Décimal / Non décimal 44 La règle des signes du produit 46 La

Cours de mathématiques
Classe de Quatrième
Nombres et opérations Page 43
CHAPITRE 3
NOMBRES ET OPERATIONS
Décimal / Non décimal 44
La règle des signes du produit 46
La division des relatifs 47
Nombres et opérations. 48
Addition des fractions 52
Somme de relatifs 53
Sommes algébriques 54
Réduction d'une écriture littérale 55
Calculs Fiche n°1 56
Calculs Fiche n°2 57
Calculs Fiche n°3 58
Utilisation de la machine 59
Équations 60

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Fiche d'activité
Page 44 Nombres et opérations
DECIMAL / NON DECIMAL
Partie 1 : introduction
Poser et effectuer les divisions suivantes jusqu'à ce que le reste soit nul, ou jusqu'à être sûr
qu'elle ne s'arrêteront jamais.
99 : 36 43 : 7
Il y a donc deux types de quotients :
Écriture finie : nombre décimal
Écriture infinie : nombre non-décimal
Partie 2 : Les nombres décimaux
Il s'agit de mettre au point une méthode qui permet de prévoir si un quotient (présenté
sous forme de fraction) est décimal.
Par exemple pour la fraction
99
36
:
1. Simplification de la fraction :
99
36 =. La fraction obtenue est ……………………
Rappelons la règle de transformation des fractions :
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………
2. Transformation de la fraction ……………………… en fraction décimale, puis en écriture
décimale :
=
×
×= =
3. Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10,
qui n'est donc obtenu qu'en multipliant des 2 et des 5. Il faut donc qu'au dénominateur
de la fraction initiale on ait un nombre qui soit un produit de facteurs égaux à 2 ou à 5.
Par exemples : 2 ou 4(car 4 = ……) ou 5 ou 8 (car 8 = ……………).
Rechercher tous les dénominateurs possibles de ce genre inférieurs à 50.
Application :
Déterminer, parmi les fractions suivantes, celles qui sont des nombres décimaux :
49
28
39
75
172
68
36
91
115
46

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Fiche d'activité
Nombres et opérations Page 45
Partie 3 : Les nombres non-décimaux
Écriture périodique d'un quotient non-décimal
Dans le calcul du quotient de 43 par 7, un même nombre réapparaît au reste, qui fait
réapparaître le même chiffre dans l'écriture du quotient. A partir de ce moment, on est sûr
que la division ne s'arrêtera jamais, car la même séquence va se reproduire infiniment.
On dit que l'écriture est périodique; la période est de 6 pour le quotient de 43 par 7. ce
nombre 6 indique que le même groupe de 6 chiffres peut être répété à l'infini dans
l'écriture.
On ne peut donc pas écrire ce nombre, mais on peut savoir quels sont tous ses chiffres.
Par exemple, on est sûr que c'est le chiffre 1 qui occupe la première place après la virgule,
mais aussi la 7°, la 13°, la 19°, ……………………………
Quel est le chiffre qui occupe la 27° place après la virgule ?
Quel est le chiffre qui occupe la 1 203° place après la virgule ?
Quel est le chiffre qui occupe la 27 000° place après la virgule ?
Valeurs approchées ; encadrements et arrondis
Puisque l'on ne peut pas donner une écriture décimale de ces nombres, on ne pourra qu'en
donner des valeurs approchées.
Poser la division de 24 par 13.
A chaque pas de la division, écrire l'encadrement le plus simple, placer les deux valeurs
qui encadrent ce quotient sur l'axe, ainsi que le "milieu" de ces deux nombres. Situer le
quotient par rapport aux trois nombres placés. Et choisir parmi les deux valeurs qui
encadrent celle qui est la pus proche du quotient. (on appelle q le quotient)
Exemple : au premier pas :
24 13 Encadrement à l'unité: 1 < q < 2
11 1
Le "milieu" s'appelle en réalité la moyenne : la moyenne de 1 et 2 est 1,5; on la
calcule en ajoutant les deux nombres et en divisant par 2
q est plus grand que 1,5 car le reste 11 est plus grand que la moitié de 13.(il revient
au même de dire que le double du reste 11 est plus grand que le diviseur 13 )
Conclusion : q est plus proche de 2 que de 1. Donc 2 est l'arrondi de q à l'unité.
Écriture en fraction d'un nombre à écriture
périodique :
Appelons a le nombre à écriture infinie , de période 4, dont l'écriture commence par :
342,567567567…
Alors (1 000 × a) a une écriture infinie, de période 4, qui commence par : 342 567,567567
En calculant la différence (1 000 × a - a) les chiffres après la virgule vont disparaître et
on obtient un nombre entier égal à 342 225.
Or (1 000 × a - a) est égal à 999 × a. D'où l'égalité : 999 × a = 342 225.
Conclusion : le nombre a est égal au quotient :
342225
999
qui est simplifiable par 27 et est
égal à la fraction irréductible :
12675
37
Rechercher de même quel quotient donne :
8,1441 1441 1441……
22,99261 999261 99261
1,5 21 q

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Page 46 Nombres et opérations
LA REGLE DES SIGNES DU PRODUIT
Produit par (- 1)
Rappelons que l'écriture 3 × 5 est une écriture simplifiée pour la somme : 5 + 5 + 5.
De la même manière, la somme (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) peut être
remplacée par le produit : ………………………….
On peut donc écrire l'égalité : (- 1) × …… = ……
De la même manière, on peut écrire :
(- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) = (- 1) × …… = ……
(- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) = (- 1) × …… = ……
(- 1) × 4 = …………………… = ……
D'où la règle suivante :
• Le produit d'un nombre a par (- 1) est égal à ………………………………… .(Œ)
• L'opposé de a peut s'écrire sous la forme du produit : ………………………. (•)
Produit d'un négatif par un positif.
(- 5) × (+ 3) =(•)= (- 1) × (+ 5) × (+ 3) =(- 1) × (+ 15) =(Œ)= (- 15)
(+ 7) × (- 2) =(•)=(- 1) × ( ……) =(Œ)= ……
Conclusion :
Le produit de deux nombres de signes contraires ……………………………………………(Ž)
Produit de deux négatifs.
(- 5) × (- 3) =(•)= (- 1) × (+ 5) × (- 3) =(Ž)(- 1) × (- 15) =(Œ)= (+ 15)
(- 7) × (- 2) =(•)=(Ž)(- 1) × ( ……) =(Œ)= ……
Conclusion :
Le produit de deux nombres négatifs …………………………………………………………(•)
Généralisation à un produit quelconque :
En groupant les facteurs deux par deux, déterminer le signe de chacun de ces produits :
P1 = (- 5) × (+ 9) × (- 4) × (- 7) × (- 3) × (+ 2) × (+ 11)
P2 = (- 5) × (+ 10) × (+ 9) × (- 4) × (- 3) × (- 7) × (+ 1)
P3 = (+ 3) × (+ 5) × (+ 8) × (+ 8) × (+ 9) × (- 12) × (- 37) × (- 2)
Conclusion :
Le signe d'un produit …………………………………………………………………………………

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Nombres et opérations Page 47
LA DIVISION DES RELATIFS
Nombres relatifs inverses :
Compléter les égalités suivantes :
( ) ( ) ( )
( )
3
2
6
61
5
9
45
45 1
7
4
28
28 1
11
319 17 18 21 7
1
5
314 13 1 5 1
0 1
× = = × = = × = =
× = × = × = × =
− × = − × = − × =
× =
Définition :
On appelle nombres inverses, deux nombres dont le produit est égal à 1.
Remarques :
• 0 est le seul nombre ……………………………
• Deux nombres inverses ont ……………………………
Quotient de deux nombres :
Définition :
Le quotient q de a par b est le nombre tel que q × b = a. On écrit : q
a
b
si q b a= × =,
8
2
4 4 2 8
105
5
21 5 21 105= × = = × =,:,:car car
Division des fractions :
Compléter :
5
31 1
3
2
5
3
3
2
5
3
3
2
6
51 1 4 96 54 96 54 9
11
31 1 5 411 35 411 35 4
× = × = × × = × =
× = × = × × = × =
× = × = × × = × =
et donc et
et donc et
et donc et
:
:
:
Conclusion : A partir de ce qui précède, compléter :
3
2
5
3
4
9
6
5
5
4
11
3
= = =
Quels sont les calculs qui ont permis d'obtenir ces quotients?