un morphisme de groupes ab´eliens et si pour tout
ade Aet mde Mon a f(am) = af(m) dans N.
Un sous-A-module Nd’un A-module Mest un sous-
groupe stable par l’action de A. Le noyau et l’image
d’un morphisme de A-modules sont des sous-A-modules
de la source et du but du morphisme.
Voici quatre s´eries d’exemples fondamentaux :
Exemple 1.1.1. Si kest un corps, les k-modules sont
les k-espaces vectoriels et les morphismes de k-modules
sont les applications k-lin´eaires.
Exemple 1.1.2. La multiplication par un entier positif
dans Zest une addition it´er´ee. Donc les Z-modules sont
les groupes ab´eliens et les morphismes de Z-modules sont
les morphismes de groupes ab´eliens.
Exemple 1.1.3. On consid`ere un k-espace vectoriel E
et un endomorphisme ude L(E). Alors (E, u) a une
structure de k[T]-module d´efinie par : P x =P(u)(x)
pour Pdans k[T] et vdans E.
R´eciproquement, tout k[T]-module est un espace vecto-
riel muni d’un endomorphisme (l’action de T).
V´erifier qu’un morphisme de k[T]-modules f: (E, u)−→
(F, v) est une application k-lin´eaire de Edans Ftelle que
f◦u=v◦f.
Exemple 1.1.4. Un id´eal Id’un anneau Aest un sous-
Amodule de A(noter que ce n’est pas un sous-anneau
en g´en´eral).
On consid`ere maintenant un morphisme d’anneaux ϕ:
A−→ B. Alors Best un A-module : pour adans Aet
bdans B,a b := f(a)b. Mieux : tout B-module a une
structure de A-module.
Exemple 1.1.5. Si kest un corps et Aune k-alg`ebre,
les A-modules sont en particulier des k-espaces vectoriels
(noter le cas sp´ecial o`u Aest aussi un corps).
1.2. Module quotient. On consid`ere un anneau A,
un A-module Met un sous-A-module Nde M. Sur
le groupe quotient M/N on met une structure de A-
module : pour adans Aet mdans Mon pose a m :=
am o`u md´esigne la classe de mdans le quotient M/N
(v´erifier les diverses compatibilit´es).
Exemple 1.2.1. Un id´eal Id’un anneau Aest un sous-
Amodule de Aet le quotient A/I est aussi un A-module.
Th´eor`eme 1. (Propri´et´e universelle du quotient.)
On consid`ere un anneau A, un A-module Met un sous-
A-module Nde M.
Un morphisme de A-modules f:M−→ Wse factorise
par l’application quotient π:M−→ M/N si et seule-
ment si ker f⊃N.
L’application obtenue g:M/N −→ West injective si et
seulement si ker f=Net surjective si et seulement si f
est surjective.
M
yπ&f
M/N g −→ W
Exemple 1.2.2. On consid`ere un corps k, l’anneau de
polynˆomes k[T] et un polynˆome Punitaire de degr´e d
dans k[T],
P(T) = Td+ad−1Td−1+. . . +a1T+a0.
Le quotient k[T]/(P(T)) est donc un k[T]-module que
l’on peut repr´esenter par le k-espace vectoriel
E:= Vect(1, T, . . . , T d−1)
muni de l’endomorphisme ude Einduit par la multipli-
cation par T.
Quelle est la matrice de l’endomorphisme udans la base
(1, T, . . . , T d−1) ? Quel est le polynˆome minimal de u?
Quel est son polynˆome caract´eristique ?
1.3. Modules libres.
Exemple 1.3.1. Le A-module Ar. Pour jde 1 `a r, on
note ejl’´el´ement dont la j-`eme coordonn´ee vaut 1 et les
autres 0. V´erifier que tout ´el´ement xde Ara une ´ecriture
unique
x=
r
X
i=1
xiei.
Le syst`eme (e1, . . . , er) est donc un syst`eme g´en´erateur.
Il est aussi A-libre au sens suivant : si 0 = Pr
i=1 xieialors

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tous les xisont nuls. On l’appelle A-base canonique de
Ar.
Si f:Ar−→ Asest un morphisme A-lin´eaire, il est
enti`erement d´etermin´e par la donn´ee des images des ei,
ide 1 `a rdans la base canonique de As, autrement dit
par sa matrice Mdans les bases respectives de Aret
As. La matrice Mest un ´el´ement de Mr,s(A).
Th´eor`eme 2. On consid`ere deux entiers naturels ret s,
un anneau Anon r´eduit `a 0 et une application A-lin´eaire
f:Ar−→ As.
(1) Si fest injective, alors r≤s.
(2) fest un isomorphisme de A-modules si et seule-
ment si r=set le d´eterminant de la matrice de
fest inversible dans A.
D´emonstration. Supposons r > s et d´esignons par mi,j
(pour ide 1 `a set jde 1 `a r) les coefficients de la matrice
Mde l’application fdans les bases canoniques de Aret
As. Soit pla taille maximum d’un mineur non nul de la
matrice M. Quitte `a renum´eroter les bases canoniques,
on peut supposer que le mineur ∆ construit sur les p
premi`eres lignes et ppremi`eres colonnes n’est pas nul.
Consid´erons alors, pour ide 1 `a s, la matrice (p+ 1) ×
(p+ 1) extraite de Men s´electionnant les termes situ´es
sur les colonnes 1, . . . , p, p + 1 et les lignes 1, . . . , p, i. Le
d´eterminant de cette matrice est nul par hypoth`ese. En
le d´eveloppant par rapport `a sa derni`ere ligne, on obtient
la relation Pp+1
j=1 (−1)j∆jmi,j = 0 o`u ∆jest le mineur
de Mconstruit sur les colonnes de num´ero 1, . . . , p + 1
sauf jet sur les lignes de num´ero 1, . . . , p.
On en d´eduit l’´egalit´e suivante
f(
p+1
X
j=1
(−1)j∆jej) =
p+1
X
j=1
(−1)j∆jf(ej) = 0.
Le vecteur Pp+1
j=1 (−1)j∆jejn’est pas nul puisque sa co-
ordonn´ee sur ep+1 est le mineur ∆. L’application fn’est
donc pas injective.
Si fest un isomorphisme on a r=s. D´esignons par M
et M0les matrices respectives de fet f−1dans la base
canonique de Ar. On a MM0=M0M=Ir. La matrice
Mest donc inversible dans Mr(A). Le d´eterminant ´etant
multiplicatif, on en d´eduit que det Mdet ¯ M= 1 dans
A. R´eciproquement, si det Mest inversible dans A, la
formule
tCom(M)M=MtCom(M) = det MId
calcule un inverse dans Mr(A) de la matrice M.
On dira qu’un A-module Lest libre de rang rs’il existe
un isomorphisme de A-modules φ:Ar−→ L. La donn´ee
d’un tel isomorphisme ´equivaut `a la donn´ee d’une A-
base de L,i.e. d’une famille (e1, . . . , er) d’´el´ements de A
telle que tout ´el´ement xde Lse d´ecompose de mani`ere
unique en
x=
r
X
i=1
xiei
avec xidans A. Pour cela il suffit que (e1, . . . , er) soit
une famille g´en´eratrice qui est aussi A-libre, i.e. telle
que l’´el´ement 0 de Lse d´ecompose de mani`ere unique
sur les (e1, . . . , er).
Exemple 1.3.2. Dans Z, la famille (2) est Z-libre mais
n’engendre pas Z.
Dans Z3, la famille ((2,3,1),(−1,1,2)) est Z-libre, mais
ne peut pas ˆetre compl´et´ee en une Z-base de Z3.
`
A quelle condition n´ecessaire et suffisante sur les entiers
net m, la famille ((n, m)) de Z2peut-elle ˆetre compl´et´ee
en une Z-base de Z2?
1.4. Somme et somme directe. On consid`ere deux
A-modules Met N. Le produit M×Nest un groupe
ab´elien et on le munit de la structure de A-module in-
duite par l’action suivante de A: pour tout ade Aet tout
couple (m, n) de M×Non pose a(m, n) := (am, an).
On note M⊕Nle A-module ainsi obtenu. On l’appelle
la somme directe de Met N.
Supposons maintenant que Met Nsont des sous-modules
d’un A-module W. La somme M+Nest l’ensemble des
´el´ements de Wqui se d´ecomposent en m+navec m∈M
et n∈N. C’est un sous-A-module de W. Il est isomorphe
`a M⊕Nsi et seulement si M∩N={0}dans W.
1.5. Modules de morphismes. On consid`ere deux A-
modules Met N. L’ensemble des morphismes de Amo-
dules de Mdans Nest not´e HomA(M, N ). V´erifier que
c’est un A-module.
1.6. G´en´erateurs et relations. On consid`ere un an-
neau A, un A-module Met une partie Sde M. Le sous-
A-module engendr´e par Sest l’ensemble des combi-
naisons lin´eaires finies
X
i∈I,I fini
aimi.
o`u miest dans Met aidans A.
Un A-module Mest dit de type fini s’il est engendr´e par
une partie finie. Cela revient `a dire qu’il existe un entier
naturel ret un morphisme surjectif de A-modules
φ:Ar−→ M.
Le noyau du morphisme φest un sous-A-module de Ar.
C’est le module des relations entre les g´en´erateurs
de M. Plus pr´ecis´ement, si (g1, . . . , gr) est une famille
g´en´eratrice de Met si (f1, . . . , fr) appartient `a ker φ,
alors r
X
i=1
figi= 0 dans M.

3
Une question importante : est-ce que le module des re-
lations d’un module de type fini est lui-mˆeme de type
fini ? La r´eponse n’est pas toujours oui. Elle est positive
si Aest un anneau principal et c’est l’objet du prochain
chapitre.
1.7. Modules noeth´eriens. On dit qu’un A-module
Mest noeth´erien si tout sous-A-module de Mest un
A-module de type fini.
Le r´esultat principal concernant les A-modules noeth´e-
riens est le suivant :
Th´eor`eme 3. On consid`ere un anneau noeth´erien Aet
un A-module de type fini M. Alors M est noeth´erien.
D´emonstration. Montrons d’abord par r´ecurrence qu’un
A-module libre de rang fini est moeth´erien. S’il est de
rang 0, il n’y a rien `a montrer. Consid´erons alors un
entier n,n≥1. On se donne un sous-A-module Nde An
et on ´etudie le morphisme de A-modules `qui associe
`a un ´el´ement de Ansa derni`ere coordonn´ee. Si N⊂
ker `, alors Nest un sous-A-module de ker `, libre de
rang n−1, donc noeth´erien par hypoth`ese de r´ecurrence.
On en d´eduit que Nest de type fini. Sinon, on choisit
des g´en´erateurs (f1, . . . , fs) de l’id´eal `(N) qui sont en
nombre fini puisque Aest noeth´erien. On choisit ensuite
des ant´ec´edents (g1, . . . , gs) de (f1, . . . , fs) par φ. Par
hypoth`ese de r´ecurrence, le module N∩ker `est de type
fini. En concat´enant une famille g´en´eratrice de N∩ker `
avec (g1, . . . , gs) on trouve une famille g´en´eratrice de N
(le v´erifier).
Venons-en au cas g´en´eral et consid´erons un A-module
Mde type fini. Il existe donc un entier naturel net
un morphisme surjectif φ:An−→ M. Le module An
est noeth´erien. Consid´erons un sous-module Nde M.
L’image inverse φ−1(N) est un sous-module de Andonc
de type fini. On en d´eduit que Nest lui aussi de type
fini. 
2. Modules sur un anneau principal
Ad´esigne d´esormais un anneau principal, c’est-`a-dire
un anneau int`egre dans lequel tout id´eal peut ˆetre en-
gendr´e par un seul ´el´ement. Un anneau euclidien est
principal. Les anneaux Zet k[X] sont euclidiens donc
principaux.
Une cons´equence imm´ediate de la d´efinition est :
Th´eor`eme 4 (B´ezout).Dans un anneau principal A
on consid`ere deux ´el´ements aet bpremiers entre eux. Il
existe alors uet vdans Atels que ua +vb = 1.
Th´eor`eme 5. Un anneau principal est noeth´erien et
factoriel. Tout id´eal premier non nul est un id´eal maxi-
mal.
D´emonstration. Remarquons d’abord que si aet bsont
deux ´el´ements non nuls de Aon a l’´equivalence
a|b⇐⇒ (b)⊂(a).
Un id´eal de Aest de type fini puisqu’on peut l’engendrer
par un seul ´el´ement.
Consid´erons un ´el´ement irr´eductible pde Aet l’id´eal
engendr´e (p). Un id´eal (a) contient (p) si et seulement si
adivise p. Si (p) est distinct de (a) c’est que aest inver-
sible. L’id´eal (p) est donc maximal, par suite premier.
Consid´erons une suite croissante d’id´eaux de A:
I1⊂ I2⊂. . . ⊂ In⊂. . .
La r´eunion ∪n≥1Inest un id´eal de A, engendr´e par un
´el´ement a. Il existe donc un n0tel que a∈ In0. La suite
(In)nstationne donc `a partir de n0.
Consid´erons maintenant un ´el´ement cde Anon nul et
non inversible. On lui associe un arbre binaire de la
mani`ere suivante : si cest irr´eductible l’arbre J(c) a
un seul sommet cet pas d’arˆete. Sinon il existe deux
´el´ements det eeux-mˆemes non nuls et non inversibles
tels que c=de. L’arbre de cest alors obtenu en reliant
les racines des arbres J(d) et J(e) `a c. On construit ainsi
un arbre binaire de racine cqui a pour sommet des di-
viseurs de c.` A une branche de cet arbre correspond une
suite croissante d’id´eaux de Aqui est donc stationnaire.
On en d´eduit que l’arbre est fini. Les feuilles de l’arbre
sont associ´es aux id´eaux maximaux, donc aux facteurs
irr´eductibles de c.
Conclusion : L’anneau Aest factoriel. 
Remarque. La preuve du caract`ere stationnaire d’une
suite croissante d’id´eaux (et donc celle de l’existence
d’une d´ecomposition en facteurs irr´eductibles) s’´etend `a
tout anneau noeth´erien.
Th´eor`eme 6. Un sous-A-module d’un A-module libre
de rang rest libre. Son rang sest au plus ´egal `a r.
Exemple. Les sous A-modules de Asont les id´eaux.
Comme ils peuvent ˆetre engendr´es par un ´el´ement, ils
sont de rang 1, sauf 0, de rang 0.
D´emonstration. Consid´erons un A-module L, libre de
rang r, une A-base B= (e1, . . . , er) de Let un sous-
A-module Mde L. Pour jde 1 `a r, on d´esigne par Lj
le sous-A-module libre de Lengendr´e par (e1, . . . , ej) et
par Mjle sous-A-module de Ljintersection de Met Lj.
La d´emonstration se fait par r´ecurrence sur r. Pour r= 0
il n’y a rien `a prouver.
Supposons maintenant r≥1. Consid´erons la restriction
`a Mde la r-`eme application coordonn´ee
g:M−→ A
x7−→ xr.
Son noyau est le sous-A-module Mr−1qui, par hypoth`ese
de r´ecurrence, est libre de rang au plus ´egal `a r−1. Son
image est un id´eal de A, qui est donc engendr´e par un
´el´ement ar. Si ar= 0 c’est que M=Mr−1et Mest libre
de rang au plus ´egal `a r−1. Si arn’est pas nul on choisit
un ´el´ement zdans Mtel que zr=ar(il y en a au moins

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un) et on consid`ere la somme directe Mr−1⊕Aavec le
morphisme
Mr−1⊕A−→ M
(x, a)7−→ x+az
qui est injectif et surjectif (le v´erifier). Le A-module M
est isomorphe `a Mr−1⊕Alibre de rang au plus ´egal `a
r.
Pr´ecisons le th´eor`eme pr´ec´edent.
Th´eor`eme 7. On consid`ere un anneau principal A, un
A-module libre Lde rang ret un sous-A-module Mnon
r´eduit `a {0}. Il existe une A-base Bde L, un entier s,
1≤s≤r, des ´el´ements e1, . . . , esde Bet des ´el´ements
a1, . . . , asnon nuls dans Atels que
(1) Les ´el´ements (a1e1, . . . , ases)forment une A-base
de M.
(2) Les aisont ordonn´es pour la relation de divisi-
bilit´e a1|a2|. . . |as.
(3) La famille (a1, . . . , as)ne d´epend que de la don-
n´ee de Mdans L. C’est la famille des facteurs
invariants de Mdans L.
Le quotient L/M est isomorphe au produit
Ar−s×A/(a1)×. . . ×A/(as).
D´emonstration. Existence. La d´emonstration se fait par
r´ecurrence sur le rang de M. On note L0le A-module
HomA(L, A) des formes A-lin´eaires sur L. On remarque
que par restriction, toute forme finduit une forme de
Mdans A. L’image f(M) est aussi un id´eal, contenu
dans f(L). Parmi tous les ´el´ements de L0, il en est dont
la restriction `a Mn’est pas identiquement nulle puisque
Mn’est pas r´eduit `a {0}. L’ensemble des id´eaux f(M)
pour fdans HomA(L, A) est ordonn´e par l’inclusion. On
choisit un ´el´ement maximal dans cet ensemble, not´e (a1).
C’est l’id´eal f(M) pour une forme non nulle. On choi-
sit ´egalement un ´el´ement x1de Mtel que f(x1) = a1.
Consid´erons une A-base B0de L. Toute forme A-lin´eaire
sur Lprend sur x1une valeur qui est un multiple de
a1(sinon (a1) ne serait pas maximal). Les formes co-
ordonn´ees dans la base B0ont cette propri´et´e, ce qui
montre que les coordonn´ees de x1dans la base B0sont
divisibles par a1. Il existe donc un ´el´ement e1de Ltel
que x1=a1e1et f(e1) = 1.
Montrons que Lest isomorphe `a la somme directe A⊕
ker f. Pour cela consid´erons le morphisme
φ:A⊕ker f−→ L
(a, x)7−→ ae1+x.
Il est injectif : si 0 = φ(a, x) = ae1+x, on consid`ere
f(ae1+x) = aqui est donc nul et par suite xest nul.
Il est surjectif : soit ydans Let son image bpar f. On
pose x=y−be1et on v´erifie que f(x) = f(y)−best
nul. Il s’ensuit que f(b, x) = y.
Noter que ker fest un A-module libre de rang rgL−1
(th´eor`eme 6).
De mani`ere analogue, le morphisme
ϕ:A×(M∩ker f)−→ M
(a, x)7−→ ax1+x.
est aussi un isomorphisme et M∩ker fest un sous-A-
module de ker flibre de rang s−1. Si s= 1 on a termin´e.
Sinon, par hypoth`ese de r´ecurrence, on peut trouver une
A-base B1de ker f, une partie (e2, . . . , es) de B1et des
entiers a2, . . . , astels que (a2e2, . . . , ases) est une A-base
de M∩ker f. On termine la preuve en prenant pour B
la A-base obtenue en adjoignant e1`a B1.
Unicit´e. Le sous-A-module Mest donc libre de type fini.
Se donner un tel A-module, c’est se donner une famille
g´en´eratrice Vde t´el´ements de L. Leurs coordonn´ees dans
une base B0de Lsont les colonnes d’une matrice Sde
Mr,t(A).
L’existence d’une base Bde Lavec les propri´et´es du
th´eor`eme ´equivaut `a l’existence
(1) d’une matrice Pinversible dans Mr(A) (la ma-
trice de passage de la base B`a la base B0),
(2) d’une matrice Qde Mt,s(A) (la matrice des co-
ordonn´ees des vecteurs de la famille
(a1e1, . . . , ases) sur la famille g´en´eratrice V),
(3) d’une matrice Rde Mt,s(A) (la matrice des co-
ordonn´ees des vecteurs de la famille Vsur la base
(a1e1, . . . , ases)),
telles que le produit P SQ est la matrice
P SQ =
a10· · · 0
0a20
.
.
.....
.
.
0 0 as
0 0 · · · 0
.
.
..
.
.
0 0 · · · 0
Montrer que le pgcd des coefficients de Sdivise le pgcd
des coefficients de P S, puis qu’ils sont ´egaux. Montrer
la propri´et´e analogue pour Set SQ (Remarquer que si
SQ =S0, alors S0R=S). Conclure que le plus petit des
invariants de Sest le pgcd de ses coefficients.
Plus g´en´eralement, on se donne un entier n≤s, un sous-
ensemble Ide n´el´ements extraits de {1, . . . , r}et un sous
ensemble J`a n´el´ements extraits de {1, . . . , s}. On note
SIla matrice n×sextraite de Set form´ee des lignes
de Sdont l’indice est dans I. On note QJla matrice
s×nextraite de Qet form´ee des colonnes de Qdont
l’indice appartient `a J. On consid`ere alors le produit
BIJ =SIQJdans Mn(A). Remarquer que toute colonne
du produit BIJ est combinaison lin´eaire des colonnes de
SI. En d´eduire que le d´eterminant det(BIJ ) appartient `a
l’id´eal engendr´e par les n×nmineurs de SIdonc `a l’id´eal

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engendr´e par les n×nmineurs de S. Montrer enfin que
l’id´eal de Aengendr´e par les n×nmineurs de Sest ´egal
`a l’id´eal engendr´e par les n×nmineurs de SQ.
Formuler et montrer la propri´et´e analogue pour Set P S
lorsque Pest dans GL(s, A). Conclure que le n-`eme in-
variant de Sest le pgcd de ses n×nmineurs. 