DM no 10 : Groupes

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 07/01/2015
DM no 10 : Groupes
Correction du problème – Théorèmes de Sylow
Partie I – Étude des sous-groupes de Sylow de Z/nZ
1. • On a S = {mk, k ∈ Z}. En effet, l’inclusion directe est immédiate, et l’inclusion réciproque résulte du fait que
si k ∈ ZZ, et si r est le reste de la division euclidienne de k par pα , on a l’existence de q tel que
k = pα q + r,
km = pα mq + rm ≡ rm [n].
donc:
Ainsi, km ∈ S.
• Montrons que S est un sous-groupe de Z/nZ.
∗ De façon évidente, S ⊂ Z/nZ, et 0 ∈ S.
∗ Soit (x, y) ∈ S 2 . Il existe alors (k, ℓ) ∈ Z2 tels que x = mk et y = mℓ. On a alors x − y = m(k − ℓ) ∈ S.
Ainsi, d’après la caractérisation des sous-groupes, S est un sous-groupe de Z/nZ.
• Soit (k, ℓ) ∈ [[0, pα − 1]] tels que k 6= ℓ, alors |k − ℓ| < pα , donc |m(k − ℓ)| < n, donc mk 6≡ mℓ[n]. On en déduit
que mk 6= mℓ.
• Ainsi, S (égal à T ) est constitué d’exactement pα éléments. S est donc un sous-groupe de Sylow de Z/nZ .
2. Soit S ′ un p-sous-groupe de Sylow de Z/nZ, et soit x ∈ S ′ .
(a) L’élément x étant un élément du groupe S ′ d’ordre pα , on déduit du théorème de Lagrange que l’ordre de
x divise pβ , donc, p étant premier, l’ordre de x est pβ , pour un certain entier naturel β 6 α .
(b) On en déduit que pβ x = 0, donc si k est un représentant dans Z de x, il existe ℓ ∈ Z tel que pβ k = ℓn = ℓpα m,
donc k = mℓpα−β , et comme β − α > 0, x = k ∈ S .
3. On en déduit que S ′ ⊂ S, et comme par définition, S et S ′ ont même cardinal fini, S ′ = S.
Ainsi, Z/nZ admet un unique sous-groupe de Sylow, S.
Partie II – Actions de groupe, stabilisateurs, orbites
1. Quelques exemples.
(a) • L’application donnant l’action de groupe est l’application de H × G dans G donnée par h × g = hg.
• On a bien, pour tout (h, h′ ) ∈ H 2 , et g ∈ G,
h · (h′ · g) = h · (h′ g) = h(h′ g) = (hh′ )g,
la dernière égalité découlant de l’associativité dans G.
• On a également eH · g = eH g = eG g = g.
Ainsi, (h, g) 7→ hg est une action du groupe H sur le groupe G.
L’orbite d’un élément g ∈ G est l’ensemble {h · g | h ∈ H} = Hg , classe à droite modulo H
(b) La translation à droite ne définit pas une action si le groupe H n’est pas abélien, car en général, si on
appelle ϕ l’application désignant cette loi de composition externe définie sur G :
ϕ(hh′ , g) = g(hh′ ),
alors que
ϕ(h, ϕ(h′ , g)) = g(h′ h).
1
Pour avoir le premier axiome définissant une action de groupe, il faudrait avoir ghh′ = gh′ h, ce qui n’est
pas vrai en toute généralité.
Pour régler le problème de l’inversion des deux termes, on peut faire précéder la multiplication à droite
par h d’une opération qui justement inverse l’ordre des termes d’un produit, par exemple l’inversion :
ψ : (h, g) 7→ gh−1 définit une action de groupe puisque pour tout (h, h′ ) ∈ H 2 et tout g ∈ G :
• ψ(e, g) = ge = g
−1
• ψ(hh′ , g) = g(hh′ )−1 = gh′ h−1 = ψ(h, ψ(h′ , g)).
(c) Vérifions que la conjugaison définit bien une action du groupe G sur lui-même : pour tout (g, g ′ , x) ∈ G3 :
• e · x = exe−1 = x
• (gg ′ ) · x = (gg ′ )x(gg ′ )−1 = gg ′ xg ′ −1 g −1 = g · (g ′ xg ′ −1 ) = g · (g ′ · x).
Ainsi, la conjugaison définit bien une action de G sur lui-même.
(d)
i. On note e le neutre de G. Soit H un sous-groupe de G, g ∈ G, et H ′ = {gxg −1 , x ∈ H}. Montrons que
H ′ est un sous-groupe de G :
• Puisque H est un sous-groupe de G, e ∈ H, donc geg −1 ∈ H ′ , soit e ∈ H ′ .
• Soit x′ et y ′ dans H ′ . Il existe donc x et y dans H tels que x′ = gxg −1 et y ′ = gyg −1 . On a alors :
x′ y ′
−1
= gxg −1 (gyg−1)−1 ) = gxg −1 gy −1 g −1 = gxy −1 g −1 .
−1
Or, H étant un sous-groupe de G, xy −1 ∈ H, donc gxy −1 g −1 ∈ H ′ , soit x′ y ′ ∈ H ′ .
Ainsi, d’après la carctérisation des sous-groupes, H ′ est un sous-groupe de G, donc gHg −1 ∈ X .
ii. • D’après la question précédente, l’application (g, H) 7→ gHg −1 est bien définie de G × X dans X.
• Soit H ∈ X, on a évidemment eHe−1 = H
• Soit H ∈ X, g, g ′ ∈ G. On a :
(gg ′ ) · H = {gg ′ x(gg ′ )−1 , x ∈ H} = g(g ′ xg ′
−1
)g −1 , x ∈ H} = {gyg −1 , y ∈ g ′ Hg ′
−1
} = g · (g ′ · H).
Ainsi, (g, H) 7→ gHg −1 est une action du groupe G sur X .
2. Soit x ∈ X, et Stab(x) le stabilisateur de x. Montrons que Stab(x) est un sous-groupe de G.
• On a, par définition, Stab(x) ⊂ G
• On a e · x = x, par définition d’une action de groupe, donc e ∈ Hx .
• Soit (g, h) ∈ Stab(x)2 . On a
(h−1 h) · x = e · x = x
(h−1 h) · x = h−1 · (h · x) = h−1 · x,
et
puisque h ∈ Hx . Ainsi, h−1 · x = x, puis
(gh−1 ) · x = g · (h−1 · x) = g · x = x,
puisque g ∈ Stab(x). On en déduit que gh−1 ∈ Stab(x).
D’après la caractérisation des sous-groupes, Stab(x) est donc un sous-groupe de G .
3. (a) Montrons que R est une relation d’équivalence :
• Soit x ∈ X, on a e × x = x, donc x ∈ ω(x), donc xRx, d’où la reflexivité de R.
• Soit (x, y) ∈ X tel que xRy. On a alors y ∈ ω(x), donc il existe g ∈ G tel que g · x = y, donc
g −1 · y = g −1 · (g · y) = (g −1 g) · x = e · x = x,
donc x ∈ ω(y), d’où yRx, d’où la symétrie de R.
• Soit (x, y, z) ∈ X tel que xRy et yRz. On a alors y ∈ ω(x) et z ∈ ω(y), d’où l’existence de g et h dans
G tels que y = g · x et z = h · y, d’où z = h · (g · x) = (hg) · x. Comme G est un groupe, hg ∈ G, donc
z ∈ ω(x), d’où xRz. D’où la transitivité de R.
On déduit des trois points précédents que R est une relation d’équivalence .
(b) Par définition même de R, les classes d’équivalence pour la relation R sont exactement les orbites de X
sous l’action de G. Ainsi, l’ensemble des orbites forme une partition de X .
2
4. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Soit x ∈ X.
(a) Soit ϕ : g 7→ g · x, de G dans ω(x). Soit (g, g ′ ) ∈ G tels que g ′
(g ′−1 g) · x = x
Ainsi, si g ′
−1
donc:
−1
g ∈ Stab(x). Alors
g ′ · x = g ′ · ((g ′−1 g) · x) = (g ′ g ′
−1
) · (g · x) = e · (g · x) = g · x.
g ∈ Stab(x), ϕ(g) = ϕ(g ′ ) .
(b) Soit x ∈ X. Par définition d’une orbite, ϕ est surjective. Ainsi, {ϕ−1 ({y}), y ∈ ω(x)} forme une partition
de G (partition associée à une application surjective). Étant donné y ∈ ω(x), et g ∈ ϕ−1 ({y}), d’après la
question précédente,
ϕ−1 ({y}) = {g ′ | g ′−1 g ∈ Stab(x)} = Stab(x) · g.
D’après le cours, |Stab(x) · g| = |Stab(x)|. On en déduit donc que :
X
X
|Stab(x)| = |Stab(x)| · |ω(x)|.
|ϕ−1 ({y})| =
|G| =
y∈ω(x)
y∈ω(x)
Comme |Stab(x)| 6= 0 (Stab(x) contient au moins e), on a donc : |ω(x)| =
|G|
.
|Stab(x)|
Partie III – Démonstration des théorèmes de Sylow par Wielandt
1. Soit E ∈ X, et g ∈ G. Alors, g étant régulier, x 7→ g · x est injective, et surjective de E dans g · E, par définition
de g · E. Ainsi, il s’agit d’une bijection de E sur g · E, donc |g · E| = |E| = pα . On en déduit que g · E ∈ X.
La preuve que la translation à gauche définit une action de G sur X est alors la même que la démonstration
de la question 1(d).
2. Soit E ∈ X, et Stab(E) son stabilisateur par l’action définie dans la question précédente. Numérotons arbitrairement les pα éléments de E :
E = {x1 , x2 , . . . , xpα }.
Soit a ∈ Stab(E). On a alors {ax1 , . . . , apα } = E, donc en particulier, ax1 ∈ E. Il existe donc i ∈ [[1, pα ]] tel que
α
α
ax1 = xi , donc a = xi x−1
1 . L’entier i pouvant prendre p valeurs distinctes, il y a au plus p valeurs distinctes
possibles de a, donc Stab(E) 6 pα .
3. (a) Supposons que |Stab(E)| = pα . D’après la question précédente, les éléments du stabilisateur sont alors
exactement tous les xi x−1
1 , soit :
Stab(E) = E · x−1
1
soit:
E = Stab(E) · x1 .
Comme la numérotation des éléments de E est arbitraire, x1 est un élément quelconque de E ; on a donc,
pour tout x ∈ E :
E = Stab(E) · x .
(b) Supposons qu’il existe S ∈ Y et x ∈ G tels que E = Sx. Par stabilité de S, tout élément g ∈ S est dans le
stabilisateur de E : gE = gSx = Sx = E. Ainsi, S ⊂ Stab(E).
Comme S est de cardinal pα et Stab(E) de cardinal au plus pα , cette inclusion est nécessairement une
égalité : S = Stab(E) , puis |Stab(E)| = pα .
(c) Soit S 6= S ′ dans Y . Alors il existe g tel que S ′ = gS. Considérons cette fois l’action sur E, définie
par (X, g) 7→ Xg −1 . On montre sans problème qu’il s’agit d’une action, comme en III-1. Pour éviter la
confusion, notons Stab′ (X) le stabilisateur de X sous cette action. En adaptant les arguments amenant
III-3, on montre de même que si E = xS pour un élément x de G et un sous-groupe de Sylow S, alors
Stab(E) = S (en plus de la stabilité par produit de S, on utilise ici aussi la stabilité par inverse).
Supposons que deux sous-groupes de Sylow S et S ′ soient dans une même orbite sous l’action de G. Il existe
donc x dans G tel que S ′ = xS. On a aussi évidemment S ′ = eS ′ . La remarque précédente appliquée à ces
deux égalités amènent, pour la première, Stab(S ′ ) = S, et pour la seconde, Stab(S ′ ) = S ′ . On en déduit
que S = S ′ .
Ainsi, par contraposée, deux sous groupes de Sylow distincts ne peuvent pas être dans la même orbite .
3
4. Puisque les orbites forment une partition de X, en notant Ω l’ensemble des orbites, on obtient :
X
|X| =
|ω|.
ω∈Ω
Or :
• D’après III-2, II-4(b), pour toute classe ω telle que pour E ∈ ω, |Stab(E)| 6= pα , on a vp (Stab(E)) < α, donc
|ω| est divisible par p. Ainsi, en notant Ω′ l’ensemble des classes telles que pour E ∈ ω, Stab(E) est de cardinal
pα , on a :
X
|X| ≡
|ω| [p].
ω∈Ω′
• D’après 3(a), pour tout ω ∈ Ω′ et tout E ∈ Ω, E s’écrit sous la forme Sx, où S est un p-sous-groupe de Sylow
(en l’occurrence Stab(E)). La question 3(b) fournit la réciproque.
Ainsi, les E des ω de Ω′ sont exactement tous les ensembles de la forme Sx, avec S ∈ Y et x ∈ G :
[
ω = {Sx | S ∈ Y, x ∈ G}.
ω∈Ω′
Il s’agit donc de l’ensemble des classes à droite de tous les sous-groupes de Sylow. On peut donc réécrire :
[
[ G
ω=
.
S d
′
ω∈Ω
S∈Y
• Or, si deux telles classes à droite sont égales, disons Sx = S ′ y, alors Sxy −1 = S ′ , et comme e ∈ S ′ , il existe
z ∈ S tel que zxy −1 = e, donc yx−1 ∈ S, donc xy −1 ∈ S. Ainsi, Sxy −1 = S, puis S = S ′ . Il ne peut donc pas
exister deux classes égales provenant de 2 sous-groupes de Sylow distincts Autrement dit, les ensembles G
S d
sont deux à deux disjoints lorsque S parcourt Y .
• Les orbites étant également disjointes, on peut donc écrire :
X
|ω| =
ω∈Ω′
X |G|
,
|S|
s∈Y
et d’après II-3(b) donnant le cardinal des classes,
X
X
m=
m = m|Y |.
ω∈Ω′
s∈Y
• La congruence ci-dessus permet alors de conclure : |X| ≡ m|Y | [p].
5. Le cardinal de X ne dépend pas de la structure de groupe de G mais seulement de son cardinal (il s’agit du nombre
de sous-ensembles de G ayant pα élément). En particulier, ce cardinal est le même que celui de l’ensemble X ′ des
associé au groupe Z/nZ. En appliquant le résultat précédent au groupe Z/nZ, possédant un unique sous-groupe
de Sylow d’après la partie 1, il vient donc :
|X| = |X ′ | ≡ m [p].
On revient donc au groupe G initial. On déduit de la question précédente que
m ≡ m|Y | [p],
et comme m est premier avec pα , donc aussi avec p, m est inversible modulo p, donc
|Y | ≡ 1 [p] .
Partie IV – Quatre lemmes
1. Lemme de Cauchy
(a) Montrons que la loi donnée définit bien une action de Z/pZ sur E
4
• Tout d’abord, le produit étant commutatif, une permutation des indices ne modifie pas le produit des
composantes. Ainsi, pour tout α ∈ Z/pZ et (y1 , . . . , yp ) ∈ E, on a encore α · (x1 , . . . , xp ) ∈ E.
• Ici, contrairement à la définition et à tous les exemples traités ci-dessus, le groupe donnant l’action est
noté additivement. Il faut faire attention à transcrire convenablement les propriétés requises pour l’action
dans ce cadre. Tout d’abord, 0 · (y1 , · · · , yp ) = (y1+0 , · · · yn+0 ) = (y1 , · · · yp ).
• La deuxième condition est aussi vérifiée :
α · (β · (y1 , . . . , yp )) = a · (y1+β , · · · , yp+β ) = (y1+β+α , . . . , yp+β+α ) = (α + β) · (y1 , . . . , yn ).
Il s’agit donc bien d’une action de groupe .
(b) Les points fixes sont les points dont toutes les coordonnées sont égales ;
ainsi, il s’agit des p-uplets (x, . . . , x) tels que xp = 1 . Il y en a donc autant que de solutions de l’équation
xp = 1.
(c) D’après II-5(b) (avec n = 1), en notant Gp = {x | xp = 1}, on a donc |E| ≡ |Gp | [p]. Or, un élément de
E est déterminé par le choix quelconque des p − 1 première coordonnées, imposant la dernière de façon
unique :
yp = (yp−1 · · · y1 )−1 .
Par conséquent, |E| = pp−1 ≡ 0 [p]. Donc |Gp | ≡ 0 [p] .
(d) L’ensemble Gp est l’ensemble des éléments de G d’ordre divisant p, donc d’ordre 1 ou p. Il n’y a qu’un
élément d’ordre 1 (le neutre), donc le nombre np d’éléments d’ordre p vérifie :
np ≡ −1 ≡ p − 1 [p] .
2. Image réciproque d’un sous-groupe
• Par définition, f −1 (K) ⊂ G.
• Puisque 1H ∈ K (car K est un sous-groupe), et puisque f (1G ) = 1H (car f est un homomorphisme de groupes),
on a bien 1G ∈ f −1 (K).
• Soit (x, y) ∈ f −1 (K). On a donc f (x) ∈ K et f (y) ∈ K. On a alors, par le fait que f est un homomorphisme
de groupes, et par stabilité de K :
f (xy −1 ) = f (x)f (y)−1 ∈ K.
Donc xy −1 ∈ f −1 (K).
On déduit alors de la caractérisation des sous-groupes que f −1 (K) est un sous-groupe de G .
3. Groupes quotients
(a) Les classes à gauche et à droite sont les mêmes. Or la partition des classes d’équivalences détermine de façon
unique une relation d’équivalence. Ainsi, les relations ≡g et ≡d sont identiques . On notera simplement ≡
cette relation.
(b) Soit (x, x′ , y, y ′ ) ∈ G4 tels que x ≡ x′ [H] et y ≡ y ′ [H]. On a alors
x ∈ Hx′ = x′ H
et
y ∈ Hy ′ ,
Soit h et h′ tels que x = x′ h et y = h′ y ′ . On a alors xy = x′ hh′ y ′
Or x′ hh′ ∈ x′ H = Hx′ , il existe donc h′′ ∈ H ′ tel que x′ = h′′ x′ , puis xy = h′′ x′ y ′ . Ainsi, xy ∈ Hx′ y ′ , d’où
xy ≡ x′ y ′ [H].
Ainsi, ≡ est une congruence pour la loi du groupe G
(c) • Soit C, D et E trois classes modulo H, et x, y, z des représentants dans G de ces classes. Alors, par
définition, et par associativité dans G :
(C × D) × E = (xy)z = (xy)z = x(yz) = x(yz) = C × (D × E).
D’où l’associativité de la loi définie sur G/H.
5
• On a H = 1G . On a alors, pour toute classe C, de représentant x dans G :
H × C = 1G × x = 1G x = x = C.
Ainsi, il y a dans G/H un élément neutre, égal à H = 1G .
• Soit C ∈ G/H, représentée par un élément x ∈ G. On a alors
x−1 x = 1G = xx−1
donc:
x−1 × x = 1G = x × x−1 .
Ainsi, x− 1 est un symétrique de C dans G/H
On a bien vérifié tous les axiomes d’une structure de groupe : G/H est bien muni d’une structure de groupe .
4. Premier théorème d’isomorphisme.
(a) • Montrons que Ker(f ) est un sous-groupe de G :
∗ Ker(f ) ⊂ G par définition,
∗ f étant un morphisme de groupe, f (1G ) = 1H , donc 1G ∈ Ker(f ),
∗ Si x et y sont éléments de Ker(f ),
f (xy −1 ) = f (x)f (y)−1 = 1H 1−1
H = 1H .
Donc xy −1 ∈ Ker(f ).
On en déduit que Ker(f ) est un sous-groupe de G.
• Montrons que Ker(f ) est distingué dans G. Il suffit pour cela de montrer que si g ∈ G et h ∈ Ker(f ),
alors ghg −1 ∈ Ker(f ). Soit donc g ∈ G et h ∈ Ker(f ). On a alors :
f (ghg −1 ) = f (g)f (h)f (g)−1 = f (g)1H f (g)−1 = f (g)f (g)−1 = 1H .
Ainsi, Ker(f ) est un sous-groupe distingué de G.
(b) Soit x ≡ y [Ker(f )], on a donc xy −1 ∈ Ker(f ), d’où :
f (xy −1 ) = 1H
soit:
f (x)f (y)−1 = 1H
donc:
f (x) = f (y).
Ainsi, f est constante sur chaque classe d’équivalence modulo Ker(f ) . Elle induit donc une application
f : G/ Ker(f ) −→ H
(c) • Soit C et D deux classes modulo Ker(f ), représentées par x et y respectivement. Supposons que f (C) =
f (D), soit f (x) = f (y). On a alors
f (xy −1 ) = f (x)f (y)−1 = 1H ,
donc:
xy −1 ∈ Ker(f ).
On en déduit que x ≡ y [H], puis C = D. Donc f est injective.
• Soit h ∈ H. Puisque par hypothèse, f est surjective, il existe x ∈ G tel que f (x) = h, donc f (x) = h,
d’où la surjectivité de f .
La fonction f est injective et surjective, donc bijective .
(d) On a donc |G/ Ker(f )| = |H|. Or, on a vu dans le cours (cf démonstration du théorème de Lagrange) que
|G/ Ker(f )| =
|G|
.
| Ker(f )|
On obtient donc la relation : |G| = | Ker(f )| × |H|.
Partie V – Une démonstration par récurrence du premier théorème de Sylow
1. On suppose dans cette question que G est abélien.
(a) D’après le lemme de Cauchy, puisque p divise n, il existe un élément x d’ordre p dans G. Soit H = {xi , i ∈ Z}
le sous-groupe monogène engendré par x. H est donc d’ordre p. Par ailleurs, G étant abélien, tout sousgroupe de G est évidemment distingué !
Ainsi, il existe bien un sous-groupe distingué H d’ordre p .
6
(b) Soit m ∈ N, premier avec p.
Soit, pour tout α dans N, la propriété P(α): Tout groupe abélien G d’ordre pα m admet un p-sous-groupe
de Sylow.
Le cas α = 0 est trivial, un p-sous-groupe de Sylow étant dans ce cas d’ordre p0 = 1. Le sous-groupe {1G }
convient.
Soit α ∈ N. On suppose que la propriété P(α) est vraie. Soit G un groupe abélien d’ordre pα+1 m. D’après
la question précédente (puisque α + 1 > 0), G admet un sous-groupe distingué H d’ordre p. Soit alors
f : G −→ G/H l’application qui à x associe sa classe x modulo H (projection canonique). Puisque G/H est
de cardinal pα m et est abélien, on peut lui appliquer l’hypothèse de récurrence : il existe un p-sous-groupe
de Sylow S de G/H. On considère alors S ′ = f −1 (S). D’après IV-2, S ′ est un sous-groupe de G/H et f
se restreint en un morphisme de groupe surjectif f˜ de S ′ sur S. Par ailleurs, puisque Ker(f ) ⊂ S ′ , on a
Ker(f˜) = Ker(f ) = H. Ainsi, en appliquant IV-4(d) à f˜, il vient :
|S ′ | = |H| × |S|
donc:
|S ′ | = p × pα = pα+1 .
On en déduit que S ′ est un p-sous-groupe de Sylow de G. On a bien prouvé P(α + 1).
Par conséquent, P(0) est vraie, et pour tout α dans N, P(α) entraîne P(α + 1). D’après le principe de
récurrence, P(α) est vraie pour tout α dans N.
Ainsi, tout groupe abélien admet un p-sous-groupe de Sylow.
2. (a) • De façon évidente, Z(G) ⊂ G et 1G ∈ Z.
• Soit (x, y) ∈ Z(G)2 . On a alors, pour tout g ∈ G,
(xy)g = x(yg) = (yg)x = y(gx) = (gx)y = g(xy).
Ainsi, xy ∈ Z(G)
• Soit x ∈ Z(G). On a alors, pour tout g ∈ G
g = (xx−1 )g = x(x−1 g) = (x−1 g)x.
D’un autre côté :
g = g(x−1 x) = (gx−1 )x.
Ainsi, (x−1 g)x = (gx−1 )x, et x étant régulier, x−1 g = gx−1 . On en déduit que x−1 ∈ Z(G).
Ainsi, Z(G) est un sous-groupe de G . De plus, tout élément de Z(G) commute avec tout élément de G,
donc en particulier avec tout autre élément de Z(G). Donc Z(G) est commutatif .
Puisque tout élément de Z(G) commute avec tout élément de G, pour tout z ∈ Z(G), pour tout g ∈ G,
gzg −1 = gg −1 z = z ∈ Z(G), donc Z(G) est distingué dans G .
(b) Supposons qu’on n’ait pas |Z(G)| > 1. Comme Z(G) contient le neutre, |Z(G)| = 1. Par ailleurs, les
éléments de Z(G) sontles points fixes par l’action de G sur lui-même par conjugaison. Ainsi, d’après II-5(a),
en notant Ω′ l’ensemble des orbites non réduites à un point pour cette action, on a :
X
|G| = 1 +
|ω|.
ω∈Ω′
Si toutes les orbites ω ∈ Ω′ sont de cardinal divisible par p, on obtient |G| ≡ 1 [p], ce qui contredit le fait
que p divise |G|.
Ainsi, il existe au moins une classe ω de cardinal différent de 1 et premier avec p.
(c) Soit, pour tout n dans N, la propriété P(n): Tout groupe d’ordre n admet un p-sous-groupe de Sylow.
La propriété est triviale pour n = 1.
Soit n > 1. On suppose que P(1), . . . , P(n − 1) sont vrais. Soit G un groupe d’ordre n, et Z son centre. On
écrit n = pα m, où p et m sont premiers entre eux. Si m = 1, le résultat est trivial (G est un p-sous-groupe
de Sylow de lui-même). Supposons donc m > 1.
7
• Soit |Z| = 1. Dans ce cas, il existe une orbite ω non réduite à un point, de cardinal premier avec p, donc
divisant m. Soit x ∈ ω et Stab(x) le stabilisateur de x. Alors Stab(x) est un sous-groupe de G, et d’après
m
II-4, son cardinal est pα k, où k = |ω|
. Comme |ω| 6= 1, pα k < n, et on peut donc appliquer l’hypothèse de
récurrence à Stab(x), qui admet un p-sous-groupe de Sylow, donc un sous-groupe S de cardinal pα . Ce
sous-groupe est aussi sous-groupe de G, de cardinal pα . Il s’agit donc d’un p-sous-groupe de Sylow de G.
• Soit |Z| > 1. On note |Z| = pβ q, où p et q sont premiers entre eux. Dans ce cas, on considère un p-sousgroupe de Sylow T de Z (existe par la question 1, Z étant abélien, ce qui permet aussi de régler le cas
éventuel où Z = G). On montre, comme pour Z, qu’il est distingué dans G. Il est de cardinal pβ . On
considère la projection f : G −→ G/T , qui à x associe sa classe x modulo T . Il s’agit d’un morphisme de
groupe, pour la structure de groupe induite sur G/T (T étant distingué). Il est surjectif, et son noyau
est Ker(f ) = T . On a alors |G/T | = pα−β q. Soit U un p-sous-groupe de Sylow de G/T , donc de cardinal
pα−β . On considère alors S = f −1 (U ). Un argument similaire à V-1 montre que
|S| = |U | × |T | = pα .
Ainsi, S est un sous-groupe de Sylow de G.
On a bien prouvé, dans tous les cas, que G admet un p-sous-groupe de Sylow.
Par conséquent, P(n − 1) est vraie, et pour tout n dans 1, P(n − 1), . . . , P(n − 1) entraînent P(n). D’après
le principe de récurrence forte, P(n) est vraie pour tout n dans N.
Ainsi, tout groupe fini admet un p-sous-groupe de Sylow .
Partie VI – Démonstration des deuxième et troisième théorèmes de Sylow
1. Soit S un p-sous-groupe de Sylow de G. Soit H un p-sous-groupe de G. On fait opérer H sur l’ensemble X =
(G/S)g des classes à gauche xS par translation : h · (xS) = (hx) · S.
(a) On a, d’après II-5(a) :
|X| = |XH | +
X
|ω|,
om∈Ω′
où Ω′ est l’ensemble des orbites non rduites à un point. Or, d’après II-4(b), pour tout ω ∈ Ω′ , |ω| divise
|H|, donc est une puissance de p. Comme |ω| 6= 1, on en déduit que |ω| ≡ 0 [p]. Ainsi,
|XH | ≡ |X| ≡
|G|
=m
|S|
mod [p] .
(b) Comme m n’est pas divisible par p, ceci implique qu’il existe au moins un point fixe, donc une classe xS
telle que pour tout h ∈ H, h(xS) = xS, puis h(xSx−1 ) = xSx−1 .
(c) Il n’est pas dur de voir que xSx−1 est un sous-groupe de G, et que son cardinal est pα . C’est donc un sousgroupe de Sylow. On a déjà justifié que dans ce cas, son stabilisateur pour l’action à gauche est lui-même
(partie III). Or, le résultat précédent montre que tout h ∈ H est dans ce stabilisateur.
Ainsi, H est un sous-groupe du sous-groupe de Sylow xSx−1 .
2. Soit S et S ′ deux sous-groupes de Sylow. On applique le résultat précédent avec H = S ′ . On en déduit l’existence
de x ∈ G tel que S ′ ⊂ xSx−1 , et pour des raisons de cardinalité, on en déduit que S ′ = xSx−1 .
Ainsi, les p-sous-groupes de Sylow sont deux à deux conjugués.
3. (a) Les p-Sylow étant deux à deux conjugués, et le conjugué d’un p-Sylow étant encore un p-Sylow, ΩS est très
préciément l’ensemble Y des p-sous-groupes de Sylow .
|G|
, le stabilisateur étant ici pris au sens de la conjugaison (ne
|Stab(S)|
pas s’embrouiller dans les différentes actions considérées).
(b) Ainsi, d’après II-3(b), |Y | = |ΩS | =
Ceci permet de conclure de façon immédiate que |Y | divise n = |G| .
Le dernier point (|Y | ≡ 1 [p]) a été démontré en partie III.
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