Anneaux et corps Prof. E. Bayer Fluckiger Bachelor Semestre 4 24 février 2016 Quiz 1 Question 1. Existe-t-il des anneaux avec 0 = 1 ? Si oui, lesquels ? Solution. L’ensemble A := {0} muni de l’addition et de la multiplication trivial est un anneau dans lequel 0 = 1. Si A est un anneau dans lequel 0 = 1, alors, d’après l’Exercice 1., on a a = 1.a = 0.a = 0 pour tout a ∈ A. Par conséquent A = {0}. Question 2. Soient A, B deux anneaux, et f : A −→ B un homomorphisme d’anneaux. Montrer que f (a−1 ) = f (a)−1 pour tout a ∈ A∗ . Solution. Comme f est un homomorphisme d’anneaux, on a f (1) = 1. On a donc 1 = f a.a−1 = f (a).f a−1 et 1 = f a−1 .a = f a−1 .f (a). Ainsi, on a bien f (a−1 ) = f (a)−1 . Anneaux et corps Prof. E. Bayer Fluckiger Bachelor Semestre 4 24 février 2016 Série 1 Exercice 1. (les résultats de cet exercice sont à retenir). Soit A un anneau. (1) Montrer que 0.a = a.0 = 0 pour tout a ∈ A. (2) Montrer que l’élément neutre pour la multiplication dans A est unique. (3) Montrer que (−1).a = a.(−1) = −a pour tout a ∈ A. (4) Montrer que (−a).b = a.(−b) = −(a.b) pour tous a, b ∈ A. Solution. (1) Soit a ∈ A. En utilisant la définition de 0, et la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, on constate que 0.a + 0.a = (0 + 0).a = 0.a. On en déduit que 0.a = 0. De même, comme a.0 + a.0 = a.(0 + 0) = a.0, on a a.0 = 0. (2) Si 1 et 10 sont deux éléments neutres pour la multiplication dans A, alors on a 1 = 1.10 = 10 . (3) Soit a ∈ A. D’après la première question, on a 0 = 0.a = (1 + (−1)).a = 1.a + (−1).a = a + (−1).a et 0 = a.0 = a.(1 + (−1)) = a.1 + a.(−1) = a + a.(−1). Donc (−1).a = a.(−1) = −a. (4) D’après la question précédente, on a −(a.b) = (−1).(a.b) = (−1.a).b = (−a).b et −(a.b) = (a.b).(−1) = a.(b.(−1)) = a.(−b). 3 Exercice 2. Soit A un anneaux tel que A soit cyclique en tant que groupe additif. Soit a ∈ A un de ses générateurs. (1) Montrer que a ∈ A∗ . (2) Montrer que la multiplication de A est déterminé par le carré de a (dans le groupe multiplicatif A∗ ). (3) En déduire que que si A est de cardinal n avec groupe additif cyclique, alors A est isomorphe à Z/nZ. (4) Donner un exemple d’anneau de cardinal 4 avec groupe additif isomorphe à Z/2Z × Z/2Z. Solution. (1) Par définition d’un groupe cyclique, il existe n ∈ N tel que na = 1 ou −1. Par distributivité, on a donc ! n n n X X X ±1 = na = a= 1.a = 1 a. i=1 i=1 i=1 Ainsi a est inversible pour la multiplication, d’inverse ±n1 = (±1). n X 1. i=1 (2) Soit x, y ∈ A. Par définition d’un groupe cyclique, il existe n, m ≥ 1 et n m X X x , y ∈ {−1; 1} tels que x = (x n)a = x a et y = (y m)a = y a. i=1 i=1 On a alors par distributivité ! m ! n n X m X X X xy = x a y a = x y a2 . i=1 i=1 i=1 j=1 Ainsi pour calculer le produit xy, il suffit de connaitre le carré a2 de a (ainsi que l’addition dans A et le passage à l’opposé dans A). (3) Soit k tel que 1 = ka. Si (k, n) 6= 1, alors il existe d ∈ [1; n − 1] tel que dk ∈ nZ. Dans ce cas, on a da = (da).1 = (da).(ka) = (dk)a2 = 0, ce qui n’est pas possible puisque a est d’ordre n et 1 ≤ d ≤ n−1. Par suite on a (k, n) = 1. En particulier, il existe une relation de Bézout uk +vn = 1 avec u, v ∈ Z, et on a u1 = u(ka) = (uk)a = (uk)a + (vn)a = (uk + vn)a = a. On en déduit que 1 est un générateur du groupe cyclique (A, +). Or 12 = 1, donc, d’après la question précédente, l’application m X f : Z/nZ → A, [m]n 7→ m1 := 1 i=1 4 est un isomorphisme d’anneau entre Z/nZ et A. (4) On considère les trois lois de composition internes sur Z/2Z × Z/2Z suivantes : ([a]2 , [b]2 ) + ([c]2 , [d]2 ) := ([a + c]2 , [b + d]2 ) ([a]2 , [b]2 ) × ([c]2 , [d]2 ) := ([ac]2 , [bd]2 ) ([a]2 , [b]2 ) ? ([c]2 , [d]2 ) := ([ac + bd]2 , [ad + bc]2 ) . On peut vérifier que (Z/2Z × Z/2Z, +, ×) et (Z/2Z × Z/2Z, +, ?) sont des anneaux. Définition. Soit A un anneau commutatif et a ∈ A − {0}. On dit que a est un diviseur de zéro si ∃b ∈ A − {0} tels que a.b = 0. Exercice 3. Quels sont les diviseurs de zéro dans Z/mZ ? Solution. Soit k ∈ [1; m − 1]. On pose d = (k, m). Soit k 0 ∈ [1; m] tel que dk 0 = m. Alors on a [k]m [k 0 ]m = [0]m . En particulier si 1 < d ≤ m, alors [k]m est un diviseur de zéro. Si (k, m) = d = 1, alors il existe une relation de Bézout uk + vm = 1 avec u, v ∈ Z. Dans ce cas, si l ∈ Z est tel que [k]m [l]m = [0]m , alors on a [0]m = [u]m [0]m = [u]m [k]m [l]m = [l]m . Ainsi [k]m est un diviseur de zéro si et seulement si (k, m) 6= 1. Exercice 4. Soit A le sous-ensemble de M2 (R) formé des matrices triangulaires supérieures. (1) Le sous-ensemble A est-il un sous-anneau de M2 (R) ? (2) Le sous-ensemble A est-il commutatif ? Solution. (1) Oui. En effet A est non vide puisqu’il contient 0 0 0 0 . De plus A est stable par addition (et (A, +) est aélien) 0 0 0 0 a b a b a + a0 b + b 0 a b a b + = = + , 0 c 0 c0 0 c + c0 0 c0 0 c par passage à l’opposé a b −a −b − = , 0 c 0 −c 5 et par multiplication 0 0 0 aa ab0 + bc0 a b a b . = 0 cc0 0 c0 0 c Ainsi, A est bien un sous-anneau de M2 (R). (2) L’anneau A n’est pas commutatif puisque l’on a 1 1 1 1 1 2 = 0 2 0 1 0 2 et 1 1 1 1 1 3 1 2 = 6= . 0 1 0 2 0 2 0 2 Exercice 5. Soit p un nombre premier. Donner un exemple d’un p-sous-groupe de Sylow de GL2 (Z/pZ). Justifier. Solution. Une matrice ( ac db ) ∈ M2 (Z/pZ) est inversible si et seulement si ses colonnes sont linéairement indépendantes sur Z/pZ (la preuve est exactement la même que pour R ou C). Donc on a p2 − 1 = #((Z/pZ)2 − {0}) possibilités pour la première colonne x := [ ac ] et, étant donné x, on a p2 −p = #((Z/pZ)2 −hxiZ/pZ ) possibilités pour la deuxième colonne y := [ db ]. Ainsi, #GL2 (Z/pZ) = (p2 − 1)(p2 − p) = p(p − 1)2 (p + 1). On a donc que p divise #GL2 (Z/pZ) et p2 ne le divise pas. En effet (p−1)2 (p+1) ≡ 1 mod p. Alors un p-sous-groupe de Sylow (qui existe par le premier théorème de Sylow) a cardinal p. On peut prendre par example H := {( 10 a1 ) | a ∈ Z/pZ} , qui est un sous-groupe de GL2 (Z/pZ) (en effet 1 a −1 = ( 1 −a ) ∈ H) ( 10 01 ) ∈ H, ( 10 a1 ) ( 10 1b ) = ( 10 a+b 0 1 1 ) ∈ H et ( 0 1 ) de cardinal p = #Z/pZ et il est donc un p-sous-groupe de Sylow de GL2 (Z/pZ).