I - Vocabulaire de base - Institution Saint Charles
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Activité 1 : Restauration de figures 1. À partir d'un exemple Regarde attentivement la figure. Elle a été obtenue uniquement à partir de segments tracés qui ont été effacés ensuite. À partir d'un carré de côté 8 cm et avec ta règle, reproduis la figure. 2. À partir d'un quadrilatère quelconque a. Observe bien la figure. b. Trace un quadrilatère ABCD similaire à celui de la figure précédente. Place un point E sur le segment [AB]. A E B A E B C D C D c. Termine la construction avec ta règle et en suivant l'exemple de la partie 1 . 3. Avec un logiciel de géométrie dynamique a. Place quatre points A, B, C et D. Trace les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Place un point E sur le segment [AB] afin d'obtenir une figure qui ressemble à celle du 2. b.. b. En utilisant les fonctionnalités du logiciel, construis la figure complète telle qu'elle est au 2. a.. Attention ! Si on bouge un des sommets du quadrilatère, il faut que toute la figure bouge en même temps et continue à ressembler à la figure du 2. a.. 116 ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE - CHAPITRE G0 I - Vocabulaire de base ex 1 A - Droite, demi-droite et segment Notation Signification [AB] Lire : « segment [AB] ». C'est le segment d'extrémités A et B. (AB) Lire : « droite (AB) ». C'est la droite qui passe par les points A et B. [AB) Lire : « demi-droite [AB) ». C'est la demi-droite d'origine A passant par le point B. A B (d) (d) Figure A B B A B A (d) Le point A appartient à la droite (d). Le point B n'appartient pas à la droite (d). A B B - Points alignés Définition Trois points sont alignés s'ils appartiennent à une même droite. Exemple : B A C Les points A, B et C sont alignés. II - Droites sécantes Définition ex 2 Exemple : Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un point. Ce point est appelé point d'intersection. I (d') 1 Place trois points non alignés R, I et Z. Trace : D en rouge, la droite (RI) ; D en bleu, le segment [RZ] ; D en vert, la demi-droite [IZ). Le point I est le point d'intersection des droites (d) et (d'). (d) 2 On trace trois droites quelconques. Combien y a-t-il de points d'intersection ? Même question avec quatre droites. CHAPITRE G0 – ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE 117 4 Faisceau de droites Vocabulaire (d2) (d1) 1 Trace une droite (d). a. Place deux points S et A sur cette droite. C (d3) b. Donne deux autres façons de nommer la droite (d). N E c. Place un point C qui n'appartient pas à la droite (d). (d4) A T S d. Le point A appartient-il à la droite (SC) ? 2 Sur ton cahier, place les quatre points comme ci-dessous en respectant le quadrillage. A a. Quel est le point d'intersection des droites ... D (d2) et (d3) ? D (d3) et (d4) ? D (d1) et (d2) ? b. Complète chaque phrase. D N est le point d'intersection des droites … . D E est le point d'intersection des droites … . D S est le point d'intersection des droites … . 5 Sur ton cahier, place les quatre points comme ci-dessous en respectant le quadrillage. B G D D C F a. Trace en bleu le segment [AB]. H b. Trace en vert le segment [DC]. c. Trace en rouge la droite (AC). a. E est le point d'intersection des droites (HG) et (DF). Construis-le. d. Trace en noir la demi-droite [DB). b. A est le point d'intersection des droites (HD) et (GF). Construis-le. 3 Figure papillon c. U est le point d'intersection des droites (GD) et (HF). Construis-le. A 6 On considère le pentagone ci-dessous. S A G R G U a. Après avoir observé la figure, recopie et complète les pointillés avec Ž ou |. D G ... [AU] D A ... [GU] D S ... [RG] D G ... (AU) D U ... (AG) D S ... (RG) b. Quels sont les points alignés ? Fais deux phrases. c. Comment peux-tu définir le point G ? 118 ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE – CHAPITRE G0 B F J E H I C D a. Donne quatre autres façons de nommer la droite (EC). b. Quels sont les points alignés avec I et B ? c. Quel est le point d'intersection des droites (AC) et (BD) ? Et celui des droites (CE) et (AD) ? Avec un logiciel de GD Les exercices de cette partie sont tous à traiter avec un logiciel de géométrie dynamique. 7 Point d'intersection a. Place quatre points A, B, C et D. b. Construis les droites (AB) et (CD). Bouge les points de telle sorte que le point d'intersection de (AB) et (CD) soit sur l'écran. c. Place le point E le plus précisément possible à cette intersection. Que se passe-t-il quand on bouge les points A, B, C ou D ? 11 Place six points A, B, C, D, E et F vérifiant les conditions suivantes : D E est le point d'intersection de (AB) et (CD) ; D les points A, D et F sont alignés ; D les points C, B et F sont alignés. 12 Points sur un cercle a. Place deux points A et B. b. Construis le cercle de centre A passant par le point B. c. Construis le segment [CD] de telle sorte que lorsqu'on bouge les points A ou B, les points C et D restent sur le cercle. 13 Intersection avec un cercle a. Place quatre points A, B, C et D. b. Construis la droite (AB) et le cercle de centre C passant par le point D. c. Combien de points d'intersection peuvent avoir le cercle et cette droite ? Fais bouger les points pour voir les différentes possibilités. d. Même travail avec deux cercles. 8 Construis la figure de l'exercice 6 . Attention, les points d'intersection doivent le rester même si on déplace un des sommets du pentagone ABCDE. 9 Point sur ... a. Construis un segment [AB]. 14 Théorème de Pappus a. Construis une droite (AB). Place un point C sur la droite (AB) tel que A, B et C soient alignés dans cet ordre. b. Construis une droite (DE). Place un point F sur la droite (DE) tel que D, E et F soient alignés dans cet ordre. b. Place le plus précisément possible un point I sur le segment [AB]. Que se passe-t-il si on bouge les points A ou B ? c. En utilisant une fonctionnalité du logiciel, construis le point J de telle sorte qu'il reste sur le segment [AB] même quand on le bouge ou quand on bouge les points A ou B. 10 Points alignés a. Place trois points A, B et C. b. Utilise une fonction du logiciel qui permet de savoir si les points A, B et C sont alignés. c. Essaie de déplacer un des points pour faire afficher l'alignement. Est-ce facile ? d. Explique comment procéder pour construire des points en étant certain qu'ils seront alignés d'après le logiciel. e. Vérifie en faisant la construction. c. Construis les points d'intersection suivants. D J de (AE) et (DB) ; D K de (AF) et (DC) ; D L de (BF) et (EC). d. Que remarques-tu ? Vérifie ta conjecture avec une fonctionnalité du logiciel. CHAPITRE G0 – ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE 119 Reproduction de figures 19 À partir d'un carré de 20 carreaux de côté, réalise ce dessin en traçant juste des segments. 15 Sur quadrillage, reproduis cette figure. 16 Sur quadrillage, reproduis cette figure. 17 En doublant le nombre de carreaux, reproduis les figures des exercices 15 et 16 . 18 Reproduis puis continue la frise. 120 ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE – CHAPITRE G0 20 Reproduis cette figure construite uniquement à partir d'arcs de cercle dont les centres en noir forment un carré. 21 Trace un pentagone quelconque puis reproduis cette canne* à l'intérieur. (Commence par repérer les alignements de points.) * Il s'agit de la canne des bâtisseurs, outil de mesure utilisé au Moyen Âge.
