DM no 10 : Groupes

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Pour le 07/01/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
DM no10 : Groupes
Correction du problème –Théorèmes de Sylow
Partie I – Étude des sous-groupes de Sylow de Z/nZ
1. •On a S={mk, k ∈Z}. En effet, l’inclusion directe est immédiate, et l’inclusion réciproque résulte du fait que
si k∈ZZ, et si rest le reste de la division euclidienne de kpar pα, on a l’existence de qtel que
k=pαq+r, donc: km =pαmq +rm ≡rm [n].
Ainsi, km ∈S.
•Montrons que Sest un sous-groupe de Z/nZ.
∗De façon évidente, S⊂Z/nZ, et 0∈S.
∗Soit (x, y)∈S2. Il existe alors (k, ℓ)∈Z2tels que x=mk et y=mℓ. On a alors x−y=m(k−ℓ)∈S.
Ainsi, d’après la caractérisation des sous-groupes, Sest un sous-groupe de Z/nZ.
•Soit (k, ℓ)∈[[0, pα−1]] tels que k6=ℓ, alors |k−ℓ|< pα, donc |m(k−ℓ)|< n, donc mk 6≡ mℓ[n]. On en déduit
que mk 6=mℓ.
•Ainsi, S(égal à T) est constitué d’exactement pαéléments. Sest donc un sous-groupe de Sylow de Z/nZ.
2. Soit S′un p-sous-groupe de Sylow de Z/nZ, et soit x∈S′.
(a) L’élément xétant un élément du groupe S′d’ordre pα, on déduit du théorème de Lagrange que l’ordre de
xdivise pβ, donc, pétant premier, l’ordre de xest pβ, pour un certain entier naturel β6α.
(b) On en déduit que pβx= 0, donc si kest un représentant dans Zde x, il existe ℓ∈Ztel que pβk=ℓn =ℓpαm,
donc k=mℓpα−β, et comme β−α>0,x=k∈S.
3. On en déduit que S′⊂S, et comme par définition, Set S′ont même cardinal fini, S′=S.
Ainsi, Z/nZadmet un unique sous-groupe de Sylow, S.
Partie II – Actions de groupe, stabilisateurs, orbites
1. Quelques exemples.
(a) •L’application donnant l’action de groupe est l’application de H×Gdans Gdonnée par h×g=hg.
•On a bien, pour tout (h, h′)∈H2, et g∈G,
h·(h′·g) = h·(h′g) = h(h′g) = (hh′)g,
la dernière égalité découlant de l’associativité dans G.
•On a également eH·g=eHg=eGg=g.
Ainsi, (h, g)7→ hg est une action du groupe Hsur le groupe G.
L’orbite d’un élément g∈Gest l’ensemble {h·g|h∈H}=Hg , classe à droite modulo H
(b) La translation à droite ne définit pas une action si le groupe Hn’est pas abélien, car en général, si on
appelle ϕl’application désignant cette loi de composition externe définie sur G:
ϕ(hh′, g) = g(hh′),
alors que
ϕ(h, ϕ(h′, g)) = g(h′h).
1

Pour avoir le premier axiome définissant une action de groupe, il faudrait avoir ghh′=gh′h, ce qui n’est
pas vrai en toute généralité.
Pour régler le problème de l’inversion des deux termes, on peut faire précéder la multiplication à droite
par hd’une opération qui justement inverse l’ordre des termes d’un produit, par exemple l’inversion :
ψ: (h, g)7→ gh−1définit une action de groupe puisque pour tout (h, h′)∈H2et tout g∈G:
•ψ(e, g) = ge =g
•ψ(hh′, g) = g(hh′)−1=gh′−1h−1=ψ(h, ψ(h′, g)).
(c) Vérifions que la conjugaison définit bien une action du groupe Gsur lui-même : pour tout (g, g′, x)∈G3:
•e·x=exe−1=x
•(gg′)·x= (gg′)x(gg′)−1=gg′xg′−1g−1=g·(g′xg′−1) = g·(g′·x).
Ainsi, la conjugaison définit bien une action de Gsur lui-même.
(d) i. On note ele neutre de G. Soit Hun sous-groupe de G,g∈G, et H′={gxg−1, x ∈H}. Montrons que
H′est un sous-groupe de G:
•Puisque Hest un sous-groupe de G,e∈H, donc geg−1∈H′, soit e∈H′.
•Soit x′et y′dans H′. Il existe donc xet ydans Htels que x′=gxg−1et y′=gyg−1. On a alors :
x′y′−1=gxg−1(gyg−1)−1) = gxg−1gy−1g−1=gxy−1g−1.
Or, Hétant un sous-groupe de G,xy−1∈H, donc gxy−1g−1∈H′, soit x′y′−1∈H′.
Ainsi, d’après la carctérisation des sous-groupes, H′est un sous-groupe de G, donc gHg−1∈X.
ii. •D’après la question précédente, l’application (g, H)7→ gHg−1est bien définie de G×Xdans X.
•Soit H∈X, on a évidemment eHe−1=H
•Soit H∈X,g, g′∈G. On a :
(gg′)·H={gg′x(gg′)−1, x ∈H}=g(g′xg′−1)g−1, x ∈H}={gyg−1, y ∈g′Hg′−1}=g·(g′·H).
Ainsi, (g, H)7→ gHg−1est une action du groupe Gsur X.
2. Soit x∈X, et Stab(x)le stabilisateur de x. Montrons que Stab(x)est un sous-groupe de G.
•On a, par définition, Stab(x)⊂G
•On a e·x=x, par définition d’une action de groupe, donc e∈Hx.
•Soit (g, h)∈Stab(x)2. On a
(h−1h)·x=e·x=xet (h−1h)·x=h−1·(h·x) = h−1·x,
puisque h∈Hx. Ainsi, h−1·x=x, puis
(gh−1)·x=g·(h−1·x) = g·x=x,
puisque g∈Stab(x). On en déduit que gh−1∈Stab(x).
D’après la caractérisation des sous-groupes, Stab(x)est donc un sous-groupe de G.
3. (a) Montrons que Rest une relation d’équivalence :
•Soit x∈X, on a e×x=x, donc x∈ω(x), donc xRx, d’où la reflexivité de R.
•Soit (x, y)∈Xtel que xRy. On a alors y∈ω(x), donc il existe g∈Gtel que g·x=y, donc
g−1·y=g−1·(g·y) = (g−1g)·x=e·x=x,
donc x∈ω(y), d’où yRx, d’où la symétrie de R.
•Soit (x, y, z)∈Xtel que xRyet yRz. On a alors y∈ω(x)et z∈ω(y), d’où l’existence de get hdans
Gtels que y=g·xet z=h·y, d’où z=h·(g·x) = (hg)·x. Comme Gest un groupe, hg ∈G, donc
z∈ω(x), d’où xRz. D’où la transitivité de R.
On déduit des trois points précédents que Rest une relation d’équivalence .
(b) Par définition même de R, les classes d’équivalence pour la relation Rsont exactement les orbites de X
sous l’action de G. Ainsi, l’ensemble des orbites forme une partition de X.
2

4. Soit Gun groupe opérant sur un ensemble X. Soit x∈X.
(a) Soit ϕ:g7→ g·x, de Gdans ω(x). Soit (g, g′)∈Gtels que g′−1g∈Stab(x). Alors
(g′−1g)·x=xdonc: g′·x=g′·((g′−1g)·x) = (g′g′−1)·(g·x) = e·(g·x) = g·x.
Ainsi, si g′−1g∈Stab(x),ϕ(g) = ϕ(g′).
(b) Soit x∈X. Par définition d’une orbite, ϕest surjective. Ainsi, {ϕ−1({y}), y ∈ω(x)}forme une partition
de G(partition associée à une application surjective). Étant donné y∈ω(x), et g∈ϕ−1({y}), d’après la
question précédente,
ϕ−1({y}) = {g′|g′−1g∈Stab(x)}= Stab(x)·g.
D’après le cours, |Stab(x)·g|=|Stab(x)|. On en déduit donc que :
|G|=X
y∈ω(x)
|ϕ−1({y})|=X
y∈ω(x)
|Stab(x)|=|Stab(x)|·|ω(x)|.
Comme |Stab(x)| 6= 0 (Stab(x)contient au moins e), on a donc : |ω(x)|=|G|
|Stab(x)|.
Partie III – Démonstration des théorèmes de Sylow par Wielandt
1. Soit E∈X, et g∈G. Alors, gétant régulier, x7→ g·xest injective, et surjective de Edans g·E, par définition
de g·E. Ainsi, il s’agit d’une bijection de Esur g·E, donc |g·E|=|E|=pα. On en déduit que g·E∈X.
La preuve que la translation à gauche définit une action de Gsur Xest alors la même que la démonstration
de la question 1(d).
2. Soit E∈X, et Stab(E)son stabilisateur par l’action définie dans la question précédente. Numérotons arbitraire-
ment les pαéléments de E:
E={x1, x2,...,xpα}.
Soit a∈Stab(E). On a alors {ax1,...,apα}=E, donc en particulier, ax1∈E. Il existe donc i∈[[1, pα]] tel que
ax1=xi, donc a=xix−1
1. L’entier ipouvant prendre pαvaleurs distinctes, il y a au plus pαvaleurs distinctes
possibles de a, donc Stab(E)6pα.
3. (a) Supposons que |Stab(E)|=pα. D’après la question précédente, les éléments du stabilisateur sont alors
exactement tous les xix−1
1, soit :
Stab(E) = E·x−1
1soit: E= Stab(E)·x1.
Comme la numérotation des éléments de Eest arbitraire, x1est un élément quelconque de E; on a donc,
pour tout x∈E:
E= Stab(E)·x.
(b) Supposons qu’il existe S∈Yet x∈Gtels que E=Sx. Par stabilité de S, tout élément g∈Sest dans le
stabilisateur de E:gE =gSx =Sx =E. Ainsi, S⊂Stab(E).
Comme Sest de cardinal pαet Stab(E)de cardinal au plus pα, cette inclusion est nécessairement une
égalité : S= Stab(E), puis |Stab(E)|=pα.
(c) Soit S6=S′dans Y. Alors il existe gtel que S′=gS. Considérons cette fois l’action sur E, définie
par (X, g)7→ Xg−1. On montre sans problème qu’il s’agit d’une action, comme en III-1. Pour éviter la
confusion, notons Stab′(X)le stabilisateur de Xsous cette action. En adaptant les arguments amenant
III-3, on montre de même que si E=xS pour un élément xde Get un sous-groupe de Sylow S, alors
Stab(E) = S(en plus de la stabilité par produit de S, on utilise ici aussi la stabilité par inverse).
Supposons que deux sous-groupes de Sylow Set S′soient dans une même orbite sous l’action de G. Il existe
donc xdans Gtel que S′=xS. On a aussi évidemment S′=eS′. La remarque précédente appliquée à ces
deux égalités amènent, pour la première, Stab(S′) = S, et pour la seconde, Stab(S′) = S′. On en déduit
que S=S′.
Ainsi, par contraposée, deux sous groupes de Sylow distincts ne peuvent pas être dans la même orbite .
3

4. Puisque les orbites forment une partition de X, en notant Ωl’ensemble des orbites, on obtient :
|X|=X
ω∈Ω
|ω|.
Or :
•D’après III-2, II-4(b), pour toute classe ωtelle que pour E∈ω,|Stab(E)| 6=pα, on a vp(Stab(E)) < α, donc
|ω|est divisible par p. Ainsi, en notant Ω′l’ensemble des classes telles que pour E∈ω,Stab(E)est de cardinal
pα, on a :
|X| ≡ X
ω∈Ω′
|ω|[p].
•D’après 3(a), pour tout ω∈Ω′et tout E∈Ω,Es’écrit sous la forme Sx, où Sest un p-sous-groupe de Sylow
(en l’occurrence Stab(E)). La question 3(b) fournit la réciproque.
Ainsi, les Edes ωde Ω′sont exactement tous les ensembles de la forme Sx, avec S∈Yet x∈G:
[
ω∈Ω′
ω={Sx |S∈Y, x ∈G}.
Il s’agit donc de l’ensemble des classes à droite de tous les sous-groupes de Sylow. On peut donc réécrire :
[
ω∈Ω′
ω=[
S∈YG
Sd
.
•Or, si deux telles classes à droite sont égales, disons Sx =S′y, alors Sxy−1=S′, et comme e∈S′, il existe
z∈Stel que zxy−1=e, donc yx−1∈S, donc xy−1∈S. Ainsi, Sxy−1=S, puis S=S′. Il ne peut donc pas
exister deux classes égales provenant de 2 sous-groupes de Sylow distincts Autrement dit, les ensembles G
Sd
sont deux à deux disjoints lorsque Sparcourt Y.
•Les orbites étant également disjointes, on peut donc écrire :
X
ω∈Ω′
|ω|=X
s∈Y
|G|
|S|,
et d’après II-3(b) donnant le cardinal des classes,
X
ω∈Ω′
m=X
s∈Y
m=m|Y|.
•La congruence ci-dessus permet alors de conclure : |X| ≡ m|Y|[p].
5. Le cardinal de Xne dépend pas de la structure de groupe de Gmais seulement de son cardinal (il s’agit du nombre
de sous-ensembles de Gayant pαélément). En particulier, ce cardinal est le même que celui de l’ensemble X′des
associé au groupe Z/nZ. En appliquant le résultat précédent au groupe Z/nZ, possédant un unique sous-groupe
de Sylow d’après la partie 1, il vient donc :
|X|=|X′| ≡ m[p].
On revient donc au groupe Ginitial. On déduit de la question précédente que
m≡m|Y|[p],
et comme mest premier avec pα, donc aussi avec p,mest inversible modulo p, donc
|Y| ≡ 1 [p].
Partie IV – Quatre lemmes
1. Lemme de Cauchy
(a) Montrons que la loi donnée définit bien une action de Z/pZsur E
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•Tout d’abord, le produit étant commutatif, une permutation des indices ne modifie pas le produit des
composantes. Ainsi, pour tout α∈Z/pZet (y1,...,yp)∈E, on a encore α·(x1,...,xp)∈E.
•Ici, contrairement à la définition et à tous les exemples traités ci-dessus, le groupe donnant l’action est
noté additivement. Il faut faire attention à transcrire convenablement les propriétés requises pour l’action
dans ce cadre. Tout d’abord, 0·(y1,··· , yp) = (y1+0,···yn+0) = (y1,···yp).
•La deuxième condition est aussi vérifiée :
α·(β·(y1,...,yp)) = a·(y1+β,··· , yp+β) = (y1+β+α,...,yp+β+α) = (α+β)·(y1,...,yn).
Il s’agit donc bien d’une action de groupe .
(b) Les points fixes sont les points dont toutes les coordonnées sont égales ;
ainsi, il s’agit des p-uplets (x,...,x)tels que xp= 1 . Il y en a donc autant que de solutions de l’équation
xp= 1.
(c) D’après II-5(b) (avec n= 1), en notant Gp={x|xp= 1}, on a donc |E| ≡ |Gp|[p]. Or, un élément de
Eest déterminé par le choix quelconque des p−1première coordonnées, imposant la dernière de façon
unique :
yp= (yp−1···y1)−1.
Par conséquent, |E|=pp−1≡0 [p]. Donc |Gp| ≡ 0 [p].
(d) L’ensemble Gpest l’ensemble des éléments de Gd’ordre divisant p, donc d’ordre 1ou p. Il n’y a qu’un
élément d’ordre 1(le neutre), donc le nombre npd’éléments d’ordre pvérifie :
np≡ −1≡p−1 [p].
2. Image réciproque d’un sous-groupe
•Par définition, f−1(K)⊂G.
•Puisque 1H∈K(car Kest un sous-groupe), et puisque f(1G) = 1H(car fest un homomorphisme de groupes),
on a bien 1G∈f−1(K).
•Soit (x, y)∈f−1(K). On a donc f(x)∈Ket f(y)∈K. On a alors, par le fait que fest un homomorphisme
de groupes, et par stabilité de K:
f(xy−1) = f(x)f(y)−1∈K.
Donc xy−1∈f−1(K).
On déduit alors de la caractérisation des sous-groupes que f−1(K)est un sous-groupe de G.
3. Groupes quotients
(a) Les classes à gauche et à droite sont les mêmes. Or la partition des classes d’équivalences détermine de façon
unique une relation d’équivalence. Ainsi, les relations ≡get ≡dsont identiques . On notera simplement ≡
cette relation.
(b) Soit (x, x′, y, y′)∈G4tels que x≡x′[H]et y≡y′[H]. On a alors
x∈Hx′=x′Het y∈Hy′,
Soit het h′tels que x=x′het y=h′y′. On a alors xy =x′hh′y′
Or x′hh′∈x′H=Hx′, il existe donc h′′ ∈H′tel que x′=h′′x′, puis xy =h′′x′y′. Ainsi, xy ∈Hx′y′, d’où
xy ≡x′y′[H].
Ainsi, ≡est une congruence pour la loi du groupe G
(c) •Soit C,Det Etrois classes modulo H, et x, y, z des représentants dans Gde ces classes. Alors, par
définition, et par associativité dans G:
(C×D)×E= (xy)z= (xy)z=x(yz) = x(yz) = C×(D×E).
D’où l’associativité de la loi définie sur G/H.
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