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FORMES MODULAIRES ET PÉRIODES
par
François Martin & Emmanuel Royer
Résumé. — L’objet de ce cours est de présenter la théorie des formes modulaires et certains
de ses développements récents. Dans un premier chapitre, on développe la théorie des formes
modulaires sur les sous-groupes de congruence Γ0(N). Dans un deuxième chapitre, on présente
la notion de périodes de formes modulaires sur le group modulaire. On en déduit des résultats
concernant les structures rationnelles des espaces de formes modulaires. Dans une troisième par-
tie, on étudie les structures différentielles sur les espaces de formes modulaires. C’est l’occasion
de développer les notions de forme quasimodulaire et forme modulaire presque holomorphe in-
troduites par Zagier. Enfin, en annexe, on étudie la théorie des formes modulaires avec systèmes
multiplicatifs.
Abstract (Periodes and modular forms). — The aim of this course is the presentation of
the theory of modular forms and some of the its recent developments . In a first chapter, we
develop the theory of modular forms on the congruence subgroups Γ0(N). In a second chapter,
we present the notion of periods of modular forms on the modular group. We deduce some
results concerning the rational structures on the spaces of modular forms. In a third chapter, we
study the differential structures on spaces of modular forms. We introduce, in that occasion, the
notions of quasimodular forms and quasi holomorphic modular forms developped by Zagier. In
an appendix, we study the modular forms with multiplicative systems.
Table des matières
Notations – conventions ................................................ 2
Remerciements .......................................................... 3
partie I. Formes modulaires ............................................ 4
1. Préliminaires sur les sous-groupes de SL(2,Z)............................ 4
2. Définition des formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Exemples sur SL(2,Z).................................................. 11
Classification mathématique par sujets (2000). — 11F03,11F06,11F11,11F25,11F30,11F37,11F67.
Mots clefs. — forme modulaire, période de forme parabolique, période de forme non parabolique, produit sca-
laire de Petersson, crochet de Rankin-Cohen, fonction L, isomorphisme d’Eichler-Shimura, structure rationelle,
structure différentielle, forme quasimodulaire, forme modulaire presque holomorphe, valeur spéciale, système
multiplicatif .
Le second auteur est en partie subventionné par l’ACI jeunes chercheurs « arithmétique des fonctions L» de
l’Institut de Mathématiques et Modélisation de Montpellier (Université Montpellier II, UMR 5149).

2MARTIN & ROYER
4. Dimensions des espaces de formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5. Produit scalaire de Petersson et séries d’Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6. Crochets de Rankin-Cohen .............................................. 26
7. Formes primitives ........................................................ 28
8. Fonctions Lde formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9. Coefficients de Fourier des formes primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
partie II. Structures rationnelles sur les formes modulaires . . . . . . 45
10. Périodes de formes paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
11. Périodes de formes non paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12. Structure hermitienne de Wket isomorphisme d’Eichler-Shimura . . . . . . 49
13. Structure rationnelle de Wk............................................ 58
14. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
15. Les structures rationnelles sur Mk(1) .................................. 63
16. Conjectures de Kohnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
partie III. Périodes et structures différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
17. Opérateurs différentiels sur les formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
18. Définition générale des périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
19. Formes modulaires et équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
20. Périodes et valeurs de fonctions L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
partie IV. Définition générale des formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . 86
Annexe A. Systèmes multiplicatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Annexe B. Complément sur les pointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Annexe C. Définition des formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Annexe D. Dimension de l’espace des formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Annexe E. Exemple : fonction ϑ............................................ 92
Annexe F. Formes modulaires associées à des caractères de Dirichlet . . . . . .. . 98
Références .................................................................. 99
NOTATIONS – CONVENTIONS
Si xest un nombre réel, bxcest le plus grand entier inférieur à x. On adopte les conventions
suivantes
#Xest le cardinal de l’ensemble X.
N={n∈Z:n≥0},N∗={n∈Z:n > 0}.
X
d|N
f(d) = X
d∈N∗
d|N
f(d).
Y
p|N
f(p) = Y
p∈P
p|N
f(p)
avec Pl’ensemble des nombres premiers.
hXiest le groupe engendré par les éléments de X.

FORMES MODULAIRES ET PÉRIODES 3
I=1 0
0 1T=1 1 0 1S=0−1 1 0 U=0−1 1−1V=1 0 0−1.
δ(E) = (1si la propriété Eest vraie
0sinon.
Si uet vsont des entiers, (u, v)est le plus grand diviseur commun de uet v.
Si n∈N∗, on note ω(n)le nombre de diviseurs premiers de n, comptés sans multiplicité :
ω(n) = # {p∈ P :p|n}
et σ0(n)le nombre de diviseurs de n:
σ0(n) = #{d∈N∗:d|n}.
Plus généralement, si s∈C, on pose
σs(n) = X
d∈N∗
d|n
ds.
Pour n∈N∗, on note
ν(n) = nY
p∈P
p|n1 + 1
p.
La fonction ϕest la fonction indicatrice d’Euler, définie pour tout entier naturel nstrictement
positif par
ϕ(n) = nY
p∈P
p|n1−1
p.
Si z∈C, on note xsa partie réelle et ysa partie imaginaire : z=x+iy. On note aussi
q=e(z) = exp(2iπz).
Pour tout entier d≥0, l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à dest noté
Cd[X]. Si d≥2, on note aussi Vd=Cd−2[X].
On note Bkle kenombre de Bernoulli, défini par
t
et−1=
+∞
X
n=0
Bn
tn
n!.
REMERCIEMENTS
Au printemps de l’année 1997, un général nous a demandé de faire une promenade dans le
monde scientifique. Nous avons rencontré un guide : Jean-Benoît Bost, qui nous a conduit en
bordure du pays modulaire. Bon guide celui qui donne envie d’aller au delà ! Il nous a confié
à de nouveaux guides qui nous ont accompagnés durant quatre années et firent de nous des
marcheurs autonomes : Étienne Fouvry, Philippe Michel et Loïc Merel. Nous voilà maintenant
seuls (pas complètement...) dans le pays modulaire et il y a là-bas une forêt immense, pleine de
promesses (de dangers ?). Merci à tous nos guides !

4MARTIN & ROYER
Nos remerciements vont aussi à Henryk Iwaniec et Don Zagier. Chaque moment qu’ils nous
ont consacré reste une lumière dans nos cœurs et nos esprits. Les cours de Don Zagier au Collège
de France ont été une source d’inspiration essentielle pour ce travail. Nous le remercions pour
sa présentation enthousiaste d’un aspect original du monde modulaire.
Nous remercions les membres de l’ACI jeunes chercheurs « arithmétique des fonctions L»,
et notamment Philippe Elbaz–Vincent, pour leur soutien. Enfin, nous exprimons notre grati-
tude aux organisateurs du colloque « Jeunes » Formes modulaires et transcendance organisé au
Centre International de Recherche Mathématique en mai 2003 : Stéphane Fischler, Éric Gau-
dron, Samy Khémira pour leur relecture de versions préliminaires de ce texte. Nous adressons
nos remerciements sincères au rapporteur pour ses riches remarques.
Première PARTIE I
FORMES MODULAIRES
1. Préliminaires sur les sous-groupes de SL(2,Z)
1.1. Action homographique et domaine fondamental. — Soit Hle demi-plan de
Poincaré défini par H={z∈C:=mz > 0}.Le groupe SL(2,R)opère transitivement sur
Hpar l’action homographique
SL(2,R)×H→H
a b
c d , z 7→ az+b
cz+d.(1)
On s’intéresse dans ce texte à l’action de sous-groupes de SL(2,Q), aussi on restreint désormais
l’étude à SL(2,Q).
On définit un point ∞(qu’on identifiera géométriquement au point i∞) et on étend l’action
(1) restreinte à SL(2,Q)en une action sur H=H∪P1(Q)avec P1(Q) = Q∪ {∞} en posant
a b
c d −d
c=∞
a b
c d ∞=a
c.
Cette action n’est pas fidèle puisque −Iagit trivialement. Cependant, −Iet Isont les seules
matrices à agir trivialement. Autrement dit, l’action induite par
P SL(2,Q) = SL(2,Q)/{±I}
est fidèle.
Si Γest un sous-groupe discret(1) de SL(2,R), on appelle domaine fondamental un en-
semble qui satisfait à la définition suivante.
Définition 1. — Soit Γun sous-groupe discret de SL(2,R). On dit que Fest un domaine
fondamental de Γsi
– l’ensemble Fcontient au moins un point de chaque orbite de Hpar l’action de Γ;
– l’ensemble Fest fermé ;
(1)Ayant muni Γd’une norme, par exemple k`a b
c d ´k= max {|a|,|b|,|c|,|d|}, on dit que Γest discret si toutes
les boules sont finies.

FORMES MODULAIRES ET PÉRIODES 5
– l’intérieur de Fne contient qu’un point de chaque orbite de Hpar l’action du quotient
Γ/Γ∩ {±I}.
Tout sous-groupe discret de SL(2,R)admet un domaine fondamental connexe [Miy89, §1.6].
On trouve dans [Ser77, chapitre VII, §1] la preuve des deux propositions suivantes :
Proposition 2. — Le groupe SL(2,Z)est engendré par les deux matrices
T=1 1
0 1et S=0−1 1 0 .
Proposition 3. — Un domaine fondamental de SL(2,Z)est
F1=z∈H:−1
2≤ <ez≤1 2,|z| ≥ 1.
ST
1
T-1 T
TS
T-1 S
STS SST-1 ST
-1S
0 1-1
Fig. 1. Domaine fondamental de SL(2,Z)et quelques transformées de ce domaine
1.2. Sous-groupes de congruence. — Si N > 0est un entier, on appelle sous-groupe
principal de congruence de niveau Nle sous-groupe distingué de SL(2,Z)défini par
Γ(N) = a b
c d ∈SL(2,Z): a≡d≡1[N], b ≡c≡0[N].
On appelle sous-groupe de congruence de niveau(2) Nun sous-groupe Γde SL(2,Z)
contenant Γ(N). Un tel sous-groupe est d’indice fini, noté ν[Γ], dans SL(2,Z). Dans ce texte,
on utilise le sous-groupe
Γ0(N) = a b
c d ∈SL(2,Z): c≡0[N].
On note dès maintenant que −I∈Γ0(N).
(2)Remarquer que le niveau d’un sous-groupe de congruence n’est pas défini de façon unique.