Chap.1 – Cinématique des fluides

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Chap.1 – Cinématique des fluides
1. Notions mathématiques nécessaires à la mécanique des fluides
1.1. Rappels sur les différentielles
1.2. Opérateurs d’analyse vectorielle
2. Description d’un fluide en mouvement
2.1. Trois échelles de description possibles
2.2. Lien entre l’échelle mésoscopique et l’échelle macroscopique
2.3. Description lagrangienne – Description eulérienne
2.4. Signification physique du champ des vitesses
2.5. Trajectoire et ligne de courant
3. Dérivée particulaire d’un champ eulérien
3.1. Dérivée particulaire du champ de masse volumique (champ scalaire)
3.2. Dérivée particulaire du champ des vitesses (champ vectoriel)
3.3. Signification physique des différents termes
4. Débits, flux et densités de courant
4.1. Débit volumique à travers une surface – Flux de 
4.2. Débit massique à travers une surface – Flux de 
4.3. Un débit est le flux d’une densité de courant : généralisation
5. Conservation de la masse
5.1. Bilan de masse (échelle macroscopique)
5.2. Parenthèse mathématique : Théorème de flux-divergence (Ostrogradski)
5.3. Equation locale de conservation de la masse (échelle mésoscopique)
6. Quelques exemples d’écoulements
6.1. Ecoulement stationnaire : conservation du débit massique
6.2. Ecoulement incompressible : conservation du débit volumique
6.3. Ecoulement irrotationnel : potentiel des vitesses
6.4. Interprétation physique de 
6.5. Interprétation physique de 
Intro :
En première année, les fluides ont été étudiés au repos. La loi essentielle était la relation fondamentale de la
statique, qui traduisait simplement la RFD au repos appliquée à un volume élémentaire de fluide.
Ce nouveau chapitre est le premier de la mécanique des fluides en mouvement. Comme en mécanique du point,
on commence par décrire le mouvement du fluide, sans se préoccuper des causes du mouvement. On ne parlera
donc pas ici des forces, on se limite à une étude cinématique.
1. Notions mathématiques nécessaires à la mécanique des fluides
1.1. Rappels sur les différentielles
 Définition de la différentielle d’une fonction à une variable
 Expression en fonction de la dérivée
 Idem pour une fonction à plusieurs variables

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1.2. Opérateurs d’analyse vectorielle
Définition de l’opérateur nabla
Définition du gradient d’un champ scalaire
Définition de la divergence d’un champ vectoriel
Définition du rotationnel d’un champ vectoriel
2. Description d’un fluide en mouvement
Les deux premiers paragraphes sont des rappels de première année.
2.1. Trois échelles de description possibles
Dans le cours de mécanique des fluides, on ne sera amené qu’à étudier des systèmes macroscopiques, c’est-à-dire
constituer d’un grand nombre de molécules (ou d’atomes).
Parler de molécules et d’atomes consiste à décrire la matière à l’échelle microscopique. C’est une modélisation
discrète de la matière (par opposition à modélisation continue), à l’échelle du . Or on comprend aisément que
l’étude d’un fluide ne peut pas consister à déterminer le mouvement de chacune de ses molécules. Non seulement
ce serait impossible techniquement, mais on ne saurait que faire de toute cette information.
C’est pourquoi en mécanique des fluides, on ne va s’intéresser qu’aux propriétés macroscopiques des systèmes
étudiés. L’échelle de description que l’on va adopter est donc l’échelle macroscopique. A cette échelle, on va
adopter une modélisation continue de la répartition de matière, comme si la matière n’était pas constituée
d’atomes, mais emplissait tout l’espace.
Souvent, les grandeurs définies localement (vitesse du fluide, masse volumique) n’ont pas nécessairement la
même valeur partout dans le fluide. Ces grandeurs sont définies à l’échelle mésoscopique.

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On l’appelle l’échelle mésoscopique (échelle de l’ordre du ):
o assez grande devant l’échelle micro. pour adopter une modélisation continue de la matière
o assez petite devant l’échelle macro. pour considérer ces grandeurs localement uniformes
Remarque : On peut préciser ce que l’on entend par ‘grand devant l’échelle microscopique’. Les molécules du
fluide se déplacent et s’entrechoquent au hasard. En suivant une molécule, on peut s’intéresser à son libre
parcours moyen, i.e. la distance moyenne parcourue entre deux chocs. Si l’échelle mésoscopique choisie est
grande devant le libre parcours moyen des molécules, alors cette échelle peut bien être considérée comme ‘grande
devant l’échelle microscopique’.
2.2. Lien entre l’échelle mésoscopique et l’échelle macroscopique
A l’échelle mésoscopique, on évitera d’écrire des rapports de grandeurs. Dans le cas particulier de la masse
volumique, on la définit par l’écriture suivante :
La masse volumique
est définie en un point du système par la relation :
On passe de l’échelle mésoscopique (écritures locales) à l’échelle macroscopique (écritures intégrales) grâce aux
intégrales. Relation masse totale / masse volumique
La masse  d’un corps de volume  est la somme des masses élémentaires  de chacune de ses parties
2.3. Description lagrangienne – Description eulérienne
Deux points de vue sont possibles pour décrire l’écoulement d’un fluide. Si l’on regarde couler une rivière :
 un observateur peut suivre des yeux une feuille à la surface de l’eau (point de vue lagrangien)
 un observateur peut aussi regarder fixement une zone de la rivière et voir passer la feuille quand elle
traverse son champ de vue (point de vue eulérien)
Dans les deux cas, on décrit le fluide à l’échelle mésoscopique : système = volume élémentaire de fluide .
Description lagrangienne :
o on découpe le fluide en volumes élémentaires, chacun étant un système fermé, donc de masse constante :
une « particule de fluide »
o ces particules de fluide sont mobiles ; on associe un observateur à chacune, chargé de la suivre au cours
du temps
o les coordonnées d’espace   représentent la position d’une particule de fluide et sont
donc des fonctions du temps
o c’est le même point de vue que la mécanique du point
o on connaît l’écoulement lorsque l’on connaît position   et vitesse   de chaque particule de fluide
Description eulérienne :
o on découpe le fluide en volumes élémentaires immobiles, chacun est donc un système ouvert
o on associe un observateur à chacun de ces volumes, qui regarde ce qui s’y trouve à l’instant 
o les coordonnées d’espace    représentent la position de chaque volume, et ne dépendent donc
pas du temps
o on connaît l’écoulement lorsque l’on connaît le champ des vitesses 

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La description lagrangienne est intuitive, et les lois de la mécanique sont connues dans le cas lagrangien.
La description eulérienne est plus pratique pour décrire les fluides expérimentalement et mathématiquement.
Par la suite, « on écrira eulérien en pensant lagrangien »…
2.4. Signification physique du champ des vitesses
En utilisant le concept de champ, la description eulérienne peut sembler un peu abstraite. Pour la rendre concrète,
il suffit de pouvoir faire le lien entre les deux descriptions, mathématiquement cela donne :
Il suffit d’évaluer le champ des vitesses à l’endroit où se trouve la particule de fluide pour connaître la vitesse de
cette dernière.
2.5. Trajectoire et ligne de courant
Définition de la trajectoire d’une particule de fluide (lagrangien)
C’est l’ensemble des positions occupées successivement par la particule de fluide au cours du temps.
C’est la même définition que dans le cas d’un point matériel.
Définition d’une ligne de courant (eulérien)
Définie à un instant  donné, c’est la courbe tangente en chacun de ses points au champ des vitesses.
C’est simplement une ‘ligne de champ’ (cf. cours d’électromagnétisme de 1e année) du champ des vitesses.
Etant données ces deux définitions, il n’y a aucune raison pour que trajectoire et ligne de courant puissent
s’identifier. Ce n’est vrai que dans le cas d’un écoulement stationnaire (les champs eulériens sont tous
indépendants du temps).
3. Dérivée particulaire d’un champ eulérien
3.1. Dérivée particulaire du champ de masse volumique (champ scalaire)
On s’intéresse à la variation temporelle de la masse volumique d’une particule de fluide (lagrangien), mais en
l’écrivant en fonction du champ (eulérien) de masse volumique .
Définition de la dérivée particulaire
avec   
Expression de la dérivée particulaire du champ de masse volumique
Remarque : Il est impératif de savoir exprimer le nouvel opérateur   en coordonnées cartésiennes.

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3.2. Dérivée particulaire du champ des vitesses (champ vectoriel)
Définition du champ des accélérations
 Quelle information concrète sur le fluide nous donne le champ d’accélération ?
Expression de la dérivée particulaire du champ des vitesses
Remarque : Le nouvel opérateur   n’est pas le même que précédemment, car il s’applique à un vecteur,
et non plus à un scalaire. Il est impératif de savoir exprimer cet opérateur en coordonnées cartésiennes.
3.3. Signification physique des différents termes
On parle de « dérivée particulaire » car la variation temporelle du paramètre considéré est étudiée en lagrangien,
donc du point de vue de la particule de fluide. La notation  au lieu de  rappelle simplement que cette
variation temporelle est exprimée avec un champ eulérien (on pense lagrangien et on écrit eulérien).
Le terme  est appelé « dérivée locale » car elle provient de la variation temporelle du champ eulérien
toujours au même point (localement, sans suivre les particules de fluide)
Le terme   est appelé « dérivée convective » car elle provient du déplacement de la particule de fluide à
travers un champ de vitesse inhomogène (‘convection’ = déplacement de fluide).
4. Débits, flux et densités de courant
4.1. Débit volumique à travers une surface – Flux de 
Définition du débit volumique 
Le débit volumique est le volume de fluide qui traverse une surface donnée par unité de temps () :
Si la surface est orientée, le débit volumique est une grandeur algébrique.
Son signe renseigne alors sur le sens de l’écoulement.
Remarque : Lorsque le sens de l’écoulement est connu, il est préférable de travailler avec des débits volumiques
définis positifs (donc d’orienter les surfaces dans le sens de l’écoulement).
Relation entre le volume transféré et le débit volumique
Le volume total qui traverse la surface considérée pendant une durée , est donné par :