Corrigé

Anneaux et corps Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 24 f´evrier 2016
Quiz 1
Question 1.
Existe-t-il des anneaux avec 0 = 1 ? Si oui, lesquels ?
Solution.
L’ensemble A:= {0}muni de l’addition et de la multiplication trivial est un
anneau dans lequel 0 = 1.
Si Aest un anneau dans lequel 0 = 1, alors, d’apr`es l’Exercice 1., on a
a= 1.a = 0.a = 0
pour tout a∈A. Par cons´equent A={0}.
Question 2.
Soient A, B deux anneaux, et f:A−→ Bun homomorphisme d’anneaux.
Montrer que f(a−1) = f(a)−1pour tout a∈A∗.
Solution.
Comme fest un homomorphisme d’anneaux, on a f(1) = 1. On a donc
1 = fa.a−1=f(a).f a−1
et
1 = fa−1.a=fa−1.f(a).
Ainsi, on a bien f(a−1) = f(a)−1.

Anneaux et corps Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 24 f´evrier 2016
S´erie 1
Exercice 1. (les r´esultats de cet exercice sont `a retenir).
Soit Aun anneau.
(1) Montrer que 0.a =a.0 = 0 pour tout a∈A.
(2) Montrer que l’´el´ement neutre pour la multiplication dans Aest unique.
(3) Montrer que (−1).a =a.(−1) = −apour tout a∈A.
(4) Montrer que (−a).b =a.(−b) = −(a.b) pour tous a, b ∈A.
Solution.
(1) Soit a∈A. En utilisant la d´efinition de 0, et la distributivit´e de la multi-
plication par rapport `a l’addition, on constate que
0.a + 0.a = (0 + 0).a = 0.a.
On en d´eduit que 0.a = 0. De mˆeme, comme
a.0 + a.0 = a.(0 + 0) = a.0,
on a a.0 = 0.
(2) Si 1 et 10sont deux ´el´ements neutres pour la multiplication dans A, alors
on a
1 = 1.10= 10.
(3) Soit a∈A. D’apr`es la premi`ere question, on a
0 = 0.a = (1 + (−1)).a = 1.a + (−1).a =a+ (−1).a
et
0 = a.0 = a.(1 + (−1)) = a.1 + a.(−1) = a+a.(−1).
Donc (−1).a =a.(−1) = −a.
(4) D’apr`es la question pr´ec´edente, on a
−(a.b) = (−1).(a.b) = (−1.a).b = (−a).b
et
−(a.b) = (a.b).(−1) = a.(b.(−1)) = a.(−b).

3
Exercice 2. Soit Aun anneaux tel que Asoit cyclique en tant que groupe
additif. Soit a∈Aun de ses g´en´erateurs.
(1) Montrer que a∈A∗.
(2) Montrer que la multiplication de Aest d´etermin´e par le carr´e de a(dans
le groupe multiplicatif A∗).
(3) En d´eduire que que si Aest de cardinal navec groupe additif cyclique,
alors Aest isomorphe `a Z/nZ.
(4) Donner un exemple d’anneau de cardinal 4 avec groupe additif isomorphe
`a Z/2Z×Z/2Z.
Solution.
(1) Par d´efinition d’un groupe cyclique, il existe n∈Ntel que na = 1 ou −1.
Par distributivit´e, on a donc
±1 = na =
n
X
i=1
a=
n
X
i=1
1.a = n
X
i=1
1!a.
Ainsi aest inversible pour la multiplication, d’inverse ±n1=(±1).
n
X
i=1
1.
(2) Soit x, y ∈A. Par d´efinition d’un groupe cyclique, il existe n, m ≥1 et
x, y∈ {−1; 1}tels que x= (xn)a=
n
X
i=1
xaet y= (ym)a=
m
X
i=1
ya.
On a alors par distributivit´e
xy = n
X
i=1
xa! m
X
i=1
ya!=
n
X
i=1
m
X
j=1
xya2.
Ainsi pour calculer le produit xy, il suffit de connaitre le carr´e a2de a
(ainsi que l’addition dans Aet le passage `a l’oppos´e dans A).
(3) Soit ktel que 1 = ka. Si (k, n)6= 1, alors il existe d∈[1; n−1] tel que
dk ∈nZ. Dans ce cas, on a
da = (da).1 = (da).(ka) = (dk)a2= 0,
ce qui n’est pas possible puisque aest d’ordre net 1 ≤d≤n−1. Par suite
on a (k, n) = 1. En particulier, il existe une relation de B´ezout uk+vn = 1
avec u, v ∈Z, et on a
u1 = u(ka)=(uk)a= (uk)a+ (vn)a= (uk +vn)a=a.
On en d´eduit que 1 est un g´en´erateur du groupe cyclique (A, +). Or 12= 1,
donc, d’apr`es la question pr´ec´edente, l’application
f:Z/nZ→A, [m]n7→ m1 :=
m
X
i=1
1

4
est un isomorphisme d’anneau entre Z/nZet A.
(4) On consid`ere les trois lois de composition internes sur Z/2Z×Z/2Zsui-
vantes :
([a]2,[b]2) + ([c]2,[d]2) := ([a+c]2,[b+d]2)
([a]2,[b]2)×([c]2,[d]2) := ([ac]2,[bd]2)
([a]2,[b]2)?([c]2,[d]2) := ([ac +bd]2,[ad +bc]2).
On peut v´erifier que (Z/2Z×Z/2Z,+,×) et (Z/2Z×Z/2Z,+, ?) sont des
anneaux.
D´efinition. Soit Aun anneau commutatif et a∈A− {0}. On dit que aest un
diviseur de z´ero si ∃b∈A− {0}tels que a.b = 0.
Exercice 3. Quels sont les diviseurs de z´ero dans Z/mZ?
Solution.
Soit k∈[1; m−1]. On pose d= (k, m). Soit k0∈[1; m] tel que dk0=m. Alors
on a [k]m[k0]m= [0]m. En particulier si 1 < d ≤m, alors [k]mest un diviseur de
z´ero.
Si (k, m) = d= 1, alors il existe une relation de B´ezout uk +vm = 1 avec
u, v ∈Z. Dans ce cas, si l∈Zest tel que [k]m[l]m= [0]m, alors on a
[0]m= [u]m[0]m= [u]m[k]m[l]m= [l]m.
Ainsi [k]mest un diviseur de z´ero si et seulement si (k, m)6= 1. 
Exercice 4. Soit Ale sous-ensemble de M2(R) form´e des matrices triangulaires
sup´erieures.
(1) Le sous-ensemble Aest-il un sous-anneau de M2(R) ?
(2) Le sous-ensemble Aest-il commutatif ?
Solution.
(1) Oui. En effet Aest non vide puisqu’il contient 0 0
0 0 . De plus Aest
stable par addition (et (A, +) est a´elien)
a b
0c+a0b0 0c0=a+a0b+b0 0c+c0=a0b0 0c0+a b 0c,
par passage `a l’oppos´e
−a b
0c=−a−b 0−c,

5
et par multiplication
a b
0c a0b0 0c0=aa0ab0+bc0 0cc0.
Ainsi, Aest bien un sous-anneau de M2(R).
(2) L’anneau An’est pas commutatif puisque l’on a
1 1
0 2  1 1 0 1 =1 2 0 2 
et 1 1
0 1  1 1 0 2 =1 3 0 2 6=1 2 0 2 .
Exercice 5. Soit pun nombre premier. Donner un exemple d’un p-sous-groupe
de Sylow de GL2(Z/pZ). Justifier.
Solution. Une matrice ( a b
c d )∈M2(Z/pZ) est inversible si et seulement si ses
colonnes sont lin´eairement ind´ependantes sur Z/pZ(la preuve est exactement la
mˆeme que pour Rou C). Donc on a p2−1 = #((Z/pZ)2− {0}) possibilit´es pour
la premi`ere colonne x:= [ a
c] et, ´etant donn´e x, on a p2−p= #((Z/pZ)2−hxiZ/pZ)
possibilit´es pour la deuxi`eme colonne y:= [ b
d]. Ainsi,
#GL2(Z/pZ) = (p2−1)(p2−p) = p(p−1)2(p+ 1).
On a donc que pdivise #GL2(Z/pZ) et p2ne le divise pas. En effet (p−1)2(p+1) ≡
1 mod p. Alors un p-sous-groupe de Sylow (qui existe par le premier th´eor`eme de
Sylow) a cardinal p.
On peut prendre par example
H:= {(1a
0 1 )|a∈Z/pZ},
qui est un sous-groupe de GL2(Z/pZ) (en effet
(1 0
0 1 )∈H, (1a 0 1 ) ( 1b
0 1 )=(1a+b
0 1 )∈Het ( 1a
0 1 )−1= ( 1−a
0 1 )∈H)
de cardinal p= #Z/pZet il est donc un p-sous-groupe de Sylow de GL2(Z/pZ).