Chapitre III Chapitre III : Espaces vectoriels sur un corps

Chapitre III
Chapitre III : Espaces vectoriels sur un corps

Introduction
Au cours des deux premiers chapitres, nous avons appris à calculer
dans Knavec Kun corps quelconque.
Nous avons appelé Knun espace vectoriel (car les propriétés (P1) –
(P7) sont satisfaites) sur K(pour bien mettre en évidence que les
scalaires sont choisi dans K).

Introduction
Soit Kun corps donné. Il se fait que, en plus des espaces Kn, il
existe de nombreux autres ensembles pour lesquels on peut définir
une addition et une multiplication (par un scalaire de K), et qui
satisfont aussi aux propriétés (P1)–(P7).

Introduction
Exemple 1
Considérons K=Rainsi que l’ensemble RRdes fonctions qui vont
de Rdans R. Par exemple f1:R→R:x7→ x2et
f2:R→R:x7→ cos(x)sont des éléments de cet ensemble. On
peut définir une addition sur RRen posant pour f ,g∈RR:
(f+g) : R→R:x7→ f(x) + g(x)
et une multiplication scalaire en définissant pour f ∈RRet λ∈R:
(λf)(x) = λf(x).

Introduction
Exemple (Suite de l’exemple 1)
Il est évident qu’avec ces définitions, RRsatisfait aux propriétés
(P1)–(P7). En effet :
les propriétés (P1) et (P2) concernent l’associativité et la
commutativité de +, qui sont évidentes ici.
la propriété (P3) concerne l’existence d’un élément neutre
pour l’addition. Ici, on peut simplement prendre comme neutre
la fonction identiquement nulle :
n:R→R:x7→ 0,